【數(shù)學】2013年高考真題北京卷（文）解析版

1、 2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學（文）（北京卷）本試卷滿分150分，考試時120分鐘，考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效，第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1已知集合，則（ ）A B C D2設，且，則（ ）A B C D3下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調遞減的是（ ）A B C D4在復平面內，復數(shù)對應的點位于（ ）A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限5在中，則（ ）A B C D6執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（ ）A B C D7雙曲線的離心率大于的充分必要條件是

2、A BC D8如圖，在正方體中，為對角線的三等分點，則到各頂點的距離的不同取值有（ ）A個 B個 C個 D個第二部分（選擇題 共110分）二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）9若拋物線的焦點坐標為，則 ，準線方程為 。10某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為 。 11若等比數(shù)列滿足，則公比 ；前項和 。12設為不等式組所表示的平面區(qū)域，區(qū)域上的點與點之間的距離的最小值為 。13函數(shù)的值域為 。14向量，若平面區(qū)域由所有滿足（，）的點組成，則的面積為 。三、解答題（共6小題，共80分。解答應寫出必要的文字說明，演算步驟）15（本小題共13分） 已知函數(shù)（1）求的最小正周期及最大值

3、。（2）若，且，求的值。16（本小題共13分） 下圖是某市3月1日至14日的空氣質量指數(shù)趨勢圖，空氣質量指數(shù)小于100表示空氣質量優(yōu)良，空氣質量指數(shù)大于200表示空氣重度污染。某人隨機選擇3月1日至14日中的某一天到達該市，并停留2天。（1）求此人到達當日空氣重度污染的概率。（2）求此在在該市停留期間只有一天空氣重度污染的概率。（3）由圖判斷，從哪天開始連續(xù)三天的空氣質量指數(shù)方差最大？（結論不要求證明）17（本小題共14分）如圖，在四棱錐中，平面底面，和分別是和的中點，求證：（1）底面（2）平面（3）平面平面18（本小題共13分）已知函數(shù)（1）若曲線在點處與直線相切，求與的值。（2）若曲線與直

4、線有兩個不同的交點，求的取值范圍。19（本小題共14分）直線（）：相交于，兩點，是坐標原點（1）當點的坐標為，且四邊形為菱形時，求的長。（2）當點在上且不是的頂點時，證明四邊形不可能為菱形。20（本小題共13分）給定數(shù)列，。對，該數(shù)列前項的最大值記為，后項，的最小值記為，。（1）設數(shù)列為，寫出，的值。（2）設，（）是公比大于的等比數(shù)列，且，證明，是等比數(shù)列。（3）設，是公差大于的等差數(shù)列，且，證明，是等差數(shù)列。2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學（文）（北京卷）參考答案一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）1B 2D 3C 4A 5B 6C 7C 8B 二、填空題（共6小題，每小題

5、5分，共30分）9， 10 11，12 13 14三、解答題（共6小題，共80分。解答應寫出必要的文字說明，演算步驟）15（本小題共13分） 解：（1） 所以，最小正周期當（），即（）時 （2）因為 所以 因為，所以 所以，即16（本小題共13分）解：（1）因為要停留2天，所以應該在3月1日至13日中的某天到達，共有13種選擇，其間重度污染的有兩天， 所以概率為（2）此人停留的兩天共有13種選擇，分別是：，其中只有一天重度污染的為，共4種，所以概率為（3）因為第5，6，7三天的空氣質量指數(shù)波動最大，所以方差最大。17（本小題共14分）證明：（1）因為，平面底面且平面底面 所以底面（2）因為和分

6、別是和的中點，所以，而平面，平面，所以平面（3）因為底面， 平面 所以，即因為，所以而平面，平面，且所以平面因為，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，而平面，平面所以平面，同理平面，而平面，平面且 所以平面平面， 所以平面 又因為平面所以平面平面18（本小題共13分）解：（1）因為曲線在點處的切線為所以，即，解得（2）因為 所以當時，單調遞增 當時，單調遞減 所以當時，取得最小值， 所以的取值范圍是19（本小題共14分）解：（1）線段的垂直平分線為， 因為四邊形為菱形，所以直線與橢圓的交點即為，兩點對橢圓，令得所以（2）方法一：當點不是的頂點時， 聯(lián)立方程得設，則， 若四邊形為菱形，則，即所以即因為點不是的頂點，所以，所以即，即所以此時，直線與軸垂直，所以為橢圓的上頂點或下頂點，與已知矛盾，所以四邊形不可能為菱形方法二：因為四邊形為菱形，所以，設（）則，兩點為圓與橢圓的交點聯(lián)立方程得所以，兩點的橫坐標相等或互為相反數(shù)。因為點在上若，兩點的橫坐標相等，點應為橢圓的左頂點或右頂點。不合題意。若，兩點的橫坐標互為相反數(shù)，點應為橢圓的上頂點或下頂點。不合題意。所以四邊形不可能為菱形。20（本小題共13分）解：（1），（2）因為，（）是公比大于的等比數(shù)列，且 所以所以當時，所以當時，所以，是等比數(shù)列。（3）若，是公差大于的等差數(shù)列