天津大學(xué)科學(xué)計算選講第二次作業(yè)激光被動調(diào)Q速率方程組數(shù)值仿真學(xué)

1、天津大學(xué)科學(xué)計算選講第二次作業(yè)激光被動調(diào)Q速率方程組數(shù)值仿真學(xué)生:學(xué)號：學(xué)院:精密儀器與光電子工程學(xué)院專業(yè)：光電子技術(shù)（博士）日期：2012年5月22日激光被動調(diào)Q速率方程組數(shù)值仿真1. 物理背景Q值是評定激光器中光學(xué)諧振腔質(zhì)量好壞的指標(biāo)，稱為品質(zhì)因數(shù)。Q值定義為在激光諧振腔內(nèi)，儲存的總能量與腔內(nèi)單位時間損耗的能量之比,數(shù)學(xué)表達(dá)式為Q二2“乙。式中W-腔內(nèi)儲存的總能量，dW/dt為光子能量的損耗速率,0dWdt即單位時間內(nèi)損耗的能量，v0為激光的中心頻率。Q值是評定激光器中光學(xué)諧振腔質(zhì)量好壞的指標(biāo)，在激光諧振腔內(nèi)儲能不變情況下，損耗越小Q值越大。一般固體脈沖激光器的直接輸出時，由于激光器工作閾

2、值附近，輸出脈沖是系列尖峰振蕩，輸出脈寬比較寬，輸出功率低。激光調(diào)Q是一種廣泛用于產(chǎn)生巨脈沖功率激光的運轉(zhuǎn)方式，通過改變Q值（改變閾值），控制激光產(chǎn)生時間，輸出巨脈沖，壓縮脈沖寬度，提高峰值功率。激光調(diào)節(jié)Q值的途徑一般是采取改變腔內(nèi)損耗的辦法來調(diào)節(jié)腔內(nèi)的Q值。調(diào)Q激光器輸出的脈沖從時間上分為三階段：脈沖建立時間、脈沖前沿時間和脈沖后沿時間。從Q值最小變到最大Q值即損耗從最大變到最小需要的時間叫開關(guān)時間，開關(guān)時間對激光脈沖的影響很大，按開關(guān)時間的大小分為快、慢兩種類型。被動調(diào)Q是利用材料一種可飽和吸收特性做為Q開關(guān)，這種可飽和吸收染料是一種非線性吸收物質(zhì)，把它放在諧振腔內(nèi)，利用它對光的可飽和吸收

3、特性來改變諧振腔內(nèi)的吸收損耗，起到Q開關(guān)的作用。可飽和吸收特性指材料的透射特性隨著能量密度的增大而變透明，當(dāng)能量密度達(dá)到某值時，材料的吸收達(dá)到飽和，從而具有很高的透射率。吸收體對入射光強(qiáng)的改變應(yīng)是這兩個過程的綜合過程。高能態(tài)粒子越多，則吸收光強(qiáng)越少。當(dāng)高能態(tài)粒子數(shù)n和基態(tài)粒子數(shù)n相等時,21這時從低能態(tài)到高能態(tài)的受激躍遷的粒子數(shù)和從高能態(tài)到基態(tài)放出光子的粒子數(shù)相等，即吸收的和放出的光子相等，達(dá)到飽和。常用的可飽和吸收材料有機(jī)染料，摻吸收性離子或含有色心（由點缺陷引起）的晶體。激光器速率方程組是表征激光器腔內(nèi)光子數(shù)和工作物質(zhì)各有關(guān)能級上的粒子數(shù)隨時間變化的微分方程組。對于一般的脈沖激光器，脈沖形

4、成時間長，泵浦、自發(fā)輻射、受激躍遷過程都是存在的。采用Q開關(guān)技術(shù)后，各參量之間關(guān)系發(fā)生了很大變化，需要根據(jù)Q開關(guān)的過程分析速率方程變化。由于被動調(diào)Q脈沖通常只有納秒量級，在脈沖期間可以不考慮抽運源的影響，研究連續(xù)脈沖的情況，需要考慮抽運速率、增益介質(zhì)的上能級壽命、可飽和吸收體的恢復(fù)時間等因素，得到下面考慮了可飽和吸收體激發(fā)態(tài)吸收的連續(xù)抽運被動調(diào)Q速率方程組為d©©dt廠r12nl-nl-2(nOn)1一(ln+6)gsgssessgssRdnnn=R(1-)-YQc©ndtpNtTadnnO-ngs=sgsqc©ndttgsgsgs©是激光腔中

5、光子數(shù)密度；n是增益介質(zhì)反轉(zhuǎn)粒子數(shù)密度；態(tài)粒子數(shù)密度，n是可飽和吸收體激發(fā)態(tài)粒子數(shù)密度es1)n是可飽和吸收體基gsn是可飽和I吸收體總0s粒子數(shù)密度；。和l分別是增益介質(zhì)的受激發(fā)射截面和長度；和。分別是可gses飽和吸收體基態(tài)和激發(fā)態(tài)的吸收截面；l是可飽和吸收體沿光腔軸線的長度；Rs是輸出鏡的反射率；6是激光器腔體的耗散性損挺；c是光速；工為光在腔中往r返一用的時間；丫是反轉(zhuǎn)因子，對于四能級系統(tǒng)為1三能級系統(tǒng)為2；R(t)是抽運速率；N是增益介質(zhì)的總粒子數(shù)密度；工是增益介質(zhì)的上能級壽命：t是可Tags飽和吸收體的恢復(fù)時間；為了接近實際所添加的因子(1-n/NT)。2. MATLAB中的ode

6、求解器一階常微分方程的初值，其一般形式為dt了農(nóng)”)，有大量的常微分方程、叫=人雖然從理論上講，其解是存在的，但我們卻無法求出其解析解，此時，我們需要尋求方程的數(shù)值解，在求常微分方程數(shù)值解方面，MATLAB具有豐富的函數(shù)，我們將其統(tǒng)稱為求解器(solver)，其一般格式為：T,Y二solver(odefx,t,yO)。該函數(shù)表示在區(qū)間t=tO,tf上，用初始條件yO求解顯式常微分方程。solver為命令ode45，ode23，ode113，ode15s，ode23s，ode231，ode23tb之一，這些命令各有特點。我們這里主要考慮的是常用的ode45求解器，其特點：1.ode45是最常用求

7、解微分方程數(shù)值解的命令，對于剛性方程組不宜采用。2.ode45求解器屬于變步長的一種，采用Runge-Kutta算法；和他采用相同算法的變步長求解器還有ode23。3.ode45表示采用四階，五階Runge-Kutta單步算法，截斷誤差為(Ax',解決的是非剛性常微分方程。4.ode45是解決數(shù)值解問題的首選方法，若長時間沒結(jié)果，應(yīng)該就是剛性的,可換用ode23試試。ode45函數(shù)的調(diào)用格式為T,Y=de45(odefun,tspan,yO,options),odefun是函數(shù)句柄，可以是函數(shù)文件名tspan是區(qū)間tOtf或者一系列散點t0,tl,.,tf,options是求解參數(shù)設(shè)置

8、，可以用odeset在計算前設(shè)定誤差，輸出參數(shù)等。3. 被動調(diào)Q速率方程組數(shù)值求解matlab中編程求解被動調(diào)Q的速率方程組，并作出光子數(shù)密度、反轉(zhuǎn)粒子數(shù)密度以及基態(tài)粒子數(shù)密度隨時間的變化的曲線，各物理量系數(shù)的典型取值下表。物理量典型值單位物理量典型值單位5.4X10-23m28.7X10-23m2gsG2.2X10-23m2lN1.68X1026m3esTnl1.82.n21.8080.02r1mmT750Us111mma1sT3UslY1gs速率方程組(M文件“rate_eq.m”)程序代碼：functiondy=rate_eq(t,y,flag,Rp,T0,R)sigma=5.4e-23

9、;%增益介質(zhì)的受激發(fā)射截面sigma_gs=8.7e-23;%可飽和吸收體基態(tài)的吸收截面sigma_es=2.2e-23;%可飽和吸收體激發(fā)態(tài)的吸收截面N_T=l.68e26;%增益介質(zhì)的總粒子數(shù)密度tao_a=750e-6;%增益介質(zhì)的上能級壽命tao_gs=3e-6;%可飽和吸收體的恢復(fù)時間nl=1.82;%Nd3+:YAG的折射率n2=1.80;%Cr4+:YAG的折射率delta=0.02;%激光器腔體的耗散性損耗l=0.001;%:f:曾1益介質(zhì)的長度ls=0.001;%可飽和吸收體沿光腔軸線的長度gamma=1;%反轉(zhuǎn)因子，對于四能級系統(tǒng)為1，三能級系統(tǒng)為2c=2.997963e8

10、;%真空中的光速lc=nl*l+n2*ls;%諧振腔等效光程長度tr=lc/c;%光在腔中往返一周的時間n0s=-log(T0)/(sigma_gs*ls);%求可飽和吸收體粒子數(shù)密度y(1)=max(y(1),1);%光子數(shù)密度的最小值%被動調(diào)Q稠合方程組：dy=y(1)*(2*sigma*y(2)*l-2*sigma_gs*y(3)*ls-2*sigma_es*.(n0s-y(3)*ls-(log(1/R)+delta)/tr;Rp*(1-y(2)/N_T)-gamma*sigma*c*y(1)*y(2)-y(2)/tao_a;(n0s-y(3)/tao_gs-sigma_gs*c*y(1

11、)*y(3);然后，在MATLAB中調(diào)用求解器ode45求解速率方程組(M文件“Qswitch.m”)程序代碼:%被動調(diào)Q速率方程數(shù)值求解clc%Clearcommandwindowclear%ClearvariablesandfunctionsfrommemorycloseallT0=0.7;%可飽和吸收體初始透射率R=0.8;%輸出鏡反射率Rp=2e28;%抽運速率y0=1;0;0;%設(shè)定初值tspan=00.05;%設(shè)定計算時間范圍tict,y=ode45('rate_eq',tspan,y0,Rp,T0,R);%解速率方程組(ode45常微分方程的數(shù)值求解)tocy(:

12、,1)=max(y(:,1),1);figuresubplot(3,1,1);plot(t,y(:,3);xlabel(時間(s)');ylabel('基態(tài)粒子數(shù)密度(m"-3)');figure%將光子數(shù)密度和反轉(zhuǎn)粒子數(shù)密度隨時間變化畫于同一圖中AX,H1,H2=plotyy(t,y(:,1),t,y(:,2);set(H2,'LineStyle','-')xlabel(時間(s)');set(get(AX(1),'Ylabel'),'String','光子數(shù)密度(m"-3)')set(get(AX(2),'Ylabel'),'String','反轉(zhuǎn)粒子數(shù)密度(m"-3)')程序運行可得被動調(diào)Q速率方程組的數(shù)值求解結(jié)果5時間(S)050X10250.010.020.03時間(