振動力學(xué)(梁的橫向振動)

1、彈性體的振動振動力學(xué)振動力學(xué)-彈性體的振動彈性體的振動梁的橫向振動梁的橫向振動 僅討論梁在主平面內(nèi)的平面彎曲振動。這種振僅討論梁在主平面內(nèi)的平面彎曲振動。這種振動只有當(dāng)梁存在主平面的情形才能發(fā)生，并符合材動只有當(dāng)梁存在主平面的情形才能發(fā)生，并符合材料力學(xué)中梁彎曲的小變形假設(shè)和平面假設(shè)。料力學(xué)中梁彎曲的小變形假設(shè)和平面假設(shè)。彈性體的振動1 1、運動微分方程、運動微分方程 在梁的主平面上取坐標(biāo)在梁的主平面上取坐標(biāo)xoz，原點位于梁的左端截，原點位于梁的左端截面的形心，面的形心，x軸與梁平衡時的軸線重合。假設(shè)梁在振軸與梁平衡時的軸線重合。假設(shè)梁在振動過程中，軸線上任一點的位移動過程中，軸線上任一點的

2、位移u(x,t)均沿均沿z軸軸方向。方向。彈性體的振動 取微段梁取微段梁dx，截，截面上的彎矩與剪力為面上的彎矩與剪力為M和和Q，其正負號的，其正負號的規(guī)定和材料力學(xué)一樣。規(guī)定和材料力學(xué)一樣。22QuQQdxfdxAdxxt 則微段梁則微段梁dx沿沿z方向的運動方程為：方向的運動方程為：彈性體的振動即即22QuAfxt 利用材料力學(xué)中的關(guān)系利用材料力學(xué)中的關(guān)系MQx22uMEIx222222uuEIAfxxt 得到梁的彎曲振動方程得到梁的彎曲振動方程彈性體的振動邊界條件邊界條件 和一維波動方程一樣，要使彎曲振動微分方程和一維波動方程一樣，要使彎曲振動微分方程成為定解問題，必需給出邊界條件和初始

3、條件。成為定解問題，必需給出邊界條件和初始條件。 梁的每一端必須給出兩個邊界條件梁的每一端必須給出兩個邊界條件(以左端為以左端為例例)。（1）固定端：撓度和轉(zhuǎn)角為）固定端：撓度和轉(zhuǎn)角為0，即，即0( , )(0, )0,0 xu x tutx彈性體的振動（2）簡支端：撓度和彎矩為）簡支端：撓度和彎矩為0，即，即220( , )(0, )0,0 xu x tutEIx（3）自由端：彎矩和剪力為）自由端：彎矩和剪力為0，即，即222200( , )( , )0,0 xxu x tu x tEIEIxxx其它邊界條件用類似的方法給出。其它邊界條件用類似的方法給出。彈性體的振動 2 2、梁彎曲自由振動

4、的解、梁彎曲自由振動的解令振動方程中的干擾力為令振動方程中的干擾力為0，得到，得到222222uuEIAxxt 對于均勻梁，振動方程為對于均勻梁，振動方程為其中其中422420uuaxtEIaA彈性體的振動假定有分離變量形式的解存在，令假定有分離變量形式的解存在，令( , )( ) ( )u x tx q t代入方程得到代入方程得到2222222( )( )( )( )dxd q taq txxdxdt 寫為寫為22222222( )( )( )( )dxd q txdxdtaxq t彈性體的振動則有則有222( )( )0d q tq tdt444( )( )dxxdx其中其中242a（稱為

5、特征方程）（稱為特征方程）彈性體的振動方程的通解為方程的通解為56( )sincosq tCtCt1234( )sincosshchxCxCxCxCx 由特征方程，利用邊界條件即可求出振型函數(shù)由特征方程，利用邊界條件即可求出振型函數(shù)F(x)和頻率方程，進一步確定系統(tǒng)的固有頻率和頻率方程，進一步確定系統(tǒng)的固有頻率wi。用。用四個邊界條件只能確定四個積分常數(shù)之間的比值。四個邊界條件只能確定四個積分常數(shù)之間的比值。 彈性體的振動【例例1】 求簡支梁彎曲振動的固有頻率與固有振型。求簡支梁彎曲振動的固有頻率與固有振型。220(0)0,0 xddx22( )0,0 x ldldx1234( )sincos

6、shchxCxCxCxCx代入特征方程的解代入特征方程的解22122234( )sincosshchxCxCxCxCx 以及以及解：邊界條件為撓度和彎矩為解：邊界條件為撓度和彎矩為0。彈性體的振動240,CC得到得到2213sinsh0ClCl以及以及224()0CC則則240CC13sinsh0ClCl則則30C 以及頻率方程以及頻率方程sin0l由此解得由此解得,(1,2)iiil彈性體的振動所以固有頻率所以固有頻率振型為振型為( )( )sinsiniiixCxCxl2222,(1,2)iiiEIailA 第第i階振型有階振型有i1個節(jié)點。節(jié)點坐標(biāo)個節(jié)點。節(jié)點坐標(biāo)kixkl即即,(1,2

7、1)kklxiki212EIlA2224E IlA2329EIlA彈性體的振動【例例2】求兩端固定梁彎曲振動的固有頻率與固有振型。求兩端固定梁彎曲振動的固有頻率與固有振型。(0)0,(0)0( )0,( )0ll代入特征方程的解得到代入特征方程的解得到240,CC以及以及13()0CC1234sincosshch0ClClClCl1243cossinshch0ClClClCl解：邊界條件為撓度和轉(zhuǎn)角為解：邊界條件為撓度和轉(zhuǎn)角為0，即，即彈性體的振動化簡后得到頻率方程化簡后得到頻率方程cosch1ll求得求得31CC 241sinshchc sllCCClol 求出求出 后得到固有頻率后得到固有

8、頻率22,(1,2)iiiEIaiA彈性體的振動振型為振型為1234( )sincosshchxCxCxCxCx1111sinshsincoschcossinsinhshchchcosllCxCxllllCxCxllsinshsinsh(cosch)chcosllCxxxxll彈性體的振動【例【例3】求左端固定、右端用剛度為求左端固定、右端用剛度為k的彈簧支承的的彈簧支承的 均勻梁彎曲振動的頻率方程。均勻梁彎曲振動的頻率方程。(0)0,(0)0解：左端的邊界條件為撓度和轉(zhuǎn)角為解：左端的邊界條件為撓度和轉(zhuǎn)角為0彈性體的振動(0)0,(0)0解：左端的邊界條件為撓度和轉(zhuǎn)角為解：左端的邊界條件為撓度

9、和轉(zhuǎn)角為0彈性體的振動右端的邊界條件：彎矩為右端的邊界條件：彎矩為0，剪力等于彈性力，剪力等于彈性力( )0l33( )x ldMdQEIqqkldxdx彈性體的振動1234( )sincosshchxCxCxCxCx代入特征方程的解代入特征方程的解以及以及22122234( )sincosshchxCxCxCxCx 1243( )cossinshchxCxCxCxCx( )0l33( )x ldMdQEIqqkldxdx彈性體的振動進一步化簡后得到頻率方程進一步化簡后得到頻率方程3chcos1chsincosshkllEIllll 求出求出 后得到固有頻率后得到固有頻率22,(1,2)iii

10、EIaiA振型為振型為1234( )sincosshchxCxCxCxCxsinshsinsh(cosch)chcosllCxxxxll彈性體的振動33123334( )cossinchshxCxCxCxCx 240,CC將邊界條件代入得到將邊界條件代入得到13()0CC1234sincosshch0ClClClCl33331234(cossinchsh)EIClClClCl1234(sincosshch)k ClClClCl求得求得31CC 241sinshchcosllCCCll 彈性體的振動討論：討論：（1）k0時，頻率方程變?yōu)闀r，頻率方程變?yōu)閏hcos10ll 即為懸臂梁的情況。即為懸

11、臂梁的情況。（2）k趨于無窮大時，頻率方程變?yōu)橼呌跓o窮大時，頻率方程變?yōu)閏hsincossh0llll或或tanthll即為左端固定，右端簡支的情況。即為左端固定，右端簡支的情況。彈性體的振動【思考題】【思考題】 證明圖示懸臂梁在證明圖示懸臂梁在xl處的邊界條件為：處的邊界條件為：202( , )( , )x lx lu x tu x tEIkxx 33( , )( , )x lu x tEIku l tx彈性體的振動關(guān)于振型函數(shù)的正交性關(guān)于振型函數(shù)的正交性 和一維波動方程振型函數(shù)的正交性類似。第和一維波動方程振型函數(shù)的正交性類似。第i階階特征值滿足特征值滿足22222( )( )( )( )

12、iiidxdEI xA xxdxdx 彈性體的振動 考慮邊界條件為簡支、自由、固定的情考慮邊界條件為簡支、自由、固定的情況，梁端點的位移、彎矩或剪力為況，梁端點的位移、彎矩或剪力為0，則，則對第對第j階振型進行上面類似的運算得：階振型進行上面類似的運算得：22220lijddEIdxdxdx22220ljiddEIdxdxdx20liijAdx 22220ljiddEIdxdxdx22220ljiddEIdxdxdx20ljijAdx 彈性體的振動用用 j左乘上式兩端，并積分左乘上式兩端，并積分22220222200lijlliijjddEIdxdxdxddddEIEIdxdxdxdxdx22

13、220022220lljiijljiddddEIEIdxdxdxdxddEIdxdxdx彈性體的振動上兩式相減得上兩式相減得則則220()0lijijAdx 00()lijAdxij ij時時0liiiAdxM 2222222200lliiiiidddEIdxEIdxMdxdxdx彈性體的振動梁在激勵力作用下的響應(yīng)梁在激勵力作用下的響應(yīng) 和一維波動方程一樣，用振型疊加法求響應(yīng)和一維波動方程一樣，用振型疊加法求響應(yīng)( )1( , )( )( )iiiu x tq tx1. 標(biāo)準坐標(biāo)（正則坐標(biāo)）標(biāo)準坐標(biāo)（正則坐標(biāo)） 對振型函數(shù)按下式條件正則化對振型函數(shù)按下式條件正則化01liiiAdxM 彈性體的

14、振動2. 對初始激勵的響應(yīng)對初始激勵的響應(yīng) 設(shè)初始條件為設(shè)初始條件為00( , )( )tu x tu xt0( ,0)( )u xux將其按標(biāo)準振型展開將其按標(biāo)準振型展開001( ,0)( )iiiu xuxq001( ,0)( )iiiu xuxq彈性體的振動用用 A j左乘上兩式，并積分得左乘上兩式，并積分得標(biāo)準坐標(biāo)下的初始激勵響應(yīng)標(biāo)準坐標(biāo)下的初始激勵響應(yīng)00001( ,0)llijiiiiqAdxqAu xdx 00001( ,0)llijiiiiqAdxqAu xdx 00( )cossiniiiiiiqq tqtt彈性體的振動物理坐標(biāo)下的響應(yīng)物理坐標(biāo)下的響應(yīng)001( , )( )c

15、ossiniiiiiiiqu x txqtt彈性體的振動響應(yīng)求解步驟響應(yīng)求解步驟：（1）根據(jù)邊界條件求解固有頻率和固有振型）根據(jù)邊界條件求解固有頻率和固有振型;（2）利用標(biāo)準化條件確定振型中的常數(shù)因子）利用標(biāo)準化條件確定振型中的常數(shù)因子;（3）將初始條件變換到標(biāo)準坐標(biāo)）將初始條件變換到標(biāo)準坐標(biāo);（4）求標(biāo)準坐標(biāo)下的響應(yīng)）求標(biāo)準坐標(biāo)下的響應(yīng);（5）求物理坐標(biāo)下的響應(yīng)。）求物理坐標(biāo)下的響應(yīng)。彈性體的振動【例【例4】長為長為l的均勻簡支梁初始靜止，設(shè)在的均勻簡支梁初始靜止，設(shè)在xx1處的處的微段微段d上有初始速度上有初始速度v，求系統(tǒng)對此初始條件的響應(yīng)。，求系統(tǒng)對此初始條件的響應(yīng)。 解：解： （1）

16、固有頻率與相應(yīng)的固有振型為）固有頻率與相應(yīng)的固有振型為2iiEIlA( )siniii xxCl（2）由正規(guī)化條件）由正規(guī)化條件 確定系數(shù)確定系數(shù)Ci0sinsin1liii xi xCA Cdxll01liiAdx彈性體的振動求得求得2iCAl2( )sinii xxAll所以所以（3）初始條件。按題意）初始條件。按題意110( ,0)0,220tvxxxuu xt彈性體的振動變換到主坐標(biāo)下變換到主坐標(biāo)下1100022( )2sinliixxqAux dxi xAvdxAll000( )0liiqAux dx1122sinsin22sini xAlivlilli xAvll00( )coss

17、iniiiiiiqq tqtt彈性體的振動3. 對外激勵的響應(yīng)對外激勵的響應(yīng)（1）分布干擾力）分布干擾力 設(shè)干擾力密度為設(shè)干擾力密度為f(x,t), 和前面桿的外激勵受迫振和前面桿的外激勵受迫振動響應(yīng)推動方法一樣。利用標(biāo)準化振型函數(shù)動響應(yīng)推動方法一樣。利用標(biāo)準化振型函數(shù)Fi，得到，得到標(biāo)準坐標(biāo)下的解耦方程標(biāo)準坐標(biāo)下的解耦方程20( , )liiiiqqf x ydx利用杜哈美積分得利用杜哈美積分得001( , )sin()ltiiiiqf xtd dx彈性體的振動（4）響應(yīng)）響應(yīng)1( , )( )( )iiiu x tq tx1121sinsinsiniiii xvi xtlll0012cos

18、sinsiniiiiiiqi xqttAll總響應(yīng)為總響應(yīng)為001( , )( , )sin()ltiiiiiu x tf xtd dx彈性體的振動（2）集中力）集中力 設(shè)在設(shè)在xx1處受集中力處受集中力F(t), 這時可以用這時可以用 函數(shù)表示函數(shù)表示為分布形式：為分布形式：F(x,t)dx (x-x1), 方程變?yōu)榉匠套優(yōu)?110( , ) ()() ( )liiiiiqqF x txxdxx F t總響應(yīng)為總響應(yīng)為101( )()( , )( )sin()tiiiiixxu x tFtd彈性體的振動（3）集中力偶（不推導(dǎo)，只給出結(jié)果）集中力偶（不推導(dǎo)，只給出結(jié)果） 設(shè)在設(shè)在xx1處受集中

19、力處受集中力M(t), 這時有這時有10()( )sin()tiiiixqMtd總響應(yīng)為總響應(yīng)為101( )()( , )( )sin()tiiiiixxu x tMtd彈性體的振動強迫振動的響應(yīng)求解步驟強迫振動的響應(yīng)求解步驟：（1）根據(jù)邊界條件求解固有頻率和固有振型）根據(jù)邊界條件求解固有頻率和固有振型;（2）利用正規(guī)化條件確定振型中的常數(shù)因子）利用正規(guī)化條件確定振型中的常數(shù)因子;（3）求主坐標(biāo)下的響應(yīng)）求主坐標(biāo)下的響應(yīng);（4）求廣義坐標(biāo)下的響應(yīng)。）求廣義坐標(biāo)下的響應(yīng)。彈性體的振動 解：（解：（1）固有頻率與相應(yīng)的固有振型為）固有頻率與相應(yīng)的固有振型為2iiEIlA( )siniii xxCl

20、（2）由正規(guī)化條件）由正規(guī)化條件 確定系數(shù)確定系數(shù)Ci0sinsin1liii xi xCA Cdxll01liiAdx【例【例5】設(shè)長為設(shè)長為l的簡支梁在的簡支梁在xa處受集中力處受集中力Fsin t作作用用, 求響應(yīng)。求響應(yīng)。求得求得2( )sinii xxAll彈性體的振動（3）響應(yīng)）響應(yīng)122121sinsinsinsiniiiii xFi xttAlll110122sinsinsinsinsin()iiitii xi xtAllAllFtd101( )()( , )( )sin()tiiiiixxu x tFtd彈性體的振動【例【例6】火車在很長的橋梁上通過，可以簡化為一均火車在很長的橋梁上通過，可以簡化為一均勻筒支梁受到以等速率勻筒支梁受到以等速率v向右運動的荷重向右運動的荷重P的作用。的作用。假設(shè)在初始時刻荷重位于梁的左端，試求強迫振動假設(shè)在初始時刻荷重位于梁的左端，試求強迫振動的響應(yīng)。的響應(yīng)。彈性體的振動 解：（解：（1）均勻簡支梁的固有頻率與相應(yīng)的固有