中考數(shù)學(xué)壓軸題十大題型含詳細(xì)答案

1、數(shù)學(xué)綜壓軸題是為考察考生綜合運(yùn)用知識的能力而設(shè)計(jì)的，集中體現(xiàn)知 識的綜合性和方法的綜合性，多數(shù)為函數(shù)型綜合題和幾何型綜合題。函數(shù)型綜合題：是給定直角坐標(biāo)系和幾何圖形，先求函數(shù)的解析式，再進(jìn)行圖形的研究， 求點(diǎn)的坐標(biāo)或研究圖形的某些性質(zhì)。求已知函數(shù)的解析式主要方法是待 定系數(shù)法，關(guān)鍵是求點(diǎn)的坐標(biāo)，而求點(diǎn)的坐標(biāo)基本方法是幾何法（圖形 法）和代數(shù)法（解析法）。幾何型綜合題：是先給定幾何圖形，根據(jù)已知條件進(jìn)行計(jì)算，然后有動(dòng)點(diǎn)（或動(dòng)線段） 運(yùn)動(dòng)，對應(yīng)產(chǎn)生線段、面積等的變化，求對應(yīng)的（未知）函數(shù)的解析式， 求函數(shù)的自變量的取值范圍，最后根據(jù)所求的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行探索研究。一般有：在什么條件下圖形是等腰三角形、

2、直角三角形，四邊形是平行 四邊形、菱形、梯形等，或探索兩個(gè)三角形滿足什么條件相似等，或探 究線段之間的數(shù)量、位置關(guān)系等，或探索面積之間滿足一定關(guān)系時(shí)求x 的值等，或直線（圓）與圓的相切時(shí)求自變量的值等。求未知函數(shù)解析 式的關(guān)鍵是列出包含自變量和因變量之間的等量關(guān)系（即列出含有X、y 的方程），變形寫成y = f （ x ）的形式。找等量關(guān)系的途徑在初中主要有利用勾股定理、平行線截得比例線段、 三角形相似、面積相等方法。求函數(shù)的自變量的取值范圍主要是尋找圖 形的特殊位置（極端位置）和根據(jù)解析式求解。而最后的探索問題千變 萬化，但少不了對圖形的分析和研究，用幾何和代數(shù)的方法求出x的值。解中考壓軸題

3、技能：中考壓軸題大多是以坐標(biāo)系為橋梁，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，通過建立點(diǎn)與 數(shù)即坐標(biāo)之間的對應(yīng)關(guān)系，一方面可用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì)， 另一方面又可借助幾何直觀，得到某些代數(shù)問題的解答。關(guān)鍵是掌握幾 種常用的數(shù)學(xué)思想方法。一是運(yùn)用函數(shù)與方程思想。以直線或拋物線知識為載體，列（解）方程 或方程組求其解析式、研究其性質(zhì)。二是運(yùn)用分類討論的思想。對問題 的條件或結(jié)論的多變性進(jìn)行考察和探究。三是運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)的思想。由已知向未知，由復(fù)雜向簡單的轉(zhuǎn)換。中考壓軸題它是對考生綜合能力 的一個(gè)全面考察，所涉及的知識面廣，所使用的數(shù)學(xué)思想方法也較全面。 因此，可把壓軸題分離為相對獨(dú)立而又單一的知識或方法組塊去思考

4、和 探究。解中考壓軸題技能技巧：一是對自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀況做一個(gè)完整的全面的認(rèn)識。根據(jù)自己的情況考 試的時(shí)候重心定位準(zhǔn)確，防止“撿芝麻丟西瓜”。所以，在心中一定要給 壓軸題或幾個(gè)“難點(diǎn)”一個(gè)時(shí)間上的限制，如果超過你設(shè)置的上限，必須要 停止，回頭認(rèn)真檢查前面的題，盡量要保證選擇、填空萬無一失，前面 的解答題盡可能的檢查一遍。二是解數(shù)學(xué)壓軸題做一問是一問。第一問對絕大多數(shù)同學(xué)來說，不是問 題；如果第一小問不會(huì)解，切忌不可輕易放棄第二小問。過程會(huì)多少寫 多少，因?yàn)閿?shù)學(xué)解答題是按步驟給分的，寫上去的東西必須要規(guī)范，字 跡要工整，布局要合理；過程會(huì)寫多少寫多少，但是不要說廢話，計(jì)算 中盡量回避非必求成分；盡

5、量多用幾何知識，少用代數(shù)計(jì)算，盡量用三 角函數(shù)，少在直角三角形中使用相似三角形的性質(zhì)。三是解數(shù)學(xué)壓軸題一般可以分為三個(gè)步驟。認(rèn)真審題，理解題意、探究 解題思路、正確解答。審題要全面審視題目的所有條件和答題要求，在 整體上把握試題的特點(diǎn)、結(jié)構(gòu)，以利于解題方法的選擇和解題步驟的設(shè) 計(jì)。解數(shù)學(xué)壓軸題要善于總結(jié)解數(shù)學(xué)壓軸題中所隱含的重要數(shù)學(xué)思想， 如轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想及方程的思想等。認(rèn)識條件 和結(jié)論之間的關(guān)系、圖形的幾何特征與數(shù)、式的數(shù)量、結(jié)構(gòu)特征的關(guān)系， 確定解題的思路和方法.當(dāng)思維受阻時(shí)，要及時(shí)調(diào)整思路和方法，并重 新審視題意，注意挖掘隱蔽的條件和內(nèi)在聯(lián)系，既要防止鉆牛角尖，又

6、要防止輕易放棄。中考壓軸題是為考察考生綜合運(yùn)用知識的能力而設(shè)計(jì)的題目，其特點(diǎn)是 知識點(diǎn)多，覆蓋面廣，條件隱蔽，關(guān)系復(fù)雜，思路難覓，解法靈活。所 以，解數(shù)學(xué)壓軸題，一要樹立必勝的信心，要做到：數(shù)形結(jié)合記心頭， 大題小作來轉(zhuǎn)化，潛在條件不能忘，化動(dòng)為靜多畫圖，分類討論要嚴(yán)密， 方程函數(shù)是工具，計(jì)算推理要嚴(yán)謹(jǐn)，創(chuàng)新品質(zhì)得提高。（4 ）在（3 ）中當(dāng)t為何值時(shí)，以0 , P , Q為頂點(diǎn)的三角形與"OAD相似？（直接寫出答案）蘇州中考題：（2015年蘇州）如圖，在矩形48。中，ADacm. AB二bcm （4）,半徑為2s的。在矩形內(nèi)且與AB、4。均相切.現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P 從V點(diǎn)出發(fā)，在矩形邊上沿

7、著4-8 的方向勻速移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)，到達(dá)。點(diǎn) 時(shí)停止移動(dòng)；。在矩形內(nèi)部沿幺。向右勻速平移，移動(dòng)到與。相切時(shí)立即沿 原路按原速返回，當(dāng)0。回到出發(fā)時(shí)的位置（即再次與48相切）時(shí)停止移動(dòng).已 知點(diǎn)。與O。同時(shí)開始移動(dòng)，同時(shí)停止移動(dòng)（即同時(shí)到達(dá)各自的終止位置）.（1）如圖，點(diǎn)。從4一丘全程共移動(dòng)了cm （用含義b的代 教式表示）；（2 ）如圖，己知點(diǎn)P從4點(diǎn)出發(fā)，移動(dòng)2$到達(dá)8點(diǎn),繼續(xù)移動(dòng)35,到達(dá) 8U的中點(diǎn).若點(diǎn)"與O 0的移動(dòng)速度相等，求在這5$時(shí)間內(nèi)圓心。移動(dòng)的距(3 )如圖,已知a=20 ,氏10 是否存在如下情形：當(dāng)O。到達(dá)。G的位置時(shí)(此時(shí)圓心Oi在矩形對角線8。上)，DP與。Q

8、恰好相切？請說明理由.二.幾何圖形的變換(平移、旋轉(zhuǎn).翻折)例2 .(遼寧省鐵嶺市)如圖所示，已知在直角栩形OABC中,AB OC. 8cL*軸于點(diǎn)C/(l, IN 8(3, 1) .動(dòng)點(diǎn)尸從。點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長度的速度移動(dòng).過戶點(diǎn)作做垂直于直線OA ,垂足為Q .設(shè)夕點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為r秒(0v k4), AOQQ與直角梯形8c重疊部分的面積為S.(1)求經(jīng)過o. 4 8三點(diǎn)的拋物線解析式;(2)求S與f的函數(shù)關(guān)系式；(3 )將 OQQ繞著點(diǎn)?順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，是否存在九使得 OPQ的頂點(diǎn)?；騋在拋物線上？若存在，直接寫出f的值；若不存在，請說明理由.變式練習(xí)：如圖1,在平面直

9、角坐標(biāo)系xOy中，直線I :y=：x + m與x軸.y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B ( 0 , 1),拋物線y=lx2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B ,且與直線I另一個(gè)交點(diǎn)為C(4,n).(1)求n的值和拋物線的解析式；(2)點(diǎn)。在拋物線上，且點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為七(0<1<4)2£|»軸交直線1于 點(diǎn)E ,點(diǎn)F在直線I上，且四邊形DFEG為矩形(如圖2 ).若矩形DFEG的周 長為P,求P與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的晶大值；(3 )M是平面內(nèi)一點(diǎn)相二AOB繞點(diǎn)M沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。后得到3式)再1, 點(diǎn)A、。、B的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A】、Oi、B若的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在 拋物線上，請直接寫出點(diǎn)A

10、1的橫坐標(biāo).蘇州中考題：(2014-2015學(xué)年第一學(xué)期期末高新區(qū))如圖1 ,在平面直角坐 標(biāo)系xOy中，直線/: y=:x + m與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(0 ,1), 拋物線y= ' x2 + bx + c經(jīng)過點(diǎn)B ,且與直線/的另一個(gè)交點(diǎn)為C(4, n).Q)求n的值和拋物線的解析式；(2)點(diǎn)D在拋物線上，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t(0<t<4) . DE II y軸交直線/于點(diǎn)變式練習(xí)：如圖1，直角梯形OABC中，BCllOA ,0A=6 ,BC=2 /BAO=450 .（1）OC的長為（2）D是OA上一點(diǎn)，以BD為直徑作。M, OM交AB于點(diǎn)Q.當(dāng)。M與y軸相切時(shí)，

11、sinzBOQ=（3 ）如圖2 ,動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度，從點(diǎn)。沿線段0A向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)D以相同的速度，從點(diǎn)B沿折線BC 。向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)P作直線PEllOC,與折線O B A交于點(diǎn)E .設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t （秒）.求當(dāng)以B、D. E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).蘇州中考題：（2013年,28題）如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD的對稱中心，AB = 10cm.BC = 12cm .點(diǎn)E , F , G分別從A , B , C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊 按逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度為lcm/s，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為3cm / s ,點(diǎn)G的

12、運(yùn)動(dòng)速度為1.5cm / s .當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C （即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合）時(shí)， 三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過程中，&EBF關(guān)于直線EF的對稱圖形是二EB F , 設(shè)點(diǎn)E, F.G運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t （單位：s）.四邊形的四條邊對應(yīng)相等(即這四條線段能構(gòu)成平i亍四邊形)？請說明理由.六,初中數(shù)學(xué)中的最值問題例6 . ( 2014海南)如圖,對稱軸為直線x=2的拋物線經(jīng)過A (1,0 ), C (0,5)兩點(diǎn)，與、軸另一交點(diǎn)為8.已知乂(0,1)/(己，0)了(3+1,0),點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動(dòng)點(diǎn).(1)求此拋物線的解析式；(2 )當(dāng)a = l時(shí)，求四邊形MEFP的面積的品大值，并求此時(shí)點(diǎn)

13、P的坐標(biāo)；(3 ) E-PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，求a為何值時(shí),四邊形PMEF 周長最小?請說明理由./相切于點(diǎn)A,點(diǎn)。是直徑48左側(cè)半圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)，作直線/的垂線，垂足為C %與。交于點(diǎn)。，連接月4、。6,設(shè)所的長為x(2<x<4).當(dāng)x =/時(shí)，求弦外、P8的長度；當(dāng)“為何值時(shí). PD CD的值最大？最大值是多少?七、定值的問題例7 .(湖南省株洲市)如囤，已知X6C為直角三角形，n4U8= 90° , AC= BC,點(diǎn)A、C在x軸上，點(diǎn)8的坐標(biāo)為(3 , m)(m> 0),線段48與夕軸相交 于點(diǎn)。，以氏1,0)為頂點(diǎn)的拋物線過點(diǎn)員D.(1)求點(diǎn)力

14、的坐標(biāo)(用m表示)；(2)求拋物線的解析式；(3 )設(shè)點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)夕至點(diǎn)8之間的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PQ并延長交8U于點(diǎn) E,連結(jié)時(shí)并延長交4U于點(diǎn)F,試證明：陽4c 田為定值.變式練習(xí)：(2012江蘇蘇州，28,9分)如圖，正方形48。的邊4。與矩形變式練習(xí)：如圖,已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A(1,O),B(3,0 )兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C ,拋物線的頂點(diǎn)為P ,連接AC .(1)求此拋物線的解析式；(2 )在拋物線上找一點(diǎn)D ,使得DC與AC垂直，且直線DC與x軸交于點(diǎn)Q , 求直線DC的解析式；(3 )拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)M ,使得S_map=2S_acp ?若存在，求出M

15、 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.十、其它（如新定義型題.面積問題等）:例10.定義：若拋物線的頂點(diǎn)與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形， 則這種拋物線就稱為：”美麗拋物線”.如圖，直線 ： y=ix+b經(jīng)過點(diǎn)m（ o, J）, 一組拋物線的頂點(diǎn) Bi（l,yi）,B2（2,y2）,B3（3,y3）,.Bn（n,yn） 4（n為正整數(shù)），依次是直線I上的點(diǎn)，這組拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)依次是：Ax（X，0）, A? （X2As（X3,0）"（, 0）（ n 為正整數(shù)）.若x產(chǎn) d （Ovdvl）,當(dāng) 1為（）時(shí)，這組拋物線中存在美麗拋物線.A .9或二 B 史或皂C 3或11D

16、.工12 1212 1212 1212變式練習(xí)：L在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+2x - 3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，（點(diǎn)A在 點(diǎn)B左側(cè)）.與y軸交于點(diǎn)C ,頂點(diǎn)為D ,直線CD與x軸交于點(diǎn)E .（1）請你畫出此拋物線，并求A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)；（2 ）將直線CD向左平移兩個(gè)單位，與拋物線交于點(diǎn)F（不與A、B兩點(diǎn)重合）, 請你求出F點(diǎn)坐標(biāo)；（3 ）在點(diǎn)B.點(diǎn)F之間的拋物線上有一點(diǎn)P ,使SBF的面積最大，求此時(shí)P 點(diǎn)坐標(biāo)及WBF的最大面積;（4 ）若平行于x軸的直線與拋物線交于G. H兩點(diǎn)，以GH為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑.（第2題）2.練習(xí)：（2015河池）我們將在直角坐標(biāo)系中圓

17、心坐標(biāo)和半徑均為整數(shù)的圓稱 為“整圓”.如圖，直線/ ：尸如+ 43與*軸、卜軸分別交于4 8/。4歷30。， 點(diǎn)，在牙軸上，。，與/相切，當(dāng)夕在線段04上運(yùn)動(dòng)時(shí)，使得。戶成為整圓的 點(diǎn)P個(gè)數(shù)是（）A . 6 B . 8 C . 10 D . 12.蘇州中考題：（2015年26題）如圖，已知2。是48U的角平分線,0。經(jīng) 過4 B、。三點(diǎn)，過點(diǎn)8作8£必。，交。于點(diǎn)£,連接£D.（1）求證：EDAC 2 ）若BD=2CD,設(shè)"8。的面積為，的面積 為S,且S：-16S+4 = 0 ，求48r的面積./ A 模擬試題：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，O M過

18、點(diǎn)。且與y軸、x軸分別 交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)M關(guān)于x軸 對稱，已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2, -2).(1)求拋物線的解析式；(2 )判斷直線0C與0 M的位置關(guān)系，并證明；(3 )若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線0C上的動(dòng)點(diǎn),判斷是否存在以點(diǎn) P、Q、A、。為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出相應(yīng)的Q點(diǎn) 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.參考答案：例1 .【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.【分析】(1)根據(jù)x等于零時(shí),可得C點(diǎn)坐標(biāo), 根據(jù)y等于零時(shí)，可得A、B的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線BC的斜率， 根據(jù)平行線的斜率相等，可得平?亍BC的直線的斜率，根據(jù)

19、直線與拋物線有一個(gè) 交點(diǎn)，可得直線與拋物線聯(lián)立所得的一元二次方程有一對相等的實(shí)數(shù)根，可得判 別式等于零；(2)根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線AD的解析式,根據(jù)E點(diǎn)在線段 AB上，可設(shè)出E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)EF II y軸，F(xiàn)在拋物線上，可得F點(diǎn)的坐標(biāo)，根 據(jù)兩點(diǎn)間的距離，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，可得答案.【分析】（1）將A的坐標(biāo)代入拋物線y=a（x-l）2+3V3（ a/0 ）可得a的值， 即可得到拋物線的解析式；（2 ）易得D的坐標(biāo)，過D作DN，OB于N ;進(jìn)而 可得DN、AN、AD的長，根據(jù)平行四邊形,直角梯形等腰梯形的性質(zhì)，用t 將其中的關(guān)系表示出來，并求解可得答案；（3 ）根據(jù)（2 ）的結(jié)

20、論，易得OCB 是等邊三角形，可得BQ、PE關(guān)于t的關(guān)系式，將四邊形的面積用t表示出來， 進(jìn)而分析可得最小值及此時(shí)t的值，進(jìn)而可求得PQ的長（4圻別利用當(dāng)AOD saOQP與當(dāng)'AOD-aOPQ ,得出對應(yīng)邊比值相等，進(jìn)而求出即可.【解答】解：（1） .拋物線y=a（x-l） 2+3V3（ a*0 ）經(jīng)過點(diǎn)A（ -2,0）,.0=9a+3,.a=-a,/.y= - （x - 1） 2+3 /3； 33（2 ） 后.D為拋物線的頂點(diǎn)D（ 1 3 C）過D作DN，OB于N貝ij DN=36,AN=3 ,二.AD:42+（冊）2=6，/DAO=60° . tOM ll AD ,當(dāng)A

21、D=OP時(shí)，四邊形DAOP是平行四邊形，. OP=6 r . t=6 .當(dāng)DP±OM時(shí)，四邊形DAOP是直角梯形，過O作OH ±AD于H ,AO=2 , 則 AH = 1 （如果沒求出/DAO=60?？捎?Rt 'OHAsRtADNA （求 AH = 1） /.OP=DH=5 , t=5 ,當(dāng)PD=OA時(shí)，四邊形DAOP是等腰梯形，易證：，AOH堡aCDP ,. .AH;CP , .-.OP=AD - 2AH=6 - 2=4, .t=4 .綜上所述：當(dāng)匕6、5、4時(shí)，對應(yīng)四邊形分別是平行四邊形、直角梯形、等腰 梯形；(1=a+b ,解得一所求拋物線解析式為y=-9+

22、與ll=9a+3b33方法二:/A (1.1),B(3,1),.拋物線的對稱軸是直線x=2 .設(shè)拋物線解析式為y=a ( x2 ) ?+h ( awO )把O ( 0,0 ), A (1, 1)代入2a=-得 ,解得所求拋物線解析式為y= - Mx-zy+g.l=a (1-2) 2+h忌33(2)分三種情況：當(dāng)0 v t<2 ,重疊部分的面積是S opq，過點(diǎn)A作AFx軸于點(diǎn)F , /A (1 ,1),.在 RbOAF 中，AF=OF=1 , zAOF=45°,在 RtOPQ 中，OP二t, zOPQ= zQOP=45° f. .PQ=OQ=tcos 45。=烏.S=

23、 222當(dāng)2 V y 3渡PQ交AB于點(diǎn)G作GH ±x軸于點(diǎn)H /OPQ=nQOP=45° ,則四邊形OAGP是等腰梯形，重疊部分的面積是S梯形oagp . . AG=FH = t- 2 , .".S=l( AG+OP) AF=l(t+t- 2) xl=t- 1 .22當(dāng)3 v t v 4 ,設(shè)PQ與AB交于點(diǎn)M ,交BC于點(diǎn)N ,重疊部分的面積是S五 邊形OAMNC APNC和ABMN都是等腰直角三角形，重疊部分的面積是S五螃0AMNC=S雌OABC ' S工 BMN B (3,1), OP=tf . .PC=CN=t-3 ,.S=(2+3 ) xl -

24、 1 ( 4 -1) 2 f S= 22-At2+4t - 11.22存在.當(dāng)。點(diǎn)在拋物線上時(shí)，將O （t, t）代入拋物線解析式，解得t=o （舍去）,t=1;當(dāng)Q點(diǎn)在拋物線上B寸，Q（垓t,學(xué)）代入拋物線解析式得t=0（舍去），t=2 .故【點(diǎn)評】本題是一道典型的綜合題，重點(diǎn)考查了二次函數(shù)的有關(guān)知識以及考生理解圖形的能力，難度較大.變式練習(xí)：解：(1) ,直線I ： y=x+m經(jīng)過點(diǎn)B ( 0 , - 1),.m= - 1，直 4線I的解析式為y=9c 1, .直線I ： y令-1經(jīng)過點(diǎn)C(4f n)r/.n=Jx4 444-1=2 , .拋物線 y= lx2+bx+c 經(jīng)過點(diǎn) C ( 4

25、,2 )和點(diǎn) B ( 0 , - 1),b=-.1）4，拋物線的解析式為y=y 務(wù)1 ；c=-1/ q(2 )令 y=0 ,則 / 1=0 ,解得 x = g , .點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(g , 0 ), . .OA; j ,在 Rt-i-OAB 中，OB=1,J。a2+ob2=(1) +1，':DE"y 軸，.二V 33zABO=zDEF ,在矩形 DFEG 中，EF=DEcosnDEF;DE竺二總DE , DF=DEAB 55in/DEF=DE2=WDE, AB 5.p=2 ( DF+EF) =2 ( 9+工)DE=-DE , 5 55點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t(0vtv4), 好冬1

26、), E(t, *1), 244/.DE=(乎 1) ( it2 - 1) = - t2+2t/ -P=-yx (-夢力)=-工&組， 55p= J(t2)2+W，且JvO, .當(dāng)t=2時(shí)，p有最大值號；5555(3) “ AOB繞點(diǎn)M沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。，二A01 (軸時(shí),BQ】H x軸,設(shè)點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為x,如圖1，點(diǎn)。1、B在拋物線上時(shí)，點(diǎn)Ch的橫坐標(biāo)為x，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x+1,/.x2-l=l(x+l)2- (x+1) .1,解得乂=2，24244如圖2，點(diǎn)A、Bi在拋物線上時(shí)，點(diǎn)Bi的橫坐標(biāo)為x+1 ,點(diǎn)Ai的縱坐標(biāo)比點(diǎn)Bi的縱坐標(biāo)大.¥ - 5x-l=l(x+l

27、)2-(x+l) 1+一解得 x= $ , 2424312綜上所述，點(diǎn)Ai的橫坐標(biāo)為(或 ± .(3)圖 1蘇州中考題：(略)例3.【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.【專題】壓軸題.【分析】(1)已知了頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可用頂點(diǎn)式來設(shè)二次函數(shù)的解析式如：y=a (x - 4) 2+k ,根據(jù)二次函數(shù)過點(diǎn)(0 ,上當(dāng))，可得出#=16a+k ;由于A、 B關(guān)于x=4對稱，且AB=6,不難得出A、B的坐標(biāo)為(1,0 ),(7,0),可將它們的坐標(biāo)代入解析式中即可求出a、k的值.(2 )本題的關(guān)糖是確定P的位鏤=鐺=4 . .DE=2 . /.EP=2 . .點(diǎn) E 的坐標(biāo)為(1,2). OC BC 2

28、當(dāng)nBED=90°時(shí)，玄圖 3 . .nDBE=OBC , nDEB=nBCO=90° , ."DBE-aOBC .BE= DB A BE= t aBE= ：/5t. . pEiiOC , .zOEP=zBOC .BC OB 2 2755. nOPE=nBCO=9(F , .OPEsaBCO .，堡二史./.OE= Vst. OB BC 275 2vOE+BE=OB=2 V5，媽 + 落=2遙.解得：t=至 ,.OP= g OE二型. 5333.PE= 7oE2-OP2=J .，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(耳，? OJ J當(dāng)nDBE=90°時(shí)，如圖 4 .此時(shí) PE=

29、PA=6 -1, OD=OC+BC - t=6 -1.則有 OD=PE , EA=7pP+pP=V2 ( 6 -1) =672 -亞.*.BE=BA - EA=4V2 - ( 6V2 -揚(yáng))='/2t - 2 /2 . PE11OD , OD=PE , nDOP=90° ,四邊形 ODEP 是矩形.-.DE=OP=t, DE 11OP .zBED=zBAO=45° .在 RtDBE 中，coszBED=里爽.DE= &BE . DE 2t=五（揚(yáng)-2&） =2t - 4 .解得：t=4 . .QP=4 , PE=6 4=2 點(diǎn) E的坐標(biāo)為（4,2 ）

30、.綜上所述：當(dāng)以B、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1,21【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角 函數(shù)的定義、平行線分線段成比例、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，還考 查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，有一定的綜合性.蘇州中考題：(1)2.5 ; (2)t=F或-14+2屈；(3)不存在。面積與相似：解：6( 6 0 ), 6(0,1);。乂區(qū)設(shè)存在這樣的點(diǎn)P,使得四邊形PCQ8的面積等于2b,且戶8U是以點(diǎn)P 為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形。設(shè)點(diǎn)"坐標(biāo)(*,卜)，連接OP,則S四瞬pcob = £pco+S,pob =3Q+Q.y =

31、 2b16.過 P作 QZ?_lx軸,在£1_卜軸,垂足分別為 D、E,:.kPEO=kEOD=cODP=90。.：. 四邊形是矩形.n£QP=90°. .fQ8C是等腰直角三角形，:.PC=PB, n8QG90°.n£"Gn BPD.=(x = .”月修，/6. ./£=PD,即“二由1 +16，解得：1y_j .由*/Y犯得EC = DB ,即與- J =。一學(xué)，解得。=冬 2符合跑意二點(diǎn)坐標(biāo)4/1616、為(#(3涸設(shè)存在這樣的點(diǎn)Q,使得二QU。、qQOA和 Q48中的任意兩個(gè)三角形均系，得出關(guān)于X , y的函數(shù)關(guān)系式

32、,根據(jù)關(guān)系式即可得出y的晶大值以及對應(yīng)的 x的值.(3)可分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)PQ是另一條直角邊，即nDPQ=90°時(shí)，由于/DPC=90°,且C在拋物線 上，因此C與Q重合，Q點(diǎn)的坐標(biāo)即為C點(diǎn)的坐標(biāo).當(dāng)DQ是另一條直角邊，即nPDQ=90。時(shí)，那么此時(shí)DQllPC.如果將PC 所在的直線向上平移兩個(gè)單位，即可得出此時(shí)DQ所在直線的解析式.然后聯(lián)立 直線DQ的解析式以及拋物線的解析式組成方程組，如果方程組無解，則說明不 存在這樣的Q點(diǎn)，如果方程組有解，那么方程組的解即為Q的坐標(biāo).綜合上述 兩種情況即可得出符合條件的Q的坐標(biāo).解：(1)由題意知，POC ,，、PAD為等腰直

33、角三角形，得P(3,0),C(0, 3), D(4,1),c=3 設(shè)過此三點(diǎn)的拋物線為y=ax2+bx+c ( afO ),則9a+3b+c=0 16a+4b+c=l.過P、c、D三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式為3+3.(2 )由已知PC平分/OPE , PD平分/APF ,且PE、PF重合，則/CPD=90" .nOPC+nAPD=90° ,又nAPD+nADP=90。，"OPC=nADP . . Rt-POC -Rt DAP .方法二：設(shè)過點(diǎn)A. B、C的拋物線的關(guān)系式為：y=a（x+l）（x4）將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：a= -1所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=-1xM

34、x+2 （表達(dá)式用三種形式中的任一種都不扣分）（2）當(dāng)3BDE是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)分別是：（3, ） , 4.!）， 25 5（4-隼，竿）.（注：符合條件的E點(diǎn)共有三個(gè),其坐標(biāo),寫對一個(gè)給1分）8DS 1 ,連接 OP , S*CDP=5 四邂 CODP SfCOD二S.COP+SODP * S±COD= X2n-X2n-ix2X2=m+n - 2=多2哮產(chǎn) 得（m-9）.當(dāng)m=細(xì)，4DP的面積顯大.此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（今），Scdp的最大 22 o值是手另解：如圖2、圖3,過點(diǎn)P作PFjlx軸于點(diǎn)F,則S-CDP=S 梯形 COFP _ SiCOD -S.%dfp= -1x

35、（2+n） m-1x2X2-1x |m-2|n=m+n - 2=4mHm= '2 T）2 嚕 “（9分）.當(dāng)m=期,-CDP的面積最大.此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，號），S cdp的最大值是浮 8（注：只回答有品大面積，而沒有說明理由的，不給分；點(diǎn)P的坐標(biāo)，或最大面積計(jì)算錯(cuò)誤的，扣（1分）；其他解法只要合理，酌情給分.）長 FP 交 BC于點(diǎn)G ,則 PG_LBC , P 點(diǎn)坐標(biāo)為(a , b ), PE=b , PF=a , PG=4 -a,利用矩形面積關(guān)系與二次函數(shù)的知識即可求得答案.【解答】解：(1)若nPAD=60。，«zPAB=30° , /AB 是直徑，.nA

36、PB=90° ,則在RtPAB中，PA=cos30°AB=2V3 , .當(dāng)PA的長度等于2近時(shí)，乙PAD=60°若PAD是等腰三角形，當(dāng)PA=PD時(shí)，此時(shí)P位于四邊形ABCD的中心，過點(diǎn)P作PE±AD于E ,作PM _LAB于M ,則四邊形EAMP是正方形,. .PM=PE= 1AB=2 ；. PM2=AM.BM=4 ；. AM+BM=4 /AM=2.PA=2衣 , 2當(dāng)PD=DA時(shí)，以點(diǎn)D為圓心，DA為半徑作圓與弧AB的交點(diǎn)為點(diǎn)P .連PD ,令A(yù)B中點(diǎn)為O ,再連DO , PO , DO交AP于點(diǎn)G ,則 ADO*PDO ,. .DO±AP

37、r AG=PG , . AP=2AG , R DA=2AO , zADG=zGAO ,.3=更=a,. AG=2OG，設(shè) AG 為 2x ,OG 為 x , 2x )2+x2=4AD AG 25.".AG=2x=華，.AP=竿.當(dāng)PA的長度等于2VM岑1時(shí)，WAD是等腰三角形；(2 )過點(diǎn)P分別作PE±AB , PF_LAD ,垂足分別為E , F延長FP交BC于點(diǎn)G ,則 PGjlBC, P 點(diǎn)坐標(biāo)為(a 點(diǎn))， .PE=b , PF=a , PG=4 a ,在中AD, WAB 及WBC中，Sx=2a , S2=2b , S3=8 - 2a , AB 為直徑 z /.zA

38、PB=90°, /.PE2=AE-BE，即b2=a ( 4 - a )f.2SxS3 - S22=4a ( 8 2a ) - 4b2= - 4a2+16a= -4(a-2) 2+16 ,.當(dāng) a=2 時(shí),b=2 , 2sls3 - S?有最大值 16 .(2 )若點(diǎn)P是邊EF或邊FG上的任意一點(diǎn),結(jié)論同樣成立，如圖，設(shè)P是邊EF上的任意一點(diǎn)，連接PM ,.點(diǎn)E(4,41 F(4,3)與點(diǎn)B(4,0)在一直線上，點(diǎn)(:在y軸上，<4,PC>4f. .PC > PB ,又.PD > PM > PB , PA> PM > PB , /.PBPA ,

39、 PB#PC , PBPD ,.此時(shí)線段PA PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形，i5 P是邊FG上的任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)G重合)，點(diǎn)F的坐標(biāo)是(4,3 ),點(diǎn)G的坐標(biāo)是(5,3 ),.FB=3 lGB=410,.3< PB<V10,vPC>4 , /.PC > PB ,又. PD > PM > PB , PA> PM > PB , /.PB/ PA , PB”C ,PB#PD ,. .此時(shí)線段PA、PB、PC. PD也不能構(gòu)成平行四邊形；(3 )存在一個(gè)正數(shù)a ,使得線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形， 如圖，丁點(diǎn)A、B是拋物線與x軸交

40、點(diǎn),點(diǎn)P在拋物線對稱軸上一:PA=PB , .當(dāng)PC = PD時(shí)，線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，,點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,8a ),點(diǎn)D的坐標(biāo)是(3 , a ),點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3, t), .-.PC2=32+ (t - 8a ) 2 , PD2= (t+a ) 2 ,由 PC=PD 得 PC2=PD2, . 32+ (t -8a ) 2= (t+a ) 整理得：7a2 - 2ta+l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，.二142t±V4t2 -28. t±Vt2 -7 «-,【點(diǎn)評】此題考查了正方形的性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)以及三角函數(shù)的性質(zhì)等知識.此 題綜合性很強(qiáng)

41、，解題時(shí)要注意教形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用.蘇州中考題“考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.【專題】壓軸題.【分析】(1 )本題需先求出拋物線與X軸交點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸，再根據(jù)nOAC=60。得出OC ,從而求出a.(2)本題需先分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)P是EF上任意 一點(diǎn)時(shí)，可得PC > PB ,從而得出PB#PA , PB”C , PB#PD，即可求出線段 PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形.(3 )本題需先得出PA=PB ,再由PC=PD ,列出關(guān)于t與a的方程，從而得出 a的值，即可求出答案.【解答】解：(1)令 y=0 ,由 a ( X? - 6x+8 ) =0 ,解得 x1=2 , x2=4

42、;令 x=0 ,解得y=8a,點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是(2,(H(4,0)(0,8a),該拋物線對稱軸為 直線x=3,- OA=2 ,如圖，設(shè)拋物線對稱軸與x軸的交點(diǎn)為M ,則AM = 1,由題意得：O A=OA=2 ,/.O,A=2AM r-.zO AM = 60e /.zOAC=zO AC=60° /.OC=2n3 即 8a=2遙,a二曲>或,t>3 一.顯然叫嘩三或3=,滿足題意，二當(dāng)t是一個(gè)大于3的常數(shù)時(shí)，存在兩個(gè)正數(shù)a= _叫H或a J 飛2 - 7 ,使得線段pA、pB pc PD能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形.【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合問題，在解題時(shí)要注意運(yùn)

43、用數(shù)形結(jié)合和分類討論，把二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和平行四邊形的判定相結(jié)合是本題的關(guān)鍵.例6.【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.【專題】代數(shù)幾何綜合題.【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2 ）首先求出四邊形MEFP 面積的表達(dá)式然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出品值及點(diǎn)P坐標(biāo)f 3網(wǎng)邊形PMEF 的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF最小,則PMEF的周長將 取得最小值.如答圖3所示，將點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位長度（EF的長度），得 M】（1, 1）;作點(diǎn)M】關(guān)于x軸的對稱點(diǎn),則M2 （ 1 , - 1 ）；連接PM?, 與X軸交于F點(diǎn)，此時(shí)ME+PF=PM?最小.【解答】解：（1） .對稱軸

44、為直線x=2，.設(shè)拋物線解析式為y=a（x-2）2+k. 將人（1,0）,（：（0,5）代入得：儼+仁0,解得-1,.夫.（乂.2） 4a+k=5k=9 2+9= - x2+4x+5 .作點(diǎn)Mi關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)Mz ,則M2 （1, - 1 ）；連接PM2,與x軸交于F 點(diǎn)，止匕時(shí)ME+PF=PM?最小.設(shè)直線PM?的解析式為戶mx+n，將P（2+&, 3）, M2（lf1）代入得:'（2+旄）時(shí)n=3 ,解得：皿=生應(yīng)T , n = - 處 , .-.y=.處.- 15555當(dāng)y=0時(shí)，解得x=2. .F（0）.-.a+l=, /.a=!l.4444. a二回時(shí)，四邊形PME

45、F周長最小. 4【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，第（1）問考查了待定系數(shù)法；第（2 ）問考 查了圖形面積計(jì)算以及二次函數(shù)的最值；第（3 ）問主要考查了軸對稱最短路 線的性質(zhì).試題計(jì)算量偏大，注意認(rèn)真計(jì)算.變式練習(xí)1）將A（ 0 ,1NB（ 1 ,0 ）坐標(biāo)代入y = ；/ +及+。C = 16得I , 解得 2 拋物線的解折式為 匕 + "。= °c = l1 2 3,-X X +1 © 22(2 )設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m ,則它的縱坐標(biāo)為- %» + 1即E點(diǎn)的坐標(biāo)（機(jī),"? + 1 ）又.點(diǎn)E在直線 =9 + 1上.1_1W + 1 = LW +

46、 1解得叫=0 （舍去），叫=4 ,，E的坐標(biāo)為（4,3）（I ）當(dāng)人為直角頂點(diǎn)時(shí)，過A作APJDE交x軸于Pi點(diǎn)，設(shè)PNa,。），易知D點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,0）,由Rt八AOD-RSPOA得：型=與即f，二a OA OP 1 a（口）同理，當(dāng)E為直角頂點(diǎn)時(shí),P2點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0 ）（m ）當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，過E作EF±x軸于F ,設(shè)P3 （以3 ）由nOPA+nFPE = 90° ,得nOPA二nFEPRtAOP-Rt PFEo 由票=與得土 = g解得 4=3 , b2 = 1 此時(shí)的點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（1,0）或（3,0）綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（：，。）或（1.0）

47、或（3,0）或（?， 220）（3 ）拋物線的對稱軸為丫 =三（9分）B、C關(guān)于x =對稱. .MC = MB22要使| WM-河。最大，即是使WH-A"最大。由三角形兩邊之差小于第三邊得，當(dāng)A、B、M在同一直線上時(shí)的值最大.M(易知直線AB的解折式為y = T + 1 .由蘇州中考題：解：0。與直線/相切于點(diǎn)48為。的直徑 ABU 文：PC1J. ;.ABPC. .2V=/%民 3為。0的直徑，.24尸8=90°.,.PCA=kAPB.：qPCA&APB.：& = 2，WPA2 = PC AB；：PC , t Ar AH2:.PA =*4 =癡.在 RK/

48、4P8中,由勾股定理得：PB = V16- 10 =瓜(2應(yīng)。作OE1.PD,垂足為£ .即是。的弦，OFLPD, .PfFD.在矩 形 0EG4中,C£= OA=2 rPE=ED=x- 2. :.CD = PC - PD = x - 2(x - 2)= 4 一 x./. P。 CO = 2(x - 2)(4 7)=- 2x2 + 12x - 16 =- 2(x-3)2 +2 . ： 2<x < 4 , . .當(dāng)無=3時(shí)，PDCD有最大值，最大值是2.例7 .【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題【專題】壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型.【分析】(1 )AO=AC - OC=m - 3，用線段的

49、長度表示點(diǎn)A的坐標(biāo);(2 )“ABC 是等腰直角三角形，./AOD也是等腰直角三角形，.QD=OA ,. .D( 0 ,m 3 ), 又P( 1,0 )為拋物線頂點(diǎn)，可設(shè)頂點(diǎn)式，求解析式；(3 )設(shè)Q( x , x?2x+l), 過Q點(diǎn)分別作x軸，y軸的垂線，運(yùn)用相似比求出FC、EC的長，而AC二m，代 入即可.【解答】(1)解：由B(3,m)可知OC=3 , BC=m ,又“ABC為等腰直角三 角形，.,.AC=BC=m , OA=m - 3，點(diǎn) A 的坐標(biāo)是(3 m , 0 ).(2 )解：. nODA=nOAD=45。，/.OD=OA=m 3 ,則點(diǎn) D 的坐標(biāo)是(0 , m 3).又拋

50、物線頂點(diǎn)為P (1,0 ),且過點(diǎn)B、D ,所以可設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x 1)2,拋物線的解析式為y=x2-2x+l;a (0-1 ) z=m-3聲4(3)證明：過點(diǎn)Q作QM_lAC于點(diǎn)M ,過點(diǎn)Q作QNj.BC于點(diǎn)N ,設(shè)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)是(x,x2-2x+1),則 QM=CN= (x-1)2/MC=QN=3-x.PEC , a.9! J! SP-EC PC.(X - 1) “ X- 1，得 EC=2(xl)，Y型即必京FC/ rc Bv rv qx+i又,AC=4 ,.FC( AC+EC ) = _L4+2( x - 1 ) = -£( 2x+2 ) = _Lx2x( x+1):tanCGO= , tanFGH , .-.=1? # :.OG=3m . OGHG OG HG:GF= Vgh2+HF2= 716m2+16 = 4Vm2+l，AD= VaI2+MD2= V9id2+9 = 3Vid2+1，如; W . .如二總.:.AD: GA: 4£=3 : 4 : 5 ,AD 3 AE 5. .以線段GF, AD.川£的長度為三邊長的三角形是直角三角形，此時(shí)G點(diǎn)的橫坐 標(biāo)為-3/n.本題考查了二次函數(shù)性質(zhì)、勾股定理及利用直角三角形性質(zhì)求解邊長等知識，總 體來說本題雖難度稍難，但問題之間的提示性較明顯，所以是一道質(zhì)量較高的題 目.例