考研數(shù)學(xué)一歷年真題完整版

1、2000年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)馮2x-x2dx=.0(2)曲面X2+2y2+3z2二21在點(diǎn)(1,-2,-2)的法線方程為.(3)微分方程xy"+3y'二0的通解為12(4)已知方程組231a(5)設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件A和B都不發(fā)生的概率為1,A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，則P(A)=二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)設(shè)f(x)、g(x)是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且f&#

2、39;(x)g(x)-f(x)g'(x)<0,則當(dāng)a<x<b時(shí)，有(A)f(x)g(b)>f(b)g(x)(B)f(x)g(a)>f(a)g(x)(C)f(x)g(x)>f(b)g(b)(D)f(x)g(x)>f(a)g(a)設(shè)S:x2+y2+z2=a2(z>0),S】為S在第一卦限中的部分，則有(A) JJxdS=4JJxdS(B)JJydS=4JJxdS(C)JJzdS=4JJxdS(D)JJxyzdS=4JJxyzdSSS1SS1(3)設(shè)級(jí)數(shù)£u收斂，則必收斂的級(jí)數(shù)為n=1(A)才(-1)nn=1(B)乞u2nn=1(C)

3、無(u-u)2n-12nn=1(D)區(qū)(u+u)nn+1n=1(4)設(shè)n維列向量組a，,a(m<n)線性無關(guān)，則n維列向量組卩，,卩線性無關(guān)的充1m1m分必要條件為(A)向量組a,a可由向量組卩，,卩線性表示1m1m(B)向量組卩，,卩可由向量組a,a線性表示1m1m(C)向量組a,a與向量組卩，,卩等價(jià)1m1m(D)矩陣A=(a,a)與矩陣B=(卩，,卩)等價(jià)1m1m(5)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則隨機(jī)變量=X+Y與耳=X-Y不相關(guān)的充分必要條件為(A) E(X)=E(Y)(B) E(X2)-E(X)2=E(Y2)-E(Y)2(C) E(X2)=E(Y2)(D) E(

4、X2)+E(X)2=E(Y2)+E(Y)2三、(本題滿分6分)求lim(xfg2+e:41+exsinx+).X四、(本題滿分5分)XxQ2z設(shè)z=f(xy,)+g()，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求yyQxQy五、(本題滿分6分)計(jì)算曲線積分1?xl2晉，其中L是以點(diǎn)（1,0）為中心，R為半徑的圓周（R>1），取逆時(shí)針方向.六、（本題滿分7分）設(shè)對(duì)于半空間x>0內(nèi)任意的光滑有向封閉曲面S,都有抵xf（x）dydz-xyf（x）dzdx-e2xzdxdy=0,其中函數(shù)f（x）在（0,+a）內(nèi)具有連續(xù)的一階S導(dǎo)數(shù)，且limf（x）=1,求f（x）.xTo+七、（本題

5、滿分6分）求幕級(jí)數(shù)£7的收斂區(qū)間，并討論該區(qū)間端點(diǎn)處的收斂性.3n+（-2）nnn=1八、（本題滿分7分）設(shè)有一半徑為R的球體,p是此球的表面上的一個(gè)定點(diǎn)，球體上任一點(diǎn)的密度與該點(diǎn)到P距離的平方成正比（比例常數(shù)k>0），求球體的重心位置.九、（本題滿分6分）設(shè)函數(shù)f（x）在0,兀上連續(xù)，且卜f（x）dx=0,卜f（x）cosxdx=0試證:在（0,兀）內(nèi)至00少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)勺,2,使f（勺）=f（勺）=0-十、（本題滿分6分）"1100010，且ABA-1=BA-1+3E，其中E為4階單=0設(shè)矩陣A的伴隨矩陣A*=1-308位矩陣，求矩陣B.十一、（本題滿分8分）

6、某適應(yīng)性生產(chǎn)線每年1月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計(jì),然后將1熟練工支援其6他生產(chǎn)部門,其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊.新、老非熟練工經(jīng)過培訓(xùn)及實(shí)踐至年終考核有2成為熟練工.設(shè)第n年1月份統(tǒng)計(jì)的熟練工與非熟練工所占百分比分別為x和y,記成向5nn(x、(1)求，x'x'n+1與n1爲(wèi)丿iyn丿n的關(guān)系式并寫成矩陣形式:n+1yn+1驗(yàn)證*二r4-111丿,1=I1丿是A的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，并求出相應(yīng)的特征值.(3)當(dāng)(12112丿時(shí)，求n+1iyn+1十二、(本題滿分8分)某流水線上每個(gè)產(chǎn)品不合格的概率為p(0<p<1),各產(chǎn)品合格與否相對(duì)獨(dú)立,當(dāng)出現(xiàn)1個(gè)不合

7、格產(chǎn)品時(shí)即停機(jī)檢修設(shè)開機(jī)后第1次停機(jī)時(shí)已生產(chǎn)了的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X).十三、(本題滿分6分)c2e-2(x-0)x>0設(shè)某種元件的使用壽命X的概率密度為f(x;0)彳，其中0>0為未知10x<0參數(shù)又設(shè)x1，J,»是X的一組樣本觀測(cè)值,求參數(shù)0的最大似然估計(jì)值.2001年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分把答案填在題中橫線上)(1) 設(shè)y二ex(asinx+bcosx)(a,b為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解，則該方程為.(2) r=Jx2+y2+z2,則div(gr

8、adr)=.'(1,-2,2)(3) 交換二次積分的積分次序:0dyj1-yf(x,y)dx=.-12(4) 設(shè)A2+A4E=O,則(A2E)-1=.D(X)二2,則根據(jù)車貝曉夫不等式有估計(jì)PXE(X)|>2<.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo),y二f(x)的圖形如右圖所示，則y二f'(x)的圖形為xy(A)dzI=3dx+dy(0,0)丿(B) 曲面z二f(x,y)在(0,0,f(0,0)處的法向量為3丄1(C) 曲線yf(兀y)在(0

9、,0,f(0,0)處的切向量為1,0,3(D) 曲線；：f(X,y)在(0,0,f(0,0)處的切向量為3,0,1(3)設(shè)f(0)=0則f(x)在x=0處可導(dǎo)o(C)limf(h-Sinh)存在hT0h2r1111r400設(shè)A=1111,B=000111100011111J、000(A)合同且相似(A)lim存在hT0h2(C)不合同但相似(B)limf(：e町存在hT0hf(2h)-f(h)八/(D)lim存在hT0h0、0，則A與B00丿(B)合同但不相似(D)不合同且不相似(5)將一枚硬幣重復(fù)擲n次，以X和Y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則X和Y(B)0(D)1相關(guān)系數(shù)為(A) -1

10、1(C)2三、(本題滿分6分)arctanex求Jdx.e2x四、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(1,1)可微,且df(1,1)=1,廣(1,1)=2,ff(1,1)=3,申(x)二f(x,f(x,x),求申3(x).xydxx=1五、(本題滿分8分)1-4n2的和.1 +x2十0設(shè)f(x)彳arctanxx豐0,將f(x)展開成x的幕級(jí)數(shù)，并求£Jx=0n=1六、(本題滿分7分)計(jì)算I=6(y2-z2)dx+(2z2-x2)dy+(3x2-y2)dz,其中L是平面x+y+z=2與L柱面|x|+|y|=1的交線，從Z軸正向看去,L為逆時(shí)針方向.七、(本題滿分7分)設(shè)f(x

11、)在(-1,1)內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且f(x)豐0.證明:對(duì)于Vxe(-1,0)(0,1),存在惟一的0(x)e(0,1),使f(x)=f(0)+xf迪(x)x)成(2)lim0(x)=0.5.xT0八、(本題滿分8分)設(shè)有一高度為h(t)(t為時(shí)間)的雪堆在融化過程,其側(cè)面滿足方程2(x2+y2)z=h(t)-(設(shè)長(zhǎng)度單位為厘米，時(shí)間單位為小時(shí))，已知體積減少的速率與側(cè)面積h(t)成正比(系數(shù)為0.9),問高度為130厘米的雪堆全部融化需多少時(shí)間?九、(本題滿分6分)設(shè)a,a，,a為線性方程組AX=O的一個(gè)基礎(chǔ)解系，12s卩=ta+1a,卩=ta+1a，卩=ta+1a,1112221223s1

12、s21其中t,t為實(shí)常數(shù)，試問t,t滿足什么條件時(shí)卩,卩，,卩也為AX=O的一個(gè)基礎(chǔ)解系？121212s十、(本題滿分8分)已知三階矩陣A和三維向量x，使得x,Ax,A2x線性無關(guān),且滿足A3x=3Ax-2A2x.記P=(x,Ax,A2x),求B使A=PBP-1.計(jì)算行列式A+E.十一、(本題滿分7分)設(shè)某班車起點(diǎn)站上客人數(shù)X服從參數(shù)為九(九0)的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為p(0<p<1),且中途下車與否相互獨(dú)立.Y為中途下車的人數(shù)，求：(1) 在發(fā)車時(shí)有n個(gè)乘客的條件下,中途有m人下車的概率.(2) 二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布.十二、(本題滿分7分)設(shè)XN(卩Q2

13、)抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本X,X，,X(n>2),122n樣本均值X二2niin+ii=1i=12002年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)J+8dxexln2x(2)已知ey+6xy+x2-1二0，貝yy"(0)=.1yy"+y'2二0滿足初始條件y(0)二1,y'(o)二-的特解是(4)已知實(shí)二次型f(x,x,x)=a(x2+x2+x2)+4xx+4xx+4xx經(jīng)正交變換123123121323可化為標(biāo)準(zhǔn)型f=6y2，則a=.設(shè)隨機(jī)變量XN(卩Q2),且二次方程y2+4y+

14、X=0無實(shí)根的概率為0.5,則R.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)考慮二元函數(shù)f(x,y)的四條性質(zhì)：f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處連續(xù)，f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),0000f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微，f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的一階偏導(dǎo)數(shù)存在.0000則有：(A)=(B)=(C)=(D)=n11(2)設(shè)u豐0,且lim=則級(jí)數(shù)工(-1)n+1(+)為nnTsUn(A)發(fā)散(C)條件收斂(3)設(shè)函數(shù)f(x)在R+上有界且可導(dǎo)，則(A)當(dāng)limf(x)=0時(shí)，必有l(wèi)im

15、f'(x)=0xT+8xT+8limf'(x)=0xT+8(C)當(dāng)limf(x)=0時(shí)，必有l(wèi)imf'(x)=0x0+x0+uunn+1(B)絕對(duì)收斂(D)收斂性不能判定.(B)當(dāng)limf(x)存在時(shí),必有xT+8(D)當(dāng)limf(x)存在時(shí),必有x0+limf(x)二0.x0+(4)設(shè)有三張不同平面，其方程為ax+by+cz二d(i二1,2,3)它們所組成的線性方程iiii組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都為2,則這三張平面可能的位置關(guān)系為(5)設(shè)X和Y是相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的密度函數(shù)分別為fx(x)和f(y)，分布函數(shù)分別為F(x)和F(y)，則XY(A)f(x

16、)+f(y)必為密度函數(shù)(B)f(x)f(y)必為密度函數(shù)XYXY(C)F(x)+F(y)必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)(D)F(x)F(y)必為某一隨機(jī)變XYXY量的分布函數(shù).三、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)/(x)在x=0的某鄰域具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且/(0)f'(0)豐0,當(dāng)hT0時(shí),若af(h)+bf(2h)-/(0)二o(h)，試求a,b的值.四、(本題滿分7分)已知兩曲線y二f(x)與y=farctanxe-t2dt在點(diǎn)(0,0)處的切線相同求此切線的方程，并0求極限limnf(-).n*n五、(本題滿分7分)計(jì)算二重積分emaxx2,y2dxdy，其中D=(x,y)I0<x&l

17、t;1,0<y<1.D六、(本題滿分8分)設(shè)函數(shù)f(x)在R上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),L是上半平面(y>0)內(nèi)的有向分段光滑曲線，起點(diǎn)為(a,b)，終點(diǎn)為(c,d).1x記I二J一1+y2f(xy)dx+一y2f(xy)-1dy,yy2(1)證明曲線積分I與路徑L無關(guān).當(dāng)ab=cd時(shí)，求I的值.七、(本題滿分7分)EX3n(X<+8)滿足微分方程y+y+y=ex.(3n)!n=0EX3n的和函數(shù).(3n)!n=0八、(本題滿分7分)設(shè)有一小山，取它的底面所在的平面為xoy面，其底部所占的區(qū)域?yàn)镈=(x,y)Ix2+y2-xy<75，小山的高度函數(shù)為h(x,y)=75x2

18、-y2+xy.(1)設(shè)M(x0,yJ為區(qū)域D上一點(diǎn)，問h(x,y)在該點(diǎn)沿平面上何方向的方向?qū)?shù)最大?若此方向的方向?qū)?shù)為g(x,y)，寫出g(x,y)的表達(dá)式.0000(2)現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動(dòng),為此需要在山腳下尋找一山坡最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn)也就是說要在D的邊界線上找出使(1)中g(shù)(x,y)達(dá)到最大值的點(diǎn)試確定攀登起點(diǎn)的位置.九、(本題滿分6分)已知四階方陣A=(a,a,a,a),a,a,a,a均為四維列向量,其中a,a,a線性12341234234無關(guān),a=2a-a.若卩=a+a+a+a，求線性方程組Ax=卩的通解.1231234十、(本題滿分8分)設(shè)A,B為同階方陣,(1)若A,

19、B相似，證明A,B的特征多項(xiàng)式相等.(2)舉一個(gè)二階方陣的例子說明(1)的逆命題不成立.(3)當(dāng)A,B為實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí),證明(1)的逆命題成立.十一、(本題滿分7分)設(shè)維隨機(jī)變量X的概率密度為0<X<X其它1 xcosf(X)二22峙0兀對(duì)X獨(dú)立地重復(fù)觀察4次，用Y表示觀察值大于一的次數(shù)，求Y2的數(shù)學(xué)期望.3十二、（本題滿分7分）設(shè)總體X的概率分布為X0123P9220(1-9)021-20其中o（o<9<2）是未知參數(shù)，利用總體X的如下樣本值3，1，3，0，3，1，2，3.求9的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)值.2003年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共

20、6小題,每小題4分，滿分24分把答案填在題中橫線上)1(l)lim(cosx)ln(l+x2=.xtO曲面z二x2+y2與平面2x+4y-z二0平行的切平面的方程設(shè)x2=蘭acosnx(一兀<x<兀)，貝0an2n=0(11(11(11<0丿,a=<-1>到基p=丄,p=<2丿212的過渡矩陣為.從R2的基巴=設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)二PX+Y<1二(6)已知一批零件的長(zhǎng)度X(單位:cm)服從正態(tài)分布N(r,1),從中隨機(jī)地抽取16個(gè)零件,得到長(zhǎng)度的平均值為40(cm),則卩的置信度為0.95的置信區(qū)間是.(注:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)

21、值(1.96)=0.975,(1.645)=0.95.)二、選擇題(本題共6小題,每小題4分，滿分24分每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)設(shè)函數(shù)f(x)在(g,+w)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x)有(A) 個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)(B) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)(C) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)=0,limbnnT8=1,limc=g，則必有nnTg(D) 三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)設(shè)a,b,c均為非負(fù)數(shù)列，且limannnnnT8(A)a<b對(duì)任意n成立nn(B)b<c對(duì)任意n成立nn(C)極限limac不存在nn

22、nTg(D)極限limbc不存在nnnTg(3)已知函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且limf(兀y)巧=1,則xT0,yt0(x2+y2)2(A) 點(diǎn)(0,0)不是f(x,y)的極值點(diǎn)(B) 點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極大值點(diǎn)(C) 點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極小值點(diǎn)(D)根據(jù)所給條件無法判斷點(diǎn)(0,0)是否為f(x,y)的極值點(diǎn)設(shè)向量組I：a,a，,a可由向量組II：卩,卩，,卩線性表示，則12r12s(A)當(dāng)r<s時(shí),向量組II必線性相關(guān)(B)當(dāng)r>s時(shí),向量組II必線性相關(guān)(C)當(dāng)r<s時(shí),向量組I必線性相關(guān)(D)當(dāng)r>s時(shí),向量組I必線性相

23、關(guān)(5)設(shè)有齊次線性方程組Ax=0和Bx=0,其中A,B均為mxn矩陣，現(xiàn)有4個(gè)命題： 若Ax=0的解均是Bx=0的解，則秩(A)>秩(B) 若秩(A)>秩(B)，則Ax=0的解均是Bx=0的解 若Ax=0與Bx=0同解，則秩(A)=秩(B) 若秩(A)=秩(B),則Ax=0與Bx=0同解以上命題中正確的是(A)(B)(C)(D)(6)設(shè)隨機(jī)變量Xt(n)(n>1),Y=-，則X2(A)Yx2(n)(B)Y兀2(n-1)(D)YF(1,n)(C)YF(n,1)三、(本題滿分10分)過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=lnx的切線，該切線與曲線y=lnx及x軸圍成平面圖形D.求D的面積A.(2

24、)求D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.四、(本題滿分12分)將函數(shù)f(x)=arctan|-x展開成x的幕級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)丄的和.1+2x2n+1五、(本題滿分10分)已知平面區(qū)域D=(x,y)|0<xS,0<yS,L為D的正向邊界.試證：(1) 1xesinydyye-sinxdx=xe-sinydyyesinxdx.LL(2) 1xesinydyyesinxdx>2兀2.L六、(本題滿分10分)某建筑工程打地基時(shí),需用汽錘將樁打進(jìn)土層.汽錘每次擊打,都將克服土層對(duì)樁的阻力而作功.設(shè)土層對(duì)樁的阻力的大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比(比例系數(shù)為k.k>0).汽錘第一

25、次擊打?qū)洞蜻M(jìn)地下am.根據(jù)設(shè)計(jì)方案，要求汽錘每次擊打樁時(shí)所作的功與前一次擊打時(shí)所作的功之比為常數(shù)r(0<r<1).問(1) 汽錘擊打樁3次后,可將樁打進(jìn)地下多深?(2) 若擊打次數(shù)不限,汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深?(注:m表示長(zhǎng)度單位米.)七、(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)y=y(x)在(g,+力)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且y'豐0,x=x(y)是y=y(x)的反函數(shù).d2xdx(1) 試將x=x(y)所滿足的微分方程+(y+sinx)()3=0變換為y=y(x)滿足dy2dy的微分方程.3(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)=0,y'(0)=2的解.八、(本題滿分1

26、2分)設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)且恒大于零，JJJf(x2+y2+z2)dvJJf(x2+y2)deF(t)=,G(t)=JJf(x2+y2)亦Jtf(x2)dxD(t)1其中Q(t)=(x,y,z)x2+y2+z2<t2,D(t)=(x,y)x2+y2<t2.(1) 討論F(t)在區(qū)間(0,+g)內(nèi)的單調(diào)性.2(2) 證明當(dāng)t>0時(shí),F(t)>G(t).九、(本題滿分10分)32設(shè)矩陣A二232201,B=P-1A*P，求B+2E的特征值與特征向量,1其中A*為A的伴隨矩陣,E為3階單位矩陣.十、(本題滿分8分)已知平面上三條不同直線的方程分別為I】：ax+2by+3c=0,

27、12:bx+2cy+3a=0,1:cx+2ay+3b=0.3試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為a+b+c=0.十一、(本題滿分10分)已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品,其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品,乙箱中僅裝有3件合格品.從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后,求:(1) 乙箱中次品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望.(2) 從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率.十二、(本題滿分8分)設(shè)總體X的概率密度為2e-2(x-0)x>0f(x)=“0x<0其中0>0是未知參數(shù).從總體X中抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本X,X,X,記12n0=min(X,X，,X).12n(1) 求總體X的分布函數(shù)F(x).(2) 求統(tǒng)計(jì)量“

28、的分布函數(shù)F(x).02004 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)(1) 曲線y=Inx上與直線x+y=1垂直的切線方程為.(2) 已知f'(ex)二xe-x，且f二0，則/(x)=.(3) 設(shè)L為正向圓周x2+y2二2在第一象限中的部分，則曲線積分Ixdy-2ydx的值L為.(4) 歐拉方程x2+4xdy+2y=0(x>0)的通解為.dx2dx"210_設(shè)矩陣A二120,矩陣B滿足ABA*=2BA*+E,其中A*為A的伴隨矩001陣,E是單位矩陣，則|B=.(6)設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為九的

29、指數(shù)分布，則PX>DX=.二、選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(7)把xT0+時(shí)的無窮小量a=Ixcos12dt,P=Ix2tanftdt,y=Ixsin13dt，使排在后000面的是前一個(gè)的高階無窮小,則正確的排列次序是(A)a,卩,y(B)a,y,卩(D)卩,y,a(C)卩,a,y(8) 設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且f'(0)>0,則存在8>0,使得(A)f(x)在(0,8)內(nèi)單調(diào)增加(B)f(x)在(-8,0)內(nèi)單調(diào)減少(C)對(duì)任意的xe(0,8)有f(x)>f(0)(

30、D)對(duì)任意的xe(一8,0)有f(x)>f(0)(9) 設(shè)£a為正項(xiàng)級(jí)數(shù),下列結(jié)論中正確的是nn=1(C)u(D)U1-a(A)若limna=0,則級(jí)數(shù)乙a收斂nnns.n=1(B)若存在非零常數(shù)九，使得limna=X，則級(jí)數(shù)藝a發(fā)散nnnT8n=1(C)若級(jí)數(shù)乙a收斂，則limna=0nn.nsn=1(D)若級(jí)數(shù)藝a發(fā)散，則存在非零常數(shù)九，使得limna=XnnnT8n=1(10)設(shè)f(X)為連續(xù)函數(shù),F(t)="dy"f(x)dx,則F'(2)等于1y(A)2f(2)(B)f(2)(C)-f(D)0(11)設(shè)A是3階方陣，將A的第1列與第2列交換

31、得B，再把B的第2列加到第3列得C,則滿足AQ=C的可逆矩陣Q為010"010"(A)100(B)101101001010"011"(C)100(D)100011001(12)設(shè)A,B為滿足AB=O的任意兩個(gè)非零矩陣，則必有(A) A的列向量組線性相關(guān),B的行向量組線性相關(guān)(B) A的列向量組線性相關(guān),B的列向量組線性相關(guān)(C) A的行向量組線性相關(guān),B的行向量組線性相關(guān)(D) A的行向量組線性相關(guān),B的列向量組線性相關(guān)(13)設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1),對(duì)給定的a(0<a<1),數(shù)%滿足PX>ua=a，若p|X|<x=

32、a，則x等于(B)u(A)uaig2(14)設(shè)隨機(jī)變量X,X,X(n>1)獨(dú)立同分布，且其方差為b2>0.令12nY二-£X，則nii=1b2(A)Cov(X,Y)=-1n(B)Cov(X，Y)=b2n+2(C)D(X+Y)=b21nn+1(D)D(X-Y)=b21n三、解答題(本題共9小題,滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(15) (本題滿分12分)4設(shè)e<a<b<e2,證明ln2b一ln2a>(b一a).e2(16) (本題滿分11分)某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降落時(shí)，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機(jī)尾部張開減速傘，以增大阻力，使飛

33、機(jī)迅速減速并停下.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī)，著陸時(shí)的水平速度為700km/h經(jīng)測(cè)試，減速傘打開后，飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比(比例系數(shù)為k=6.0x106)問從著陸點(diǎn)算起，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離是多少?(注:kg表示千克,km/h表示千米/小時(shí))(17) (本題滿分12分)計(jì)算曲面積分I=K2x3dydz+2y3dzdx+3(z2-1)dxdy,其中工是曲面£z=1-x2-y2(z>0)的上側(cè).(18) (本題滿分11分)設(shè)有方程xn+nx-1=0,其中n為正整數(shù).證明此方程存在惟一正實(shí)根X,并證明當(dāng)na>1時(shí)，級(jí)數(shù)£xa收斂.nn=1(19) (本題

34、滿分12分)設(shè)z=z(x,y)是由x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0確定的函數(shù)，求z=z(x,y)的極值點(diǎn)和極值.(20) (本題滿分9分)設(shè)有齊次線性方程組(1+a)x+x+x=0,12n2x+(2+a)x+2x=0,12n(n>2),nx+nx+(n+a)x=0,12n試問a取何值時(shí)，該方程組有非零解，并求出其通解.(21)(本題滿分9分)_12-3"設(shè)矩陣A=-14-3的特征方程有一個(gè)二重根，求a的值,并討論A是否可相似對(duì)1a5角化.(22)(本題滿分9分)設(shè)A,B為隨機(jī)事件，且P(A)=P(BIA)=P(AIB)=,令432(1,A發(fā)生，(1,B發(fā)生，o,A

35、不發(fā)生；o,B不發(fā)生.求:(1)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布.X和Y的相關(guān)系數(shù)P疋(23)(本題滿分9分)設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x,卩)=卩-0,x>1,x<1,其中未知參數(shù)卩1,X,X,X為來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,12n求：(1)卩的矩估計(jì)量.(2)卩的最大似然估計(jì)量.2005 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)x2曲線y二的斜漸近線方程為.2 x+11(2)微分方程xy'+2y二xInx滿足y(1)二一9的解為設(shè)函數(shù)u(x，y,z)=1+6上+空1218單位向量n=,則du(1,2,

36、3)(4)設(shè)。是由錐面z=,x2+y2與半球面z=,-R2-x2-y2圍成的空間區(qū)域,丫是。的整個(gè)邊界的外側(cè)，則Axdydz+ydzdx+zdxdy二設(shè)a,a,a均為3維列向量,記矩陣123A=(a,a,a),B=(a+a+a,a+2a+4a,a+3a+9a),123123123123如果|A|=1,那么|B(6)從數(shù)1,2,3,4中任取一個(gè)數(shù)，記為X,再?gòu)?,2,X中任取一個(gè)數(shù)，記為Y,則PY二2=二、選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(7)設(shè)函數(shù)f(x)=limJ1+|x|3n，則f(x)在(a,+

37、w)內(nèi)ns(A)處處可導(dǎo)(B)恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)(C)恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)(D)至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)(8)設(shè)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，"MoN"表示"M的充分必要條件是N",則必有(A)F(x)是偶函數(shù)of(x)是奇函數(shù)(B)F(x)是奇函數(shù)of(x)是偶函數(shù)(C)F(x)是周期函數(shù)of(x)是周期函數(shù)(D)F(x)是單調(diào)函數(shù)of(x)是單調(diào)函數(shù)設(shè)函數(shù)u(x,y)二申(x+y)+申(x一y)+fx+叩(t)dt,其中函數(shù)9具有二階導(dǎo)數(shù)，屮x-y具有一階導(dǎo)數(shù),則必有(10)設(shè)有三元方程xy-zIny+exz二1，根據(jù)隱函數(shù)存在定理,存在點(diǎn)(0,1,1

38、)的一個(gè)鄰域,在此鄰域內(nèi)該方程(A)只能確定一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)z二z(x,y)(B)可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)x二x(y,z)和z二z(x,y)(C)可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)y二y(x,z)和z二z(x,y)(D)可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)x二x(y,z)和y二y(x,z)(11)設(shè)九1'九2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值,對(duì)應(yīng)的特征向量分別為a1,a2,則a1,A(a1+a2)線性無關(guān)的充分必要條件是(B)九2豐0(A)九豐01(C)九二01(12)設(shè)A為n(n>2)階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B.A*,B*分別為A,B的伴隨矩陣,則(A)交

39、換A*的第1列與第2列得B*(B)交換A*的第1行與第2行得B*(C)交換A*的第1列與第2列得-B*(D)交換A*的第1行與第2行得-B*(13)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為已知隨機(jī)事件X二0與X+Y二1相互獨(dú)立，則(B)a=0.4,b=0.1(A)a=0.2,b=0.3(C)a=0.3,b=0.2(D)a=0.1,b=0.4(14)設(shè)X,X,X(n>2)為來自總體N(0,1)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,X為樣本均值,S2為12n樣本方差，則(A)nXN(0,1)(B)nS2咒2(n)(n1)X(n1)X2(C)t(n1)(D)4F(1,n1)SYX2ii=2三、解答題(本題共9小題，滿分

40、94分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(15)(本題滿分11分)設(shè)D=(x,y)x2+y2WJ2,x>0,y>0,1+x2+y2表示不超過1+x2+y2的最大整數(shù).計(jì)算二重積分xy1+x2+y2dxdy.D求幕級(jí)數(shù)蘭(1)n1(1+n=1(16)(本題滿分12分)x2n的收斂區(qū)間與和函數(shù)f(x).n(2n1)(17) (本題滿分11分)如圖，曲線C的方程為y=f(x)，點(diǎn)(3,2)是它的一個(gè)拐點(diǎn),直線11與12分別是曲線C在點(diǎn)(0,0)與(3,2)處的切線,其交點(diǎn)為(2,4).設(shè)函數(shù)f(x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù),計(jì)算定積分J3(x2+x)f"'(x)dx.0(

41、18) (本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,f=1.證明:(1)存在乜e(0,1),使得f點(diǎn))=1E.(2)存在兩個(gè)不同的點(diǎn)mCe(0,1)，使得f"(n)f"(匚)=1.(19)(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)9(y)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線l上,曲線積分，呼旦空的值恒為同一常數(shù).L2x2+y4證明:對(duì)右半平面x>0內(nèi)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線C,有i“(ydx+2=0.C2X2+y4(2)求函數(shù)p(y)的表達(dá)式.(20) (本題滿分9分)已知二次型f(x,x,x)=(1-a)x2+(1-a)x2+2x

42、2+2(1+a)xx的秩為2.12312312(1) 求a的值；(2) 求正交變換x=Qy,把f(x,x,x)化成標(biāo)準(zhǔn)形.123(3) 求方程f(x,x,x)=0的解.123(21) (本題滿分9分)_123-已知3階矩陣A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全為零，矩陣B=246(k為常數(shù)),3 6k且AB=O,求線性方程組Ax=0的通解.(22) (本題滿分9分)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為10<fx<1,0<y<2xf(x,y)=0其它求：(1)(X,Y)的邊緣概率密度fx(x),f(y).(2)Z二2X-Y的概率密度fz(z).(23) (本題滿分9分

43、)設(shè)X,X，,X(n>2)為來自總體N(0,1)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，X為樣本均值,記12nY=X-X,i=1,2,n.ii求:Y的方差DY,i=1,2,n.iiY1與Y的協(xié)方差Cov(Y,Y).1n1n2006 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)xln(l+x)(1) lim二.xtO1-COSx(2) 微分方程y'二丄上勺的通解x(3) 設(shè)丫是錐面z=x2+y2(0<z<1)的下側(cè)，則xdydz+2ydzdx+3(z1)dxdy=.(4) 點(diǎn)(2,1,0)到平面3x+4y+5z二0的距離z=

44、.(21)設(shè)矩陣A二2,E為2階單位矩陣，矩陣B滿足BA=B+2E,則(-12)B=.(6)設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間0,3上的均勻分布，則PmaxX,Y<1=.二、選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(7)設(shè)函數(shù)y二f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且f'(x)>0,f(x)>0,心為自變量x在x0處的增量,Ay與dy分別為f(x)在點(diǎn)x0處對(duì)應(yīng)的增量與微分，若&>0,則(A)0<dx<Ay(B)0<Ay<dy(C)Ay<dy<

45、0(D)dy<Ay<0(8)設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則J4dof1f(rcosO,rSino)rdr等于00(A)J了dxJ"1x2f(x,y)dy0x(B)f2dxf1x2f(x,y)dy00(C)fidyf1-*f(x,y)dx0y(C)fidyf1*f(x,y)dx00(9)若級(jí)數(shù)區(qū)a收斂,則級(jí)數(shù)nn=1(A)無a收斂nn=1(B)無(-1)na收斂nn=1(C)無aa收斂nn+1n=1a+a(D)為n2nH收斂n=1(10)設(shè)f(X,y)與申(x,y)均為可微函數(shù),且申1(x,y)主0.已知(x,y)是f(x,y)在約y00束條件申(x,y)=0下的一個(gè)極值點(diǎn)，

46、下列選項(xiàng)正確的是(A)若八x,y)=0,則廣(x,y)=0x00y00(B)若八x,y)=0x00,則廣(x,y)主0y00(C)若廣(x,y)豐o,則f(x,y)=0(D)若f(x,y)豐0,則x00y00x00廣(x,y)主0y00(11)設(shè)a,a，a,均為n維列向量,A是mxn矩陣，下列選項(xiàng)正確的是12s(A) 若a,a，a,線性相關(guān)，則Aa,Aa，Aa,線性相關(guān)12s12s(B) 若a,a，a,線性相關(guān)，則Aa,Aa，Aa,線性無關(guān)12s12s(C) 若a,a，a,線性無關(guān)，則Aa,Aa，Aa,線性相關(guān)12s12s(D) 若a,a，a,線性無關(guān)，則Aa,Aa，Aa,線性無關(guān).12s12

47、s(12)設(shè)A為3階矩陣，將A的第2行加到第1行得B，再將B的第1列的-1倍加到第2廠110、列得C，記P=010，則01丿(A)C=P-1AP(B)C=PAP-1(C)C=PTAP(D)C=PAPT(13)設(shè)A,B為隨機(jī)事件，且P(B)>0,P(AIB)=1，則必有(A)P(AUB)>P(A)(B)P(AUB)>P(B)(C)P(AUB)二P(A)(D)P(AUB)二P(B)(14)設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(卩，o2),Y服從正態(tài)分布N(卩，o2),1122且PlXl<1>PlYl<1,貝y12(B)G1G2(D)卩1巴(Of巴三、解答題(本題共9小題,

48、滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(15) (本題滿分10分)設(shè)區(qū)域D=tx,y)|x2+y2<1,x>o計(jì)算二重積分I二口1+Xydxdy.1+x2+y2D(16) (本題滿分12分)設(shè)數(shù)列tx滿足0<x<兀,x(n=1,2,.).n1兀+1n求:(1)證明limx存在，并求之.nxT8計(jì)算limxT8rxn+1Ixn、丄x2n丿(17)(本題滿分12分)將函數(shù)f(x)=亓匕展開成x的幕級(jí)數(shù).(18)(本題滿分12分)z=設(shè)函數(shù)f(U)在(0,+8)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),且竺+竺=0.Qx2Qy2(1)驗(yàn)證f"(u)+=0(2)若f(1)=0,廣

49、(1)=1,求函數(shù)/(u)的表達(dá)式.(19)(本題滿分12分)設(shè)在上半平面D=«x,y)|y>內(nèi)，數(shù)f(x,y)是有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任意的t>0都有f(tx,ty)=t2f(x,y).證明:對(duì)L內(nèi)的任意分段光滑的有向簡(jiǎn)單閉曲線L,都有6yf(x,y)dx-xf(x,y)dy=0.L(20)(本題滿分9分)已知非齊次線性方程組X+X+X+X=11234v4x+3x+5xx=11234ax+x+3xbx=11234有3個(gè)線性無關(guān)的解,(1)證明方程組系數(shù)矩陣A的秩r(A)=2.(2)求a,b的值及方程組的通解.(21)(本題滿分9分)設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的各行元素之和均為3,向

50、量a=(-1,2,-1>,a=(0,-1,»是線12性方程組Ax=0的兩個(gè)解.(1)求A的特征值與特征向量.(2)求正交矩陣Q和對(duì)角矩陣A，使得QTAQ=A.(22)(本題滿分9分)隨機(jī)變量x的概率密度為f(x)=<x,1<x<02丄,0<x<240,其它令y=x2,F(x,y)為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù).求Y的概率密度fY(y).(23)(本題滿分9分)設(shè)總體X的概率密度為F(X,0)=彳0<x<11<x<2,其中0是未知參數(shù)其它(0<0<1),X,X.,X為來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記N為樣本值x,x

51、.,x中小于112n12n的個(gè)數(shù),求0的最大似然估計(jì).2007年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(_)試卷一、選擇題(本題共10小題海小題4分，滿分40分，在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后括號(hào)內(nèi))1+x(B)lnk(D)1cosx當(dāng)xT0+時(shí)，與等價(jià)的無窮小量是(a)1ex(C)/1+%'x1(2) 曲線y=-+ln(1+ex)，漸近線的條數(shù)為x(B)1(D)3(A)0(C)2(3) 如圖，連續(xù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間3,2,2,3上&'的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間2,0,0,2的圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設(shè)F(x

52、)二Jxf(t)dt.則下列結(jié)論正確的是035(A)F(3)=4F(2)(B)F(3)=-F(2)35(C)F=-F(D)F=-F(2)(4) 設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是(A)若lim衛(wèi)衛(wèi)存在，則f(0)=0(B)若limf(x)+f(-x)存在,則xtOxxtOxf(0)=0(C)若limf(x)存在，則f'(0)=0(D)若limf(x)f(x)存在,則xtOxxtOxf'(0)=0(5) 設(shè)函數(shù)f(x)在(0,+g)上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f"(x)>0,令u=f(n)=1,2，,n,則n下列結(jié)論正確的是(A)若u>u，則u必收斂(B)

53、若u>u，則u必發(fā)散12n12n(C)若u<u，則u必收斂(D)若u<u，則u必發(fā)散12n12n(6)設(shè)曲線L:f(x,y)二1(f(x,y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))，過第2象限內(nèi)的點(diǎn)M和第W象限內(nèi)的點(diǎn)NX為L(zhǎng)上從點(diǎn)M到N的一段弧，則下列小于零的是(A)J(x,y)dxr(C)Jf(x,y)dsr(B)Jf(x,y)dyr(D)Jf'(x,y)dx+f'(x,y)dyrxy設(shè)向量組巴,a2,a3線性無關(guān),則下列向量組線形相關(guān)的是(A)aaa-a,a-a(B)a+a,a+a,a+a12,23,3112,23,31(C)a-2a,a-2a,a-2a(D)a+2a,a+2a,a+2a12233112233(2-1-1r100(8)設(shè)矩陣A=-12-1,B