考研數(shù)學一歷年真題完整版

1、2000年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)馮2x-x2dx=.0(2)曲面X2+2y2+3z2二21在點(1,-2,-2)的法線方程為.(3)微分方程xy"+3y'二0的通解為12(4)已知方程組231a(5)設兩個相互獨立的事件A和B都不發(fā)生的概率為1,A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，則P(A)=二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(1)設f(x)、g(x)是恒大于零的可導函數(shù)，且f&#

2、39;(x)g(x)-f(x)g'(x)<0,則當a<x<b時，有(A)f(x)g(b)>f(b)g(x)(B)f(x)g(a)>f(a)g(x)(C)f(x)g(x)>f(b)g(b)(D)f(x)g(x)>f(a)g(a)設S:x2+y2+z2=a2(z>0),S】為S在第一卦限中的部分，則有(A) JJxdS=4JJxdS(B)JJydS=4JJxdS(C)JJzdS=4JJxdS(D)JJxyzdS=4JJxyzdSSS1SS1(3)設級數(shù)£u收斂，則必收斂的級數(shù)為n=1(A)才(-1)nn=1(B)乞u2nn=1(C)

3、無(u-u)2n-12nn=1(D)區(qū)(u+u)nn+1n=1(4)設n維列向量組a，,a(m<n)線性無關，則n維列向量組卩，,卩線性無關的充1m1m分必要條件為(A)向量組a,a可由向量組卩，,卩線性表示1m1m(B)向量組卩，,卩可由向量組a,a線性表示1m1m(C)向量組a,a與向量組卩，,卩等價1m1m(D)矩陣A=(a,a)與矩陣B=(卩，,卩)等價1m1m(5)設二維隨機變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則隨機變量=X+Y與耳=X-Y不相關的充分必要條件為(A) E(X)=E(Y)(B) E(X2)-E(X)2=E(Y2)-E(Y)2(C) E(X2)=E(Y2)(D) E(

4、X2)+E(X)2=E(Y2)+E(Y)2三、(本題滿分6分)求lim(xfg2+e:41+exsinx+).X四、(本題滿分5分)XxQ2z設z=f(xy,)+g()，其中f具有二階連續(xù)偏導數(shù),g具有二階連續(xù)導數(shù)，求yyQxQy五、(本題滿分6分)計算曲線積分1?xl2晉，其中L是以點（1,0）為中心，R為半徑的圓周（R>1），取逆時針方向.六、（本題滿分7分）設對于半空間x>0內任意的光滑有向封閉曲面S,都有抵xf（x）dydz-xyf（x）dzdx-e2xzdxdy=0,其中函數(shù)f（x）在（0,+a）內具有連續(xù)的一階S導數(shù)，且limf（x）=1,求f（x）.xTo+七、（本題

5、滿分6分）求幕級數(shù)£7的收斂區(qū)間，并討論該區(qū)間端點處的收斂性.3n+（-2）nnn=1八、（本題滿分7分）設有一半徑為R的球體,p是此球的表面上的一個定點，球體上任一點的密度與該點到P距離的平方成正比（比例常數(shù)k>0），求球體的重心位置.九、（本題滿分6分）設函數(shù)f（x）在0,兀上連續(xù)，且卜f（x）dx=0,卜f（x）cosxdx=0試證:在（0,兀）內至00少存在兩個不同的點勺,2,使f（勺）=f（勺）=0-十、（本題滿分6分）"1100010，且ABA-1=BA-1+3E，其中E為4階單=0設矩陣A的伴隨矩陣A*=1-308位矩陣，求矩陣B.十一、（本題滿分8分）

6、某適應性生產線每年1月份進行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計,然后將1熟練工支援其6他生產部門,其缺額由招收新的非熟練工補齊.新、老非熟練工經過培訓及實踐至年終考核有2成為熟練工.設第n年1月份統(tǒng)計的熟練工與非熟練工所占百分比分別為x和y,記成向5nn(x、(1)求，x'x'n+1與n1爲丿iyn丿n的關系式并寫成矩陣形式:n+1yn+1驗證*二r4-111丿,1=I1丿是A的兩個線性無關的特征向量，并求出相應的特征值.(3)當(12112丿時，求n+1iyn+1十二、(本題滿分8分)某流水線上每個產品不合格的概率為p(0<p<1),各產品合格與否相對獨立,當出現(xiàn)1個不合

7、格產品時即停機檢修設開機后第1次停機時已生產了的產品個數(shù)為X，求X的數(shù)學期望E(X)和方差D(X).十三、(本題滿分6分)c2e-2(x-0)x>0設某種元件的使用壽命X的概率密度為f(x;0)彳，其中0>0為未知10x<0參數(shù)又設x1，J,»是X的一組樣本觀測值,求參數(shù)0的最大似然估計值.2001年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分把答案填在題中橫線上)(1) 設y二ex(asinx+bcosx)(a,b為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解，則該方程為.(2) r=Jx2+y2+z2,則div(gr

8、adr)=.'(1,-2,2)(3) 交換二次積分的積分次序:0dyj1-yf(x,y)dx=.-12(4) 設A2+A4E=O,則(A2E)-1=.D(X)二2,則根據(jù)車貝曉夫不等式有估計PXE(X)|>2<.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內)(1)設函數(shù)f(x)在定義域內可導,y二f(x)的圖形如右圖所示，則y二f'(x)的圖形為xy(A)dzI=3dx+dy(0,0)丿(B) 曲面z二f(x,y)在(0,0,f(0,0)處的法向量為3丄1(C) 曲線yf(兀y)在(0

9、,0,f(0,0)處的切向量為1,0,3(D) 曲線；：f(X,y)在(0,0,f(0,0)處的切向量為3,0,1(3)設f(0)=0則f(x)在x=0處可導o(C)limf(h-Sinh)存在hT0h2r1111r400設A=1111,B=000111100011111J、000(A)合同且相似(A)lim存在hT0h2(C)不合同但相似(B)limf(：e町存在hT0hf(2h)-f(h)八/(D)lim存在hT0h0、0，則A與B00丿(B)合同但不相似(D)不合同且不相似(5)將一枚硬幣重復擲n次，以X和Y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則X和Y(B)0(D)1相關系數(shù)為(A) -1

10、1(C)2三、(本題滿分6分)arctanex求Jdx.e2x四、(本題滿分6分)設函數(shù)z=f(x,y)在點(1,1)可微,且df(1,1)=1,廣(1,1)=2,ff(1,1)=3,申(x)二f(x,f(x,x),求申3(x).xydxx=1五、(本題滿分8分)1-4n2的和.1 +x2十0設f(x)彳arctanxx豐0,將f(x)展開成x的幕級數(shù)，并求£Jx=0n=1六、(本題滿分7分)計算I=6(y2-z2)dx+(2z2-x2)dy+(3x2-y2)dz,其中L是平面x+y+z=2與L柱面|x|+|y|=1的交線，從Z軸正向看去,L為逆時針方向.七、(本題滿分7分)設f(x

11、)在(-1,1)內具有二階連續(xù)導數(shù)且f(x)豐0.證明:對于Vxe(-1,0)(0,1),存在惟一的0(x)e(0,1),使f(x)=f(0)+xf迪(x)x)成(2)lim0(x)=0.5.xT0八、(本題滿分8分)設有一高度為h(t)(t為時間)的雪堆在融化過程,其側面滿足方程2(x2+y2)z=h(t)-(設長度單位為厘米，時間單位為小時)，已知體積減少的速率與側面積h(t)成正比(系數(shù)為0.9),問高度為130厘米的雪堆全部融化需多少時間?九、(本題滿分6分)設a,a，,a為線性方程組AX=O的一個基礎解系，12s卩=ta+1a,卩=ta+1a，卩=ta+1a,1112221223s1

12、s21其中t,t為實常數(shù)，試問t,t滿足什么條件時卩,卩，,卩也為AX=O的一個基礎解系？121212s十、(本題滿分8分)已知三階矩陣A和三維向量x，使得x,Ax,A2x線性無關,且滿足A3x=3Ax-2A2x.記P=(x,Ax,A2x),求B使A=PBP-1.計算行列式A+E.十一、(本題滿分7分)設某班車起點站上客人數(shù)X服從參數(shù)為九(九0)的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為p(0<p<1),且中途下車與否相互獨立.Y為中途下車的人數(shù)，求：(1) 在發(fā)車時有n個乘客的條件下,中途有m人下車的概率.(2) 二維隨機變量(X,Y)的概率分布.十二、(本題滿分7分)設XN(卩Q2

13、)抽取簡單隨機樣本X,X，,X(n>2),122n樣本均值X二2niin+ii=1i=12002年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)J+8dxexln2x(2)已知ey+6xy+x2-1二0，貝yy"(0)=.1yy"+y'2二0滿足初始條件y(0)二1,y'(o)二-的特解是(4)已知實二次型f(x,x,x)=a(x2+x2+x2)+4xx+4xx+4xx經正交變換123123121323可化為標準型f=6y2，則a=.設隨機變量XN(卩Q2),且二次方程y2+4y+

14、X=0無實根的概率為0.5,則R.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(1)考慮二元函數(shù)f(x,y)的四條性質：f(x,y)在點(x,y)處連續(xù)，f(x,y)在點(x,y)處的一階偏導數(shù)連續(xù),0000f(x,y)在點(x,y)處可微，f(x,y)在點(x,y)處的一階偏導數(shù)存在.0000則有：(A)=(B)=(C)=(D)=n11(2)設u豐0,且lim=則級數(shù)工(-1)n+1(+)為nnTsUn(A)發(fā)散(C)條件收斂(3)設函數(shù)f(x)在R+上有界且可導，則(A)當limf(x)=0時，必有l(wèi)im

15、f'(x)=0xT+8xT+8limf'(x)=0xT+8(C)當limf(x)=0時，必有l(wèi)imf'(x)=0x0+x0+uunn+1(B)絕對收斂(D)收斂性不能判定.(B)當limf(x)存在時,必有xT+8(D)當limf(x)存在時,必有x0+limf(x)二0.x0+(4)設有三張不同平面，其方程為ax+by+cz二d(i二1,2,3)它們所組成的線性方程iiii組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都為2,則這三張平面可能的位置關系為(5)設X和Y是相互獨立的連續(xù)型隨機變量，它們的密度函數(shù)分別為fx(x)和f(y)，分布函數(shù)分別為F(x)和F(y)，則XY(A)f(x

16、)+f(y)必為密度函數(shù)(B)f(x)f(y)必為密度函數(shù)XYXY(C)F(x)+F(y)必為某一隨機變量的分布函數(shù)(D)F(x)F(y)必為某一隨機變XYXY量的分布函數(shù).三、(本題滿分6分)設函數(shù)/(x)在x=0的某鄰域具有一階連續(xù)導數(shù)，且/(0)f'(0)豐0,當hT0時,若af(h)+bf(2h)-/(0)二o(h)，試求a,b的值.四、(本題滿分7分)已知兩曲線y二f(x)與y=farctanxe-t2dt在點(0,0)處的切線相同求此切線的方程，并0求極限limnf(-).n*n五、(本題滿分7分)計算二重積分emaxx2,y2dxdy，其中D=(x,y)I0<x&l

17、t;1,0<y<1.D六、(本題滿分8分)設函數(shù)f(x)在R上具有一階連續(xù)導數(shù),L是上半平面(y>0)內的有向分段光滑曲線，起點為(a,b)，終點為(c,d).1x記I二J一1+y2f(xy)dx+一y2f(xy)-1dy,yy2(1)證明曲線積分I與路徑L無關.當ab=cd時，求I的值.七、(本題滿分7分)EX3n(X<+8)滿足微分方程y+y+y=ex.(3n)!n=0EX3n的和函數(shù).(3n)!n=0八、(本題滿分7分)設有一小山，取它的底面所在的平面為xoy面，其底部所占的區(qū)域為D=(x,y)Ix2+y2-xy<75，小山的高度函數(shù)為h(x,y)=75x2

18、-y2+xy.(1)設M(x0,yJ為區(qū)域D上一點，問h(x,y)在該點沿平面上何方向的方向導數(shù)最大?若此方向的方向導數(shù)為g(x,y)，寫出g(x,y)的表達式.0000(2)現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動,為此需要在山腳下尋找一山坡最大的點作為攀登的起點也就是說要在D的邊界線上找出使(1)中g(x,y)達到最大值的點試確定攀登起點的位置.九、(本題滿分6分)已知四階方陣A=(a,a,a,a),a,a,a,a均為四維列向量,其中a,a,a線性12341234234無關,a=2a-a.若卩=a+a+a+a，求線性方程組Ax=卩的通解.1231234十、(本題滿分8分)設A,B為同階方陣,(1)若A,

19、B相似，證明A,B的特征多項式相等.(2)舉一個二階方陣的例子說明(1)的逆命題不成立.(3)當A,B為實對稱矩陣時,證明(1)的逆命題成立.十一、(本題滿分7分)設維隨機變量X的概率密度為0<X<X其它1 xcosf(X)二22峙0兀對X獨立地重復觀察4次，用Y表示觀察值大于一的次數(shù)，求Y2的數(shù)學期望.3十二、（本題滿分7分）設總體X的概率分布為X0123P9220(1-9)021-20其中o（o<9<2）是未知參數(shù)，利用總體X的如下樣本值3，1，3，0，3，1，2，3.求9的矩估計和最大似然估計值.2003年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、填空題(本題共

20、6小題,每小題4分，滿分24分把答案填在題中橫線上)1(l)lim(cosx)ln(l+x2=.xtO曲面z二x2+y2與平面2x+4y-z二0平行的切平面的方程設x2=蘭acosnx(一兀<x<兀)，貝0an2n=0(11(11(11<0丿,a=<-1>到基p=丄,p=<2丿212的過渡矩陣為.從R2的基巴=設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)二PX+Y<1二(6)已知一批零件的長度X(單位:cm)服從正態(tài)分布N(r,1),從中隨機地抽取16個零件,得到長度的平均值為40(cm),則卩的置信度為0.95的置信區(qū)間是.(注:標準正態(tài)分布函數(shù)

21、值(1.96)=0.975,(1.645)=0.95.)二、選擇題(本題共6小題,每小題4分，滿分24分每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內)(1)設函數(shù)f(x)在(g,+w)內連續(xù)，其導函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x)有(A) 個極小值點和兩個極大值點(B) 兩個極小值點和一個極大值點(C) 兩個極小值點和兩個極大值點=0,limbnnT8=1,limc=g，則必有nnTg(D) 三個極小值點和一個極大值點設a,b,c均為非負數(shù)列，且limannnnnT8(A)a<b對任意n成立nn(B)b<c對任意n成立nn(C)極限limac不存在nn

22、nTg(D)極限limbc不存在nnnTg(3)已知函數(shù)f(x,y)在點(0,0)的某個鄰域內連續(xù)，且limf(兀y)巧=1,則xT0,yt0(x2+y2)2(A) 點(0,0)不是f(x,y)的極值點(B) 點(0,0)是f(x,y)的極大值點(C) 點(0,0)是f(x,y)的極小值點(D)根據(jù)所給條件無法判斷點(0,0)是否為f(x,y)的極值點設向量組I：a,a，,a可由向量組II：卩,卩，,卩線性表示，則12r12s(A)當r<s時,向量組II必線性相關(B)當r>s時,向量組II必線性相關(C)當r<s時,向量組I必線性相關(D)當r>s時,向量組I必線性相

23、關(5)設有齊次線性方程組Ax=0和Bx=0,其中A,B均為mxn矩陣，現(xiàn)有4個命題： 若Ax=0的解均是Bx=0的解，則秩(A)>秩(B) 若秩(A)>秩(B)，則Ax=0的解均是Bx=0的解 若Ax=0與Bx=0同解，則秩(A)=秩(B) 若秩(A)=秩(B),則Ax=0與Bx=0同解以上命題中正確的是(A)(B)(C)(D)(6)設隨機變量Xt(n)(n>1),Y=-，則X2(A)Yx2(n)(B)Y兀2(n-1)(D)YF(1,n)(C)YF(n,1)三、(本題滿分10分)過坐標原點作曲線y=lnx的切線，該切線與曲線y=lnx及x軸圍成平面圖形D.求D的面積A.(2

24、)求D繞直線x=e旋轉一周所得旋轉體的體積V.四、(本題滿分12分)將函數(shù)f(x)=arctan|-x展開成x的幕級數(shù)，并求級數(shù)丄的和.1+2x2n+1五、(本題滿分10分)已知平面區(qū)域D=(x,y)|0<xS,0<yS,L為D的正向邊界.試證：(1) 1xesinydyye-sinxdx=xe-sinydyyesinxdx.LL(2) 1xesinydyyesinxdx>2兀2.L六、(本題滿分10分)某建筑工程打地基時,需用汽錘將樁打進土層.汽錘每次擊打,都將克服土層對樁的阻力而作功.設土層對樁的阻力的大小與樁被打進地下的深度成正比(比例系數(shù)為k.k>0).汽錘第一

25、次擊打將樁打進地下am.根據(jù)設計方案，要求汽錘每次擊打樁時所作的功與前一次擊打時所作的功之比為常數(shù)r(0<r<1).問(1) 汽錘擊打樁3次后,可將樁打進地下多深?(2) 若擊打次數(shù)不限,汽錘至多能將樁打進地下多深?(注:m表示長度單位米.)七、(本題滿分12分)設函數(shù)y=y(x)在(g,+力)內具有二階導數(shù)，且y'豐0,x=x(y)是y=y(x)的反函數(shù).d2xdx(1) 試將x=x(y)所滿足的微分方程+(y+sinx)()3=0變換為y=y(x)滿足dy2dy的微分方程.3(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)=0,y'(0)=2的解.八、(本題滿分1

26、2分)設函數(shù)f(x)連續(xù)且恒大于零，JJJf(x2+y2+z2)dvJJf(x2+y2)deF(t)=,G(t)=JJf(x2+y2)亦Jtf(x2)dxD(t)1其中Q(t)=(x,y,z)x2+y2+z2<t2,D(t)=(x,y)x2+y2<t2.(1) 討論F(t)在區(qū)間(0,+g)內的單調性.2(2) 證明當t>0時,F(t)>G(t).九、(本題滿分10分)32設矩陣A二232201,B=P-1A*P，求B+2E的特征值與特征向量,1其中A*為A的伴隨矩陣,E為3階單位矩陣.十、(本題滿分8分)已知平面上三條不同直線的方程分別為I】：ax+2by+3c=0,

27、12:bx+2cy+3a=0,1:cx+2ay+3b=0.3試證這三條直線交于一點的充分必要條件為a+b+c=0.十一、(本題滿分10分)已知甲、乙兩箱中裝有同種產品,其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品,乙箱中僅裝有3件合格品.從甲箱中任取3件產品放入乙箱后,求:(1) 乙箱中次品件數(shù)的數(shù)學期望.(2) 從乙箱中任取一件產品是次品的概率.十二、(本題滿分8分)設總體X的概率密度為2e-2(x-0)x>0f(x)=“0x<0其中0>0是未知參數(shù).從總體X中抽取簡單隨機樣本X,X,X,記12n0=min(X,X，,X).12n(1) 求總體X的分布函數(shù)F(x).(2) 求統(tǒng)計量“

28、的分布函數(shù)F(x).02004 年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)(1) 曲線y=Inx上與直線x+y=1垂直的切線方程為.(2) 已知f'(ex)二xe-x，且f二0，則/(x)=.(3) 設L為正向圓周x2+y2二2在第一象限中的部分，則曲線積分Ixdy-2ydx的值L為.(4) 歐拉方程x2+4xdy+2y=0(x>0)的通解為.dx2dx"210_設矩陣A二120,矩陣B滿足ABA*=2BA*+E,其中A*為A的伴隨矩001陣,E是單位矩陣，則|B=.(6)設隨機變量X服從參數(shù)為九的

29、指數(shù)分布，則PX>DX=.二、選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內)(7)把xT0+時的無窮小量a=Ixcos12dt,P=Ix2tanftdt,y=Ixsin13dt，使排在后000面的是前一個的高階無窮小,則正確的排列次序是(A)a,卩,y(B)a,y,卩(D)卩,y,a(C)卩,a,y(8) 設函數(shù)f(x)連續(xù)，且f'(0)>0,則存在8>0,使得(A)f(x)在(0,8)內單調增加(B)f(x)在(-8,0)內單調減少(C)對任意的xe(0,8)有f(x)>f(0)(

30、D)對任意的xe(一8,0)有f(x)>f(0)(9) 設£a為正項級數(shù),下列結論中正確的是nn=1(C)u(D)U1-a(A)若limna=0,則級數(shù)乙a收斂nnns.n=1(B)若存在非零常數(shù)九，使得limna=X，則級數(shù)藝a發(fā)散nnnT8n=1(C)若級數(shù)乙a收斂，則limna=0nn.nsn=1(D)若級數(shù)藝a發(fā)散，則存在非零常數(shù)九，使得limna=XnnnT8n=1(10)設f(X)為連續(xù)函數(shù),F(t)="dy"f(x)dx,則F'(2)等于1y(A)2f(2)(B)f(2)(C)-f(D)0(11)設A是3階方陣，將A的第1列與第2列交換

31、得B，再把B的第2列加到第3列得C,則滿足AQ=C的可逆矩陣Q為010"010"(A)100(B)101101001010"011"(C)100(D)100011001(12)設A,B為滿足AB=O的任意兩個非零矩陣，則必有(A) A的列向量組線性相關,B的行向量組線性相關(B) A的列向量組線性相關,B的列向量組線性相關(C) A的行向量組線性相關,B的行向量組線性相關(D) A的行向量組線性相關,B的列向量組線性相關(13)設隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,1),對給定的a(0<a<1),數(shù)%滿足PX>ua=a，若p|X|<x=

32、a，則x等于(B)u(A)uaig2(14)設隨機變量X,X,X(n>1)獨立同分布，且其方差為b2>0.令12nY二-£X，則nii=1b2(A)Cov(X,Y)=-1n(B)Cov(X，Y)=b2n+2(C)D(X+Y)=b21nn+1(D)D(X-Y)=b21n三、解答題(本題共9小題,滿分94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(15) (本題滿分12分)4設e<a<b<e2,證明ln2b一ln2a>(b一a).e2(16) (本題滿分11分)某種飛機在機場降落時，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機尾部張開減速傘，以增大阻力，使飛

33、機迅速減速并停下.現(xiàn)有一質量為9000kg的飛機，著陸時的水平速度為700km/h經測試，減速傘打開后，飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比(比例系數(shù)為k=6.0x106)問從著陸點算起，飛機滑行的最長距離是多少?(注:kg表示千克,km/h表示千米/小時)(17) (本題滿分12分)計算曲面積分I=K2x3dydz+2y3dzdx+3(z2-1)dxdy,其中工是曲面£z=1-x2-y2(z>0)的上側.(18) (本題滿分11分)設有方程xn+nx-1=0,其中n為正整數(shù).證明此方程存在惟一正實根X,并證明當na>1時，級數(shù)£xa收斂.nn=1(19) (本題

34、滿分12分)設z=z(x,y)是由x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0確定的函數(shù)，求z=z(x,y)的極值點和極值.(20) (本題滿分9分)設有齊次線性方程組(1+a)x+x+x=0,12n2x+(2+a)x+2x=0,12n(n>2),nx+nx+(n+a)x=0,12n試問a取何值時，該方程組有非零解，并求出其通解.(21)(本題滿分9分)_12-3"設矩陣A=-14-3的特征方程有一個二重根，求a的值,并討論A是否可相似對1a5角化.(22)(本題滿分9分)設A,B為隨機事件，且P(A)=P(BIA)=P(AIB)=,令432(1,A發(fā)生，(1,B發(fā)生，o,A

35、不發(fā)生；o,B不發(fā)生.求:(1)二維隨機變量(X,Y)的概率分布.X和Y的相關系數(shù)P疋(23)(本題滿分9分)設總體X的分布函數(shù)為F(x,卩)=卩-0,x>1,x<1,其中未知參數(shù)卩1,X,X,X為來自總體X的簡單隨機樣本,12n求：(1)卩的矩估計量.(2)卩的最大似然估計量.2005 年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)x2曲線y二的斜漸近線方程為.2 x+11(2)微分方程xy'+2y二xInx滿足y(1)二一9的解為設函數(shù)u(x，y,z)=1+6上+空1218單位向量n=,則du(1,2,

36、3)(4)設。是由錐面z=,x2+y2與半球面z=,-R2-x2-y2圍成的空間區(qū)域,丫是。的整個邊界的外側，則Axdydz+ydzdx+zdxdy二設a,a,a均為3維列向量,記矩陣123A=(a,a,a),B=(a+a+a,a+2a+4a,a+3a+9a),123123123123如果|A|=1,那么|B(6)從數(shù)1,2,3,4中任取一個數(shù)，記為X,再從1,2,X中任取一個數(shù)，記為Y,則PY二2=二、選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內)(7)設函數(shù)f(x)=limJ1+|x|3n，則f(x)在(a,+

37、w)內ns(A)處處可導(B)恰有一個不可導點(C)恰有兩個不可導點(D)至少有三個不可導點(8)設F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，"MoN"表示"M的充分必要條件是N",則必有(A)F(x)是偶函數(shù)of(x)是奇函數(shù)(B)F(x)是奇函數(shù)of(x)是偶函數(shù)(C)F(x)是周期函數(shù)of(x)是周期函數(shù)(D)F(x)是單調函數(shù)of(x)是單調函數(shù)設函數(shù)u(x,y)二申(x+y)+申(x一y)+fx+叩(t)dt,其中函數(shù)9具有二階導數(shù)，屮x-y具有一階導數(shù),則必有(10)設有三元方程xy-zIny+exz二1，根據(jù)隱函數(shù)存在定理,存在點(0,1,1

38、)的一個鄰域,在此鄰域內該方程(A)只能確定一個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)z二z(x,y)(B)可確定兩個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)x二x(y,z)和z二z(x,y)(C)可確定兩個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)y二y(x,z)和z二z(x,y)(D)可確定兩個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)x二x(y,z)和y二y(x,z)(11)設九1'九2是矩陣A的兩個不同的特征值,對應的特征向量分別為a1,a2,則a1,A(a1+a2)線性無關的充分必要條件是(B)九2豐0(A)九豐01(C)九二01(12)設A為n(n>2)階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B.A*,B*分別為A,B的伴隨矩陣,則(A)交

39、換A*的第1列與第2列得B*(B)交換A*的第1行與第2行得B*(C)交換A*的第1列與第2列得-B*(D)交換A*的第1行與第2行得-B*(13)設二維隨機變量(X,Y)的概率分布為已知隨機事件X二0與X+Y二1相互獨立，則(B)a=0.4,b=0.1(A)a=0.2,b=0.3(C)a=0.3,b=0.2(D)a=0.1,b=0.4(14)設X,X,X(n>2)為來自總體N(0,1)的簡單隨機樣本,X為樣本均值,S2為12n樣本方差，則(A)nXN(0,1)(B)nS2咒2(n)(n1)X(n1)X2(C)t(n1)(D)4F(1,n1)SYX2ii=2三、解答題(本題共9小題，滿分

40、94分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(15)(本題滿分11分)設D=(x,y)x2+y2WJ2,x>0,y>0,1+x2+y2表示不超過1+x2+y2的最大整數(shù).計算二重積分xy1+x2+y2dxdy.D求幕級數(shù)蘭(1)n1(1+n=1(16)(本題滿分12分)x2n的收斂區(qū)間與和函數(shù)f(x).n(2n1)(17) (本題滿分11分)如圖，曲線C的方程為y=f(x)，點(3,2)是它的一個拐點,直線11與12分別是曲線C在點(0,0)與(3,2)處的切線,其交點為(2,4).設函數(shù)f(x)具有三階連續(xù)導數(shù),計算定積分J3(x2+x)f"'(x)dx.0(

41、18) (本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內可導，且f(0)=0,f=1.證明:(1)存在乜e(0,1),使得f點)=1E.(2)存在兩個不同的點mCe(0,1)，使得f"(n)f"(匚)=1.(19)(本題滿分12分)設函數(shù)9(y)具有連續(xù)導數(shù),在圍繞原點的任意分段光滑簡單閉曲線l上,曲線積分，呼旦空的值恒為同一常數(shù).L2x2+y4證明:對右半平面x>0內的任意分段光滑簡單閉曲線C,有i“(ydx+2=0.C2X2+y4(2)求函數(shù)p(y)的表達式.(20) (本題滿分9分)已知二次型f(x,x,x)=(1-a)x2+(1-a)x2+2x

42、2+2(1+a)xx的秩為2.12312312(1) 求a的值；(2) 求正交變換x=Qy,把f(x,x,x)化成標準形.123(3) 求方程f(x,x,x)=0的解.123(21) (本題滿分9分)_123-已知3階矩陣A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全為零，矩陣B=246(k為常數(shù)),3 6k且AB=O,求線性方程組Ax=0的通解.(22) (本題滿分9分)設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為10<fx<1,0<y<2xf(x,y)=0其它求：(1)(X,Y)的邊緣概率密度fx(x),f(y).(2)Z二2X-Y的概率密度fz(z).(23) (本題滿分9分

43、)設X,X，,X(n>2)為來自總體N(0,1)的簡單隨機樣本，X為樣本均值,記12nY=X-X,i=1,2,n.ii求:Y的方差DY,i=1,2,n.iiY1與Y的協(xié)方差Cov(Y,Y).1n1n2006 年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)xln(l+x)(1) lim二.xtO1-COSx(2) 微分方程y'二丄上勺的通解x(3) 設丫是錐面z=x2+y2(0<z<1)的下側，則xdydz+2ydzdx+3(z1)dxdy=.(4) 點(2,1,0)到平面3x+4y+5z二0的距離z=

44、.(21)設矩陣A二2,E為2階單位矩陣，矩陣B滿足BA=B+2E,則(-12)B=.(6)設隨機變量X與Y相互獨立，且均服從區(qū)間0,3上的均勻分布，則PmaxX,Y<1=.二、選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(7)設函數(shù)y二f(x)具有二階導數(shù)，且f'(x)>0,f(x)>0,心為自變量x在x0處的增量,Ay與dy分別為f(x)在點x0處對應的增量與微分，若&>0,則(A)0<dx<Ay(B)0<Ay<dy(C)Ay<dy<

45、0(D)dy<Ay<0(8)設f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則J4dof1f(rcosO,rSino)rdr等于00(A)J了dxJ"1x2f(x,y)dy0x(B)f2dxf1x2f(x,y)dy00(C)fidyf1-*f(x,y)dx0y(C)fidyf1*f(x,y)dx00(9)若級數(shù)區(qū)a收斂,則級數(shù)nn=1(A)無a收斂nn=1(B)無(-1)na收斂nn=1(C)無aa收斂nn+1n=1a+a(D)為n2nH收斂n=1(10)設f(X,y)與申(x,y)均為可微函數(shù),且申1(x,y)主0.已知(x,y)是f(x,y)在約y00束條件申(x,y)=0下的一個極值點，

46、下列選項正確的是(A)若八x,y)=0,則廣(x,y)=0x00y00(B)若八x,y)=0x00,則廣(x,y)主0y00(C)若廣(x,y)豐o,則f(x,y)=0(D)若f(x,y)豐0,則x00y00x00廣(x,y)主0y00(11)設a,a，a,均為n維列向量,A是mxn矩陣，下列選項正確的是12s(A) 若a,a，a,線性相關，則Aa,Aa，Aa,線性相關12s12s(B) 若a,a，a,線性相關，則Aa,Aa，Aa,線性無關12s12s(C) 若a,a，a,線性無關，則Aa,Aa，Aa,線性相關12s12s(D) 若a,a，a,線性無關，則Aa,Aa，Aa,線性無關.12s12

47、s(12)設A為3階矩陣，將A的第2行加到第1行得B，再將B的第1列的-1倍加到第2廠110、列得C，記P=010，則01丿(A)C=P-1AP(B)C=PAP-1(C)C=PTAP(D)C=PAPT(13)設A,B為隨機事件，且P(B)>0,P(AIB)=1，則必有(A)P(AUB)>P(A)(B)P(AUB)>P(B)(C)P(AUB)二P(A)(D)P(AUB)二P(B)(14)設隨機變量X服從正態(tài)分布N(卩，o2),Y服從正態(tài)分布N(卩，o2),1122且PlXl<1>PlYl<1,貝y12(B)G1G2(D)卩1巴(Of巴三、解答題(本題共9小題,

48、滿分94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(15) (本題滿分10分)設區(qū)域D=tx,y)|x2+y2<1,x>o計算二重積分I二口1+Xydxdy.1+x2+y2D(16) (本題滿分12分)設數(shù)列tx滿足0<x<兀,x(n=1,2,.).n1兀+1n求:(1)證明limx存在，并求之.nxT8計算limxT8rxn+1Ixn、丄x2n丿(17)(本題滿分12分)將函數(shù)f(x)=亓匕展開成x的幕級數(shù).(18)(本題滿分12分)z=設函數(shù)f(U)在(0,+8)內具有二階導數(shù),且竺+竺=0.Qx2Qy2(1)驗證f"(u)+=0(2)若f(1)=0,廣

49、(1)=1,求函數(shù)/(u)的表達式.(19)(本題滿分12分)設在上半平面D=«x,y)|y>內，數(shù)f(x,y)是有連續(xù)偏導數(shù)，且對任意的t>0都有f(tx,ty)=t2f(x,y).證明:對L內的任意分段光滑的有向簡單閉曲線L,都有6yf(x,y)dx-xf(x,y)dy=0.L(20)(本題滿分9分)已知非齊次線性方程組X+X+X+X=11234v4x+3x+5xx=11234ax+x+3xbx=11234有3個線性無關的解,(1)證明方程組系數(shù)矩陣A的秩r(A)=2.(2)求a,b的值及方程組的通解.(21)(本題滿分9分)設3階實對稱矩陣A的各行元素之和均為3,向

50、量a=(-1,2,-1>,a=(0,-1,»是線12性方程組Ax=0的兩個解.(1)求A的特征值與特征向量.(2)求正交矩陣Q和對角矩陣A，使得QTAQ=A.(22)(本題滿分9分)隨機變量x的概率密度為f(x)=<x,1<x<02丄,0<x<240,其它令y=x2,F(x,y)為二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù).求Y的概率密度fY(y).(23)(本題滿分9分)設總體X的概率密度為F(X,0)=彳0<x<11<x<2,其中0是未知參數(shù)其它(0<0<1),X,X.,X為來自總體X的簡單隨機樣本，記N為樣本值x,x

51、.,x中小于112n12n的個數(shù),求0的最大似然估計.2007年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(_)試卷一、選擇題(本題共10小題海小題4分，滿分40分，在每小題給的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后括號內)1+x(B)lnk(D)1cosx當xT0+時，與等價的無窮小量是(a)1ex(C)/1+%'x1(2) 曲線y=-+ln(1+ex)，漸近線的條數(shù)為x(B)1(D)3(A)0(C)2(3) 如圖，連續(xù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間3,2,2,3上&'的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間2,0,0,2的圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設F(x

52、)二Jxf(t)dt.則下列結論正確的是035(A)F(3)=4F(2)(B)F(3)=-F(2)35(C)F=-F(D)F=-F(2)(4) 設函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，下列命題錯誤的是(A)若lim衛(wèi)衛(wèi)存在，則f(0)=0(B)若limf(x)+f(-x)存在,則xtOxxtOxf(0)=0(C)若limf(x)存在，則f'(0)=0(D)若limf(x)f(x)存在,則xtOxxtOxf'(0)=0(5) 設函數(shù)f(x)在(0,+g)上具有二階導數(shù)，且f"(x)>0,令u=f(n)=1,2，,n,則n下列結論正確的是(A)若u>u，則u必收斂(B)

53、若u>u，則u必發(fā)散12n12n(C)若u<u，則u必收斂(D)若u<u，則u必發(fā)散12n12n(6)設曲線L:f(x,y)二1(f(x,y)具有一階連續(xù)偏導數(shù))，過第2象限內的點M和第W象限內的點NX為L上從點M到N的一段弧，則下列小于零的是(A)J(x,y)dxr(C)Jf(x,y)dsr(B)Jf(x,y)dyr(D)Jf'(x,y)dx+f'(x,y)dyrxy設向量組巴,a2,a3線性無關,則下列向量組線形相關的是(A)aaa-a,a-a(B)a+a,a+a,a+a12,23,3112,23,31(C)a-2a,a-2a,a-2a(D)a+2a,a+2a,a+2a12233112233(2-1-1r100(8)設矩陣A=-12-1,B