第七章一維波動(dòng)方程的解題方法及習(xí)題答案

1、第二篇數(shù)學(xué)物理方程物理問題中的二階線性偏微分方程及其解法Abstracts:1、根據(jù)物理問題導(dǎo)出數(shù)理方程一偏微分方程；2、給定數(shù)理方程的附加條件：初始條件、邊界條件、物理?xiàng)l件（自然條件，連接條件），從而與數(shù)理方程一起構(gòu)成定解問題；3、方程齊次化；4、數(shù)理方程的線性導(dǎo)致解的疊加。一、數(shù)理方程的來源和分類（狀態(tài)描述、變化規(guī)律）1、來源I質(zhì)點(diǎn)力學(xué)：牛頓第二定律Fmr&弦2u(r，t)連續(xù)體力學(xué)流體力學(xué)：質(zhì)量守恒律：一t(V)°；熱力學(xué)物態(tài)方程：rr(V)V二&f0(Eulereq.).彈性體力學(xué)桿振動(dòng):（彈性定律）（）膜22rau(r,t)0（波動(dòng)方程）;II. 麥克斯韋方

2、程已DdrdD;EdirB&dsEB&已Bdr0B0;Hd；（D）dSHHjDEu,BA,u,A滿足波動(dòng)方程。Lorenz力公式力學(xué)方程；Maxwelleqs.+電導(dǎo)定律電報(bào)方程。III. 熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理°(Laplaceequation).熱傳導(dǎo)方程：寸k2t°；特別：穩(wěn)態(tài)（0）t擴(kuò)散方程：一D20.tIV. 量子力學(xué)的薛定諤方程:t£2m2uVu.2.分類而速度為ut，加速度為Utt.物理過程方程數(shù)學(xué)分類振動(dòng)與波波動(dòng)方程2u12U0a2t2雙曲線輸運(yùn)方程能量：熱傳導(dǎo)U2r、kU0質(zhì)量：擴(kuò)冃攵t拋物線穩(wěn)態(tài)方程Laplaceequation2U0橢

3、圓型、數(shù)理方程的導(dǎo)出推導(dǎo)泛定方程的原則性步驟：（1）定變量：找出表征物理過程的物理量作為未知數(shù)（特征量），并確定影響未知函數(shù)的自變量。（2）立假設(shè)：抓主要因素，舍棄次要因素，將問題“理想化”-“無理取鬧”（物理趣樂）。（3）取局部：從對(duì)象中找出微小的局部（微元），相對(duì)于此局部一切高階無窮小均可忽略-線性化。（4）找作用：根據(jù)已知物理規(guī)律或定律，找出局部和鄰近部分的作用關(guān)系。（5）列方程：根據(jù)物理規(guī)律在局部上的表現(xiàn)，聯(lián)系局部作用列出微分方程。Chapter7一維波動(dòng)方程的傅里葉解第一節(jié)一維波動(dòng)方程-弦振動(dòng)方程的建立弦橫振動(dòng)方程的建立（一根張緊的柔軟弦的微小振動(dòng)問題）（1）定變量：取弦的平衡位置為

4、x軸。表征振動(dòng)的物理量為各點(diǎn)的橫向位移u（X,t），從(2)立假設(shè)：弦振動(dòng)是微小的，|i，因此，sintan,cos1，又Q_Utan，_U1;弦是柔軟的，即在它的橫截面內(nèi)不產(chǎn)生應(yīng)xx力，則在拉緊的情況下弦上相互間的拉力即張力T(x,t)始終是沿弦的切向(等價(jià)于弦上相互間有小的彈簧相連)；所有外力都垂直于x軸，外力線密度為F(x,t):設(shè)弦的線密度(細(xì)長)為(x,t)，重力不計(jì)。(3)取局部：在點(diǎn)x處取弦段dx,dx是如此之小，以至可以把它看成質(zhì)點(diǎn)(微元)。質(zhì)量微元：h2(x,t)dx;微弧長：ds加du2$_Udxdx(即這一小段的長度在振動(dòng)過程中可以認(rèn)為是不變的，因此它的密度x,t不隨時(shí)間

5、變化，另外根據(jù)Hooke定律fkx可知，張力T(x,t)也不隨時(shí)間變化，我們把它們分別記為x和T(x).(4)找作用：找出弦段所受的力。外力：F(x,t)dx，垂直于x軸方向；張力變化：Tcos|xdxTcos|xT(xdx)T(x),x方向緊繃，Tsin|xdxTsin|xTUx|xdxTUx|xTUxxdx,垂直于x軸方向。(5)列方程：根據(jù)牛頓第二定律T(xdx)T(x)0,因x方向無位移，故T(xdx)T(x)T.(x)dxu(tF(x,t)dxTuxxdxF(x,t)dxTuxxdx即,UttTuxxf(x,t)，其中f(X,t)仏衛(wèi)是單位質(zhì)量所受外力。如果弦是均勻的，即為常數(shù)，則可

6、寫a為弦振動(dòng)的傳播速度，則2UttaUxxf(x,t).2自由振動(dòng)(f0):UttaUxx0(齊次方程)。小結(jié)1:對(duì)于弦的橫振動(dòng)、桿的縱振動(dòng)方程(一根彈性均勻細(xì)桿的微小振動(dòng)問題)、薄膜的橫振動(dòng)方程(張緊的柔軟膜的微小振動(dòng)問題)，在不受外力情況下，其振動(dòng)的微分方程為:Utta22u（齊次方程）其中a為振動(dòng)的傳播的速度。當(dāng)單位質(zhì)量所受外力為f時(shí)，其振動(dòng)微分方程為：Utta22uf（非齊次方程）定解問題第一節(jié)從物理問題和相應(yīng)的物理定律導(dǎo)出了其所滿足的偏微分方程，但總是選擇物體內(nèi)部，不含端點(diǎn)或邊界，對(duì)一小部分來討論其運(yùn)動(dòng)狀況，僅反映了物體內(nèi)部各部分之間的相互聯(lián)系，且在區(qū)域內(nèi)部相鄰之間、相繼時(shí)刻之間的這

7、種聯(lián)系（規(guī)律）通常與周圍環(huán)境（邊界上）和初始時(shí)刻對(duì)象（體系）所處的狀態(tài)無關(guān)。僅有方程還不足以確定物體的運(yùn)動(dòng)，因?yàn)橥饨绲淖饔猛ǔＪ峭ㄟ^物體邊界“傳”到內(nèi)部的；一個(gè)方程可能有多個(gè)解，通解中含若干任意常數(shù)（函數(shù)），初始條件和邊界條件就是確定它們的條件。求一個(gè)微分方程的解滿足一定初始條件和邊界條件的問題稱為定解問題：初始條件泛定方程&定解條件邊界條件銜接條件自然條件1. 初始條件u（x,t）t0（X），即已知初位移（X）和初速度（X）Ut（X,t）t0（X）.2. 邊界條件i.第一類邊界條件-狄利克雷條件（Dirichlet邊界條件）：直接給出了未知函數(shù)在邊界上的值。ii.第二類邊界條件-諾依

8、曼條件（Neumann邊界條件）：給出未知函數(shù)在邊界上法向?qū)?shù)的值。自由端點(diǎn)邊界（端點(diǎn)不受外力，自由振動(dòng)，意味著弦張力在振動(dòng)方向無分量）屬于此類，邊界條件為ux（0,t）0或ux（l,t）0iii.第三類邊界條件-羅賓條件：給出未知函數(shù)和其邊界法向?qū)?shù)在邊界上的線性關(guān)系。彈性支撐邊界(端點(diǎn)受到彈簧的約束而無外力)屬于此類，邊界條件為：Ux(O,t)hu(O,t)0Note:初始條件和邊界條件是場運(yùn)動(dòng)規(guī)律的極限。例1.對(duì)弦的橫振動(dòng)問題導(dǎo)出下列情況的定解條件：弦的兩端點(diǎn)x0和xl固定，用手將弦上的點(diǎn)xc(0cl)拉開使之與平衡位置的偏離為h(hl)，然后放手。解：兩端固定，所以邊界條件為：u(0,

9、t)0,u(l,t)0由點(diǎn)xc的初始位移求出其他點(diǎn)的初始位移，它們是兩段直線方程，容易求得：hx,(0xc)u(x,0)(x)c-(lx),(cxl)lc顯然，初速度為零：ut(x,0)0第二節(jié)齊次方程混合問題的傅里葉解分離變量法本征值問題Abstract:求解數(shù)理方程定解問題的方法有分離變量法、行波法、積分變換法、變分法、復(fù)變函數(shù)論等，這些方法各有千秋。分離變量法普遍適用，在其使用條件下，自然導(dǎo)致了問題的核心一本征值問題。求解常微分方程：一般先求通解，再用初始/邊界條件定其參數(shù)；求解偏微分方程，即使求得通解，亦難于由定解條件來定解(含任意函數(shù))一本征值問題可解決此類問題。利用分離變量法求解齊

10、次弦振動(dòng)方程的混合問題分離變量法：把二元函數(shù)u(x,t)表示為兩個(gè)一元函數(shù)相乘u(x,t)X(x)T(t)；然后帶入函數(shù)的二階偏微分齊次方程utta2uxx0,把偏微分方程化為兩個(gè)常微分方程；把偏微分方程的邊界條件轉(zhuǎn)化為常微分方程的邊界條件。題型I:方程和邊界條件都是齊次的，而初始條件是非齊次的例題1:下面以兩端固定弦的自由振動(dòng)為例(第一類齊次邊界條件):2UttaUxx0Oxi,Ux00；Uxl0,ut0(x)；Utto(x).注意這里的邊界條件。第一步，分離變量，將二階偏微分方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)常微分方程。設(shè)u(x,t)X(x)T(t)取此特解形式，可得駐波解：T(t)是振蕩函數(shù)，而與x無關(guān),X

11、(x)是幅度函數(shù)，與t無關(guān),將此u(x,t)X(x)T(t)代入泛定方程，即得2X(x)T(t)aX(x)T(t).等式兩端除以a2X(x)T(t)，就有T(t)2aT(t)X(x)X(x)注意在這個(gè)等式中，左端只是t的函數(shù)，與x無關(guān)，而右端只是x的函數(shù)，與t無關(guān)。因此，左端和右端相等，就必須共同等于一個(gè)既與x無關(guān)、又與t無關(guān)的常數(shù)。令這個(gè)常數(shù)(參數(shù))，即,Ta2T(t)X(x)X(x)由此得到兩個(gè)常微分方程:()()2T(t)aT(t)0X(x)X(x)0第二步，將U(x,t)原來的邊界條件轉(zhuǎn)化為X(x)的邊界條件。將此u(x,t)X(x)T(t)代入邊界條件，得X(0)T(t)0，X(l)

12、T(t)0,轉(zhuǎn)化為X(x)的邊界條件：X(0)0，X(l)0因?yàn)門(t)不可能恒為0,否則u(x,t)恒為0()這樣就完成了分離變量法求解偏微分方程定解(亦定界)問題的前兩步：分離變量。在這兩步中，假設(shè)所要求的是變量分離形式的非零解u(x,t)X(x)T(t)，導(dǎo)出了函數(shù)X(x)應(yīng)該滿足的常微分方程和邊界條件，以及T(t)所滿足的常微分方程。分離變量之所以能夠?qū)崿F(xiàn)，是因?yàn)樵瓉淼钠⒎址匠毯瓦吔鐥l件都是齊次的(可分離變量)第三步,求解本征值問題上面得到的函數(shù)X(x)的常微分方程定解問題，稱為本征值問題。其特點(diǎn)是：常微分方程X(x)X(x)0中含有一個(gè)待定常數(shù)，而定解條件X(0)0,X(l)0是一

13、對(duì)齊次邊界條件。這樣的定解問題不同于我們過去熟悉的常微分方程的初值問題。下面將看到，并非對(duì)于任何值，都有既滿足齊次常微分方程，又滿足齊次邊界條件的非零解。只有當(dāng)取某些特定值時(shí)，才有既滿足齊次常微分方程，又滿足齊次邊界條件的非零解X(x).的這些特定值稱為本征值(eigenvalue)，相應(yīng)的非零解稱為本征函數(shù)(eigenfunction).通過討論分析得出只有0時(shí)，方程()的解才有意義。因此,0時(shí)解()式得,X(x)Acos、xBsinx.將這個(gè)通解代入邊界條件()，就有A°_即AAcos、lBsin、l0.Bsin、l0.A和B不能同時(shí)為0，否則X(x)恒為零，u(x,t)恒為(平

14、凡解，雖然零解無物理意義,但至少說明數(shù)學(xué)上可能行得通)，因此只能是,sin一l0，即1,2,3,曰是,只能取如下的一系列值:1,2,3,；相應(yīng)的本征函數(shù)就是:Xn(x)sin丨x不同的B值給出的是線性相關(guān)這樣求得的本征值有無窮多個(gè),這里取B1，因?yàn)槲覀兯蟮谋厝恢皇蔷€性無關(guān)解。的。由于同樣的原因，我們也不必考慮n為負(fù)整數(shù)的情形。他們可以用正整數(shù)n標(biāo)記，因此，我們把本征值和本征函數(shù)分別記為n和Xn(x).第四步,求特解，并進(jìn)一步疊加出一般解：對(duì)于每一個(gè)本征值n，由T(t)a2T(t)0()解出相應(yīng)的Tn(t):Tn(t)nCncosatlDnsinat.因此，也就得到了滿足偏微分方程和邊界條件

15、的特解Un(X,t)nnnCncosatDnsinatsinxnlnlln1,2,3,這樣的特解有無窮多個(gè)n1,2,3,。每一個(gè)特解都同時(shí)滿足齊次偏微分方程和齊次邊界條件。它們是一系列的駐波。但是,般來說，單獨(dú)任何一個(gè)特解都不能滿足定解問題中的初始條件。然而，由于偏微分方程和邊界條件都是齊次的，把它們的特解線性疊加起來,u(x,t)n丄Cncosatn1nlDnsinatnl.nsinx.l這樣得到的u(x,t)也仍然是齊次偏微分方程在齊次邊界條件下的解(當(dāng)然要求此級(jí)數(shù)收斂且可以逐項(xiàng)求二階偏導(dǎo)，即求和和求導(dǎo)可以交換次序)。這種形式的解稱為一般解?，F(xiàn)在根據(jù)初始條件中的已知函數(shù)(x)和(x)定出疊

16、加系數(shù)Cn和Dn.將上面的一般解代入初始條件，得n(x)CnSinx,(7.4)n1l(x)n-DnsinX.(7.5)n1ll注：(x)是已知函數(shù)而非任意函數(shù)x).u(x,t)既要滿足方程又要滿足條件。un(x,t)由Xn(x)構(gòu)成，(X)亦由Xn(x)構(gòu)成。初、邊條件僅是其內(nèi)部規(guī)律的極限。第五步,利用本征函數(shù)的正交性確定疊加系數(shù)：設(shè)Xn(x)si和Xm(x)si是分別對(duì)應(yīng)本征值n和m的兩個(gè)本征函數(shù)，nm(即nm).顯然，它們分別滿足()()()Xn(x)nXn(x)0,Xn(0)0,Xn(l)0.Xm(X)mXm(X)0,()Xm(O)0,Xm(l)0.用Xm(x)乘以，用Xn(x)乘以，

17、相減并在區(qū)間0,1上積分，即得llnm0Xn(X)Xm(X)dX°Xn(X)Xm(X)Xm(X)Xn(X)dXXn(X)Xm(X)Xm(X)Xn(X)00,其中利用了Xn(X)和Xm(X)所滿足的邊界條件()和().考慮到.m，因此，就證得本征函數(shù)的正交性l0Xn(x)Xm(x)dx0,nm進(jìn)一步計(jì)算還可以得到本征函數(shù)的模方：|Xn(X)：Xn2(X)dX1所以,因此，在式兩端同乘以(x)sinmxdxlXm(x)sin牛x，并逐項(xiàng)積分，就得到0n1CnsinsindxlliCnsinn0n1nx.mxsinlidxCm2Cn2lo(x)sin.同樣可以得到,nxl21Dn(x)si

18、nna0nx,dx.l(實(shí)為傅里葉級(jí)數(shù)的奇延拓)這樣，根據(jù)初始條件中的已知函數(shù)(x)和(X)，計(jì)算出積分，就可以得到疊加系數(shù)Cn和Dn，從而就求得了整個(gè)定解問題的解。Step6,解的物理解釋先觀察特解:Un(X,t)cn丄.nCncosatDnSinllatsinXNnsinntnSinknX,l其中,nan，knl午，NncosnCn，NnsinnDn.因此，Un(X,t)代表個(gè)駐波，NnSinknX表示線上各點(diǎn)的振幅分布,sinntn表示點(diǎn)諧振動(dòng)。n是駐波的圓頻率，稱為兩端固定弦的固有頻率或本征頻率，與初始條件無關(guān);kn稱為波數(shù)，是單位長度上波的個(gè)數(shù)；n稱為位相，由初始條件決定。在knXm

19、，即xm.knmnI,m0,1,2,n的各點(diǎn)上，振動(dòng)的幅度恒為0,稱為波節(jié)。包括弦的1兩個(gè)端點(diǎn)在內(nèi)，波節(jié)點(diǎn)共有n1個(gè)。在knxm，即2x2m12kn2m1I.2n,m0,2,n1的各點(diǎn)上，振幅的絕對(duì)值恒為最大，稱為波腹。波腹共有n個(gè)。整個(gè)問題的解則是這些駐波的迭加。正是因?yàn)檫@個(gè)原因，這種解法也稱為駐波法（agenerizedmethodoftheseparationvariables）.就兩端固定弦來說，固有頻率中有一個(gè)最小值，即1，稱為基頻。其它固有頻率l都是它的整數(shù)倍，稱為倍頻。弦的基頻決定了所發(fā)聲音的音調(diào)。在弦樂器中，當(dāng)弦的質(zhì)料一定（即一定）時(shí)，通過改變弦的繃緊程度（即改變張力T的大?。?/p>

20、，就可以調(diào)節(jié)基頻1的大小?；l和倍頻的迭加系數(shù)Cn和Dn的相對(duì)大小決定了聲音的頻譜分布，即決定了聲音的音色。小結(jié)2:對(duì)于弦振動(dòng)的齊次方程和第一類齊次邊界條件的混合問題，即:2uttaUxx00xl0,0;ut0(x);utt0(x).（注意：這里的x的范圍和函數(shù)的邊界條件的表示）它的解是：u(x,t)CncosatDnsinatsinxI0I其中:Cn(x)sindx(x)sindx習(xí)題七的1-6題屬于例題1類型例題2，弦振動(dòng)的齊次邊界條件中存在第二類邊界條件，如:2uttauxx0OxiUx0;ut0(X)；ut0,(x).注意：邊界條件與例題1不一樣第一步，分離變量，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)

21、常微分方程。令u(x,t)X(x)T(t)，并代入泛定方程，即得X(x)T(t)a2X(x)T(t)等式兩端同時(shí)除以X(x)T(t)，就有X(x)T(t)X(x)a2T(t)由此得到兩個(gè)常微分方程：X(x)X(x)0,T(t)a2T(t)0.第二步，將原函數(shù)的邊界條件化為分離變量后函數(shù)的邊界條件將u(x,t)X(x)T(t)代入關(guān)于x的一對(duì)齊次邊界條件，得X(0)T(t)0，X(l)T(t)0得X的邊界條件為:X(0)0，X(l)0第三步，解X(x)本征值問題。這樣，我們得到本征值問題：X(x)X(x)0,X(0)0，X(l)0.0才有解解得：X(x)Acos.xBsin-x.得到：X(x)、

22、.Asinx廣Bcosx代入邊界條件，就有B°_即B0;_AcoslBsin.l0.Acosl0.A和B不能同時(shí)為0,否則X(x)恒為零，因而u(x,t)恒為0(平凡解)。因此只能是cosi丨0，即'一l(n-)20,123,曰是,只能取如下的一系列值:2(n1)了n0,1,2,3,相應(yīng)的本征函數(shù)就是:Xn(X)1cos(n)x.2l第四步，解T(t)的微分方程，得到u(x,t)的特解un(x,y)，疊加得出一般解。對(duì)于每一個(gè)本征值n，可以求出相應(yīng)的Tn(t):Tn(t)Cncos(n1)2a1aytDnSin(n?)亍t.因此，也就得到了滿足邊界條件的特解Un(X,t)Cn

23、C0S2)aTt1 a1Dnsin(n)tcos(n)x.2 l2l把這些特解疊加起來,就得到一般解u(x,t)CnC0S(ni)aTt1 a1Dnsin(n)tcos(n)x.2 l2l第五步，由本征函數(shù)的正交歸一性，得到系數(shù)，確定解。將上面的一般解代入初始條件，根據(jù)本征函數(shù)的正交性得系數(shù)為:2i1Cn-0(x)cos(n2)jXdx,4i1xDn(0(x)cos(n1)nrdx例題3，弦振動(dòng)的齊次方程和齊次第一類、第二類邊界條件x00；Uxxt0(x);Ut0uu02UttaUxxi0,(x).注意：邊界條件與例題1、例題2都不一樣。第一步，分離變量，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)常微分方程。令u

24、(x,t)X(x)T(t)，并代入泛定方程，即得X(x)T(t)a2X(x)T(t)等式兩端同時(shí)除以X(x)T(t)，就有X(x)T(t)X(x)a2T(t)由此得到兩個(gè)常微分方程：X(x)X(x)0,2T(t)aT(t)0.第二步，將原函數(shù)的邊界條件化為分離變量后函數(shù)的邊界條件將u(x,t)X(x)T(t)代入關(guān)于x的一對(duì)齊次邊界條件，得X(0)T(t)0，X(l)T(t)0，這時(shí)也可以分離變量，得X的邊界條件為:X(0)0，X(l)0.第三步，解X(x)本征值問題。這樣，我們得到本征值問題：X(x)X(x)0,X(0)0，X(l)0.0才有解解得：X(x)Acos*xBsin、x.得到：X

25、(x)、Asin、xBcosx以上兩式代入邊界條件，就有_即A0；_A.,sin廣I,_Bcos廠l0.Bcos廠l0.A和B不能同時(shí)為0,否則X(x)恒為零，因而u(x,t)恒為0(平凡解)。因此只能是_1cos0，即J(n-)0,123,曰是,只能取如下的一系列值:2(n扌)n0,1,2,3,相應(yīng)的本征函數(shù)就是:Xn(X)1sin(n)x.2l第四步，解T(t)的微分方程，得到u(x,t)的特解Un(x,y)，疊加得出一般解。對(duì)于每一個(gè)本征值n，可以求出相應(yīng)的Tn(t)：因此，也就得到了滿足邊界條件的特解Un(X,t)1aCncos(n2)arta1atDnSin(n“1a1Dnsin(n

26、2)artsin(n2)rx-把這些特解疊加起來,就得到一般解u(x,t)1aCnC0S(n打1a1Dns"(n/J吋跖m第五步，由本征函數(shù)的正交歸一性，得到系數(shù)，確定解。將上面的一般解代入初始條件，根據(jù)本征函數(shù)的正交性得系數(shù)為:Cn-'(x)sin(n)_xdx,ni02I4i1xDn0(x)sinKn/丁皿小結(jié)3:對(duì)于弦的自由振動(dòng)，針對(duì)齊次邊界條件中存在第二類邊界條件的兩類例題:2UttaUxx0Oxi例題2Uxx00；uxi0,ut0(x)；Utt0(x).的解為u(x,t)Cncos(n1a1t5/JCOS訣其中Cn1(x)cos(n)xdx,2lDn(2n1)al1

27、x0(x)cos(n?)-pdx2uttauxx00xl例題3u00;uxl0,x07xxl1Ut0(x);Utt0(x).的解為U(x,t)Cncos(n1a1tDns"(n/TU刑52)Tx.其中Cn1(x)sin(n)xdx,2lDn(2n1)a0l1x(x)sin(n?)Tdx習(xí)題七的13題屬于例題2類型題型II:方程為齊次，邊界條件為非齊次。以習(xí)題10為例：求解長為I的弦的振動(dòng)問題2UttaUxx00Xl(1)Ux0E;uxl0,Ut00;utt00.注意邊界條件，邊界條件為非齊次，直接用分離變量法無法求出解，所以需將非齊次邊界條件處理成齊次邊界條件，再用分離變量法。解題方

28、法：用輔助函數(shù)法，把非齊次邊界條件轉(zhuǎn)化為齊次邊界條件。令函數(shù)u(x,t)V(x,t)s(x,t)，其中s(x,t)為已知函數(shù)。已知函數(shù)s(x,t)的選取條件是:必須能夠使得V(x,t)滿足齊次邊界條件的混合問題，即：Vtta2Vxx00xl,V(0,t)0；V(l,t)0,解：第一步，找出已知函數(shù)令u(x,t)V(x,t)(4)第二步，把上式帶入u(x,t)的混合問題，轉(zhuǎn)化為V(x,t)的齊次邊界條件的混合問題。把公式(4)帶入公式(1)得：2VttaVxx(5)將公式(2)帶入公式(4)得：V(0,t)0；V(l,t)0(6)將公式(3)帶入公式(4)得：V(x,0)片如(7)Vt(x,0)

29、0(8)這樣，函數(shù)V(x,t)滿足的混合問題為：Vtta2VxX00xl,V(0,t)0;V(l,t)0,(xl)V(x,0)(x)E;Vt(x,0)(x)0第三步，解關(guān)于V(x,t)的混合問題V(x,t)的混合問題為例題1所以V(x,t)解為V(x,t)nCncosatiInDnsinatsinnI其中:nxo(x)sinjdx2Dn(x)sinIE(xI).nxsindx0IInxdx0I第四步，寫出原方程的解。(Ix)EI由u(x,t)V(x,t)得:u(xt)TeCncosIatDnsinatsinxII(0).(x)為充分光滑的已知函數(shù)。習(xí)題七第12題:x00;uxl0t0(x);5

30、t0(x)(3)0(1)uuxI其中h是一個(gè)充分小的正數(shù)，(x),2UttaUxx2hut分析：泛定方程(1)式除了u,不存在第二個(gè)函數(shù)項(xiàng)，所示是齊次微分方程，(2)式為邊界條件而且是齊次的，所以該題可以用分離變量法。解：第一步，分離變量，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)常微分方程。令U(x,t)X(x)T(t)將(4)式代入方程(1)，即得2X(x)T(t)aX(x)T(t)2hX(x)T(t)等式兩端同時(shí)除以X(x)T(t)，把關(guān)于x和t的函數(shù)分移至等號(hào)兩邊，有X(x)T(t)2hT(t)2X(x)aT(t)由此得到兩個(gè)常微分方程:X(x)X(x)0(5)2T(t)2hT(t)aT(t)0(6)第二

31、步，將原函數(shù)的邊界條件化為分離變量后函數(shù)的邊界條件將u(x,t)X(x)T(t)代入關(guān)于x的一對(duì)齊次邊界條件(2)式，得X(0)T(t)0，X(l)T(t)0，這時(shí)也可以分離變量，得X函數(shù)的邊界條件為:X(0)0，X(l)0(7)第三步，解X(x)本征值問題。這樣，我們得到本征值問題X(x)X(x)0,X(0)0，X(l)0.解得：X(x)Acos、xBsinix.代入邊界條件，就有A0;AcosiIBsinI0.A0;BsinI0.A和B不能同時(shí)為0,否則X(x)恒為零，因而u(x,t)恒為0(平凡解)。因此只能是sin、丨0，即lnn1,2,3,L曰是,只能取如下的一系列值:n(f)2n1

32、,2,3,L;相應(yīng)的本征函數(shù)就是:Xn(x)nsin(x)l(8)第四步，解T(t)的微分方程，得到u(x,t)的特解un(x,y)，疊加得出一般解。解(6)式：T(t)2hT(t)a2T(t)(6)式的特征函數(shù)為r22hra20，其特征根為:rhi-a2h2因此(6)式解為:T(t)Ce(hiah)tDe(hiah)teht(Ccos.h2tDsin、.t)對(duì)于每一個(gè)本征值n，相應(yīng)的Tn(t):Tn(t)ehtCnCOstJ(a+)2h2DnSintj(a十)2h2.因此，也就得到了滿足邊界條件的特解：htn22In22nUn(x,t)eCnCOst,.(al)hDnSinti(aJhsin

33、(-px)把這些特解疊加起來，就得到一般解：u(x,t)ehtCncostj(a牛)2h2DnSin店牛)2h2sin(牛x)(9)第五步，由本征函數(shù)的正交性，得到系數(shù)，確定解。將初始條件u(x,0)(x)代入上面的一般解，得：u(x,0)Cnsin(x)(x)n1l根據(jù)本征函數(shù)sinGx)的正交性得系數(shù)為:(10)21nCn-0(x)sin(-px)dx(9)式對(duì)t求導(dǎo)為:Ut(x,t)hehtCncost#(a午)2h2Dnsint#(a-j)2h2sin(nTx)ehtC.(a：)2n11lh2sintj(a午)2h2DnJ(a*)2h2cos'(ap)2h2sin()將初始條件

34、ut(x,0)(x)帶入上求導(dǎo)式，得ut(x,0)hCnsin(:x)n1lh2sin(dx)(x)根據(jù)本征函數(shù)sin(丄x)的正交性，得:lhcgDn2(anl)2h2|n0(x)sin(x)dx把（10）式帶入，得到n(x)sin(x)dx(x)sin(x)dx(11)該題的解為（9）式，（10）式和（11）式為（9）式中的系數(shù)。第四節(jié)非齊次振動(dòng)方程求解前面所討論的問題中的偏微分方程都是齊次的，現(xiàn)在來討論非齊次偏微分方程的解法。為方便起見，以長為I兩端固定的弦的強(qiáng)迫振動(dòng)為例，所用方法對(duì)其它類型的方程也適合。即考慮定解問題22(4.1)(4.2)(4.3)2a2專f(x,t)(0xl,t0)

35、,txUx00,uxl0(t0),x(0xI).uUt0x,tt0由所給的定解問題可以看出：弦兩端固定，所以做的是強(qiáng)迫振動(dòng)方法1：直接利用本征函數(shù)來求解，即把解展開成本征函數(shù)的形式，求出參數(shù)。（該方法的前提條件是要知道此定解問題對(duì)應(yīng)的齊次方程的本征函數(shù)）由上節(jié)例題1可知：兩端固定的弦的自由振動(dòng)在弦上形成駐波形式，其本征值為n（）2，本征函數(shù)為sin_x。則該弦在強(qiáng)迫力f（x,t）作用下仍作類似該駐波形式的II振動(dòng)，因此，直接利用本征函數(shù)來求解。第一步，將上述定解問題中未知函數(shù)u（x,t）、已知函數(shù)f（x,t）、（x）和（X）都展開成本征函數(shù)sinnx的級(jí)數(shù)形式。令I(lǐng)U(x,t)Tn(t)sinxn1I（）f(x,t)fn(t)sinx（）n1I(x)nSinxn1I（）/、n(x)nsinxn1I（）由本征函數(shù)的正交性可知：2in冗，fn(t)-0f(x,t)sinxdx(x)sinnxdx(x)sinxdx()()()第二步，通過比較系數(shù)，得出參