無線通信信號處理_第2講(現(xiàn)代譜估計-續(xù))

1、1 第二講（續(xù)）第二講（續(xù)） 現(xiàn)代譜估計現(xiàn)代譜估計-高階譜估計高階譜估計南京郵電大學 鄭寶玉2015.8.202研究的必要性研究的必要性高階統(tǒng)計量高階統(tǒng)計量高階譜高階譜高階累積量和多譜的性質(zhì)高階累積量和多譜的性質(zhì)三階相關(guān)和雙譜及其性質(zhì)三階相關(guān)和雙譜及其性質(zhì)累量與多譜估計累量與多譜估計基于高階譜的相位譜估計基于高階譜的相位譜估計基于高階譜的模型參數(shù)估計基于高階譜的模型參數(shù)估計多譜的應用多譜的應用 參考:姚天任等現(xiàn)代數(shù)字信號處理(184-199；204-205)3 研究高階譜的必要性研究高階譜的必要性v 關(guān)于關(guān)于模型參數(shù)估計問題模型參數(shù)估計問題所謂模型參數(shù)估計，就是根據(jù)有限長的數(shù)據(jù)序列所謂模型參數(shù)

2、估計，就是根據(jù)有限長的數(shù)據(jù)序列(如模如模型輸出端所觀測到的信號型輸出端所觀測到的信號y(n)來估計圖中隨機信號模型來估計圖中隨機信號模型的參數(shù)，的參數(shù)，)與前面所述不同之處在于：這里與前面所述不同之處在于：這里考慮考慮了觀測過程所了觀測過程所引引入入的的噪聲噪聲v(n). H ( z ) ( h ( n ) )v(n)y(n)x(n)u(n)圖圖14v 基于二階統(tǒng)計量的模型參數(shù)估計方法的缺陷基于二階統(tǒng)計量的模型參數(shù)估計方法的缺陷 前述模型參數(shù)估計方法中，估計得到的模型參數(shù)僅與前述模型參數(shù)估計方法中，估計得到的模型參數(shù)僅與 信號的自相關(guān)函數(shù)或功率譜包絡相匹配；其功率譜不信號的自相關(guān)函數(shù)或功率譜包

3、絡相匹配；其功率譜不 含信號的相位特性，亦稱含信號的相位特性，亦稱盲相盲相。即。即)()()(22aeHSju 這種模型這種模型只適合只適合于于高斯隨機信號高斯隨機信號，因為高斯信號僅用，因為高斯信號僅用 二階統(tǒng)計量二階統(tǒng)計量(均值和方差均值和方差)就能加以描述。就能加以描述。 研究高階譜的必要性研究高階譜的必要性5v二階統(tǒng)計量方法的基本限制二階統(tǒng)計量方法的基本限制 前面討論的方法中，一般都假設：前面討論的方法中，一般都假設： 信號模型中的系統(tǒng)信號模型中的系統(tǒng)H(z)是最小相位的。是最小相位的。 激勵信號激勵信號u(n)是均值為零是均值為零, 方差為方差為 的高斯白噪聲。的高斯白噪聲。 測量信

4、號測量信號v(n)是均值為零是均值為零, 方差為方差為 的高斯白噪聲；且的高斯白噪聲；且 v(n)與信號與信號x(n)統(tǒng)計無關(guān)統(tǒng)計無關(guān), 即即v(n)不影響信號的譜形狀不影響信號的譜形狀 ,故有故有 2u2v)()()()()()()(22222mhmnynuEmRHSSuuyvuvxxyy(b) 由此可見由此可見,信號模型的沖激響應信號模型的沖激響應h(n) 必須由輸入激勵必須由輸入激勵 u(n) 與輸出信號與輸出信號y(n)的互相關(guān)才能得到。在許多實際應用中，的互相關(guān)才能得到。在許多實際應用中， 這是很困難的這是很困難的。但信號的高階統(tǒng)計信號的高階統(tǒng)計 量能夠沖激響應量能夠沖激響應h(n)

5、。 研究高階譜的必要性（續(xù)）研究高階譜的必要性（續(xù)）6v 二階統(tǒng)計量方法存在的問題二階統(tǒng)計量方法存在的問題 在許多實際應用在許多實際應用( (如地震勘探、水聲信號處理、遠程通如地震勘探、水聲信號處理、遠程通 信信) )中，往往不能滿足上述假設；甚至系統(tǒng)是非線性的。中，往往不能滿足上述假設；甚至系統(tǒng)是非線性的。 對于非高斯信號的模型參數(shù)，如僅僅考慮與自相關(guān)函數(shù)對于非高斯信號的模型參數(shù)，如僅僅考慮與自相關(guān)函數(shù) 匹配，就不可能充分獲取隱含在數(shù)據(jù)中的信息。匹配，就不可能充分獲取隱含在數(shù)據(jù)中的信息。 若信號不僅是非高斯的，而且是非最小相位的，采用基若信號不僅是非高斯的，而且是非最小相位的，采用基 于自相

6、關(guān)函數(shù)的估計方法所得到的模型參數(shù)，就不能反于自相關(guān)函數(shù)的估計方法所得到的模型參數(shù)，就不能反 映原信號的非最小相位特點。映原信號的非最小相位特點。 當測量噪聲較大，尤其當測量噪聲有色時，基于自相關(guān)當測量噪聲較大，尤其當測量噪聲有色時，基于自相關(guān) 函數(shù)的估計方法所得到的模型參數(shù)有較大的估計誤差。函數(shù)的估計方法所得到的模型參數(shù)有較大的估計誤差。 研究高階譜的必要性（續(xù)）研究高階譜的必要性（續(xù)）7v 解決問題的方法解決問題的方法 從觀測數(shù)據(jù)中從觀測數(shù)據(jù)中提取相位信息提取相位信息 信號分析必須具有信號分析必須具有抗有色噪聲干擾抗有色噪聲干擾的能力的能力 因此，必須用高階譜因此，必須用高階譜( (高階統(tǒng)計

7、量高階統(tǒng)計量) )來分析信號來分析信號 研究高階譜的必要性（續(xù)）研究高階譜的必要性（續(xù)）8隨機信號的高階特征隨機信號的高階特征 不同不同ARMA過程具有相同形狀的功率譜過程具有相同形狀的功率譜, ,即即模型的多重性模型的多重性兩個具有零均值和相同方差的高斯白色噪聲和指數(shù)分布兩個具有零均值和相同方差的高斯白色噪聲和指數(shù)分布 白色噪聲顯然是不同的隨機過程白色噪聲顯然是不同的隨機過程, ,但它們的功率譜相同但它們的功率譜相同用這樣兩個白色噪聲激勵同一個用這樣兩個白色噪聲激勵同一個ARMA模型模型, ,產(chǎn)生的兩個產(chǎn)生的兩個 ARMA過程顯然是不同的隨機過程過程顯然是不同的隨機過程, ,但它們的功率譜相

8、同但它們的功率譜相同兩個灰度圖相同的圖像有可能是不同的圖像。兩個灰度圖相同的圖像有可能是不同的圖像。以上事實說明以上事實說明:要準確地刻畫隨機信號要準確地刻畫隨機信號, 僅使用相關(guān)函數(shù)僅使用相關(guān)函數(shù)(二階統(tǒng)計量二階統(tǒng)計量)是不夠的是不夠的, 還必須使用更高階的統(tǒng)計量。還必須使用更高階的統(tǒng)計量。三階和更高階的統(tǒng)計量統(tǒng)稱三階和更高階的統(tǒng)計量統(tǒng)稱高階統(tǒng)計量高階統(tǒng)計量。相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)(二階二階)： 刻畫信號的粗糙像高階統(tǒng)計量高階統(tǒng)計量： 刻畫信號的細節(jié)9v 特征函數(shù)與高階矩特征函數(shù)與高階矩 特征函數(shù)特征函數(shù)：隨機變量：隨機變量 x 的特征函數(shù)定義為的特征函數(shù)定義為)1 ()()(adxexfeEvj

9、vxjvx或或)1 ()()(bdxexfeEssxsx其中其中 f(x) 是隨機變量是隨機變量 x 的概率密度函數(shù)。的概率密度函數(shù)。 高階矩高階矩：對：對(1b)求求k 階導數(shù)，得階導數(shù)，得kksxkkdssdexEs)()(則隨機變量則隨機變量x 的的k 階矩階矩(即即k 階原點矩階原點矩)定義為定義為)2()()0(0skkkkkdssdxEm由于由于k 階矩由階矩由 生成，故特征函數(shù)生成，故特征函數(shù) 為隨機變量為隨機變量x的的矩生成函數(shù)矩生成函數(shù)(矩母函數(shù)矩母函數(shù))，又成為，又成為第一特征函數(shù)第一特征函數(shù)。)(s)(s10v 累積量生成函數(shù)與高階累積量累積量生成函數(shù)與高階累積量(cum

10、ulant)累積量生成函數(shù)累積量生成函數(shù))3()(ln)(avv或或)3()(ln)(bss稱為稱為累積量生成函數(shù)累積量生成函數(shù)(第二特征函數(shù)第二特征函數(shù)或或累積量母函數(shù)累積量母函數(shù))。高階累積量高階累積量：隨機變量：隨機變量x x 的的k k 階累積量階累積量定義為定義為 ) 3()(0skkkdssdc即累積量生成函數(shù)的即累積量生成函數(shù)的k k 階導數(shù)在原點的值。階導數(shù)在原點的值。11v累積量生成函數(shù)與高階累積量累積量生成函數(shù)與高階累積量(cumulant)高階矩與高階累積量的關(guān)系高階矩與高階累積量的關(guān)系.)(61243)5()(23)(41412213122443131213321212

11、211mxEmmmmmmmcmxEmmmmcmxEmmcxEmc 關(guān)系關(guān)系:(注意注意：k 階中心矩階中心矩定義為定義為 ) 結(jié)論結(jié)論: 二、三階累積量分別是二、三階中心矩；均值為二、三階累積量分別是二、三階中心矩；均值為 零時零時, 就是二、三階相關(guān)就是二、三階相關(guān)(矩矩) 四階以上的累積量不等于相應的中心矩四階以上的累積量不等于相應的中心矩kxxE)(12v 累積量的物理意義累積量的物理意義 高斯隨機變量的高階矩與累積量高斯隨機變量的高階矩與累積量 高斯隨機變量可用二階矩完全描述高斯隨機變量可用二階矩完全描述。實際上。實際上,零均值高斯零均值高斯 隨機變量的隨機變量的k 階矩階矩(或零均值

12、的或零均值的k 階中心矩階中心矩)為為 高斯隨機變量只有一階和二階累積量高斯隨機變量只有一階和二階累積量；其二階以上的累；其二階以上的累 積量為零積量為零, 它不提供新的信息。即它不提供新的信息。即為奇數(shù)，為偶數(shù)kkkxEmkkk0,)1(,.,5 , 3 , 1 可見，其可見，其高階矩高階矩仍然仍然取決取決于于二階矩二階矩 。2 若若任一隨機變量與高斯隨機變量有相同的二階矩任一隨機變量與高斯隨機變量有相同的二階矩, 則累積則累積 量就是它們高階矩的差。故有如下累積量的物理意義。量就是它們高階矩的差。故有如下累積量的物理意義。) 3(0,221kccmck13v 累積量的物理意義累積量的物理意

13、義 一一階累積量數(shù)學期望階累積量數(shù)學期望:描述了概率分布的中心描述了概率分布的中心 二階累積量方差：二階累積量方差： 描述了概率分布的描述了概率分布的離散程度離散程度 三階累積量三階矩：三階累積量三階矩： 描述了概率分布的描述了概率分布的不對稱程度不對稱程度累積量累積量衡量衡量任意隨機變量任意隨機變量偏離偏離正態(tài)正態(tài)(高斯高斯)分布的分布的程度程度物理意義物理意義偏態(tài)與峰態(tài)偏態(tài)與峰態(tài))0(133時當mcsx 將三階矩除以均方差的三次方將三階矩除以均方差的三次方 ,得偏態(tài)系數(shù)或得偏態(tài)系數(shù)或偏態(tài)偏態(tài)：3 將四階累積量除以均方差的四次方將四階累積量除以均方差的四次方 ,得得峰態(tài)峰態(tài):4)0( 333

14、144444422444時當mmmmmcx結(jié)論結(jié)論：正態(tài)分布的偏態(tài)、峰態(tài)均為零。正態(tài)分布的偏態(tài)、峰態(tài)均為零。14高階譜高階譜功率譜的缺點功率譜的缺點：由功率譜只能恢復 ,不可能恢復基于自相關(guān)函數(shù)的辨識系統(tǒng)，無法辨識非最小相位系統(tǒng) “模型的多重性” “自相關(guān)函數(shù)等價性” “功率譜等價性”)()()()(*2fXfXfXfpx)( fX)( fX15 含義含義：高階譜高階譜(Higher-order spectrum),又稱多譜又稱多譜(polyspectrum), 是信號多個頻率的能量譜。是信號多個頻率的能量譜。 111111)(1111),(),(krjkkxrkkxecS定義定義：高階譜定義

15、為：高階譜定義為k階累積量的階累積量的k-1維維DFT，即，即 條件： “絕對可求和”11),(11krkkxrc通常將通常將 的累積量譜稱為的累積量譜稱為高階譜高階譜或或多譜多譜。3k常用常用:常用的高階譜是常用的高階譜是三階三階譜譜(雙譜雙譜)和和四階四階譜譜(三譜三譜)。 高階譜高階譜 (續(xù)續(xù))16222111)(21321),()(rjxrxecB二階譜二階譜即為即為功率譜功率譜(單譜單譜)，它是單個頻率的譜它是單個頻率的譜。三階譜三階譜為為雙譜雙譜(bispectrum)，即兩個頻率的譜即兩個頻率的譜四階譜四階譜為為三譜三譜(trispectrum)，即三個頻率的譜即三個頻率的譜33

16、3221121)(3214321),()(rjxrrxecT高階譜高階譜 (續(xù)續(xù))17功率譜功率譜：2)()(Xpx雙譜：)()()()()()(),(21*21212121XXXXXXBx三譜：)()()()()()()()(),(321*321321321321XXXXXXXXTx（1 1）雙譜估計的直接方法雙譜估計的直接方法：)()()(),()()(21*2121ffXfXfXffBfxnx高階譜高階譜 (續(xù)續(xù))18（2）雙譜估計的間接方法雙譜估計的間接方法：雙譜),()(3nmcnxx2D-FT峰度峰度224)(3)(txEtxEk歸一化峰度歸一化峰度)()(2241txEtxEk3

17、1k高斯信號亞高斯信號31k超高斯信號31k高階譜高階譜 (續(xù)續(xù))19歸零化峰度3)()(2242txEtxEk高斯信號： 零峰度亞高斯信號: 負峰度超高斯信號： 正峰度高階譜高階譜 (續(xù)續(xù))20v 主要性質(zhì)主要性質(zhì) (8個性質(zhì)) 最重要的性質(zhì)如下最重要的性質(zhì)如下: )7()().()(),.,(1111,knkhknhnhnhC 和的累積量等于累積量之和，累積量因此得名。和的累積量等于累積量之和，累積量因此得名。 確定性序列的多譜確定性序列的多譜: 確定性序列確定性序列h(1),h(k)的的k階累量階累量相應的相應的 k 階譜為階譜為)8()()().()(),.,(11121121,kii

18、kkhkHHHHSnnjenhH)()(式中21v 卷積性質(zhì)卷積性質(zhì) ,121,121,121( )( )* ( )( ,.,)( ,.,)*( ,.,)(9 )k xkk ukk hkx nu nh nCCCa 隨機信號隨機信號(如如非正態(tài)非正態(tài)平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程u(n)通過線性系統(tǒng)通過線性系統(tǒng)h(n)后的后的累量累量 等于隨機信號等于隨機信號u(n)的累量與線性系統(tǒng)沖激響應的累量與線性系統(tǒng)沖激響應h(n)的累量的卷積：的累量的卷積：若則特別地，當特別地，當u(n)為為平穩(wěn)平穩(wěn)的的i.i.d非正態(tài)非正態(tài)過程時，有過程時，有,11,11( ,.,)( ) (). ()(9 )k xkk

19、uknCh n h nh nb其中 是隨機變量的k階累積量。對應的k階譜分別是,k u1,121,1211(,.,)()().()()(10 )kk xkk ukiiSHHHHb ,121,121,121(,.,)(,.,)(,.,)(10 )k xkk ukk hkSSSa 22v 卷積性質(zhì)的應用（注意結(jié)論）卷積性質(zhì)的應用（注意結(jié)論）,121,121,121,121( ,.,)( ,.,)(,.,)(,.,)k ykk xkk ykk xkCCSS 考慮圖考慮圖1是平穩(wěn)隨機信號模型。激勵是平穩(wěn)隨機信號模型。激勵輸入輸入u(n)為平穩(wěn)為平穩(wěn)i.i.d.非正態(tài)過程非正態(tài)過程,線性線性系統(tǒng)系統(tǒng)h(

20、n)可以是可以是非最小相位非最小相位的線性系統(tǒng)的線性系統(tǒng), 加性觀測加性觀測噪聲噪聲v(n)是是有有色正態(tài)色正態(tài)的的, 且與信號無關(guān)。利用卷積性能且與信號無關(guān)。利用卷積性能(9)(10),并注意到正態(tài)過程并注意到正態(tài)過程的高階累量為零，測量到的平穩(wěn)隨機信號的高階累量為零，測量到的平穩(wěn)隨機信號y(n)的累量及其多譜為的累量及其多譜為結(jié)論結(jié)論：高階譜分析高階譜分析具有很好的抗有色正態(tài)噪聲有色正態(tài)噪聲的能力。但的能力。但 功率譜分析功率譜分析，對，對有色正態(tài)噪聲污染的有色正態(tài)噪聲污染的信號來說，則有信號來說，則有( )( )yxSS 且在式且在式(b)中，中，v(n)的貢獻不再是常數(shù)，而是一個有色譜

21、。的貢獻不再是常數(shù)，而是一個有色譜。 這也是這也是用累量取代矩用累量取代矩的另一個的另一個重要原因。重要原因。23 信號的高階累量決定信號模型的沖激響應信號的高階累量決定信號模型的沖激響應 下面將會看到，信號的高階累積量能夠決定信號模型下面將會看到，信號的高階累積量能夠決定信號模型 的沖激響應的沖激響應h(n)，即用信號模型的輸出信號，即用信號模型的輸出信號(即觀測到即觀測到 的信號的信號)y(n)的高階累積量就能決定的高階累積量就能決定h(n)。 由式由式(b)可知，若基于相關(guān)函數(shù)，信號模型的沖激響應可知，若基于相關(guān)函數(shù)，信號模型的沖激響應h(n) 必須通過輸入激勵必須通過輸入激勵u(n)與

22、輸出信號與輸出信號y(n)的互相關(guān)才能得到。的互相關(guān)才能得到。 在許多實際應用中，這是很困難的在許多實際應用中，這是很困難的。 H ( z ) ( h ( n ) )v(n)y(n)x(n)u(n)()()()()()()(22222mhmnynuEmRHSSuuyvuvxxyy(b)圖1243,3,( , )( )( ,0)yyCq kh kCq4,3,( ,0, )( )( ,0,0)yyCqkh kCq 信號的高階累量決定信號模型的沖激響應（續(xù)）信號的高階累量決定信號模型的沖激響應（續(xù)）以以MA(q)模型模型為例為例, 有基于觀測信號有基于觀測信號y(n)三、四累量的公式三、四累量的公式

23、:和和以以ARMA(p,q)模型模型為例為例, 基于觀測信號基于觀測信號y(n)k階累量的公式階累量的公式:,0,0(, ,0,.,0)( )(,0,0,.,0)pjk yjpjk yja Cqj nh na Cqj25v用高階累積量作為時間序列分析工具的原因用高階累積量作為時間序列分析工具的原因 用高階累量而不是高階矩作為時間序列分析工具的原因：用高階累量而不是高階矩作為時間序列分析工具的原因： 理論上，使用高階累積量可避免高斯有色噪聲的影響，理論上，使用高階累積量可避免高斯有色噪聲的影響， 高階矩不能做到這一點。高階矩不能做到這一點。高階白噪聲的高階累積量是多維沖激函數(shù)高階白噪聲的高階累積

24、量是多維沖激函數(shù), 其譜是多維其譜是多維 平坦的平坦的, 但高階白噪聲的高階矩及其譜無此特性和優(yōu)點；但高階白噪聲的高階矩及其譜無此特性和優(yōu)點；累積量問題的解具有唯一性累積量問題的解具有唯一性(因特征函數(shù)唯一地確定概因特征函數(shù)唯一地確定概 率密度函數(shù)率密度函數(shù))，但矩問題不具有唯一性；，但矩問題不具有唯一性；兩個統(tǒng)計獨立的隨機過程的累積量等于各隨機過程累積兩個統(tǒng)計獨立的隨機過程的累積量等于各隨機過程累積 量之和，這一結(jié)論對高階矩不成立。量之和，這一結(jié)論對高階矩不成立。 26 三階相關(guān)：三階相關(guān)： 設設x(n)為零均值的實平穩(wěn)序列，其三階相關(guān)函數(shù)為為零均值的實平穩(wěn)序列，其三階相關(guān)函數(shù)為)()()(

25、),(2121mnxmnxnxEmmRx雙譜雙譜 Rx(m1,m2)的二維傅立葉變換就是雙譜，其表達式為的二維傅立葉變換就是雙譜，其表達式為2, 1)(2121,),(),(221112mmjmmxxemmRBv 性質(zhì)性質(zhì) 三階相關(guān)函數(shù)的對稱性三階相關(guān)函數(shù)的對稱性 雙譜的對稱性、周期性和共軛性雙譜的對稱性、周期性和共軛性v 定義定義27)()()(),(21*1121HHHBhv雙譜中的相位信息雙譜中的相位信息其中nnjenhH)()(這表明這表明雙譜包含包含信號模型的相位信息 ；而功率譜 不含相位信息 。 設設)(),(2121)()(),(),(21jjhheHHeBB則有則有)()()(

26、),()()()(),(212121212121HHHBh且有)()(),(),(2121時當MnhnyBBhy)()(Sv確定性序列的雙譜確定性序列的雙譜 設設h(n)表示有限長確定性序列，其雙譜可表示為表示有限長確定性序列，其雙譜可表示為28 在圖在圖1的信號模型中的信號模型中,信號信號x(n)的累量可根據(jù)式的累量可根據(jù)式(9b)由信由信號模型的沖激響應號模型的沖激響應h(n)來計算來計算;但在許多實際應用中但在許多實際應用中,信號的累信號的累量只能從觀測到的有限長數(shù)據(jù)序列來估計。量只能從觀測到的有限長數(shù)據(jù)序列來估計。23,1121( ,)( ) () ()xn RRCx n x nx n

27、N 先估計累量先估計累量( (用時間平均代替統(tǒng)計平均用時間平均代替統(tǒng)計平均) )：直接法 其中二階累量估值其中二階累量估值 就是二階自相關(guān)估值，即就是二階自相關(guān)估值，即24,11232,12,232,22,312,32,121( ,)( ) () () ()( )()()()()()xn RRxxxxxxCx n x nx nx nNCCCCCC 2,xC211( ) ()xn RRCx n x nN然后對然后對 作傅里葉變換，即得多譜估計作傅里葉變換，即得多譜估計 。,k xC,k xS29由對有限長數(shù)據(jù)段由對有限長數(shù)據(jù)段x(n)作傅里葉變換得作傅里葉變換得X(),然后用其取然后用其取代式代

28、式(8)中的中的H(),即的多譜估計，即間接法間接法即1 11111()1111(,)( ,)kjkxkkxkrrSce1,1211211(,.,)()().()()kk hkkiiSXXXX 缺點缺點：這種近似方法會使分辨率下降30v自相關(guān)函數(shù)丟失了信號的相位特性，而累積量可以得到自相關(guān)函數(shù)丟失了信號的相位特性，而累積量可以得到信號的相位譜。信號的相位譜。v實際應用中，基于三階累積量的雙譜和基于四階累積量實際應用中，基于三階累積量的雙譜和基于四階累積量的三譜已經(jīng)夠用。的三譜已經(jīng)夠用。31v基本原理基本原理 與與AR功率譜估計功率譜估計(即單譜估計即單譜估計)相類似，相類似，AR過程的多譜過程的多譜 估計與已知的多譜相匹配的程度，也可用線性預測的多估計與已知的多譜相匹配的程度，也可用線性預測的多 譜來衡量，亦即可用多譜的平坦度來衡量。說明如下：譜來衡量，亦即可用多譜的平坦度來衡量。說明如下： 設用設用p 個值個值x(n)作線性預測，即作線性預測，即pkkknxanx1)()( 則預測誤差則預測誤差pkkknxanxnxne0)()( )()(利用利用(10b)