數(shù)值與計算方法緒論學(xué)習(xí)教案

1、數(shù)值數(shù)值(shz)與計算方法緒論與計算方法緒論第一頁，共74頁。第1頁/共74頁第二頁，共74頁。6. 常微分方程數(shù)值(shz)解法7. 矩陣特征值和特征向量的數(shù)值(shz)解法第2頁/共74頁第三頁，共74頁。本課程的任務(wù)：本課程的任務(wù)：討論討論(toln)第第步，即介紹計算機上的常步，即介紹計算機上的常用的數(shù)值方法用的數(shù)值方法第3頁/共74頁第四頁，共74頁。實際(shj)問題數(shù)學(xué)模型(數(shù)值(shz)算法編程計算結(jié)果抽象：“去偽存真(q wi cn zhn)，去粗取精”()()()第4頁/共74頁第五頁，共74頁。I.總體設(shè)計總體設(shè)計(含模型的細化等含模型的細化等)II.詳細設(shè)計詳細設(shè)計(

2、主要是算法設(shè)計主要是算法設(shè)計)III.實驗驗證實驗驗證IV.其中其中包括：包括：V.連續(xù)系統(tǒng)的離散化連續(xù)系統(tǒng)的離散化VI.離散型方程的數(shù)值離散型方程的數(shù)值(shz)求解求解以計算機為工具以計算機為工具 求解各種求解各種( zhn)數(shù)學(xué)模型需經(jīng)歷三個過程數(shù)學(xué)模型需經(jīng)歷三個過程第5頁/共74頁第六頁，共74頁。計算方法計算方法 主要研究主要研究(ynji)將數(shù)學(xué)模型變成數(shù)值問題將數(shù)學(xué)模型變成數(shù)值問題,并研究并研究(ynji)求解數(shù)值問題的數(shù)值方法，進而設(shè)求解數(shù)值問題的數(shù)值方法，進而設(shè)計數(shù)值算法。計數(shù)值算法。內(nèi)容包括內(nèi)容包括: 基本概念介紹；誤差及分析；收斂性、穩(wěn)定性；算基本概念介紹；誤差及分析；收

3、斂性、穩(wěn)定性；算法復(fù)雜性等法復(fù)雜性等第6頁/共74頁第七頁，共74頁。 計算數(shù)學(xué)是一門古老的數(shù)學(xué)計算數(shù)學(xué)是一門古老的數(shù)學(xué) 如計算圓周率、九章計算等；如計算圓周率、九章計算等； 牛頓、萊布尼茲等提出的微分、積分計算；牛頓、萊布尼茲等提出的微分、積分計算； 計算數(shù)學(xué)是一門年輕的數(shù)學(xué)計算數(shù)學(xué)是一門年輕的數(shù)學(xué) 近代計算機的誕生，產(chǎn)生了數(shù)學(xué)的計算機計算近代計算機的誕生，產(chǎn)生了數(shù)學(xué)的計算機計算. 計算機與數(shù)學(xué)的關(guān)系非常密切計算機與數(shù)學(xué)的關(guān)系非常密切 計算數(shù)學(xué)：計算機上的數(shù)學(xué)方法。計算數(shù)學(xué)：計算機上的數(shù)學(xué)方法。 或定義為：研究或定義為：研究(ynji)數(shù)值計算方法的設(shè)計、數(shù)值計算方法的設(shè)計、分析和有關(guān)理論基

4、礎(chǔ)與軟件實現(xiàn)的一個數(shù)學(xué)分支。分析和有關(guān)理論基礎(chǔ)與軟件實現(xiàn)的一個數(shù)學(xué)分支。計算數(shù)學(xué)：計算方法或數(shù)值分析計算數(shù)學(xué)：計算方法或數(shù)值分析第7頁/共74頁第八頁，共74頁?？茖W(xué)理論、科學(xué)試驗和科學(xué)計算科學(xué)理論、科學(xué)試驗和科學(xué)計算(計算的方法計算的方法)是現(xiàn)代科是現(xiàn)代科學(xué)的三個組成部分學(xué)的三個組成部分計算機下的科學(xué)計算大大地提高了計算速度和計算精計算機下的科學(xué)計算大大地提高了計算速度和計算精度，是使原來不能實現(xiàn)度，是使原來不能實現(xiàn)(shxin)的海量復(fù)雜計算成為現(xiàn)的海量復(fù)雜計算成為現(xiàn)實實科學(xué)計算是以計算機為基礎(chǔ)的科學(xué)計算，其計算理論科學(xué)計算是以計算機為基礎(chǔ)的科學(xué)計算，其計算理論是計算數(shù)學(xué)是計算數(shù)學(xué)計算數(shù)學(xué)

5、的應(yīng)用：天體物理、大氣研究、分子生物、計算數(shù)學(xué)的應(yīng)用：天體物理、大氣研究、分子生物、集成電路、天氣預(yù)報、模式識別、網(wǎng)絡(luò)信息搜索等集成電路、天氣預(yù)報、模式識別、網(wǎng)絡(luò)信息搜索等計算數(shù)學(xué)的發(fā)展：進行高效率、高精度的并行計算計算數(shù)學(xué)的發(fā)展：進行高效率、高精度的并行計算計算數(shù)學(xué)的應(yīng)用計算數(shù)學(xué)的應(yīng)用(yngyng)與發(fā)展與發(fā)展第8頁/共74頁第九頁，共74頁。Web搜索。搜索。第9頁/共74頁第十頁，共74頁。第10頁/共74頁第十一頁，共74頁。數(shù)值(shz)問題：輸入(shr)數(shù)據(jù)與輸出數(shù)據(jù)之間函數(shù)關(guān)系的一個確定而無歧義的描述。即： 輸入與輸出的都是數(shù)值的數(shù)學(xué)問題如求解線性方程組bAx 求解二次方程0

6、2cbxaxcbabA,與系數(shù)常數(shù)項向量輸入的數(shù)據(jù)是系數(shù)矩陣都是數(shù)值問題21,xxx 和方程的解輸出的數(shù)據(jù)是解向量第11頁/共74頁第十二頁，共74頁。求解(qi ji)微分方程0)0(32yxy是不是數(shù)值(shz)問題？xxy3,2函數(shù)但輸出的不是數(shù)據(jù)而是輸入的雖是數(shù)據(jù)將其變成數(shù)值(shz)問題，即將其“離散化”xxy32即將求函數(shù)nnxxxxyxyxy2121),(,),(),(改變成求函數(shù)值“離散化”是將非數(shù)值問題的數(shù)學(xué)模型化為數(shù)值問題的主要方法，這也是計算方法的任務(wù)之一第12頁/共74頁第十三頁，共74頁。數(shù)值方法數(shù)值方法(fngf)：是指解數(shù)值問題的：是指解數(shù)值問題的 在計算機上可執(zhí)

7、行的系列計算公式。在計算機上可執(zhí)行的系列計算公式。在計算機上可執(zhí)行的公式(gngsh)是指只含有加減乘除的公式(gngsh)?，F(xiàn)在的計算機中幾乎都含有關(guān)于開方的標準函數(shù)sqrt()常見的在計算機上不能直接運行的計算有: 開方、極限、超越函數(shù)、微分、積分等等。要在計算機上實行上述運算需將其化為可執(zhí)行的等價或近似等價運算。第13頁/共74頁第十四頁，共74頁。，應(yīng)化為超越函數(shù)xe. 3! 212nxxxenx的計算應(yīng)化為的導(dǎo)數(shù)函數(shù))()(. 4xyxyhxyhxyxy)()()(1. 如求根公式(gngsh)aacbbx2422,12. 應(yīng)化為公式(gngsh)aacbsqrtbx2)4(22,1

8、第14頁/共74頁第十五頁，共74頁。)2, 0(.)2, 0(, 0sin1)(.)2, 0(0)(,02*) 1()2()0(,2, 0)(,cos)(知上述零點唯一又由內(nèi)至少有一個零點在方程由零點定理知且上是連續(xù)函數(shù)在易知令xxxfxfffxfxxxf第15頁/共74頁第十六頁，共74頁。第16頁/共74頁第十七頁，共74頁。.4.,cos.,.*附近大致位于看出從圖中可以為所求方程的解的橫坐標取兩曲線交點作圖像可大致判定此零點位置法若用圖解困難本題用解析法求解較為xxpxyxy第17頁/共74頁第十八頁，共74頁。nnxxcos1nnnnnnnnxxxxxfxfxxsin1cos)()

9、(1比較：兩種方法同樣獲得比較：兩種方法同樣獲得9位數(shù)字的近似解，位數(shù)字的近似解， 簡單迭代法需要簡單迭代法需要(xyo)迭代迭代43次，牛頓迭代法迭代次，牛頓迭代法迭代3次。次。第18頁/共74頁第十九頁，共74頁。10102212)2(14I 12.1.1dxeIdxxx）（計算定積分例公式有的復(fù)化被積函數(shù)擇數(shù)值方法有多種，如選Simpsonxxfhn214)(,21,20arctan41arctan4|arctan41101xI萊布尼茲公式）由牛頓解：（第19頁/共74頁第二十頁，共74頁。141568627.3)1()43(4)21(2)41(4)0(61fffffhI。行數(shù)值求解有公

10、式進的復(fù)化法求解。仍選擇數(shù)值方公式無法求解，僅可用由無原函數(shù)，因此，由于）（746855379. 0,21, 2LeibnizNewtone)(,e2210222IsimpsonhnxxfdxI-x第20頁/共74頁第二十一頁，共74頁。1. 1. 牛頓牛頓(ni dn)-(ni dn)-萊布尼茲萊布尼茲公式公式2. 2. 數(shù)值解：在特定條件下通過近似計算數(shù)值解：在特定條件下通過近似計算, ,（如有限元的方法（如有限元的方法, 數(shù)值逼近數(shù)值逼近, ,插值插值的方法）得出來的一個的方法）得出來的一個(y )(y )數(shù)值。數(shù)值。 解析解：解析解為該函數(shù)的解析式。解析解：解析解為該函數(shù)的解析式。第2

11、1頁/共74頁第二十二頁，共74頁。例例1.2.3 求求 Ax=b， Det(A)0，A=(aij)20 20解：解：1. 用用Cramar法則法則(fz)求解，總計算量求解，總計算量 N = ( ( n+1)(n-1)n!+n) flop當當n=20, N9.7 1020 flop. 以一臺以一臺10億億/秒的計算機需約秒的計算機需約3萬年萬年.結(jié)論：分析結(jié)論：分析(fnx)算法的效率，選擇算法非常算法的效率，選擇算法非常重要重要解：解：2.使用使用(shyng)Gauss消去法，消去法， n=20， N3060 flop = O(n3 /3) flop.第22頁/共74頁第二十三頁，共74

12、頁。nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa.22112222212111212111第23頁/共74頁第二十四頁，共74頁。TnTnnnijnnnbbbxxxaaaaaaaaaabx2121n2n1n2222112111,)(A第24頁/共74頁第二十五頁，共74頁。代替所得。列用的第是，其中法則：biAAADniDDxGrameriiiii)det(0A)det(D,.,2 , 1第25頁/共74頁第二十六頁，共74頁。:121)0(23 . 1 . 12方法我們選擇經(jīng)典的四階如。本題數(shù)值方法很多，解析解解得方程，令該方程是解求解初值問題例KRxyyuBernoull

13、iyyxydxdy第26頁/共74頁第二十七頁，共74頁。為步長。；這里hyxyyxfkyhthfkkyhthfkkyhthfkythfkkkkkyynnnnnnnnnn2),(,),()2,2()2,2(),()22(61342312143211第27頁/共74頁第二十八頁，共74頁。xnynY=xnynY=01.000001.000001.21.849311.849310.21.183221.183221.41.943961.943960.41.341641.341641.62.049392.049390.61.483241.483241.82.144762.144760.81.61245

14、1.612452.02.236072.236071.01.732051.7320512x12x第28頁/共74頁第二十九頁，共74頁。運動周期. 第29頁/共74頁第三十頁，共74頁。22sing:gl2Tdtdmlmamgfml牛頓定律的質(zhì)量。如圖所示：由是質(zhì)點為自由落體加速度；為擺長；其中擺周期在物理學(xué)中我們知道單第30頁/共74頁第三十一頁，共74頁。0,sin,0sinsin22222222dtdlglgdtdmgdtdml則有令很小時當即所以第31頁/共74頁第三十二頁，共74頁。：期求解過程的誤差情況現(xiàn)在我們來分析單擺周因此，故有解微分方程得，glTtcctctc22)sin(.s

15、incos22212121第32頁/共74頁第三十三頁，共74頁。開方：舍入誤差長度秒米觀察誤差：展式：由截斷誤差：點處的摩擦力忽略忽略空氣阻力模型誤差/,*,.4,/8 . 93.! 5! 3sinTaglorsin2o10205300lg第33頁/共74頁第三十四頁，共74頁。實際(shj)問題數(shù)學(xué)模型(數(shù)值(shz)算法編程計算結(jié)果抽象抽象(chuxing)模型誤差模型誤差,觀測誤差觀測誤差第34頁/共74頁第三十五頁，共74頁。,及外部觀測條件等多種因素，及外部觀測條件等多種因素，不可能獲得精確值，由此而不可能獲得精確值，由此而來產(chǎn)生的誤差稱為觀測誤差。來產(chǎn)生的誤差稱為觀測誤差。第35

16、頁/共74頁第三十六頁，共74頁。第36頁/共74頁第三十七頁，共74頁。稱為近似數(shù)為準確數(shù)，設(shè)定義,2 . 2 . 1*xxxxxex*)(絕對誤差：的）（近似數(shù))0()()(*xxxexexr相對誤差：的）（近似數(shù)第37頁/共74頁第三十八頁，共74頁。絕對誤差絕對誤差(ju du w ch) 是為了衡量是為了衡量x*的精度高低，比較直觀，但無法衡量精度的精度高低，比較直觀，但無法衡量精度的好壞。的好壞。而相對誤差（也成百分比誤差），衡量好壞更合理。而相對誤差（也成百分比誤差），衡量好壞更合理。第38頁/共74頁第三十九頁，共74頁。第39頁/共74頁第四十頁，共74頁。差界。的絕對誤差界

17、和相對誤為近似數(shù)和則稱滿足和若有正數(shù)為近似數(shù)為精確數(shù)，設(shè)定義*r*r*| )(| )(|:,2 . 2 . 1xxxxxexxxexxrr第40頁/共74頁第四十一頁，共74頁。第41頁/共74頁第四十二頁，共74頁。似數(shù)。具有五位有效數(shù)字的近稱則的近似數(shù)例如：3.14161021.00000734. 0.14159265. 31416. 3)(1416. 3.14159265. 3*4*e第42頁/共74頁第四十三頁，共74頁。位有效數(shù)的近似數(shù)。的具有為則稱的絕對誤差滿足。如果是整數(shù)且和其中有規(guī)格化形式設(shè)近似數(shù)定義nxxxxxexaaniamaaaaxxnmiinm*1321*1021| )

18、(|90 , 0,.),.,2 , 1(.0103 .2 .1第43頁/共74頁第四十四頁，共74頁。第44頁/共74頁第四十五頁，共74頁。界。絕對誤差界和相對誤差的有效數(shù)字位數(shù)、請分析例：若取*,4142. 1,2*xxx4*1021, 5, 1的絕對誤差界解：xnm第45頁/共74頁第四十六頁，共74頁。554*1041044142.11021|)(|rrxxe即而相對誤差界估計為第46頁/共74頁第四十七頁，共74頁。*ln)()(xdxdxxxxxedxxxxer第47頁/共74頁第四十八頁，共74頁。，則：的近似數(shù)設(shè)*2*121,xxxx)()()()(. 1*2*1*2*1*2*

19、1*2*1xexedxdxxxdxxe)()(lnln)ln(ln)ln()(. 2*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1xexexdxdxxdxxdxxerrr第48頁/共74頁第四十九頁，共74頁。)()()()()()(. 3*2*1*1*2*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1xexxexxexexxxxexxxxerrr)()()(. 4*2*1*2*1xexexxerrr2*2*2*1*1*2*2*1)()()()(. 5xxexxexxxe第49頁/共74頁第五十頁，共74頁。)()()()()()()()()()()()(),(*xexfxfxfexexfxxxfxdfxf

20、xffexfxxxfyrr或時，則誤差為計算函數(shù)值則代替用近似數(shù)當設(shè)函數(shù)第50頁/共74頁第五十一頁，共74頁。定的。是可以控制的，或是穩(wěn)過自變量的誤差，時，函數(shù)值的誤差不超這表明當時有當若記1, 1)()()()(1, 1|,)()(|,)(|*rrrrrCCxefexefeCCxfxfxCxfC第51頁/共74頁第五十二頁，共74頁。義下的條件數(shù)。在絕對意義下和相對意為一般分別稱)(,xfCCr為良態(tài)；稱當)(1xfC 為病態(tài)。稱當)(1xfC 第52頁/共74頁第五十三頁，共74頁。在正根附近的性態(tài)。討論函數(shù)例10100)(2 . 2 . 12xxxf100:100,1010)(:21x

21、xxxf即正根為解得由解在正根附近是病態(tài)的)(1201|12| )100(|100 xfxfx第53頁/共74頁第五十四頁，共74頁。變化，函數(shù)值變化極大也就是自變量發(fā)生微小則取則如：取09.20)9 .99()(, 9 .99200)99()(,99*1*1*1*1fxfxfxfx第54頁/共74頁第五十五頁，共74頁。TnTnnxxxxxxxxxxxfy),.,(),.,(),.,(21*2*1*21代替用對于多元函數(shù)niiiniiiinnxexfxxxfxxxfxxxffe1*1*21*2*1)()(),.,(),.,()(:其絕對誤差為)()(*1*iniixexffe因此絕對誤差界為

22、第55頁/共74頁第五十六頁，共74頁。niiriirxexfxxxffe1*)()()(（同理相對誤差為| )(|)()(| )(|1*niiriirxexfxxxffe相對誤差界第56頁/共74頁第五十七頁，共74頁。的絕對誤差和相對誤差面積試估計觀測數(shù)據(jù)為設(shè)例SABC,)02.060(,)10.0120(,)10.0100(ABC3 .1.2oAmcmb第57頁/共74頁第五十八頁，共74頁。，則解：由AbcSsin21)()()()(*AeAScecSbebSSe1 . 0sin211 . 0sin21*AbAc2*57.1018002. 0cos21mAcb第58頁/共74頁第五十九

23、頁，共74頁。3*10035. 2sin2157.10|)(| )(|Acbsseser對誤差界。如：出，則知道絕若數(shù)據(jù)以規(guī)格化形式給注意:10010. 01010.1003b253*10211021| )(|be則：第59頁/共74頁第六十頁，共74頁。序編制和上機實現(xiàn).第60頁/共74頁第六十一頁，共74頁。.避免分母很小(或乘法因子很大),以免產(chǎn)生溢出.第61頁/共74頁第六十二頁，共74頁。并評價算法收斂的快慢的值計算,2ln1.3.1例.) 1(.32)1ln(:解132nxxxxxTaylornn展式有算法一：由有：令1x.1) 1(.312112ln1nn第62頁/共74頁第六十

24、三頁，共74頁。收斂。所以且由級數(shù)判別，交錯級數(shù)2ln0limnna時，若要求510|度慢。，顯然項數(shù)大，收斂速則5102n第63頁/共74頁第六十四頁，共74頁。得：并取則令則由于算法二1031211.)12.531(2)1ln()1ln(11ln:.)1(.32)1ln(.32)1ln(:24213232nxxxnxxxxxxxxnxxxxxnxxxxxnnnn第64頁/共74頁第六十五頁，共74頁。)31(211.3151311 (322ln20421210111211109123112191119123132.)9125191231(32T其截斷誤差為很大。，計算精度及速度差距兩種算法，同樣計算2ln第65頁/共74頁第六十六頁，共74頁。的值。計算圓周率例2 . 3 . 1.121) 1(.51311114:1102ndxxn算法一：由定積分解。則時同理若要5510,10|n第66頁/共74頁第六十七頁，共74頁。141568627. 34785392156. 0)1 ()43(4)21(4)0(611)(,2122*22