多元微積分A下期末復(fù)習(xí)題解答

1、23,設(shè)曲面館為 z=2（xMy2黝）的下側(cè)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（zdxdy=-2 二;復(fù)習(xí)題 1、填空題（每小題 4 分，共 20 分）1.設(shè)曲線L:x20y2=1 上任意一點(diǎn)處的質(zhì)量密度為E（x,y）=v；x2my2,則該曲線構(gòu)件的質(zhì)量M=2二在全平面上（x3y）dx（kx，y）dy=0為全微分方程，則常數(shù) k=_3、單項(xiàng)選擇題（每小題 3 分，共 18 分）1.設(shè)有向曲線 L 為 y=x2,從點(diǎn)（1,1）到點(diǎn)（0,0）,則口f（x,y）dy=2.3.ecosx,xyz,esinx)的散度 divF=2xyz4.設(shè)曲面圄：xy 詢 z2=1,則幽Ix-2y)dS 二5. 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)n1c.

2、1fHy,y)dy;2.設(shè)曲面圈質(zhì)量分布均勻，且曲面zdS=4,則曲面圖的質(zhì)心是（A）A.(0,1,2);B.(2,1,0);C.(1,0,2);D.(1,2,0).n11的和 s=102f(x,x)dx;2、.2xf(x,x)dx;101fQy,y)dy.0IxdS=0,A三Bzdxdy=2 二;三C.zdydz=0;D.zdzdx=0.4 .設(shè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（Ina）n收斂，則常數(shù) a 所在的區(qū)間是（Cnz0A.（0,e）;C.（e，e）；5 .下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)中收斂的是（三、（5分）計(jì)算曲線積分Qx2yds,其中L為連接兩點(diǎn)（1,0）及（0,1）的直線段.B.（0,1）;D.（0,e,）.6.A.

3、n42n4n3n;C.、1;n4nB.;n4n1c：.：,1D.、sin2.設(shè)f（x）是以2值為周期的函數(shù)，在一個(gè)周期內(nèi),則f（x）的傅里葉級(jí)數(shù)在點(diǎn)x=0處收斂于（BA.-1;B.0;C.1;-1,：x0 x1,0：x 三二解：L的方程為y=1x（0倒x倒1）,y =-1（1 分）Lx2yds=：x2（1-x）2dx=聞”一啟改若（3分）（5分）四、（7分）驗(yàn)證平面力場(chǎng) F（x,y）=cosxsinyi 時(shí) sinxcosyj 所做的功與路徑無關(guān),并求質(zhì)點(diǎn)在力F的作用下沿直線L從點(diǎn)（0,0）移動(dòng)到點(diǎn)解：功WcosxsinydxfsinxcosydyP=cosxsiny,Q=sinxcosy,（

4、2 分）因?yàn)?cosxcosy=,所以力所做的功W與路徑無關(guān)（5 分）L的方程為 y=x,x 從 0 到一,2i所做的功W的值.2222DXy：x2y21z2dS：ii(x2y2),2dxdy,Dxy(5 分)七、（6分）利用高斯公式計(jì)算曲面積分口y2dydz團(tuán)x2dzdxz2dxdy,其中髭為圓柱面 x2y2=1及平面z=0,z=3所圍成的圓柱體解的整個(gè)邊界曲面的外側(cè).W=22cosxsinxdx=1.(7 分)或L為折線（0,0）T（二,0）T（二,，），W二02cosydy=1、（7分）利用格林公式計(jì)算曲線積分H（2xeyF1）dxq（x2eyqx）dy,其中曲線L為圓 x2y2=1的上

5、半部分，從A（1,0）到B（-1,0）.解：Li:y=0,x 從-1到 1,(2 分);(2xey1)dx(x2eyx)dy=(2L-L1其中 D:x2ny21,y0;又(2xeyE-1)dxH(x2eyHx)dy=(6分)l(2xey-1)dx(x2eyx)dy=-2z2dS，其中雇為圓錐面z=Jx2Jy2(7 分)(0z1).x；zxx2y2yx2y2dS=%2dxdy,(2 分)(4 分)、2二然(5 分)Dxey1-2xey)d 二2（5 分） 計(jì)算曲面積分所以(2x01)dx=2,z(iiy2dydzx2dzdxz2dxdy=X2zdv(3 分)解：由高斯公式可得2-13=0d”Jd

6、：02zdz9 二其中-j:x2y21,0z3（5分）求幕級(jí)數(shù)|3N（x-1）n的收斂區(qū)間.3n解：aan-1aan=-,號(hào)級(jí)數(shù)的收斂半徑為R=3,3：（3分）解 x-1 圖 3,得幕級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為（-2,4）（5分）九、（7分）判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)防1）21n（1腓）是否收斂？如果收斂，通過推導(dǎo)，指出是絕對(duì)收斂還是條件收斂.51解：Un=1n（1-,）n則limUn=0,且un單調(diào)遞減，由萊布尼茨審斂法知,n_,：-.：n交錯(cuò)級(jí)數(shù)圖 （-1 尸 ln （1 品） 收斂;（4分）當(dāng) nrq 時(shí),n1.1.11（-1）ln（1B-）=ln（lM-）故ST（T）-ln（lHb發(fā)散;（6分）所以交錯(cuò)級(jí)數(shù)國

7、（-1）n（1腓）條件收斂.（7分）（6 分）八、十、（9分）求幕級(jí)數(shù)的n=0Hx2.的收斂域與和函數(shù)，并求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 2n1苴二 1n衛(wèi) 2n11-+7H的和.2n1解：“，（一1況2nnz01x2（2分）兩邊積分，得n=0。1nx2n1=arctanx2n1（4分）當(dāng) x=|3 時(shí)，蜜（6分）止 x2n1二 arctanx2n1（售x第） ,（7分）令x=1,則圈n=0（zH=1_1,1.1.kH.=2n13572n1（9分）卜一、（6 分）利用 ex的幕級(jí)數(shù)展開式，將函數(shù) f（x）=x（e2x-1）展開為 x 的幕級(jí)數(shù)（指出收斂區(qū)問）.解：e2x=（Mn毛n!nnxn!（3分）f（x）=x（e2x-1）=x:9nxn-1n0n!0n=、-xn12nx馬 xnnw