《高等幾何》復(fù)習(xí)大綱、樣題及答案全

1、高等幾何復(fù)習(xí)大綱仿射坐標(biāo)與仿射變換一、要求1. 掌握透視仿射對(duì)應(yīng)概念和性質(zhì)，以及仿射坐標(biāo)的定義和性質(zhì)。熟練掌握單比的定義和坐標(biāo)表示。2. 掌握仿射變換的兩種等價(jià)定義；熟練掌握仿射變換的代數(shù)表示，以及幾種特殊的仿射變換的代數(shù)表示。3. 掌握?qǐng)D形的仿射性質(zhì)和仿射不變量。二、考試容1. 單比的定義和求法。2. 仿射變換的代數(shù)表示式，以及圖形的仿射性質(zhì)和仿射不變量。3. 仿射變換的不變點(diǎn)和不變直線的求法。射影平面一、要求1. 掌握中心射影與無(wú)窮遠(yuǎn)元素的基本概念，理解無(wú)窮遠(yuǎn)元素的引入。2. 熟練掌握笛薩格(Desargues)定理及其逆定理的應(yīng)用。3. 熟練掌握齊次點(diǎn)坐標(biāo)的概念及其有關(guān)性質(zhì)。4. 理解線

2、坐標(biāo)、點(diǎn)方程的概念和有關(guān)性質(zhì)。5. 掌握對(duì)偶命題、對(duì)偶原則的理論。二、考核容1. 中心投影與無(wú)窮遠(yuǎn)元素中心投影，無(wú)窮遠(yuǎn)元素，圖形的射影性質(zhì)。2. 笛薩格(Desargues)定理應(yīng)用笛薩格(Desargues)定理及其逆定理證明有關(guān)結(jié)論。3. 齊次點(diǎn)坐標(biāo)齊次點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算及其應(yīng)用。4.線坐標(biāo)線坐標(biāo)的計(jì)算及其應(yīng)用。5.對(duì)偶原則作對(duì)偶圖形，寫對(duì)偶命題，對(duì)偶原則和代數(shù)對(duì)偶的應(yīng)用。射影變換與射影坐標(biāo)一、要求1. 熟練掌握共線四點(diǎn)與共點(diǎn)四線的交比與調(diào)和比的基本概念、性質(zhì)和應(yīng)用。2. 掌握完全四點(diǎn)形與完全四線形的調(diào)和性及其應(yīng)用。3. 掌握一維射影變換的概念、性質(zhì)，代數(shù)表示式和參數(shù)表示式。4. 掌握二維射影變

3、換的概念、性質(zhì)以及代數(shù)表示式。5. 理解一維、二維射影坐標(biāo)的概念以及它們與仿射坐標(biāo)、笛氏坐標(biāo)的關(guān)系。二、考試容1. 交比與調(diào)和比交比的定義、基本性質(zhì)及其計(jì)算方法，調(diào)和比的概念及其性質(zhì)。2. 完全四點(diǎn)形與完全四線形完全四點(diǎn)形與完全四線形的概念及其調(diào)和性。3. 一維基本形的射影對(duì)應(yīng)一維射影對(duì)應(yīng)的性質(zhì)，與透視對(duì)應(yīng)的關(guān)系，以及代數(shù)表示式。4. 二維射影變換5. 二維射影對(duì)應(yīng)（變換）與非奇線性對(duì)應(yīng)的關(guān)系。6. 射影坐標(biāo)一維射影坐標(biāo)、二維射影坐標(biāo)。7. 一維、二維射影變換的不變?cè)厍笠痪S射影變換的不變點(diǎn)，二維射影變換的不變點(diǎn)和不變直線。變換群與幾何學(xué)一、要求1. 了解變換群的概念。2. 理解幾何學(xué)的群論觀

4、點(diǎn)。3. 弄清歐氏幾何、仿射幾何、射影幾何之間的關(guān)系及其各自的研究對(duì)象。二、考試容1. 變換群與幾何學(xué)的關(guān)系。2仿射幾何、射影幾何學(xué)相應(yīng)的變換群、研究對(duì)象基本不變量和基本不變性。二次曲線的射影理論一、要求1. 掌握二隊(duì)（級(jí)）曲線的射影定義、二階曲線與直線的相關(guān)位置，二階曲線的切線，二階曲線與二級(jí)曲線的關(guān)系。2. 掌握巴斯加定理、布利安桑定理以及巴斯加定理特殊情形。3. 掌握極點(diǎn)，極線的概念和計(jì)算方法，熟練掌握配極原則。4. 了解二階曲線的射影分類。二、考試容1. 二階（級(jí)）曲線的概念，性質(zhì)和互化，求二階曲線的主程和切線方程。2. 應(yīng)用巴勞動(dòng)保護(hù)加定理和布利安桑定理及其特殊情形證明有關(guān)問題，解決

5、相在的作圖問題。3. 二階曲線的射影分類。二次曲線的仿射性質(zhì)和度量性質(zhì)一、要求和考試容1.掌握二次曲線的中心、直徑、共軛直徑、漸近線等概念和性質(zhì)。（一）一、填空題（每題2分，共10分）1、平行四邊形的仿射對(duì)應(yīng)圖形為：;2、線坐標(biāo)（1，2，1）的直線的齊次方程為：；3、直線3x+2x二0上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為：；124、設(shè)（AB,CD）=2，則點(diǎn)偶調(diào)和分割點(diǎn)偶；5、兩個(gè)射影點(diǎn)列成透視的充要條件是；二、作圖題（每題6分，共6分）1、敘述下列圖形中的點(diǎn)線結(jié)合關(guān)系及其對(duì)偶命題，并畫出對(duì)偶圖形。三、計(jì)算題（每題10分，共30分）1、求仿射變換式使直線x+2yl=0上的每個(gè)點(diǎn)都不變，且使點(diǎn)（1，-1）變?yōu)椋?

6、1，2）px'=-xii2、求射影變換px=x的固定元素。22px'=x333、敘述二次曲線的中心、直徑，共軛直徑漸近線等概念，并舉例說明。四、證明題（每題12分，共24分）1、敘述并證明布利安桑定理。2、設(shè)（AB、CD）=-1，0為CD的中點(diǎn)，則OC2=OAOB（此題為有向線段）參考答案一、填空題1、平行四邊形2、x+2x+x=01233、（2，-3，0）4、AC,BD5、保持公共元素不變二、作圖題1、每三點(diǎn)不共線的五個(gè)點(diǎn)，兩兩連線。對(duì)偶：沒三線不共點(diǎn)的五條線，兩兩相交。對(duì)偶圖形就是自己三、計(jì)算題在已知直線x+2y-l=0上任取兩IX=ax+by+c1解設(shè)所求仿射變換為,1/

7、1Iy=ax+by+c222點(diǎn)，例如取（1，0）、（3，-1），在仿射變換下，此二點(diǎn)不變。而點(diǎn)（1，-1）la+c=1變?yōu)椋═，2），把它們分別代入所設(shè)仿射變換式，得11八，Ia+c=0223ab+c=3=11113ab+c22ab+c=1111ab+c=22由以上方程聯(lián)立解得：a1=22b=21,C1=T，3a=-22b=-22故所求的仿射變換為：由題設(shè)的射影變換式，得a11=1,a=0,a=0,a=0,a=1,a1213212223=0,a31=0,a32二0,a33二1把它們代入射影變換的固定方程組6.5公式（2）,(au)x+ax+ax=0111122133即<ax+(au)x+

8、ax=0211222233ax+ax+(au)x=031132233(1u)x=01得<(1-u)x=0由此得特征方程為:2I(1u)x=031u0001u0001u(1+u)(1-u)2=0解得u=l(二重根),u=1=0,將u=1代入固定點(diǎn)方程組，即得固定點(diǎn)為（1，0，0）將u=l代入固定點(diǎn)方程組，得x1=0這是一固定點(diǎn)列即直線AA上的每23一點(diǎn)都是固定點(diǎn)。把爲(wèi)的值代入射影變換的固定直線方程組6。5公式，即-v)u+au+au=011 1212313<av+(a-v)u+au=0得12 1222323au+au+(a-v)u=013 1232333t-1-v)u=01<(

9、1-v)u=0則特征方程為2(1-v)u=03一1-v0001-v0=0即(1+v)(l-v)2=0,解得v=-lv=l(二重根)。001-v將v=-l代入固定直線方程組，即得固定直線為(1，0，0)。將v=l代入固定直線方程組，得片=0,即通過點(diǎn)(1，0，0)3、見課本四、證明題1、見課本2、證明這里所用的都是有向線段，利用0為CD中點(diǎn)這一假設(shè)，便有OD=-OC來論證的，由(AB，CD)=-1，得ACBDadTbc=-11)即ACBD+ADBC=0把所有線段都以0點(diǎn)做原點(diǎn)來表達(dá)，由(1)得(OC-OA)(OD-OB)+(OD-OA)(OC-OB)=0(2)由(2)去括號(hào)，移項(xiàng)，分解因子，得(

10、OAOB+OCOD)=(OA+OB)(OC+OD)2(OAOB-OC2)=(OA+OB)0/.OAOB-OC2=0即OC2=OAOB二)一、填空題(每小題4分，共20分)1、設(shè)P(1)，P(-1)，P(g)為共線三點(diǎn)，貝U(PPP)二11231232、寫出德薩格定理的對(duì)偶命題：如果兩個(gè)三線形對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一條直線上，則對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)。3、若共點(diǎn)四直線a,b,c,d的交比為(ab,cd)=-l，則交比(ad,bc)=2。4、平面上4個(gè)變換群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小關(guān)系為：射影群包含仿射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群5、二次曲線的點(diǎn)坐標(biāo)方程為4xx-x2=0，則其線坐

11、標(biāo)方程為是132uu一u2=0132二、選擇題(每小題2分，共10分)1. 下列哪個(gè)圖形是仿射不變圖形？(D)A.圓B.直角三角形C.矩形D.平行四邊形Qu2+2uu一8u2=0主-/P、2. 1122表示(C)A. 以-1/4為方向的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和以1/2為方向的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)B. 以-4為方向的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和以2為方向的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)C. 以4為方向的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和以-2為方向的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)D. 以1/4為方向的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和以-1/2為方向的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)3. 兩個(gè)不共底且不成透視的射影點(diǎn)列至少可以由幾次透視對(duì)應(yīng)組成？(B)A.一次B.兩次C.三次D.四次4. 下面的名稱或定理分別不屬于仿射幾何學(xué)有(A)：A.三角形的垂心B

12、.梯形C.在平面無(wú)三線共點(diǎn)的四條直線有六個(gè)交點(diǎn)D.橢圓5. 二次曲線按射影分類總共可分為（B）A.4類B.5類C.6類D.8類三、判斷題（每小題2分，共10分）1. 仿射對(duì)應(yīng)不一定保持二直線的平行性。（x）2. 兩直線能把射影平面分成兩個(gè)區(qū)域。（廠）3. 當(dāng)正負(fù)號(hào)任意選取時(shí)，齊次坐標(biāo)（±1,±1,±1）表示兩個(gè)相異的點(diǎn)。（x）4. 在一維射影變換中，若已知一對(duì)對(duì)應(yīng)元素（非自對(duì)應(yīng)元素）符合對(duì)合條件，則此射影變換一定是對(duì)合。（廠）5. 配極變換是一種非奇線性對(duì)應(yīng)。（廠）四、作圖題（8分）已知線束中三直線a,b,c，求作直線d，使（ab,cd）=T（畫圖，寫出作法過程和

13、根據(jù)）作法過程：1、設(shè)a,b,c交于點(diǎn)A，在c上任取一點(diǎn)C,（2分）2、過C點(diǎn)作兩直線分別與a交于B、E，與b交于F，D，（2分）3、BD與EF交于G,4、AG即為所求的d°（2分）根據(jù)：完全四點(diǎn)形的調(diào)和共軛性（2分）五、證明題（10分）如圖，設(shè)FGH是完全四點(diǎn)形ABCD對(duì)邊三點(diǎn)形，過F的兩直線TQ與SP分別交AB，BC，CD，DA于T，S，Q，P.試?yán)玫滤_格定理（或逆定理）證明：TS與QP的交點(diǎn)M在直線GH上。i)GH在三點(diǎn)形BTS與三點(diǎn)形DQP中（4分）對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線BD,TQ,SP三線共點(diǎn)，（2分）由德薩格定理的逆定理知，（2分）對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)BT與DQ的交點(diǎn)G，TS與QP的交

14、點(diǎn)M以及BS與DP的交點(diǎn)H三點(diǎn)共線，即TS與QP的交點(diǎn)M在直線GH上六、計(jì)算題（42分）1.（6分）平面上經(jīng)過A（-3，2）和B（6，1）兩點(diǎn)的直線被直線x+3y-6=0截于P點(diǎn)，求單比（ABP）2分)解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，yo）Q（ABP）=普=磊i（分割比）'而:x03+6九,y0且P在直線x+3y-6=0上，(3+6九(1+九)+3(2分)解得入=1，即P是AB中點(diǎn)，且（ABP）=12.（6分）已知仿射平面上直線l的非齊次坐標(biāo)方程為x-2y+1=0，求（1）1的齊次坐標(biāo)方程；（2）1上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）1上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的方程。（1）x-2x+x=0（2分）123（2）（1，1

15、/2，0）（2分）（3）u+u1/2=0123. （8分）在直線上取笛氏坐標(biāo)為2,0,3的三點(diǎn)作為射影坐標(biāo)系的P*,P0,E，（i）求此直線上任一點(diǎn)P的笛氏坐標(biāo)x與射影坐標(biāo)入的關(guān)系；（ii）問有沒有一點(diǎn)，它的兩種坐標(biāo)相等？解：（i）由定義A=（PP，EP）=（20,3x）=（32）（x°）*0（x-2）（3-°）3x-6x1°故：，且=6豐°（4分）3x一636（ii）若有一點(diǎn)它的兩種坐標(biāo)相等，即x=A則有x=，即3x27x=0，3x-67.當(dāng)x=0及x二一時(shí)兩種坐標(biāo)相等。34. （8分）求點(diǎn)列上的射影變換，它將參數(shù)為1,2,3的點(diǎn)分別變?yōu)閰?shù)為1,3,

16、2的點(diǎn)，并求出此射影變換的自對(duì)應(yīng)元素的參數(shù)。設(shè)射影變換的方程為：all'+b九+c九'+d二°（2分）由題意知：a+b+c+d=°,6a+2b+3c+d二°,6a+3b+2c+d=0得到：a:b:c:d二3:-5:-5:7故射影變換方程為：3ll'-5l-51'+7=°（4分）二重元素滿足：312-1°1+7=°得1=7/3或1=15. （6分）求由兩個(gè)射影線束x1x=°，x-1'x=°，311'=°所構(gòu)成的二階1323曲線的方程。x一3x=0(2分)23由

17、上式得：九=2=?。?分）3xx33故所求方程即為3xx-xx=013236.(8分)試求二次曲線r:x2+4xx+3x2+2xx-4xx=0的中心與漸近線。11221323二次曲線的齊次方程為：x2+3xx-4x2+2xx10xx=0，11221323QD=aij一45=36主0二次曲線為常態(tài)的，5設(shè)中心(g,n),3而：A=231AA333315-7,A223=字A233254一一32則中心為(-4,-進(jìn))(4分)2525求漸近線方程：ailX2+2ai2XY+a22Y2=0，X=xg，Y=y。從X2+3XY4Y2=0(X+4Y)(XY)=0.X+4Y=(x14)+4(y+26)=05x+

18、20y+18=0，(2分)2525XY=(x14)(y+26)=05x5y8=0。2525一、填空題（每空2分，共20分）1.經(jīng)過一切透視仿射不改變的性質(zhì)和數(shù)量，稱為仿射不變性和仿射不變量.2. 共線三點(diǎn)的簡(jiǎn)比是_仿射不變量.3. 平面三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)（原象不共線，映射也不共線）決定唯一_仿射變換4.點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0，0）的方程是_u=0=0代表點(diǎn)（1，1，0）、（1，-1，0）_的方程6. 已知共線四點(diǎn)A、B、C、D的交比（AB，CD）=2，貝U（CA，BD）=-1.7. 對(duì)合由兩對(duì)不同的對(duì)應(yīng)元素_唯一決定.8. 二階曲線就是兩個(gè)射影線束對(duì)應(yīng)直線交點(diǎn)_的全體.9. 證明公理體系的和諧性常用模型_法

19、.10. 羅巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的兩直線叫做_分散直線二、計(jì)算題（每小題6分，共30分）1.求直線x-2y+3=0上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)。1. 解：化為齊次式X-2x2+3xg=0,以x3=0代入得X-2x2=0，£=2%2或x2=jxi無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1，0）2. 求仿射變換x'=7x一y+1y'=4x+2y+4的不變點(diǎn).2.解：由x=7x一y+1y=4x+2y+46x一y+1=04x+y+4=0解此方程，得不變點(diǎn)為（-1,-2）3.求四點(diǎn)（2，1，-1），（1，-1，1），（1，0，0），（1，5，-5）順這次序的交比.3.解：以（2，1，-1）和（1

20、，-1，1）為基底，則（2，1,-1）+"（1,-1,1）相當(dāng)于（1，0，0）.2+yJ1J_1+yJ.J00得“廣1又（2，1，-1）+“2（1，-1,1）相當(dāng)于（1，5，-5）2+卩21_卩2_1+卩2.15_5得獷i所求交比為上1_-卩234. 試求二階曲線的方程，它是由兩個(gè)射影線束x1-5=0與x2-"x3=0("=邑)所決定的.4.解：Iv=邑(1)X-入x3=0,X2-Vx3=0中的，入，V代入（1）H_1H三xi_x3X3電+2X1+2X3x3x2(x1+2x3)-x3(x1-x3)=0，化簡(jiǎn)，即得所求的二階曲線方程x1x2+2x2x3_x1x3+x

21、3205.求二次曲線2x2+xy-3y2+x-y=0的漸近線.5.解：T系數(shù)行列式2121212-3_12121一20A31A32=fA33254因此中心坐標(biāo)1護(hù)-5，n=由2X2+XY-3Y2=0，即(2X+3Y)(X-Y)=0.得2X+3Y=0X-Y=0.(1)將X=x+*Y=y+1代入(1)得2x+3y+1=0x-y=0即為所求的漸近線方程三、作圖題(每小題6分，共18分)1.給定點(diǎn)A、B，作出點(diǎn)C，使(ABC)=4.作法：.(ABC)=AC=1，即AB=3.BC在AB延長(zhǎng)線上，作點(diǎn)C，使BC=丄AB32.過定點(diǎn)P，作一條直線，使通過兩條已屋知直線的不可到達(dá)的點(diǎn).作法：2.作法：（利用代

22、沙格定理）：任取線束S，設(shè)束中兩條直線交a于A，C，交b于A'，C；連直線PC，PC分別交線束S的第三條直線于B，B；直線BA和B'A'的交點(diǎn)Q與點(diǎn)P的連線，即為所求的直線.注：1°文字，2°也可利用巴卜斯定理；或完全四點(diǎn)形調(diào)和性質(zhì)作圖.3. 如圖，求作點(diǎn)P關(guān)于二次曲線r的極線作法：3.作法：過P點(diǎn)任引兩直線，使與r分別交于A、B及C、D，設(shè)Q=ACxBD，R=ADxBC，那么直線QR即為所求的極線.四、證明題（第1、2題各10分，第3小題12分，共32分）1.設(shè)P、Q、R、S是完全四點(diǎn)形的頂點(diǎn)，A=PSxQR,B=PRxQS,C=PQxRS,證明A

23、=BCxQR,B=CAxRP,q=ABxPQ三點(diǎn)共線.證明：1.證明：在厶ABC及PQR中，TAP、BQ、CR共點(diǎn)S.對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)q=ABxPQ，B=CAxRP,Ai=BCxRQ三點(diǎn)共線2. 過二次曲線的焦點(diǎn)F，引兩條共軛直線l,l，證明1丄l義，兩迷向直線FI，F(xiàn)J是二次曲線的切線.從而（FI，F(xiàn)J，l，l'）=-1，所以l丄13. 將厶ABC的每邊分成三等份，每個(gè)分點(diǎn)跟三角形的對(duì)頂相連，這六條線構(gòu)成一個(gè)六邊形（圖甲），求證它的三雙對(duì)頂連線共點(diǎn)。證明（按以下程序作業(yè)）：第一步：將ABC仿射變換為等邊厶A'B'C'（圖乙），為什么這樣變換存在？第二步：在圖乙中，

24、畫出圖甲的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和線段，并敘述原來命題對(duì)應(yīng)地變成怎樣的命題。第三步：證明：變換后的相應(yīng)命題成立。這樣原來命題也就成立，為什么？3.第一步，.任意兩三角形，總存在仿射變換，使其中一個(gè)三角形仿射變換為另一三角形.第二步：正三角形的每邊三等份，每一分點(diǎn)跟三角形的對(duì)頂相連，這六條線構(gòu)成一個(gè)六邊形，求證它的三雙對(duì)頂?shù)倪B線共點(diǎn).第三步：由A'作B'C'邊上的高線A'S.A'B'C'是正三角形，由對(duì)稱性可知K'，N在A'S上.同理J'、M與P'L'也分別在過點(diǎn)B'、C所作的高線上，因?yàn)锳'B

25、9;C'的三高線共點(diǎn)，所以六邊形J'K'L'M'N'P'的三對(duì)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn).正三角形的垂心和重心是合一的，由于仿射變換構(gòu)成變換群，且同素性和接合關(guān)系以及三角形的重心是仿射不變性，所以原命題也成立.(四)一、填空題(2分x12=24分)二、1、平行四邊形的仿射對(duì)應(yīng)圖形為：平行四邊形；2、直線x+5x=0上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為：(5，T，0)123、已知(ll,II)=3，則(II,ll)=3(ll,ll)=-21234432113244、過點(diǎn)A(1,i,2)的實(shí)直線的齊次方程為：2x-x二0135、方程u25uu+6u2=0表示的圖形坐標(biāo)(1,

26、2,0)(1,3,0)11222x116、已知ox軸上的射影變換式為x'=，則原點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)-x+337、求點(diǎn)(1,1,0)關(guān)于二階曲線3x2+5x2+x2+7xx+4xx+5xx=0的極線方程123121323x+3x+6x=01238、ABCD為平行四邊形，過A引AE與對(duì)角線BD平行，則A(BC,DE)=-19、一點(diǎn)列到自身的兩射影變換a):1T2，2t3，3T4；b)：0T1，2t3，1t0其中為對(duì)合的是：b10、求射影變換九九'-2九+1=0的自對(duì)應(yīng)元素的參數(shù)111、兩個(gè)線束點(diǎn)列成透視的充要條件是12、直線2x-x+x二0上的三點(diǎn)A(l,3,l)，B(2,5,l)，C(1

27、,2,0)的單比(ABC)=1123二、求二階曲線的方程，它是由下列兩個(gè)射影線束所決定的：x九x=0與x九'x=0且九九'一九+2九'+1二0。1323解：射影對(duì)應(yīng)式為九九'九+2九'+1二0。xx由兩線束的方程有：九=1,九=2°xx33將它們代入射影對(duì)應(yīng)式并化簡(jiǎn)得，xx+2xx一xx+x2=01223133此即為所求二階曲線的方程°三、證明：如果兩個(gè)三點(diǎn)形接于同一條二次曲線，則它們也同時(shí)外切于一條二次曲線°證明：三點(diǎn)形ABC和三點(diǎn)形ABC接于二次曲線(C)，設(shè)ABIB'C'=DABIA'C=EAB

28、IBC=DA'BTAC=E'，則C'(A,BA；B)XC(A,BA；B)所以，(A,D,E,B)XC(A,B,AA,B)XC(A,B；AA,B)X(E；BB,A)即(A,D,E,B)X(EA,BA,AA,DA)這兩個(gè)點(diǎn)列對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線AC，CABA，CAAA,BC連同這兩個(gè)點(diǎn)列的底AB，AABA屬于同一條二級(jí)曲線(CA)，亦即三點(diǎn)形ABC和三點(diǎn)形AABACA的邊外切一條二次曲線。四、已知四直線11,12,13,14的方程順次為2x-x+x=0，3x+x-2x=0,7x-x=0，5x-x=0,1231231213求證四直線共點(diǎn)，并求(1112,1314)的值。(10分)2_

29、1131_2解：因?yàn)?1_2=0且7_10=07_1050_1所以11,12,13,14共點(diǎn)。四直線與乂軸(x2=0)的交點(diǎn)順次為A(l,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,l),D(l,0,5),非齊次坐標(biāo)為A(-,0),B(3,0),C(0,0),D(5,0)，所以1112,1314)=(AB，CD)1 12(0+_)(_)2 53(0)(+)3 52五、求兩對(duì)對(duì)應(yīng)元素，其參數(shù)為1T2，0T2，所確定的對(duì)合方程。(10分)解設(shè)所求為a九九A+b(九+九A)+d=0將對(duì)應(yīng)參數(shù)代入得：2a+(l+2)b+d=0(0+2)b+d=0從中消去a,b,d得11=01九九'九+九'1 32 20