復(fù)變函數(shù)64學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)(hnsh)64第一頁，共17頁。- 2 -冪函數(shù)冪函數(shù)(2nwzn為自然數(shù)為自然數(shù)),),由于由于1nwnz 從而當(dāng)從而當(dāng)0z 時時0,w 即即nwz 在復(fù)平面上在復(fù)平面上除坐標(biāo)原除坐標(biāo)原點點處處是共形的。處處是共形的。令令,iizewre 得得,(6.4.1)nrn由此可見，在映射由此可見，在映射nwz 下，下， z平面的圓周平面的圓周|za 映射映射成成w平面的圓周平面的圓周|,nwa 特別是單位圓周特別是單位圓周| 1z 映射映射由由ininree 第1頁/共16頁第二頁，共17頁。- 3 -成單位成單位(dnwi)圓周，圓周，射線射線0 映射成射線映射成射線0

2、,n 角形域角形域00()n 映射成角形域映射成角形域00,n特別將角特別將角形域形域20n 映射成沿正實軸剪開的映射成沿正實軸剪開的w平面平面02 uvo0n yxo0 uvo2n yxo第2頁/共16頁第三頁，共17頁。- 4 -由于由于nwz 為為20n 角形域角形域z平面角形域平面角形域到到w平面平面02是一一映射，是一一映射，因此映射因此映射nwz 在在z平面上除原點和正實軸外是共形的平面上除原點和正實軸外是共形的( (這里我們將這里我們將nwz 的解析分支取在的解析分支取在0Arg2 ),z 且將角形域且將角形域0Arg2z 映射成角形域映射成角形域20Argwn 。因此因此將將以

3、原點為頂點的角形域映射成以原點為頂點的角形域以原點為頂點的角形域映射成以原點為頂點的角形域經(jīng)常使用映射經(jīng)常使用映射nwz 或或.nwz 第3頁/共16頁第四頁，共17頁。- 5 -2()w 求將區(qū)域求將區(qū)域|1| 2,Re0zz映射成區(qū)域映射成區(qū)域Im0w 的一個共形映射。的一個共形映射。例例1 13i3i 123 ( )z解解23 1()w3()w23 133ziwzi 211iwe ww 332ww 第4頁/共16頁第五頁，共17頁。- 6 -3()w( )w3ww 因此因此(ync)所求映射為所求映射為3ww 32w 31w33()3iziz 2i2i 3123 ( ) z133ziwz

4、i 21ww 332ww 第5頁/共16頁第六頁，共17頁。- 7 -例例2 2求將具有求將具有(jyu)(jyu)割痕割痕Re,0Imzazh 得上半平面得上半平面(pngmin)(pngmin)映射映射(yngsh)(yngsh)成單位圓的一個共形映射成單位圓的一個共形映射(yngsh)(yngsh)。1wzaaih ( ) z1()wih2()w2h 221ww 232wwh3()w2h解解第6頁/共16頁第七頁，共17頁。- 8 -h h4()w43ww 44wiwwi aih ( ) z()w1所以所以(suy)44wiwwi 33wiwi 2222whiwhi 221221whiw

5、hi 2222()()zahizahi w3()w2h1wza221ww 232wwh第7頁/共16頁第八頁，共17頁。- 9 -指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),zwe 由于由于0zwe 所以映射所以映射zwe 在復(fù)平面上每一點處都是共形的。在復(fù)平面上每一點處都是共形的。設(shè)設(shè),izxiy we 則則ixiyee e 即即,(6.4.2)xey由此可見，在由指數(shù)函數(shù)由此可見，在由指數(shù)函數(shù)(zh sh hn sh)(zh sh hn sh)所確定的映射下，所確定的映射下，將將z平平面的直線面的直線RezC 映射成映射成w平面的圓周平面的圓周|,Cwe 將將第8頁/共16頁第九頁，共17頁。- 10 -直線直線(

6、zhxin)ImzC 映射映射(yngsh)成射線成射線Arg,wC 特別，將帶形域特別，將帶形域00Im(2 )zy 映射成角形域映射成角形域00Arg.wy( ) z0y0y()wzwe 將帶將帶形域形域0Im2z 映射映射(yngsh)成沿正實軸剪開的復(fù)平面。成沿正實軸剪開的復(fù)平面。( ) z2 zwe ( )w第9頁/共16頁第十頁，共17頁。- 11 -由于由于(yuy)(yuy)映射映射zwe 是是0Im2z 到到0Arg2w 一一映射一一映射(yngsh)(yngsh)，所以其逆映射所以其逆映射Lnwz 是是0Arg2z 到到0Im2w 共形映射，共形映射，( (這里我們認(rèn)為這里

7、我們認(rèn)為Lnz在除在除原點和正實軸外是解析的原點和正實軸外是解析的) )( )w2 i Lnwz ( ) z特別映射特別映射lnwz 將上半將上半平面平面Im0z 映射成帶形域映射成帶形域0Im.w ( ) zlnwz ( )wi 第10頁/共16頁第十一頁，共17頁。- 12 -因此將帶形域映射成角形域經(jīng)常因此將帶形域映射成角形域經(jīng)常(jngchng)(jngchng)使用映射使用映射,zwe 將角形域映射成帶形域經(jīng)常使用映射將角形域映射成帶形域經(jīng)常使用映射Ln (ln ).wzz 或或第11頁/共16頁第十二頁，共17頁。- 13 -1()w()ba i 例例3 3求將帶形域求將帶形域Re

8、azb映射成單位圓映射成單位圓| 1w 的的一個共形映射。一個共形映射。解解( ) zab3()w1()wi za21wwba 23wwe 2()wi 第12頁/共16頁第十三頁，共17頁。- 14 -( ) zabw1i( )w33wiwwi 22wweiei 11wb awb aeiei ()()iz ab aiz ab aeiei 3()w1()wi za21wwba 23wwe 33wiwwi 第13頁/共16頁第十四頁，共17頁。- 15 -( )z2例例4 4求將區(qū)域求將區(qū)域(qy)(qy)| 2,|1| 1zz映射映射(yngsh)(yngsh)成上半平面成上半平面Im0w 的一個的一個(y (y )共形映射。共形映射。1()w2 oo12解解12zwz 2()wi 212wiw ( )w2wwe 22zizwe 1i i 第14頁/共16頁第十五頁，共17頁。- 16 -( )wi 例例5 5求將區(qū)域求將區(qū)域(qy)(qy)| 1,z 且且(0)zx x映射映射(yngsh)(yngsh)成帶形域成帶形域0Imw 的一個的一個(y (y )共形映射。共形映射。解解( ) z11()w1wz 2()w112111www 22lnww 12ln1zwz 第15頁/共16頁第十六頁，共17頁。NoI