五年級(jí)奧數(shù)容斥問題

1、 探索之旅容斥問題容斥問題 1、什么是、什么是容斥問題容斥問題 2、容斥原、容斥原理理容斥原理的容斥原理的進(jìn)階練習(xí)進(jìn)階練習(xí)基礎(chǔ)基礎(chǔ) 詳解：什么是容斥問題詳解：什么是容斥問題 探索之旅 容斥問題容斥問題容容包括包括斥斥排除排除661=11（人）（人）答：共有答：共有11人。人。排隊(duì)問題：從前面數(shù)，從后面數(shù)，排隊(duì)問題：從前面數(shù)，從后面數(shù)，麗麗都排第麗麗都排第6，這一排共有幾個(gè)，這一排共有幾個(gè)人？人？ 洗好的洗好的8塊手帕夾在繩子上晾干，同塊手帕夾在繩子上晾干，同一個(gè)夾子夾住相鄰的兩塊手帕的兩邊，一個(gè)夾子夾住相鄰的兩塊手帕的兩邊，這樣一共要多少個(gè)夾子？這樣一共要多少個(gè)夾子？ 827=9（個(gè)）（個(gè)）答

2、：一共要答：一共要9個(gè)夾子。個(gè)夾子。即當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時(shí)，為了不重即當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時(shí)，為了不重復(fù)計(jì)數(shù)，應(yīng)從它們的和中排除重復(fù)部分。復(fù)計(jì)數(shù)，應(yīng)從它們的和中排除重復(fù)部分。容斥原理：對(duì)幾個(gè)事物，如果采用兩種不同的容斥原理：對(duì)幾個(gè)事物，如果采用兩種不同的分類，那么具有性質(zhì)分類，那么具有性質(zhì)1或性質(zhì)或性質(zhì)2的事物個(gè)數(shù)等于的事物個(gè)數(shù)等于性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)性質(zhì)2減去它們的共同性質(zhì)。減去它們的共同性質(zhì)。例：例：學(xué)校文藝組每人至少會(huì)演奏一種樂器，已學(xué)校文藝組每人至少會(huì)演奏一種樂器，已知會(huì)拉手風(fēng)琴的有知會(huì)拉手風(fēng)琴的有24人，會(huì)彈電子琴的有人，會(huì)彈電子琴的有17人，人，其中兩種樂器都會(huì)演奏的有其中兩種

3、樂器都會(huì)演奏的有8人。這個(gè)文藝組人。這個(gè)文藝組一共有多少人？一共有多少人？ 拉手拉手風(fēng)琴風(fēng)琴的人的人數(shù)：數(shù)：2424人人彈電彈電子琴子琴的人的人數(shù)：數(shù)：1717人人兩種兩種都會(huì)都會(huì)彈的彈的人數(shù)：人數(shù)：8 8人人？人？人24178=33（人）（人）答：一共有答：一共有33人。人。容斥原理：容斥原理：1 1、找找分的類：分的類：2 2類類 找找1 1、2 2類共有的類共有的2 2、2 2類的類的總個(gè)數(shù)總個(gè)數(shù)等于等于2 2類的類的和減去和減去它們的共它們的共有的。有的。五年級(jí)學(xué)生參加語文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門功課取得五年級(jí)學(xué)生參加語文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門功課取得優(yōu)秀成績(jī)。其中語文成績(jī)優(yōu)秀的

4、有優(yōu)秀成績(jī)。其中語文成績(jī)優(yōu)秀的有65人，數(shù)學(xué)優(yōu)秀的有人，數(shù)學(xué)優(yōu)秀的有87人。人。語文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有語文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有30人，問五年級(jí)一共有多少人？人，問五年級(jí)一共有多少人？ 語文語文優(yōu)秀優(yōu)秀的人的人數(shù)：數(shù)：6565人人數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)秀優(yōu)秀的人的人數(shù)：數(shù)：8787人人兩科兩科都優(yōu)都優(yōu)秀的秀的人數(shù)：人數(shù)：3030？人人658730=122（人）（人）答：五年級(jí)一共有答：五年級(jí)一共有122人。人。四（一）班學(xué)生參加數(shù)學(xué)小組和科技小組，每四（一）班學(xué)生參加數(shù)學(xué)小組和科技小組，每個(gè)學(xué)生至少參加一個(gè)小組，有個(gè)學(xué)生至少參加一個(gè)小組，有25人參加數(shù)學(xué)小人參加數(shù)學(xué)小組，組，23人參加科技小組，有人參加科技小組，

5、有19人兩個(gè)小組都參人兩個(gè)小組都參加了。那么四（一）班一共有多少人？加了。那么四（一）班一共有多少人？252319=29（人）（人）答：一共有答：一共有29人。人。例：例：一班有一班有48人，班主任在班會(huì)上問：人，班主任在班會(huì)上問：“誰做完了語文作業(yè)？誰做完了語文作業(yè)？請(qǐng)舉手請(qǐng)舉手”有有37人舉手，又問：人舉手，又問：“誰做完了數(shù)學(xué)作業(yè)？請(qǐng)舉手誰做完了數(shù)學(xué)作業(yè)？請(qǐng)舉手”有有42人舉人，最后問：人舉人，最后問：“誰語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都沒做完？請(qǐng)舉誰語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都沒做完？請(qǐng)舉手手”結(jié)果沒有人舉手。求這個(gè)班語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的人結(jié)果沒有人舉手。求這個(gè)班語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的人數(shù)是多少個(gè)？數(shù)是多少個(gè)？

6、 做完做完語文語文的人的人數(shù)：數(shù)：3737人人做完做完數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)的人的人數(shù)：數(shù)：4242人人兩科兩科做完做完的人的人數(shù)：？數(shù)：？48人人374248=31（人）（人）答：這個(gè)班語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的人數(shù)是答：這個(gè)班語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的人數(shù)是31人。人。五年級(jí)有五年級(jí)有122名學(xué)生參加語文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門名學(xué)生參加語文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門功課取得優(yōu)秀成績(jī)。其中語文成績(jī)優(yōu)秀的有功課取得優(yōu)秀成績(jī)。其中語文成績(jī)優(yōu)秀的有65人，數(shù)學(xué)優(yōu)秀人，數(shù)學(xué)優(yōu)秀的有的有87人。語文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有多少人？人。語文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有多少人？ 語文語文優(yōu)秀優(yōu)秀的人的人數(shù)：數(shù)：6565人人數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)秀優(yōu)秀的人

7、的人數(shù)：數(shù)：8787人人兩科兩科做完做完的人的人數(shù)：？數(shù)：？122人人6587122=30（人）（人）答：語文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有答：語文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有30人。人。在在1到到100的全部自然數(shù)中，既不是的全部自然數(shù)中，既不是5的倍數(shù)，也不是的倍數(shù)，也不是6的倍數(shù)的倍數(shù)有多少個(gè)？有多少個(gè)？ 5 5的倍的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)數(shù)：數(shù)：6 6的倍的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)：個(gè)數(shù)：3030的的倍數(shù)倍數(shù)的個(gè)的個(gè)數(shù)：數(shù)：？個(gè)？個(gè)1005=20（個(gè)）（個(gè)）答：有答：有67個(gè)。個(gè)。不是不是5的倍數(shù)；的倍數(shù)；不是不是6的倍數(shù)；的倍數(shù)；不是不是30的倍數(shù)的倍數(shù)5的倍數(shù)的個(gè)數(shù)；的倍數(shù)的個(gè)數(shù)；6的倍數(shù)的個(gè)數(shù)；的倍數(shù)的個(gè)數(shù)；30的倍數(shù)

8、的個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)1006=16 （個(gè)）（個(gè)） 410030=3 （個(gè)）（個(gè)） 1020163=33 （個(gè)）（個(gè)）10033=67 （個(gè)）（個(gè)）例：例：全班學(xué)生全班學(xué)生40人，愛好音樂的有人，愛好音樂的有18人，愛好舞蹈的有人，愛好舞蹈的有21，愛好美術(shù)的有，愛好美術(shù)的有9人，既愛好音樂又愛好舞蹈的人，既愛好音樂又愛好舞蹈的有有3人，既愛好音樂又愛好美術(shù)的有人，既愛好音樂又愛好美術(shù)的有1人，但沒有人人，但沒有人這三種都愛好，也沒有人都不愛好的。問有多少既這三種都愛好，也沒有人都不愛好的。問有多少既愛好舞蹈又愛好美術(shù)？愛好舞蹈又愛好美術(shù)？ 182193140=4440=4（人）（人） 答：有答：

9、有4人既愛好舞蹈又愛好美術(shù)。人既愛好舞蹈又愛好美術(shù)。某班有學(xué)生某班有學(xué)生50人，其中人，其中35人會(huì)游泳，人會(huì)游泳，38人會(huì)騎自行人會(huì)騎自行車，車，40人會(huì)溜冰，人會(huì)溜冰，46人會(huì)打乒乓。問人會(huì)打乒乓。問四項(xiàng)活動(dòng)都會(huì)四項(xiàng)活動(dòng)都會(huì)的的至少至少有多少人？有多少人？ 一項(xiàng)不會(huì)的就一項(xiàng)不會(huì)的就不符合不符合 一項(xiàng)不會(huì)的一項(xiàng)不會(huì)的盡可能的多，盡可能的多，即考慮重復(fù)的即考慮重復(fù)的 不會(huì)游泳的：不會(huì)游泳的： 5035=15（人）（人） 不會(huì)騎自行車的：不會(huì)騎自行車的： 5038=12（人）（人） 不會(huì)溜冰的：不會(huì)溜冰的： 5040=10（人）（人） 不會(huì)打乒乓的：不會(huì)打乒乓的： 5046=4（人）（人）四項(xiàng)都

10、會(huì)的至少有：四項(xiàng)都會(huì)的至少有： 50（1512104）=9（人）（人）課后過關(guān)：課后過關(guān)：一個(gè)旅行社有一個(gè)旅行社有36人，其中會(huì)英語的有人，其中會(huì)英語的有24人，會(huì)人，會(huì)法語的法語的18人，兩樣都不會(huì)的有人，兩樣都不會(huì)的有4人。兩樣都會(huì)的人。兩樣都會(huì)的有多少人？有多少人？ 練習(xí)時(shí)間：容斥原理練習(xí)時(shí)間：容斥原理 探索之旅五年級(jí)五年級(jí)96名學(xué)生都訂了刊物，有名學(xué)生都訂了刊物，有64人訂了少年報(bào)，人訂了少年報(bào)，有有48人訂了小學(xué)生報(bào)，問兩種刊物都訂的有多少人？人訂了小學(xué)生報(bào)，問兩種刊物都訂的有多少人？64人48人？人（兩種都？人（兩種都訂的）訂的）96人64+48-96=112-96=16（人）1、

11、一個(gè)班的、一個(gè)班的52人都在做語文和數(shù)學(xué)作業(yè)，有人都在做語文和數(shù)學(xué)作業(yè)，有32人做人做完了語文作業(yè)，有完了語文作業(yè)，有35人做完了數(shù)學(xué)作業(yè)，這個(gè)班語文、人做完了數(shù)學(xué)作業(yè)，這個(gè)班語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的有多少人？數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的有多少人？2、五年級(jí)有、五年級(jí)有112人參加語文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有人參加語文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門功課得優(yōu)，其中，語文得優(yōu)的有一門功課得優(yōu)，其中，語文得優(yōu)的有65人，數(shù)學(xué)得優(yōu)人，數(shù)學(xué)得優(yōu)的有的有87人，問語文、數(shù)學(xué)得優(yōu)的有多少人？人，問語文、數(shù)學(xué)得優(yōu)的有多少人？3、某班有、某班有50名學(xué)生，在一次測(cè)試中有名學(xué)生，在一次測(cè)試中有26人滿分，在第人滿分，在第二次測(cè)試中有

12、二次測(cè)試中有21人滿分。如果兩次測(cè)試都沒有得過滿人滿分。如果兩次測(cè)試都沒有得過滿分的學(xué)生有分的學(xué)生有17人，那么，兩次測(cè)試都獲滿分的有多少人，那么，兩次測(cè)試都獲滿分的有多少人？人？某地區(qū)的外語教師中，每人至少懂得英語和日語中一某地區(qū)的外語教師中，每人至少懂得英語和日語中一種語言。已知有種語言。已知有35人懂英語，有人懂英語，有34人懂日語，兩種語人懂日語，兩種語言都懂的有言都懂的有21人，這個(gè)地區(qū)有多少個(gè)外語教師？人，這個(gè)地區(qū)有多少個(gè)外語教師？1、某校的每個(gè)學(xué)生至少愛好體育和文娛中的一種活、某校的每個(gè)學(xué)生至少愛好體育和文娛中的一種活動(dòng)，已知有動(dòng)，已知有900人愛好體育活動(dòng)，有人愛好體育活動(dòng)，有

13、850人愛好文娛活人愛好文娛活動(dòng)，其中動(dòng)，其中260人兩種活動(dòng)都愛好。這個(gè)學(xué)校共有學(xué)生人兩種活動(dòng)都愛好。這個(gè)學(xué)校共有學(xué)生多少人？多少人？2、某班在一次測(cè)試中有、某班在一次測(cè)試中有26人語文獲優(yōu)，有人語文獲優(yōu)，有30人數(shù)學(xué)人數(shù)學(xué)獲優(yōu)，其中語文、數(shù)學(xué)雙優(yōu)的有獲優(yōu)，其中語文、數(shù)學(xué)雙優(yōu)的有12人，另外還有人，另外還有8人人語文、數(shù)學(xué)都未獲優(yōu)，這個(gè)班共有多少個(gè)學(xué)生？語文、數(shù)學(xué)都未獲優(yōu)，這個(gè)班共有多少個(gè)學(xué)生？3、第一小組的同學(xué)們都在兩道數(shù)學(xué)思考題，做對(duì)第、第一小組的同學(xué)們都在兩道數(shù)學(xué)思考題，做對(duì)第一題的有一題的有15人，做對(duì)第二題的有人，做對(duì)第二題的有10人，兩題都做對(duì)的人，兩題都做對(duì)的有有7人，兩題都做

14、錯(cuò)的有人，兩題都做錯(cuò)的有2人，第一小組一共有多少人？人，第一小組一共有多少人？612= 0.87-0.49= 1740= 3.21.68= 2.80.4= 14-7.4= 5.4400= 51.06= 4.30.5= 0.1450= 5.73.9= 6.30.7= 3.060.3= 18.21.8= 9.92.7= 32.13= 7.344= 0.1250.25= 2.56-0.37= 1.054= 1.5+0.254= 30.20.5= 0.841.60.840.6= 12.518.50.8= 在在100個(gè)外語教師中，懂得英語的個(gè)外語教師中，懂得英語的75人，懂日語的人，懂日語的45人，其中

15、必然有既懂英語又懂日語的老師，問：只懂人，其中必然有既懂英語又懂日語的老師，問：只懂英語的教師有多少人？英語的教師有多少人？75+45=120（人）120-100=20（人）75-20=55（人）答：只懂英語的教師有答：只懂英語的教師有55人。人。1、40人都在做加試的兩道題，并且至少做對(duì)了其中人都在做加試的兩道題，并且至少做對(duì)了其中的一題，已知做對(duì)第一題的有的一題，已知做對(duì)第一題的有30人，做對(duì)第二題的有人，做對(duì)第二題的有21人，問：只做對(duì)第一題的有多少人？人，問：只做對(duì)第一題的有多少人？2、五年級(jí)、五年級(jí)122名同學(xué)參加語文、數(shù)學(xué)考試，每人至少名同學(xué)參加語文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門得優(yōu)，

16、已知語文有一門得優(yōu)，已知語文65 人得優(yōu)，數(shù)學(xué)人得優(yōu)，數(shù)學(xué)78人得優(yōu)，人得優(yōu)，求只有語文一門得優(yōu)的人數(shù)。求只有語文一門得優(yōu)的人數(shù)。3、全班、全班46名同學(xué)，僅會(huì)打乒乓球的有名同學(xué)，僅會(huì)打乒乓球的有28人，會(huì)打乒人，會(huì)打乒乓球又會(huì)打羽毛球的有乓球又會(huì)打羽毛球的有10人，不會(huì)打乒乓球又不會(huì)打人，不會(huì)打乒乓球又不會(huì)打羽毛球的有羽毛球的有6人，僅會(huì)打羽毛球的有多少人？人，僅會(huì)打羽毛球的有多少人？例：例：學(xué)校開展課外活動(dòng)，共有學(xué)校開展課外活動(dòng)，共有250250人參加。其中參加人參加。其中參加象棋組和乒乓球組的同學(xué)不同時(shí)活動(dòng)，參加象棋組的象棋組和乒乓球組的同學(xué)不同時(shí)活動(dòng)，參加象棋組的8383人，參加乒乓球

17、組的有人，參加乒乓球組的有8686人，這兩個(gè)小組都參加的人，這兩個(gè)小組都參加的有有2525人。問：這人。問：這250250名同學(xué)中，乒乓球組都不會(huì)參加名同學(xué)中，乒乓球組都不會(huì)參加的有多少人？的有多少人？83+86-25=169-25=144（人）250-144=106（人）答：乒乓球組都不會(huì)參加的有答：乒乓球組都不會(huì)參加的有106人。人。1、100位旅客中，有位旅客中，有70人懂英語，有人懂英語，有65人懂日語，人懂日語，既懂英語又懂日語的有既懂英語又懂日語的有45 人，那么，既不懂英語又人，那么，既不懂英語又不懂日語的有多少人？不懂日語的有多少人？2、五（、五（1）班有學(xué)生）班有學(xué)生50人，

18、在一次測(cè)試中，語文人，在一次測(cè)試中，語文90分分以上的有以上的有30人，數(shù)學(xué)人，數(shù)學(xué)90分以上的分以上的35人，語文和數(shù)學(xué)都人，語文和數(shù)學(xué)都在在90分以上的有分以上的有20人，人，90分以下的有多少人？分以下的有多少人？3、老師在統(tǒng)計(jì)考試成績(jī)。數(shù)學(xué)得、老師在統(tǒng)計(jì)考試成績(jī)。數(shù)學(xué)得90分以上的有分以上的有25人，人，語文得語文得90分以上的有分以上的有21人，兩科中有一科有人，兩科中有一科有90分以上分以上的有的有38人，問：兩樣都得人，問：兩樣都得90分以上的有多少人？分以上的有多少人？例：實(shí)驗(yàn)小學(xué)各年級(jí)都參加的一次書法比賽中，例：實(shí)驗(yàn)小學(xué)各年級(jí)都參加的一次書法比賽中，四年級(jí)與五年級(jí)共有四年級(jí)與五年級(jí)共有2020人獲獎(jiǎng)，在獲獎(jiǎng)?wù)咧杏腥双@獎(jiǎng)，在獲獎(jiǎng)?wù)咧杏?616人不是四年級(jí)的，有人不是四年級(jí)的，有1212人不是五年級(jí)的。該人不是五年級(jí)的。該校書法比賽獲獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)是多少人？校書法比賽獲獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)是多少人？1、五一小學(xué)舉行小學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中、五一小學(xué)舉行小學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中24名運(yùn)動(dòng)名運(yùn)動(dòng)員不是六年級(jí)的，員不是六年級(jí)的，28名運(yùn)動(dòng)員不是五年級(jí)的，已知五、名運(yùn)動(dòng)員不是五年級(jí)的，已知五、六年級(jí)運(yùn)動(dòng)員共六年級(jí)運(yùn)動(dòng)員共32名，五、六年級(jí)和中低年級(jí)運(yùn)動(dòng)員名，五