(完整版)數(shù)學(xué)培優(yōu)競(jìng)賽新方法(九年級(jí))-第23講幾何定值

1、第23講幾何定值知識(shí)縱橫幾何定值，是指變動(dòng)的圖形中某些幾何元素的幾何量保持不變，或幾何元素間的某些集合性質(zhì)或位置關(guān)系不變。解幾何定值問(wèn)題的基本方法是：分清問(wèn)題的定量和變量，運(yùn)用極端位置、特殊位置、直接計(jì)算等方法，先探求出定值，再給出一般情形下的證明。例題求解【例1】（1）如圖1,圓內(nèi)接ABC中，ABBCCA,OD,OE為圓O的半徑,ODBC于點(diǎn)F,OEAC于點(diǎn)G,求證：陰影部分四邊形OFCG的面積是ABC的一1面積的一.3（2）如圖2,若DOE保持120角度不變，求證：DOE繞著O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，由兩條半1徑和ABC的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是ABC的面積的一.3（廣東省中考題）1c

2、思路點(diǎn)撥對(duì)于（1）,連OA、OC,則要證明SOACSABC,只需證明3OAGOCF；對(duì)于（2）,類(lèi)比（1）的證明方法證明?！纠?】如圖，OO1和。02外切于點(diǎn)A,BC是。O1和。02的公切線，B,C為切點(diǎn).(1)求證：ABAC;(2)過(guò)點(diǎn)A的直線分別交。Oi和。2于點(diǎn)D,E,且DE是連心線時(shí)，直線DB與直線EC交于點(diǎn)F.請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出圖形，并判斷DF與EF是否互相垂直，請(qǐng)證明；若不垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)在(2)的其他條件不變的情況下，將直線DE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)(DE不與點(diǎn)A,B,C重合)，請(qǐng)另畫(huà)出圖形，并判斷DF與EF是否互相垂直？若垂直，請(qǐng)證明；若不垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由.(沈陽(yáng)市中考題)思路點(diǎn)撥按題意

3、畫(huà)出圖形，充分運(yùn)用角的知識(shí)證明若DFE90,則DFEF這一位置關(guān)系不變。【例3】如圖，定長(zhǎng)的弦ST在一個(gè)以AB為直徑的半圓上滑動(dòng)，M是ST的中點(diǎn)，P是S對(duì)AB作垂線的垂足，求證：不管ST滑到什么位置，SPM是一定角.(第18屆加拿大數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)(1)求證：四邊形OGCH是平行四邊形;存在長(zhǎng)度不變的線段？若存在，請(qǐng)求出該線段的長(zhǎng)度;思路點(diǎn)撥不管ST滑到什么位置，弧ST及SOT的度數(shù)都是定制，從探尋SPM與SOT的關(guān)系入手?！纠?】如圖，扇形OAB的半徑OA3,圓心角AOB90，點(diǎn)C是弧AB上異于A,B的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CDOA于點(diǎn)D,作CEOB于點(diǎn)E,連接DE,點(diǎn)G,H在線段DE上，且DGGHHE

4、.(2)當(dāng)點(diǎn)C在弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在CD,CG,DG中，是否2_2(3)求證：CD3CH是定值.思路點(diǎn)撥對(duì)于(3),設(shè)法把CH用CD的代數(shù)式表示，通過(guò)計(jì)算的方式確定定值。而隨著輔助線添加的不同，為探索不同的解題思路提供了可能，而解題的關(guān)鍵是對(duì)等分點(diǎn)條件的運(yùn)用?！纠?】如圖，已知等邊ABC內(nèi)接于圓，在劣弧AB上取異于A、B的點(diǎn)M,設(shè)直線AC與BM相交于K,直線CB與AM相交于點(diǎn)N,證明：線段AK和BN的乘積與M點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān).思路點(diǎn)撥即要證AKBN是一個(gè)定值，在圖形中ABC的邊長(zhǎng)是一個(gè)定值，說(shuō)明AKBN與AB有關(guān)，從圖知AB為ABM與ANB的公共邊，作一個(gè)大膽的猜想,AKBNAB2,從而我們的證明目

5、標(biāo)更加明確.以退為進(jìn)【例6】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M在x軸的正半軸上，。M交x軸于A,B兩點(diǎn)，交y軸于C,D兩點(diǎn)，且C為弧AE的中點(diǎn)，AE交y軸于G點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,0,AE8.C(湖北省競(jìng)賽題)(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)連接MG,BC,求證：MG/BC；OF(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)D作。M的切線，交x軸于點(diǎn)P.動(dòng)點(diǎn)F在OM的圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，-的比值是否發(fā)生變化？若不變，求出比值；若變化，說(shuō)明變化規(guī)律.學(xué)力訓(xùn)練基礎(chǔ)夯實(shí)1.閱讀下列材料，然后解答問(wèn)題.經(jīng)過(guò)正四邊形（即正方形）各頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)正四邊形的外接圓，圓心是正四邊形的對(duì)稱(chēng)中心，這個(gè)正四邊形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接正四邊形.如圖，已知正

6、四邊形ABCD的外接圓。O,。的面積為S1,正四邊形ABCD的面積為S2,以圓心O為頂點(diǎn)作MON,使MON90,將MON繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，OM,ON分別與。O相交于點(diǎn)E,F,分別與正四邊形ABCD的邊相交于點(diǎn)G,H.設(shè)由OE,OF,弧EF及正四邊形ABCD的邊圍成的圖形（圖中的陰影部分）的面積為S（1）當(dāng)OM經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)（如圖），則S,Si,S2之間的關(guān)系為：S（用含6、S2的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)OMAB時(shí)（如圖），點(diǎn)G為垂足，則（1）中的結(jié)論仍然成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)MON旋轉(zhuǎn)到任意位置時(shí)（如圖），則（1）中的結(jié)論仍然成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.（邵陽(yáng)市中考題）2 .如圖，在等腰三角形ABC中，O為

7、底邊BC的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心作半圓與AB,AC相切，切點(diǎn)分別為D,E.過(guò)半圓上一點(diǎn)F作半圓的切線，分別交AB,AC于M,N.求證：BMCN為定值。3 .如圖，已知等邊三角形ABC的周長(zhǎng)為a,P為其內(nèi)任一點(diǎn),PDAB于D,PEBC于E,PFAC于F。求證：（1）PDPEPF為定值；（2）ADBECF為定值。（三明市中考題）4 .已知半徑為R的。O'經(jīng)過(guò)半徑為r的。的圓心，OO與。O'交于E,F兩點(diǎn).（1）如圖1,連接OO'交。O于點(diǎn)C,并延長(zhǎng)交。O'于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)C作。O的切線交。O'9,B兩點(diǎn)，求OAOB的值；（2）若點(diǎn)C為。O上一動(dòng)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到。O&#

8、39;內(nèi)時(shí)，如圖2,過(guò)點(diǎn)C作。O的切線交。O'于A,B兩點(diǎn)，則OAOB的值與（1）中的結(jié)論相比較有無(wú)變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到。O'外時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作。O的切線，若能交。O于A,B兩點(diǎn)，如圖3,則OAOB的值與（1）中的結(jié)論相比較有無(wú)變化？請(qǐng)說(shuō)明理由.（濟(jì)南市中考題）能力拓展5 .如圖，內(nèi)接于圓O的四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD垂直相交于點(diǎn)K,設(shè)圓O的半徑為R,求證：(1) AK2BK2CK2DK2是定值;_222_2、一(2) ABBCCDDA是定值。一PAPC6 .如圖，已知P為正萬(wàn)形ABCD的外接圓的劣弧AD上任意一點(diǎn)，求證：為定PB值。7 .如圖，已知ABC為直角三角

9、形，ACB90,ACBC,點(diǎn)A,C在x軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為3,mm0,線段AB與y軸相交于點(diǎn)D,以P1,0為頂點(diǎn)的拋物線過(guò)點(diǎn)B,D.(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)(用m表示)；(2)求拋物線的解析式；(3)設(shè)點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一動(dòng)點(diǎn)，連接PQ并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E,連接BQ并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，試證明：FCACEC為定值.(湘潭市中考題)8 .如圖所示，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為6,0,0,2，點(diǎn)D是線段BC上，一，一，一一一八1八一一的動(dòng)點(diǎn)(與漏點(diǎn)B,C不重合)，過(guò)點(diǎn)D作直線y-xb交折線OAB于點(diǎn)E.2(1)記ODE的面積為S,求S與b的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，若矩形

10、OABC關(guān)于直線DE的對(duì)稱(chēng)圖形為四邊形OiABiCi,試探究四邊形OiABiCi與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出該重綜合創(chuàng)新9 .如圖1所示，以點(diǎn)M1,0為圓心的圓與y軸，x軸分別交于點(diǎn)A,B,C,D,直線5點(diǎn)yx與。M相切于點(diǎn)H,交y軸于點(diǎn)E,交y軸于點(diǎn)F.33(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出OE,。M的半徑r,CH的長(zhǎng)；(2)如圖2所示，弦HQ交x軸于點(diǎn)P,且DP:PH3:2,求cosQHC的值；(3)如圖3所示，點(diǎn)K為線段EC上一動(dòng)點(diǎn)(不與E,C重合)，連接BK交。M于點(diǎn)T,弦AT交x軸于點(diǎn)N.是否存在一個(gè)常數(shù)a,始終滿(mǎn)足MNMKa?如果存在，請(qǐng)求出a的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(深圳市中考題)10.小明是一個(gè)喜歡探究鉆研的同學(xué)，他在和同學(xué)們一起研究某條拋物線yax2a0的性質(zhì)時(shí)，將一把直角三角板的直角頂點(diǎn)置于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O,兩直角邊與該拋物線交于A,B兩點(diǎn)，請(qǐng)解答以下問(wèn)題：(1)若