1.2微分方程基本概念ppt課件

1、河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)第七章 常微分方程 高等數(shù)學(xué)上）高等數(shù)學(xué)上）河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)解解.用用微微分分方方程程表表示示此此關(guān)關(guān)系系)(TmKdtdT 第一節(jié) 微分方程的基本概念一、問(wèn)題的提出河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)解解)(xyy 設(shè)設(shè)所所求求曲曲線線為為xdxdy2 xdxy22,1 yx時(shí)時(shí)其中其中,2Cxy 即即, 1 C求得求得.12 xy所求曲線方程為所求曲線方程為河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)例例 2 2 列車(chē)在平直的線路上以列車(chē)在平直的線路上以 2020 米米/ /秒的速度行駛秒的速度行駛, ,當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車(chē)獲得加速度當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車(chē)獲得加速度4 . 0 米米/ /秒秒2

2、 2, ,問(wèn)開(kāi)始制動(dòng)問(wèn)開(kāi)始制動(dòng)后多少時(shí)間列車(chē)才能停?。恳约傲熊?chē)在這段時(shí)間內(nèi)后多少時(shí)間列車(chē)才能停?。恳约傲熊?chē)在這段時(shí)間內(nèi)行駛了多少路程？行駛了多少路程？解解)(,tssst 米米秒鐘行駛秒鐘行駛設(shè)制動(dòng)后設(shè)制動(dòng)后4 .022 dtsd,20, 0,0 dtdsvst時(shí)時(shí)14 . 0Ctdtdsv 2122 . 0CtCts 河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)代入條件后知代入條件后知0,2021 CC,202 . 02tts ,204 .0 tdtdsv故故),(504 . 020秒秒 t列列車(chē)車(chē)在在這這段段時(shí)時(shí)間間內(nèi)內(nèi)行行駛駛了了 ).(5005020502 . 02米米 s開(kāi)始制動(dòng)到列車(chē)完全停住共需開(kāi)始制動(dòng)

3、到列車(chē)完全停住共需河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué) 微分方程微分方程: : 含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程. .例例,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy 實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì): : 聯(lián)系自變量聯(lián)系自變量, ,未知函數(shù)以及未知函未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)( (或微分或微分) )之間的關(guān)系式之間的關(guān)系式. .二、微分方程的定義yyycos12河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué) （2 2微分方程的階微分方程的階: : 微分方程中出現(xiàn)的未微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù). .注注1 1如果方程中的未知函數(shù)如果方程中的未

4、知函數(shù) 是是 的一的一元函數(shù)，則稱(chēng)該方程為常微分方程元函數(shù)，則稱(chēng)該方程為常微分方程. . 否則稱(chēng)否則稱(chēng)為偏微分方程為偏微分方程. ., 0),( yyxF一階微分方程一階微分方程);,(yxfy 高階高階(n)(n)微分方程的一般形式微分方程的一般形式, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfyyx河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)（3 3線性與非線性微分方程線性與非線性微分方程. . 如果微分方程中出現(xiàn)的含未知函數(shù)及其導(dǎo)如果微分方程中出現(xiàn)的含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)都是一次的，則稱(chēng)其為線性微分方程數(shù)的項(xiàng)都是一次的，則稱(chēng)其為線性微分方程. .),()(xQyxPy ; 02)(2 xyy

5、yx)()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn 線性微分方程的性質(zhì)與線性代數(shù)方程組的性質(zhì)線性微分方程的性質(zhì)與線性代數(shù)方程組的性質(zhì)類(lèi)似類(lèi)似. .河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)微分方程的解微分方程的解: :代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱(chēng)為該微分方程的解稱(chēng)為該微分方程的解. . 且且階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)上上有有即即在在區(qū)區(qū)間間是是解解設(shè)設(shè),.)(nIxy . 0)(,),(),(,()( xxxxFn微分方程的解的分類(lèi)：微分方程的解的分類(lèi)：三、主要問(wèn)題-求方程的解(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常數(shù)微分方程的解中含有任意常數(shù), ,且

6、且其中獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階其中獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同數(shù)相同. .河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)(2)(2)特解特解: : 不含有任意常數(shù)的解不含有任意常數(shù)的解. ., yy 例例;xCey 通通解解,0 yy;cossin21xCxCy 通通解解定解條件定解條件: :用來(lái)確定任意常數(shù)的條件用來(lái)確定任意常數(shù)的條件. .初始條件初始條件: :在某一固定點(diǎn)給出各階導(dǎo)數(shù)的定解條件在某一固定點(diǎn)給出各階導(dǎo)數(shù)的定解條件. .0)0(,20)0( ssxCysin: 問(wèn)題問(wèn)題是特解是特解, ,還是通解還是通解? ?河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)解解,2Cxy 代代入入xyC2 yxxxyCxy

7、 212222:則則所所求求的的微微分分方方程程為為yxy 22河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)過(guò)定點(diǎn)的積分曲線過(guò)定點(diǎn)的積分曲線; ; 00),(yyyxfyxx一階一階: :二階二階: : 0000,),(yyyyyyxfyxxxx過(guò)定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線過(guò)定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線. .初值問(wèn)題初值問(wèn)題CauchyCauchy問(wèn)題）問(wèn)題）: : 求微分方程滿(mǎn)足求微分方程滿(mǎn)足初始條件的解的問(wèn)題初始條件的解的問(wèn)題. .河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)例例 3 3 驗(yàn)驗(yàn)證證:函函數(shù)數(shù)ktCktCxsincos21 是是微微分分方方程程0222 xkdtxd的的解解. 并并求求滿(mǎn)滿(mǎn)足足初初始始條條件件0,00 ttdtdxAx的的特特解解.解解,cossin21ktkCktkCdtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd ,22的的表表達(dá)達(dá)式式代代入入原原方方程程和和將將xdtxd河海大學(xué)理學(xué)院高等