現(xiàn)代電路分析第六章

1、第六章第六章 動(dòng)態(tài)非線性電路的定性、定量方法動(dòng)態(tài)非線性電路的定性、定量方法6-4 非線性方程線性化及平衡點(diǎn)類型非線性方程線性化及平衡點(diǎn)類型6-3 相空間、軌道、平衡點(diǎn)相空間、軌道、平衡點(diǎn)6-2 一階非線性電路一階非線性電路6-5 李雅普諾夫直接法李雅普諾夫直接法6-6 周期解與極限環(huán)周期解與極限環(huán)6-7 攝動(dòng)法攝動(dòng)法6-8 平均法平均法6-9 諧波平衡法諧波平衡法用一階非線性微分方程描述的電路稱為用一階非線性微分方程描述的電路稱為一階一階段非線性電路段非線性電路。一階非線性的方程可用狀態(tài)方程的形式描述一階非線性的方程可用狀態(tài)方程的形式描述6-2 一階非線性電路一階非線性電路d( , )dxf

2、x tt狀態(tài)變量：電容狀態(tài)變量：電容電壓或電感電流電壓或電感電流一階非線性電路一階非線性電路非動(dòng)態(tài)元件為非線性非動(dòng)態(tài)元件為非線性動(dòng)態(tài)元件為非線性動(dòng)態(tài)元件為非線性兩者均為非線性兩者均為非線性6-2 一階非線性電路一階非線性電路一、一、 只含非線性電阻的一階動(dòng)態(tài)電路只含非線性電阻的一階動(dòng)態(tài)電路(b)Nv+_LiNv+_(a)Ci非線性一階電路解題思路：解題思路：將一端口將一端口N的驅(qū)動(dòng)點(diǎn)特性用分段線的驅(qū)動(dòng)點(diǎn)特性用分段線性化表示，則性化表示，則DP圖中的每段折線都可用戴維圖中的每段折線都可用戴維寧（諾頓）模型表示，從而每一段折線可形寧（諾頓）模型表示，從而每一段折線可形成成一個(gè)等效的線性一階電路一個(gè)

3、等效的線性一階電路。二、二、 動(dòng)態(tài)元件為非線性的一階電路動(dòng)態(tài)元件為非線性的一階電路6-2 一階非線性電路一階非線性電路動(dòng)態(tài)元件特性的分段線性化動(dòng)態(tài)元件特性的分段線性化1ccskkvqVC電容：電容：1LLskkiIL電感：電感：v+_(a)Civ+_Civs+_(b)v+_Liv+_LkiIs6-3 相空間、軌道、平衡點(diǎn)相空間、軌道、平衡點(diǎn)一、基本概念一、基本概念1 自治系統(tǒng)和非自治系統(tǒng)自治系統(tǒng)和非自治系統(tǒng)一般形式的狀態(tài)方程為一般形式的狀態(tài)方程為若系統(tǒng)是時(shí)不變的，且激勵(lì)也不隨若系統(tǒng)是時(shí)不變的，且激勵(lì)也不隨t變化，上述方變化，上述方程中的程中的t不以顯含形式出現(xiàn)，即不以顯含形式出現(xiàn)，即12d(,

4、., )diinxfxxxtt（6-3）12d(,.)diinxfxxxt（6-4）描述的系統(tǒng)描述的系統(tǒng)為為自治系統(tǒng)自治系統(tǒng)描述的系統(tǒng)為描述的系統(tǒng)為非自治系統(tǒng)非自治系統(tǒng)6-3 相空間、軌道、平衡點(diǎn)相空間、軌道、平衡點(diǎn)一、基本概念一、基本概念2 相空間、軌道、相圖相空間、軌道、相圖n維狀態(tài)向量組成了維狀態(tài)向量組成了n維空間稱為維空間稱為相空間。相空間。式式6-3或或6-4的解的解xi(t)在空間隨在空間隨t運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t為某一確為某一確定值時(shí)，它是相空間的一個(gè)點(diǎn)定值時(shí)，它是相空間的一個(gè)點(diǎn)相點(diǎn)相點(diǎn)（對(duì)應(yīng)（對(duì)應(yīng)n個(gè)坐標(biāo)個(gè)坐標(biāo) x1, x2xn），當(dāng)），當(dāng)t變化時(shí)，它是相空間的變化時(shí)，它是相空間的

5、一條有向曲線，稱為一條有向曲線，稱為軌道軌道。相空間與向量相空間與向量x在空間中的軌道總稱為在空間中的軌道總稱為相圖相圖。6-3 相空間、軌道、平衡點(diǎn)相空間、軌道、平衡點(diǎn)一、基本概念一、基本概念3 自治系統(tǒng)具有時(shí)不變性自治系統(tǒng)具有時(shí)不變性右端不顯含右端不顯含t，具有時(shí)不變性。，具有時(shí)不變性。軌道取決于初始位置軌道取決于初始位置x0，而與，而與初始時(shí)刻初始時(shí)刻t0無關(guān)。無關(guān)。12d(,., )diinxfxxxtt（6-3）12d(,.)diinxfxxxt（6-4）相空間中由不同初值相空間中由不同初值決定的式?jīng)Q定的式6-4的軌道永的軌道永不相交或就是同一條不相交或就是同一條軌道。軌道。對(duì)對(duì)6-

6、3式可能無數(shù)條軌道式可能無數(shù)條軌道通過相空間的同一點(diǎn)。通過相空間的同一點(diǎn)。6-3 相空間、軌道、平衡點(diǎn)相空間、軌道、平衡點(diǎn)二、二階自治系統(tǒng)、平衡點(diǎn)二、二階自治系統(tǒng)、平衡點(diǎn)二階自治系統(tǒng)二階自治系統(tǒng)只含只含兩個(gè)兩個(gè)狀態(tài)變量，因此相空間是狀態(tài)變量，因此相空間是二維的，可在一個(gè)平面上進(jìn)行分析研究，稱為二維的，可在一個(gè)平面上進(jìn)行分析研究，稱為狀狀態(tài)平面態(tài)平面或或相平面相平面。二階自治系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：二階自治系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：x=X(x,y)y=Y(x,y)或或d( , )d( , )yY x yxX x y二階自治系統(tǒng)使二階自治系統(tǒng)使X(x,y)=0、Y(x,y)=0的坐標(biāo)點(diǎn)稱為的坐標(biāo)點(diǎn)稱為平衡點(diǎn)平衡

7、點(diǎn)。 由于由于X(x,y）、Y(x,y) 為非線性函數(shù)，可存為非線性函數(shù)，可存在多個(gè)平衡點(diǎn)在多個(gè)平衡點(diǎn)6-3 相空間、軌道、平衡點(diǎn)相空間、軌道、平衡點(diǎn)二、二階自治系統(tǒng)、平衡點(diǎn)二、二階自治系統(tǒng)、平衡點(diǎn)圖圖6-8 L,C串聯(lián)電路串聯(lián)電路設(shè)線性電感設(shè)線性電感L與非線性電容串與非線性電容串聯(lián)的二階非線性電路如圖聯(lián)的二階非線性電路如圖6-8所示，其中非線性電容的庫(kù)所示，其中非線性電容的庫(kù)伏特性為伏特性為v=kq+q3。試確定。試確定k=1和和k=-1時(shí)電路的相圖和平時(shí)電路的相圖和平衡點(diǎn)。衡點(diǎn)。列寫狀態(tài)方程：列寫狀態(tài)方程：ddqtL 3d dkqqxOqk=1時(shí)的相圖時(shí)的相圖k=-1時(shí)的相圖時(shí)的相圖k=1

8、和和k=-1時(shí)的相圖如下圖所示：時(shí)的相圖如下圖所示：6-3 相空間、軌道、平衡點(diǎn)相空間、軌道、平衡點(diǎn)6-4 非線性電路方程的線性化及其平衡點(diǎn)類型非線性電路方程的線性化及其平衡點(diǎn)類型非線性方程的線性化方法非線性方程的線性化方法就是把給就是把給定的非線性方程在其平衡點(diǎn)或奇點(diǎn)定的非線性方程在其平衡點(diǎn)或奇點(diǎn)附近予以線性化，而用所得線性方附近予以線性化，而用所得線性方程確定非線性方程的軌道的形狀。程確定非線性方程的軌道的形狀。一、非線性方程的線性化一、非線性方程的線性化對(duì)角型對(duì)角型若當(dāng)型若當(dāng)型共軛型共軛型6-4 非線性電路方程的線性化及其平衡點(diǎn)類型非線性電路方程的線性化及其平衡點(diǎn)類型二、線性方程解的形式

9、取決于平衡點(diǎn)的類型二、線性方程解的形式取決于平衡點(diǎn)的類型11200M AM110M AM1M AMA的特征值的特征值平衡點(diǎn)類型平衡點(diǎn)類型1 ， 2為實(shí)數(shù)，為實(shí)數(shù)， 10, 20, 20不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)1 ， 2為實(shí)數(shù)，為實(shí)數(shù)， 120不穩(wěn)定焦點(diǎn)不穩(wěn)定焦點(diǎn)1 ， 2為共軛復(fù)數(shù)，為共軛復(fù)數(shù)，Re 10,存在存在()0,使得對(duì)任何起使得對(duì)任何起始點(diǎn)始點(diǎn)x0=x(t0),只要距離只要距離|x(t0)-xs |,且對(duì)所有的且對(duì)所有的t都都有有|x(t)-xs |0，則原點(diǎn)，則原點(diǎn)是是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。6-6 周期解與極限環(huán)周期解與極限環(huán)一、基本概念一、基本概念1 周期解周期解線性線性二階自治

10、系統(tǒng)當(dāng)系數(shù)矩陣特征值為二階自治系統(tǒng)當(dāng)系數(shù)矩陣特征值為純虛數(shù)純虛數(shù)時(shí)，電路中可能建立并維持特定周期的周期震時(shí)，電路中可能建立并維持特定周期的周期震蕩。當(dāng)電路的初始值連續(xù)變化時(shí)，在相平面上蕩。當(dāng)電路的初始值連續(xù)變化時(shí)，在相平面上將形成一系列不同的閉合軌道，它們對(duì)應(yīng)電路將形成一系列不同的閉合軌道，它們對(duì)應(yīng)電路的的周期解周期解。6-6 周期解與極限環(huán)周期解與極限環(huán)一、基本概念一、基本概念2 極限環(huán)極限環(huán)對(duì)于某些對(duì)于某些非線性非線性電路，其中會(huì)建立起一種穩(wěn)定電路，其中會(huì)建立起一種穩(wěn)定狀態(tài)，它在相平面上的軌道是閉合曲線，但該狀態(tài)，它在相平面上的軌道是閉合曲線，但該閉合軌道閉合軌道不隨電路的初始值變化不隨電

11、路的初始值變化，與它相鄰的，與它相鄰的各軌道，或者卷向它，或者卷出。這種各軌道，或者卷向它，或者卷出。這種孤立的孤立的閉合軌道對(duì)應(yīng)電路的周期振蕩解，稱為極限環(huán)閉合軌道對(duì)應(yīng)電路的周期振蕩解，稱為極限環(huán)。6-6 周期解與極限環(huán)周期解與極限環(huán)1 單一極限環(huán)的穩(wěn)定性單一極限環(huán)的穩(wěn)定性穩(wěn)定的極限環(huán)穩(wěn)定的極限環(huán)對(duì)應(yīng)電路中的對(duì)應(yīng)電路中的持續(xù)周期振蕩持續(xù)周期振蕩二、極限環(huán)的性質(zhì)二、極限環(huán)的性質(zhì)6-6 周期解與極限環(huán)周期解與極限環(huán)半穩(wěn)定的極限環(huán)半穩(wěn)定的極限環(huán)二、極限環(huán)的性質(zhì)二、極限環(huán)的性質(zhì)1 單一極限環(huán)的穩(wěn)定性單一極限環(huán)的穩(wěn)定性6-6 周期解與極限環(huán)周期解與極限環(huán)二、極限環(huán)的性質(zhì)二、極限環(huán)的性質(zhì)對(duì)應(yīng)電路中不能持

12、對(duì)應(yīng)電路中不能持續(xù)存在的周期振蕩續(xù)存在的周期振蕩不穩(wěn)定的極限環(huán)不穩(wěn)定的極限環(huán)1 單一極限環(huán)的穩(wěn)定性單一極限環(huán)的穩(wěn)定性6-6 周期解與極限環(huán)周期解與極限環(huán)二、極限環(huán)的性質(zhì)二、極限環(huán)的性質(zhì)2 多個(gè)極限環(huán)的穩(wěn)定性多個(gè)極限環(huán)的穩(wěn)定性當(dāng)有多個(gè)極限環(huán)，一般是當(dāng)有多個(gè)極限環(huán)，一般是穩(wěn)定與不穩(wěn)定與不穩(wěn)定交替出現(xiàn)穩(wěn)定交替出現(xiàn)：若環(huán)內(nèi)是一不穩(wěn)定：若環(huán)內(nèi)是一不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，最內(nèi)部環(huán)是穩(wěn)定的，否則平衡點(diǎn)，最內(nèi)部環(huán)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。是不穩(wěn)定的。6-6 周期解與極限環(huán)周期解與極限環(huán)二、極限環(huán)的性質(zhì)二、極限環(huán)的性質(zhì)2 多個(gè)極限環(huán)的穩(wěn)定性多個(gè)極限環(huán)的穩(wěn)定性不穩(wěn)定平衡點(diǎn)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)穩(wěn)定平衡點(diǎn)穩(wěn)定平衡點(diǎn)C2:穩(wěn)定穩(wěn)定C1:

13、不穩(wěn)定不穩(wěn)定C2:不穩(wěn)定不穩(wěn)定C3:不穩(wěn)定不穩(wěn)定C1:穩(wěn)定穩(wěn)定C3:穩(wěn)定穩(wěn)定6-6 周期解與極限環(huán)周期解與極限環(huán)二、極限環(huán)的性質(zhì)二、極限環(huán)的性質(zhì)3 軟激勵(lì)軟激勵(lì)軟激勵(lì)的相圖軟激勵(lì)的相圖無論初始值怎樣選取，在無論初始值怎樣選取，在電路中都會(huì)建立起穩(wěn)定的電路中都會(huì)建立起穩(wěn)定的周期振蕩，振蕩現(xiàn)象自發(fā)周期振蕩，振蕩現(xiàn)象自發(fā)地從靜止起始而達(dá)到其穩(wěn)地從靜止起始而達(dá)到其穩(wěn)定狀態(tài)，把這種振蕩現(xiàn)象定狀態(tài)，把這種振蕩現(xiàn)象稱為稱為軟（自）激勵(lì)軟（自）激勵(lì)。6-6 周期解與極限環(huán)周期解與極限環(huán)二、極限環(huán)的性質(zhì)二、極限環(huán)的性質(zhì)4 硬激勵(lì)硬激勵(lì)穩(wěn)定平衡點(diǎn)穩(wěn)定平衡點(diǎn)如果電路是一個(gè)晶體管振如果電路是一個(gè)晶體管振蕩器，在一定條

14、件下當(dāng)開蕩器，在一定條件下當(dāng)開關(guān)閉和后，必須施加一定關(guān)閉和后，必須施加一定大小的脈沖振蕩器才能起大小的脈沖振蕩器才能起振。這種現(xiàn)象稱為振。這種現(xiàn)象稱為硬（自）硬（自）激勵(lì)激勵(lì)。6-6 周期解與極限環(huán)周期解與極限環(huán)三、極限環(huán)存在的必要條件三、極限環(huán)存在的必要條件1 龐加萊指數(shù)的概念龐加萊指數(shù)的概念假設(shè)向量場(chǎng)中有一簡(jiǎn)單閉曲線假設(shè)向量場(chǎng)中有一簡(jiǎn)單閉曲線C，且，且C上無平衡點(diǎn)。如果點(diǎn)上無平衡點(diǎn)。如果點(diǎn)P沿沿C正轉(zhuǎn)（順時(shí)針）一圈，向正轉(zhuǎn)（順時(shí)針）一圈，向量場(chǎng)量場(chǎng)V與某固定方向的夾角的與某固定方向的夾角的改變量為改變量為2I(I為正負(fù)整數(shù)為正負(fù)整數(shù))，則稱則稱I為閉曲線為閉曲線C的的龐加萊指數(shù)龐加萊指數(shù)。

15、若若C內(nèi)只包含一個(gè)平衡點(diǎn)，則內(nèi)只包含一個(gè)平衡點(diǎn)，則閉曲線閉曲線C的指數(shù)的指數(shù)I稱為該稱為該平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)的指數(shù)的指數(shù)。圖圖6-23 龐加萊指數(shù)龐加萊指數(shù)三、極限環(huán)存在的必要條件三、極限環(huán)存在的必要條件1 龐加萊指數(shù)的概念龐加萊指數(shù)的概念6-6 周期解與極限環(huán)周期解與極限環(huán)（a）中心）中心 j=+1（b）焦點(diǎn)）焦點(diǎn) j=+1三、極限環(huán)存在的必要條件三、極限環(huán)存在的必要條件1 龐加萊指數(shù)的概念龐加萊指數(shù)的概念6-6 周期解與極限環(huán)周期解與極限環(huán)（d）鞍點(diǎn)）鞍點(diǎn) j=-1（c）結(jié)點(diǎn)）結(jié)點(diǎn) j=+16-6 周期解與極限環(huán)周期解與極限環(huán)三、極限環(huán)存在的必要條件三、極限環(huán)存在的必要條件2 龐加萊定理龐加萊定

16、理如果如果極限環(huán)存在極限環(huán)存在，則內(nèi)部至少有一個(gè)平衡，則內(nèi)部至少有一個(gè)平衡點(diǎn)；如果沒有平衡點(diǎn)，則一定不存在極限點(diǎn)；如果沒有平衡點(diǎn)，則一定不存在極限環(huán)；如果只有一個(gè)平衡點(diǎn)，且指數(shù)不為環(huán)；如果只有一個(gè)平衡點(diǎn)，且指數(shù)不為+1，則不存在極限環(huán)；如果只有一個(gè)指數(shù)為則不存在極限環(huán)；如果只有一個(gè)指數(shù)為+1的平衡點(diǎn)，且平面上每條軌線多趨向于它，的平衡點(diǎn)，且平面上每條軌線多趨向于它，則極限環(huán)也不存在。則極限環(huán)也不存在。6-6 周期解與極限環(huán)周期解與極限環(huán)三、極限環(huán)存在的必要條件三、極限環(huán)存在的必要條件3 Bendixson定理定理當(dāng)在相平面的一個(gè)單連通區(qū)域當(dāng)在相平面的一個(gè)單連通區(qū)域D內(nèi)表達(dá)式不內(nèi)表達(dá)式不變號(hào)，或

17、不恒等于零時(shí)，在變號(hào)，或不恒等于零時(shí)，在D內(nèi)將不存在閉內(nèi)將不存在閉合軌道。合軌道。設(shè)給定一組微分方程：設(shè)給定一組微分方程：x=X(x, y)y=Y(x, y)6-7 攝動(dòng)法攝動(dòng)法一、引言一、引言共四種形式共四種形式6-7 攝動(dòng)法攝動(dòng)法一、引言一、引言1 弱非線性電路弱非線性電路11d( , , )( , , )dxF x y tr x y tt22dy( , , )( , , )dF x y tr x y tt6-17式中式中F1，F(xiàn)2為非線性函數(shù)，為非線性函數(shù)，r1，r2為非為非線性函數(shù)。當(dāng)式中線性函數(shù)。當(dāng)式中1時(shí)，此電路就稱時(shí)，此電路就稱為為若非線性電路若非線性電路，否則稱為，否則稱為強(qiáng)非

18、線性電強(qiáng)非線性電路路。保守電路：保守電路：其產(chǎn)生的振蕩受初其產(chǎn)生的振蕩受初始值的影響，而振始值的影響，而振蕩的振幅和周期可蕩的振幅和周期可以是任意的，它屬以是任意的，它屬于于非等時(shí)振蕩非等時(shí)振蕩自治非線性電路自治非線性電路非保守電路：非保守電路：可可能存在一種與初始能存在一種與初始值無關(guān)的穩(wěn)定振蕩值無關(guān)的穩(wěn)定振蕩，這種，這種振蕩有確定振蕩有確定的振幅和周期的振幅和周期，是，是近似解析方法求解近似解析方法求解的對(duì)象的對(duì)象6-7 攝動(dòng)法攝動(dòng)法一、引言一、引言2 保守電路和非保守電路保守電路和非保守電路6-7 攝動(dòng)法攝動(dòng)法二、正規(guī)攝動(dòng)法二、正規(guī)攝動(dòng)法正規(guī)攝動(dòng)法正規(guī)攝動(dòng)法是將電路的解是將電路的解x展開為小參數(shù)展開為小參數(shù)的冪級(jí)數(shù)。的冪級(jí)數(shù)。即即 x=x0+ x1+ 2x2+ (6-24)其中其中x0, x1, x2,分別稱為分別稱為x的零次、一次、二次、的零次、一次、二