對數(shù)與對數(shù)運算(第三課時)

1、對數(shù)的運算對數(shù)的運算 探索：探索：把左右兩列中一定相等的用線連起來把左右兩列中一定相等的用線連起來NMaaloglogNMalognaMlog)(logMNaNMaaloglogMnalogNMaaloglog)log(NM NMaaloglog)log(NM naM)(log對數(shù)的換底公式對數(shù)的換底公式alogblogblogcca)0b), 1()1 , 0(c , a(證明：設(shè) 由對數(shù)的定義可以得：由對數(shù)的定義可以得： ,abx即證得即證得 , xbloga,alogblogxcc, alogxblogccalogblogxccalogblogblogcca這個公式叫做換底公式這個公式叫

2、做換底公式其他重要公式其他重要公式1:algblgblogaalnblnbloga其他重要公式其他重要公式2:blogmnbloganam證明：設(shè)證明：設(shè) ,logpNnam由對數(shù)的定義可以得：由對數(shù)的定義可以得： ,)(pmnaN 即證得即證得 NmnNanamloglogmpnaN pnmNa logpnmaN blogbloganan其他重要公式其他重要公式3:alog1blogba), 1 () 1 , 0(,ba證明:由換底公式 取以b為底的對數(shù)得： 還可以變形,得 , 1logbbalogblogblogccaabbbbalogloglogabbalog1logzlogzlogyl

3、ogxyxzlogylogzlogylogzlogylogxxxxyx問題：已知問題：已知 2 x = 3，如何求，如何求 x 的值？的值？若已知若已知 log3x = 0.5,如何求如何求 x 的值？的值？32log9log2789103lg32lg52lg33lg227lg32lg8lg9lg9103log3533log227log32log8log9log222222公式的運用：公式的運用：利用換底公式統(tǒng)一對數(shù)底數(shù)，即利用換底公式統(tǒng)一對數(shù)底數(shù)，即“化異為同化異為同”是解決有關(guān)對數(shù)問題的基本思想方法；是解決有關(guān)對數(shù)問題的基本思想方法；解法解法:原式原式=解法解法:原式原式=例題例題2：計算

4、：計算37254954log31log81log2log的值的值1.分析：先利用對數(shù)運算性質(zhì)法則和換底分析：先利用對數(shù)運算性質(zhì)法則和換底公式進行化簡，然后再求值；公式進行化簡，然后再求值；2.解：原式解：原式=37lg32lg25lg23lg7lg23lg45lg2lg21, 518, a9logb1845log36已知求的值（用a，b表示）ba5log,9log1818a12log18分析：已知對數(shù)和冪的底數(shù)都是分析：已知對數(shù)和冪的底數(shù)都是18，所以先將，所以先將需求值的對數(shù)化為與已知對數(shù)同底后再求解；需求值的對數(shù)化為與已知對數(shù)同底后再求解；解：解： ，一定要求aba22log15log9l

5、og36log45log45log181818181836利用換底公式利用換底公式“化異為同化異為同”是解決有關(guān)對數(shù)問是解決有關(guān)對數(shù)問題的基本思想方法，它在求值或恒等變形中起題的基本思想方法，它在求值或恒等變形中起了重要作用，在解題過程中應注意：了重要作用，在解題過程中應注意：（1）針對具體問題，選擇好底數(shù)；）針對具體問題，選擇好底數(shù)；（2）注意換底公式與對數(shù)運算法則結(jié)合使用；）注意換底公式與對數(shù)運算法則結(jié)合使用；（3）換底公式的正用與逆用；）換底公式的正用與逆用；1643tzyxyxz21111643tzyx6lglg4lglg3lglgtztytx，yttttxz21lg24lglg2lg

6、lg3lglg6lg11 例三、設(shè) 求證： 證： zyx6 ,4 ,32 比較比較的大小。的大小。 04lg3lg8164lglg4lg3lg81lg64lglg)4lg43lg3(lg43 kkkyx yx43 06lg2lg169lglg6lg2lg64lg36lglg)6lg64lg4(lg64 kkkzy zy64 zyx643 )5lg1(p32lgp33lgp33log2q3lg5lg5log3)5lg1 (33lg5lgpqqpqpq35lg)31 (pqpq3135lg 例四、若log 8 3 = p , log 3 5 = q , 求 lg 5 解： log 8 3 = p

7、又 2loglog8log4log4843m218lglg4lg8lg3lg4lgm3lg21lgm3m 例六、若例六、若 求 m 解：由題意： 例例1、解方程、解方程： （1）2 2x 1 = 8 x解：原方程化為解：原方程化為 2 2x 1 = 2 3x2x 1 = 3xx = 1 方程的解為方程的解為 x = 1 （2）lg x lg ( x 3 ) = 1解：原方程化為解：原方程化為 lg x = lg 10 + lg ( x 3 )lg x = lg 10( x 3 )x = 10( x 3 )310 x310 x經(jīng)檢驗，方程的解為經(jīng)檢驗，方程的解為 例例2、解方程、解方程： （1）

8、82 x = 923 x解：原方程化為解：原方程化為 2 x + 3 = 923 x( x + 3 ) lg 2 = ( x 2 9 ) lg 3( x + 3 ) ( xlg 3 3 lg 3 lg 2 ) = 03lg2lg3lg33 xx或或3lg2lg3lg33 xx或或故方程的解為故方程的解為（2）log ( 2x 1 ) ( 5x 2 + 3x 17 ) = 2解：原方程化為解：原方程化為 5x 2 + 3x 17 = ( 2x 1 ) 2 x 2 + 7x 18 = 0 x = 9 或或 x = 2當當 x = 9 時，時， 2x 1 0與對數(shù)定義矛盾，故舍去與對數(shù)定義矛盾，故舍

9、去經(jīng)檢驗，方程的解為經(jīng)檢驗，方程的解為 x = 2例例3、解方程：、解方程：（1）4)32()32( xx4)32(1)32( xx解：原方程化為解：原方程化為xt)32( 設(shè)設(shè)則有則有 t2 4t + 1 = 0 32t32)32(32)32( xx或或即即 x = 1 或或 x = 1故方程的解為故方程的解為 x = 1 或或 x = 1.（2）log 25 x 2log x 25 = 1解：原方程化為解：原方程化為 log 25 x = 1x25log2設(shè)設(shè) t = log 25 x則有則有 t 2 t 2 = 0 t = 1 或或 t = 2即即 log 25 x =1 或或 log

10、25 x = 2 x = 或或 x = 625251 x = 或或 x = 625251經(jīng)檢驗，方程的解為經(jīng)檢驗，方程的解為例例4、解方程：、解方程：log 3 ( 3 x 1 )log 3 ( 3 x 1 ) = 231解：原方程化為解：原方程化為 2)31331(log)13(log33 xx2)13(31log)13(log33 xx2)13(log31log)13(log333 xx)13(log3 xt令令則則 t ( t 1 ) = 2022 tt21 tt或或2)13(log1)13(log33 xx或或即即9133113 xx或或103343 xx或或10log34log33

11、xx或或10log34log33 xx或或故方程的解為故方程的解為解法解法類型類型等價式等價式a、b 0 且且 a、b 1 ，a b， c 為常量為常量a f ( x ) = a g ( x )f ( x ) = g ( x )log a f(x) = log a g(x)a f ( x ) = b g ( x )f ( x )lg a = g ( x )lg blog f ( x ) g ( x ) = cg ( x ) = f ( x ) cpa 2x + qa x + r = 0plg 2x + qlgx + r = 0pt 2 + qt + r = 0化同底法化同底法指對互表指對互表

12、法法換元法換元法解對數(shù)方程應注意兩個方面問題：解對數(shù)方程應注意兩個方面問題：(1)驗根；驗根；(2)變形時的未知數(shù)的范圍認可擴大不要縮小變形時的未知數(shù)的范圍認可擴大不要縮小.學生練習：解方程學生練習：解方程1、lg x + lg ( x 3 ) = 12、3、4、lg 2 ( x + 1) 2lg ( x + 1) = 35、262132254 xxxx4)32()32( xx2)23(log)59(log121121 xx答案：答案：1、x = 5 2、x = 3、x = 2 4、x = 999 或或 x = 5、x = 22133 109 ylgxlg4lg3lg)y3x2lg()yxlg

13、(. 4已知已知例例.yx的值的值求求1、計算、計算： (1) log 5 35 2log 5 + log 5 7 log 5 1. 837解：原式解：原式 = log 5 ( 57 ) 2( log 5 7 log 5 3 ) + log 5 7 log 5 59= 1 + log 5 7 2log 5 7 + 2log 5 3 + log 5 7 ( log 5 3 2 1 )= 1 + 2log 5 3 2 log 5 3 + 1 = 2(2) lg 2 5 + lg 2 lg 5 + lg 2解：原式解：原式 = lg 2 + lg 2 lg + lg 2210210= ( 1 lg 2 ) 2 + lg 2 ( 1 lg 2 ) + lg 2= 1 2lg 2 + lg 2 2 + lg 2 lg 2 2 + lg 2= 12、已知、已知 lg x + lg y = 2lg ( x 2y )，求，求 的值。的值。yx2log4loglog2122 yx故故解：由題解：由題 2)2lg()lg(0200yxxyyxyx 22440200yxyxxyyxyx 045020022yxyxyxyx yxyxyxyx402