第四章 多自由度系統(tǒng)

1、第四章 多自由度系統(tǒng)主講：王林鴻教授、博士機(jī)械與汽車學(xué)院引言從數(shù)學(xué)上完整敘述多自由度系統(tǒng)振動(dòng)理論；從數(shù)學(xué)上完整敘述多自由度系統(tǒng)振動(dòng)理論；固有頻率與振型理論；固有頻率與振型理論；求解系統(tǒng)響應(yīng)的振型疊加方法和變換方法。求解系統(tǒng)響應(yīng)的振型疊加方法和變換方法。4.1 運(yùn)動(dòng)微分方程耦合耦合:不是對(duì)角矩陣不是對(duì)角矩陣列向量列向量方陣方陣解耦是關(guān)鍵解耦是關(guān)鍵剛度矩陣各元素的意義i i是維持力的自由度的序號(hào)是維持力的自由度的序號(hào)J J是假設(shè)位移自由度的序號(hào)是假設(shè)位移自由度的序號(hào)列列例4.1 定義剛度矩陣從定義出發(fā)列出三矩陣；從定義出發(fā)列出三矩陣；意義明確但比較麻煩意義明確但比較麻煩每一步得到剛度矩陣一個(gè)列每一

2、步得到剛度矩陣一個(gè)列用能量法求三個(gè)矩陣用能量法求三矩陣簡(jiǎn)單易行用能量法求三矩陣簡(jiǎn)單易行能量法是最普遍的方法能量法是最普遍的方法三矩陣的對(duì)稱性矩陣的正定性用能量法求例4.1的矩陣用線性變換法求解方程求解的關(guān)鍵是解耦求解的關(guān)鍵是解耦解耦的關(guān)鍵是矩陣對(duì)角化解耦的關(guān)鍵是矩陣對(duì)角化對(duì)角化的關(guān)鍵是找變換矩陣對(duì)角化的關(guān)鍵是找變換矩陣線性變換把耦合的舊坐標(biāo)線性變換把耦合的舊坐標(biāo)變換到解耦的新坐標(biāo)變換到解耦的新坐標(biāo)解決變換矩陣的存在問題解決變換矩陣的存在問題新舊坐標(biāo)系的能量新舊坐標(biāo)系的能量量不變、形式改變量不變、形式改變由能量形式改變導(dǎo)出由能量形式改變導(dǎo)出新舊坐標(biāo)系三矩陣與新舊坐標(biāo)系三矩陣與變換矩陣的關(guān)系變換矩

3、陣的關(guān)系新坐標(biāo)代入老坐標(biāo)方程新坐標(biāo)代入老坐標(biāo)方程利用新舊坐標(biāo)三矩陣?yán)眯屡f坐標(biāo)三矩陣新坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)微分方程新坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)微分方程注意：新坐標(biāo)下激勵(lì)注意：新坐標(biāo)下激勵(lì)由老坐標(biāo)初始條件導(dǎo)出由老坐標(biāo)初始條件導(dǎo)出新坐標(biāo)初始條件新坐標(biāo)初始條件實(shí)現(xiàn)了新老坐標(biāo)定解問題的變換實(shí)現(xiàn)了新老坐標(biāo)定解問題的變換結(jié)論：存在所尋找的變換矩陣結(jié)論：存在所尋找的變換矩陣4.2固有頻率與振型解決變換矩陣解決變換矩陣具體內(nèi)容問題具體內(nèi)容問題途徑：解固有振動(dòng)途徑：解固有振動(dòng)特征值問題特征值問題頻率方程頻率方程解得解得n個(gè)固有頻率個(gè)固有頻率回代特征方程解得回代特征方程解得n個(gè)對(duì)應(yīng)向量個(gè)對(duì)應(yīng)向量式不式不固有頻率 固有振型所謂固有，就是與外界激

4、勵(lì)無關(guān)所謂固有，就是與外界激勵(lì)無關(guān)完全決定于質(zhì)量和剛度矩陣。完全決定于質(zhì)量和剛度矩陣。與單自由度固有頻率類比。與單自由度固有頻率類比。振型的正規(guī)化人為規(guī)定一個(gè)人為規(guī)定一個(gè)比較大小的基準(zhǔn)比較大小的基準(zhǔn)模態(tài)質(zhì)量歸一法模態(tài)質(zhì)量歸一法正規(guī)化就是歸一化正規(guī)化就是歸一化在新坐標(biāo)下歸一在新坐標(biāo)下歸一最大振型歸一法最大振型歸一法振型的正交性振型正交性的物理意義振型正交性的物理意義正交的振型與正交的坐標(biāo)基相似正交的振型與正交的坐標(biāo)基相似正交的振型可以用作正交的坐標(biāo)基正交的振型可以用作正交的坐標(biāo)基振型的正規(guī)正交化條件為表達(dá)方便為表達(dá)方便引入記號(hào)引入記號(hào)單位矩陣單位矩陣最大振型正交歸一法最大振型正交歸一法模態(tài)質(zhì)量正

5、交歸一法模態(tài)質(zhì)量正交歸一法兩種正規(guī)正交化方法剛度矩陣對(duì)角化剛度矩陣對(duì)角化模態(tài)質(zhì)量正交歸一法模態(tài)質(zhì)量正交歸一法質(zhì)量矩陣對(duì)角化質(zhì)量矩陣對(duì)角化最大振型正交歸一法最大振型正交歸一法質(zhì)量、剛度矩陣對(duì)角化質(zhì)量、剛度矩陣對(duì)角化實(shí)現(xiàn)質(zhì)量、剛度矩陣的對(duì)角化夢(mèng)里尋她千百度，慕然回首，夢(mèng)里尋她千百度，慕然回首，答案卻是振型矩陣能使質(zhì)量剛度矩陣對(duì)角化！答案卻是振型矩陣能使質(zhì)量剛度矩陣對(duì)角化！踏遍千山萬水，歷盡千辛萬苦，踏遍千山萬水，歷盡千辛萬苦， 總算找到它了！總算找到它了！全體振型向量組的線性無關(guān)性全體振型向量組線性無關(guān)全體振型向量組線性無關(guān)基、線性表出、振型坐標(biāo)展開定理能夠解耦的新坐標(biāo)就是振型坐標(biāo)能夠解耦的新坐標(biāo)

6、就是振型坐標(biāo)展開定理的矩陣形式至此為了方程解耦而苦苦尋找的：至此為了方程解耦而苦苦尋找的：線性變換線性變換變換矩陣變換矩陣=振型矩陣振型矩陣新坐標(biāo)新坐標(biāo)=振型坐標(biāo)振型坐標(biāo)全部水落石出。全部水落石出。振型坐標(biāo)下的運(yùn)動(dòng)微分方程用尋找到的結(jié)論重新書寫解耦運(yùn)動(dòng)方程：用尋找到的結(jié)論重新書寫解耦運(yùn)動(dòng)方程：線性變換線性變換變換矩陣變換矩陣=振型矩陣振型矩陣新坐標(biāo)新坐標(biāo)=振型坐標(biāo)振型坐標(biāo)模態(tài)質(zhì)量歸一法模態(tài)質(zhì)量歸一法最大振型歸一法最大振型歸一法n個(gè)單自由度定解問題的組合個(gè)單自由度定解問題的組合通過線性變換解耦 物理空間物理空間( )( )0ttMuKu耦合耦合模態(tài)空間模態(tài)空間解耦解耦( )( )0iiiiM q

7、 tK q t( )( )ttuq( )( )ttuq模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法現(xiàn)實(shí)社會(huì)問題現(xiàn)實(shí)社會(huì)問題“中國(guó)夢(mèng)中國(guó)夢(mèng)”(1)121 1km11x 22x 31x x第一階固有振型:(2)10123km31x 11x 20 x x第二階固有振型:(3)111 32km11x 21x 31x x第三階固有振型:節(jié)點(diǎn)多自由度無阻尼自由振動(dòng)解的特征振型圖反映了各自由度之間的振動(dòng)規(guī)則（章法）振型圖反映了各自由度之間的振動(dòng)規(guī)則（章法）固有振型固有振型固有振型1st1st水平彎曲水平彎曲2nd2nd水平彎曲水平彎曲1st1st扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)2nd2nd扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)1st1st垂直彎曲垂直彎曲2nd2nd垂直彎曲垂直彎曲固

8、有振型膜的各階固有振型膜的各階固有振型固有振型典型模態(tài)分析實(shí)例激勵(lì)力可測(cè)激勵(lì)力可測(cè)汽車、工程機(jī)械、發(fā)動(dòng)機(jī)、衛(wèi)星等汽車、工程機(jī)械、發(fā)動(dòng)機(jī)、衛(wèi)星等變時(shí)基法測(cè)量大型結(jié)構(gòu)變時(shí)基法測(cè)量大型結(jié)構(gòu)鐵路橋、飛船發(fā)射平臺(tái)、超重訓(xùn)練機(jī)等鐵路橋、飛船發(fā)射平臺(tái)、超重訓(xùn)練機(jī)等激勵(lì)力不可測(cè)激勵(lì)力不可測(cè)橋梁、樓房、井架等橋梁、樓房、井架等運(yùn)行中的機(jī)車運(yùn)行中的機(jī)車實(shí)例1(火箭發(fā)動(dòng)機(jī),衛(wèi)星,雷達(dá))實(shí)例2(汽車,工程機(jī)械)實(shí)例3(龍洗、編鐘、模型、集中質(zhì)量梁)實(shí)例4(大型結(jié)構(gòu),錘擊)航天員超重訓(xùn)練機(jī) 鐵路橋 飛船發(fā)射平臺(tái)(750T)實(shí)例5(橋梁)上海盧浦大橋目前世界上最大跨徑鋼拱、梁組合體系中承式系桿拱橋 超低頻,頻率密集,振型

9、耦合強(qiáng)分析了前12階模態(tài)，包括對(duì)稱和反對(duì)稱的豎彎、側(cè)彎、扭轉(zhuǎn)等實(shí)例6中旅大廈 西寧北川河橋 井架 運(yùn)行中的機(jī)車4.3 動(dòng)力響應(yīng)分析多自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)阻尼耦合與解耦已經(jīng)解決：質(zhì)量矩陣和剛度矩陣對(duì)角化問題：找振型矩陣已經(jīng)解決：質(zhì)量矩陣和剛度矩陣對(duì)角化問題：找振型矩陣還需解決：阻尼矩陣的對(duì)角化問題：人為近似處理。還需解決：阻尼矩陣的對(duì)角化問題：人為近似處理。振型疊加法求解步驟老坐標(biāo)定解問題老坐標(biāo)定解問題通過齊次方程求固有振動(dòng)得通過齊次方程求固有振動(dòng)得振型矩陣，用振型矩陣作線振型矩陣，用振型矩陣作線性變換性變換矩陣坐標(biāo)定解問題的形式矩陣坐標(biāo)定解問題的形式阻尼耦合與模態(tài)阻尼矩陣

10、對(duì)角化問題模態(tài)阻尼矩陣模態(tài)阻尼矩陣Rayleigh阻尼的對(duì)角化通過振型矩陣對(duì)角化通過振型矩陣對(duì)角化老坐標(biāo)下阻尼矩陣?yán)献鴺?biāo)下阻尼矩陣振型矩陣無法對(duì)角化的人為強(qiáng)行規(guī)定人為規(guī)定新坐標(biāo)下的人為規(guī)定新坐標(biāo)下的阻尼矩陣為對(duì)角矩陣阻尼矩陣為對(duì)角矩陣人為強(qiáng)行規(guī)定對(duì)角化的三種方法人為規(guī)定新坐標(biāo)下的人為規(guī)定新坐標(biāo)下的阻尼矩陣為對(duì)角矩陣阻尼矩陣為對(duì)角矩陣解耦后的定解問題及解法變成變成n個(gè)單自由度方程個(gè)單自由度方程逐個(gè)求解后，振型坐標(biāo)下疊加逐個(gè)求解后，振型坐標(biāo)下疊加激勵(lì)振型階數(shù)的取舍響應(yīng)振型階數(shù)的取舍前十階振型足矣！前十階振型足矣！動(dòng)力響應(yīng)舉例第第j行不為行不為0的列向量的列向量第第j階振型階振型新坐標(biāo)下每個(gè)解耦運(yùn)動(dòng)

11、方程的解變成變成n個(gè)單自由度方程個(gè)單自由度方程每個(gè)方程第每個(gè)方程第j行元素非行元素非0每個(gè)方程的單位脈沖響應(yīng)每個(gè)方程的單位脈沖響應(yīng)舊坐標(biāo)下系統(tǒng)總響應(yīng)與單個(gè)自由度的響應(yīng)n個(gè)振型的線性組合，是個(gè)列向量個(gè)振型的線性組合，是個(gè)列向量取上邊列向量的第取上邊列向量的第i行行,是個(gè)函數(shù)是個(gè)函數(shù)多自由度單位脈沖響應(yīng)矩陣傳感器位置傳感器位置錘擊位置錘擊位置振動(dòng)模態(tài)試驗(yàn)振動(dòng)模態(tài)試驗(yàn)系統(tǒng)固有特性：由固有系統(tǒng)固有特性：由固有頻率和固有振型構(gòu)成頻率和固有振型構(gòu)成4.4 動(dòng)力響應(yīng)分析中的變換方法拉普拉斯變換法變換關(guān)系傅里葉變換法傳遞函數(shù)矩陣元素的意義頻響函數(shù)矩陣元素的意義與脈沖響應(yīng)函數(shù)互為變換對(duì)傳遞函數(shù)頻響函數(shù)與模態(tài)參數(shù)

12、的關(guān)系受簡(jiǎn)諧激勵(lì)的振動(dòng)系統(tǒng)當(dāng)激勵(lì)受簡(jiǎn)諧激勵(lì)的振動(dòng)系統(tǒng)當(dāng)激勵(lì)頻率接近系統(tǒng)的固有頻率時(shí)會(huì)產(chǎn)頻率接近系統(tǒng)的固有頻率時(shí)會(huì)產(chǎn)生共振。生共振。為減少振動(dòng)，要改變系統(tǒng)的固為減少振動(dòng)，要改變系統(tǒng)的固有頻率，或者增加系統(tǒng)的阻尼。有頻率，或者增加系統(tǒng)的阻尼。如果受實(shí)際條件的限制，系統(tǒng)如果受實(shí)際條件的限制，系統(tǒng)的固有頻率不能改變，而增加阻的固有頻率不能改變，而增加阻尼后仍嫌響應(yīng)過大，則可考慮采尼后仍嫌響應(yīng)過大，則可考慮采用動(dòng)力吸振器。用動(dòng)力吸振器。4 4、動(dòng)力吸振器動(dòng)力吸振器隔振與減振措施二自由度動(dòng)力吸振器精心選擇字子系統(tǒng)參數(shù)精心選擇字子系統(tǒng)參數(shù)李代桃僵李代桃僵動(dòng)力吸振曲線動(dòng)力吸振曲線動(dòng)力吸振器與阻尼夾在兩座大山之

13、間，夾在兩座大山之間，要格外小心要格外小心第四章知識(shí)點(diǎn)核心問題是耦合與解耦；主要規(guī)律是固有振動(dòng)。核心問題是耦合與解耦；主要規(guī)律是固有振動(dòng)。耦合方程向解耦方程的形式轉(zhuǎn)變；剛度矩陣元素的物理意義；廣義特征耦合方程向解耦方程的形式轉(zhuǎn)變；剛度矩陣元素的物理意義；廣義特征值問題；頻率方程；振型正規(guī)化（歸一化）；兩種歸一化方法；模態(tài)質(zhì)值問題；頻率方程；振型正規(guī)化（歸一化）；兩種歸一化方法；模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度；正規(guī)正交化條件；量、模態(tài)剛度；正規(guī)正交化條件；n個(gè)振型向量構(gòu)成個(gè)振型向量構(gòu)成n維向量空間一個(gè)基；維向量空間一個(gè)基；n個(gè)陣型線性表出；振型坐標(biāo)（主坐標(biāo)）；展開定理；振型坐標(biāo)系下的個(gè)陣型線性表出；振型坐標(biāo)（主坐標(biāo)）；展開定理；振型坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)微分方程形式；阻尼矩陣人為對(duì)角化的方法；多自由度系統(tǒng)的單位運(yùn)動(dòng)微分方程形式；阻尼矩陣人為對(duì)角化的方法；多自由度系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)；動(dòng)力吸振器。脈沖響應(yīng)；動(dòng)力吸振器?；舅惴ǎ夯舅惴ǎ?.解頻率方程得解頻率方程得n個(gè)固有頻率；個(gè)固有頻率；2.分別回代分別回代n個(gè)固有頻率至廣義特征值問題；個(gè)固有頻率至廣義特征值問題；3.分別解相應(yīng)的廣義特征值問題得分別解相應(yīng)的廣義特征值問題得n個(gè)振型；個(gè)振型；4.由由n個(gè)振型構(gòu)成陣型矩陣即是能使方程解耦的變換矩陣；個(gè)振型構(gòu)