思維特訓(xùn)七一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的運(yùn)用技巧

1、思維特訓(xùn)(七)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的運(yùn)用技巧一元二次方程ax2+bx+c=0(aw咂兩實(shí)數(shù)根分別是xi,X2,則xi+x2=b,xix2=c.aa這是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，運(yùn)用這一關(guān)系可解決下列問(wèn)題：(1)已知方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根.方法：利用兩根之和或兩根之積列方程求解；(2)求與兩根有關(guān)的代數(shù)式的值.方法：將所給的代數(shù)式變形，使其出現(xiàn)兩根之和或兩根之積；(3)求方程中字母系數(shù)的值.方法：根據(jù)已知條件并借助根與系數(shù)的關(guān)系列出關(guān)于字母系數(shù)的方程或不等式；(4)求作方程.方法：逆用根與系數(shù)的關(guān)系確定一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).類型一已知一根求另一根1 .若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c

2、=0有一個(gè)根為1,且a=4-c+業(yè)-42,求方程的另一個(gè)根.2 .已知關(guān)于x的一元二次方程mx2(m4)xm2=0的一個(gè)根是1,求方程的另一個(gè)根.類型二求與兩根有關(guān)的代數(shù)式的值3 .2019仙桃若汕方程2x25x1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則22+3a毋53的值為()A.-13B.12C.14D.154.已知一元二次方程x2+3x1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為a,不解方程求下列各式的值.(1) a2+缶；(2)a3B+a3；3a(3)-+-J(4)(a-1)(3-1).ap5,設(shè)x1,x2是方程x2-x-2019=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求x13+2019x22019的值.6.已知關(guān)于x的方程x2+2x-k=0有兩

3、個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.第1頁(yè)/共6頁(yè)(1)求k的取值范圍；a3(2)若a,猾這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值；1十a(chǎn)1十6(3)根據(jù)(2)的結(jié)果你能得出什么結(jié)論？類型三求字母系數(shù)的值7,已知關(guān)于x的方程x2+2mx-(m+1)=0,若兩根倒數(shù)的和比兩根倒數(shù)的積小1,求m的值.8 .已知x1,x2是一元二次方程(a6)x2+2ax+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(1)是否存在實(shí)數(shù)a,使x+xx2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)求使(x1+1)(x2+1)為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù)a的整數(shù)值.9 .已知x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+(3a1)x+2a21=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，使得(3x1x2

4、)(x13刈=80成立，求實(shí)數(shù)a的可能值.類型四已知兩根作新方程10 .如果方程x2+px+q=0的兩個(gè)根是x1，x2,那么x1+x2=p,x-x2=q.請(qǐng)根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問(wèn)題：(1)已知關(guān)于x的方程x2+mx+n=0(nw0)求出一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是已知方程兩根的倒數(shù)；ab,一(2)已知a,b滿足a215a5=0,b215b5=0,求:十一的值；ba(3)已知a,b,c均為實(shí)數(shù)，且a+b+c=0,abc=16,求正數(shù)c的最小值.詳解詳析1.解：.a=14c+小4-2,4c>OHc-4>0,解得c=4,，a=2.設(shè)方程的另一個(gè)根為x,則x-1)=-=2,x=2.

5、a一2即方程的另一個(gè)根為2.第2頁(yè)/共6頁(yè)2 .解：二,關(guān)于x的一元二次方程mx2(m4)xm2=0的一個(gè)根是1,，m(m4)-m2=0,解得m=±2.，方程變?yōu)閤23x+2=0或x2+x2=0.設(shè)方程的另一個(gè)根為x,則xi2或x上一2,，x=2或一2,，方程的另一個(gè)根為2或一2.3 .B解析&為方程2x25x1=0的實(shí)數(shù)根，1-2025a1=0,即2=5a+1,.,.2o2+3a0-53=5a+1+3a,53=5(a+3+3a0-1.內(nèi)防方程2x25x1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，5°1-25_,1_/3=2a特一2，.24+3“毋53=5.+3X(2)+1=12.故選B.

6、4.解析由根與系數(shù)的關(guān)系，得計(jì)3=3,a#1,把要求的代數(shù)式分別用a+3,a表示，代入求值.解：%3是一元二次方程x2+3x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，od-3=一3,a樣一1.(1) a2+32=(a+呼2a伊(一3)22XJ1)=11.(2) a33+a3)=a0a+日2)=(-1)X仔一11.3a02+廿11(3) 一+r=-7=-11.apap1(4)(a1)(3-1)=民伊(a+3+1=(1)(3)+1=3.5,解：.x2-x-2019=0,.x2=x+2019,x=x22019.又.x1,x2是方程x2x2019=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，x1+x2=1,x13+2019x22019第3頁(yè)/共6頁(yè)

7、=X1-xi=":-''(1+a)(1+3)a3=_'_"一1+a322k+2019x2+X22019=xi-(xi+2019)+2019x2+X2-2019=xi2+2019xi+2019x2+x22019=(xi+2019)+2019xi+2019x2+x22019=xi+x2+2019(xi+x2)+2019-2019=1+2019=2019.6 .解：(1)A=4+4k.方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，A>0,即4+4k>0,.k>1.(2)由根與系數(shù)的關(guān)系可知a+3=-2,a節(jié)一k,a31+a1+31-2-k=2.a(1+3)+

8、3(1+a)民B當(dāng)k>-1時(shí)，干3的值與k無(wú)關(guān).2m一(m+1)7 .解：設(shè)方程的兩個(gè)根分別為xi,x2,則xi+x2=2m,xix2=(m+1),111r_xi+x21由題息可知1十1嬴=1,即不丁一蒜=1'1,解得m=-2.3第4頁(yè)/共6頁(yè)此時(shí)A=4m6一為負(fù)整數(shù)6a-6一a為一1或一2,3,一6,解得a=7或8或9或12.9.解：.X1,X2是關(guān)于X的一元二次方程x2+(3a1)X+2a21=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,X1+X2=(3a1),X1-X2=2a21,而(3X1X2)(X13X2)=80,+4(m+1)=4(m2+m+1)=4|+1)=28>0,符合題意,39一m=

9、一8.解：(1)根據(jù)題意，得=(2a)2-4>(a-6)=24a>0,解得a>0.又.a6wq.aw6.由根與系數(shù)的關(guān)系，得,2aXl+X2=-7,a6aX1X2=a-6由一X1+X1X2=4+X2,得X1+X2+4=X1X2,2aat+4=解得a=24.a-6a-62aa.經(jīng)檢驗(yàn)，”24是萬(wàn)程-+4=的解.，存在實(shí)數(shù)a,使一X1+X1X2=4+X2成立.2a.a.3X12-10X1X2+3X22=-80,3(X1+X2)216x1x2=80,(2)(X1+1)(X2+1)=X1+X2+X1X2+1=a6+6+1=6a331.5a2+18a99=0,a=3或a=-.當(dāng)a=3時(shí)

10、，方程x2+(3a-1)x+2a2-1=0的<0,a=3不合題意，舍去，33a=一5.10.解：(1)設(shè)關(guān)于x的方程x2+mx+n=0(nw0)兩個(gè)根為xi,x2,1- xi+X2=m,x1-x2=n,.1.1x1+x2m111-x1+x2=x1x2=n,xJx2=n,，所求一元二次方程為x2+mx+1=0,即nx2+mx+1=0.(2) 當(dāng)a而時(shí)，由題意知a,b是一元二次方程x2-15x-5=0的兩根,.-a+b=15,ab=-5,aba2+b2(a+b)22ab1522X(5)r+_=r-=r=47.baabab5當(dāng)a=b時(shí)，+=1+1=2.baab綜上可知,h+=47或2.ba(3)