數(shù)字信號處理試驗：利用FFT分析連續(xù)信號頻譜

1、數(shù)字信號處理實驗實驗報告數(shù)字信號處理課程實驗實驗報告實驗一利用FFT分析連續(xù)信號頻譜實驗?zāi)康?、進一步加深離散傅里葉變換DFT原理的理解；2、應(yīng)用離散傅里葉變換DFT(實際應(yīng)用FFT計算)分析連續(xù)信號的頻譜；3、深刻理解利用DFT分析連續(xù)信號的頻譜的原理，分析工程中常出現(xiàn)的現(xiàn)象及解決方法。實驗原理1、利用DFT分析連續(xù)時間周期信號的頻譜周期為Tp的周期性連續(xù)時間信號xp(t)的頻譜(傅里葉級數(shù)的系數(shù))Xp(jkC)是非周期離散譜，定義為xp(jkQ)=pXpe"jkCdtTp0其中夏=2L=2nf為信號的基頻，kG為信號的諧頻，譜線間隔為C。通過時域采樣Tp就可以利用DFT分析連續(xù)周

2、期信號的頻譜。其步驟為：確定周期信號的基本周期Tp;計算一個周期內(nèi)的采樣點數(shù)N,若周期信號的最高頻譜為pC,則頻譜中有2p+1根譜線；若周期信號的頻譜無限寬，則認(rèn)為集中信號90%以上(或根據(jù)實際需要)能量的前p+1個諧波為近似的頻譜范圍，其余的諧波忽略不計。取N>2p+1; 對連續(xù)周期信號以采樣間隔T=生進行采樣；N 利用FFT計算采樣信號的N點DFT,得到X(k);1 最后求出連續(xù)周期信號的頻譜為Xp(jkC)=；X(k)o1/16數(shù)字信號處理實驗實驗報告因為對連續(xù)周期信號按采樣間隔T=Tp進行采樣，每個周期抽取N點時，則有Nt=nT,Tp=NT那么、1TpXP=Tp0TNjk2nTx

3、p(t)e*Cdt=£x(nT)eTpPTpn山N小紇n工x(nT)eNn衛(wèi)若能按照滿足采樣定理的采樣間隔進行抽樣，并且采取整周期為信號分析的長度，則利用FFT計算得到的離散頻譜值等于連續(xù)周期信號頻譜Xp(jkQ)的準(zhǔn)確值。2、利用DFT分析連續(xù)時間非周期信號的頻譜連續(xù)時間非周期信號xa(t)的傅立葉變換，即頻譜Xa(jC),是一個連續(xù)的非周期函數(shù),定義為Xaj'1=.：.Xate4，tdt同樣，通過時域采樣就可以利用DFT分析連續(xù)非周期信號的頻譜。如果不滿足采樣定理的條件，頻譜會出現(xiàn)混疊誤差。如果信號在時域截取的過程中，窗口寬度和類型(參照濾波器的設(shè)計)選取得不合適，就會產(chǎn)

4、生較大的頻譜泄露，從而影響分析的精度。因此，要合理選取采樣間隔和截取長度。利用DFT分析連續(xù)非周期信號頻譜的步驟如下：根據(jù)時域采樣定理，確定時域采樣間隔T,得到離散序列x(n);確定截取的長度M得到有限長M點離散序列乂乂伯)=雙口如6)(這里缶(口)是矩形窗，一般為減小泄露和譜間干擾的影響，應(yīng)加各種緩變的窗)；確定頻譜采樣點數(shù)N,要求N>M;利用FFT計算離散序列的N點DFT,得到Xm(k);由Xm(k)計算Xa(jC肝點的近似值Xa(jC)m=k2L=TXM(k)NT因為對連續(xù)非周期信號按采樣間隔T進行采樣，截取長度為M,那么M1Xa(jCALxaeQdt=TZxa(nT)eHfmT.

5、n=02/16數(shù)字信號處理實驗實驗報告對Xa(jc)進彳TN點頻域采樣，所以O(shè)-TM1-，2?knXa(jcym=k-=T£Xa(nTeN=TXm(SNTn旦三、實驗內(nèi)容-、已知連續(xù)周期信號x(t)=cosf-Ojit)+2sin(18nt)。確定信號的基頻建和基本周期Tp,以及分析時采用的采樣點數(shù)N; 利用FFT計算x(t)的幅度譜； 當(dāng)分析長度取0.5Tp和-.5Tp時，利用FFT計算x(t)的幅度譜；與的結(jié)果進行比較,總結(jié)應(yīng)如何選取分析長度。解答： 信號基頻C=2冗；基本周期Tp 分析長度取Tp時x(t)的幅度譜實驗代碼：>>N=32;> >fs=20;

6、> >n=0:N-;> >t=n/fs;>>x=cos(-0*pi*t)+2*sin(-8*pi*t);=-s；采樣點數(shù)N=32；實驗代碼注釋：設(shè)定進行fft的計算長度設(shè)定采樣頻率fs=20Hz設(shè)定時域采樣值n的范圍時域采樣后采樣值與原時域值的關(guān)系>>X=x.*(heaviside(t)-heaviside(t-1);對信號進行時域上的截取，這里是截取了一個周期>>y=fft(X,N);>>stem(n,abs(y),'fill');對X做N位的快速傅里葉變換畫出對應(yīng)的幅度譜3/16數(shù)字信號處理實驗實驗報告

7、分析長度取0.5Tp時x(t)的幅度譜實驗代碼：>>N=32;> >fs=20;> >n=0:N-1;> >t=n/fs;> >x=cos(10*pi*t)+2*sin(18*pi*t);> >X=x.*(heaviside(t)-heaviside(t-0.5);對信號進行時域上的截取，這里是截取了半個周期> >y=fft(X,N);>>stem(n,abs(y),'fill');4/16數(shù)字信號處理實驗實驗報告分析長度取1.5Tp時x(t)的幅度譜實驗代碼：>>N=3

8、2;> >fs=20;> >n=0:N-1;> >t=n/fs;> >x=cos(10*pi*t)+2*sin(18*pi*t);> >X=x.*(heaviside(t)-heaviside(t-1.5);對信號進行時域上的截取，這里是截取了1.5個周期>>y=fft(X,N);>>stem(n,abs(y),'fill');實驗結(jié)果：5/16數(shù)字信號處理實驗實驗報告過程與結(jié)果分析：(1)采樣頻率的計算：由式子可以看出，這個信號的fmax=9HZ,由奈奎斯特采樣定理得fs>2xfmax,

9、所以這里取fs=20Hz。(2)由實驗結(jié)果圖我們可以看出，當(dāng)截取長度取1個周期和取1.5個周期時，我們得到的頻譜圖形狀相似，而當(dāng)取0.5個周期時，頻譜圖的形狀相差較大，這里我們知道，當(dāng)我們?nèi)〉慕厝￠L度越長，信號越能體現(xiàn)出信號的本來特征，我們也可以更加精確地根據(jù)它的離散傅里葉變換了解原信號的頻譜。(3)本程序中用用了fft這個函數(shù)，這是MATLA歆件為我們提供的求離散傅里葉變換的系統(tǒng)函數(shù)，直接使用此函數(shù)我們就可以求出我們所定義式子的離散傅里葉變換，而得出的式子分別有幅度譜和相位譜，通過求絕對值，就可以求出離散譜。我們得出的譜相當(dāng)于是對離散時問傅里葉變換采樣，將周期的連續(xù)譜變成了周期的離散譜。(4

10、)通過傅里葉變換我們可以知道，其實這個信號應(yīng)該是兩個分離的譜線，但是由于我們對這個函數(shù)做了截取，是這個信號不再是周期信號了,信號的譜線，而不是整個周期信號的譜線。所以我們得到的僅是我們所截取部分6/16數(shù)字信號處理實驗實驗報告2、利用FFT近似分析連續(xù)時間信號x(t)=e-tu(t)的幅度譜。 確定分析時采用的采樣間隔T,截取長度M;比較當(dāng)N=M,N=1,5M,N=2M時確定的幅度譜； 增加截取長度M和原來的1.5倍和2倍，重做；并比較結(jié)果； 比較理論值和計算值，分析誤差原因，提出改善措施。解答：采樣間隔的選擇：乂二4。)的傅里葉變換為X(C)=1/(3+jC),所以可以畫出其幅度圖程序代碼：

11、> >t=-10:0.01:10；> >x=1./(9+t.*t)A0.5;> >plot(t,x);結(jié)果圖：7/16數(shù)字信號處理實驗實驗報告實驗代碼：> >T=78;> >M=16;> >N=M;> >n=0:N-1;> >t=n*T;> >x=exp(-3*t);> >y=fft(x);> >mag=abs(y);畫出幅度譜由止匕2圖可知，這個信號的頻譜寬度為3/2n,約等于0.5hz,這是3db帶寬，為了使信號的頻譜選取地足夠充足，我們選取采樣頻率為8hz,

12、這樣采樣間隔為1/8,而在時域上可以看出，這個信號的長度為2以后就基本為0了，所以取截取長度為2,這樣M=16o取時域采樣間隔為1/8,即采樣頻率為8取截取長度為16令進行離散傅里葉變換的分析長度等于截取長度劃定時域采樣的范圍規(guī)定離散值與連續(xù)值之間的關(guān)系對x函數(shù)做離散傅里葉變換取離散傅里葉變換的幅度譜>>stem(n,mag,'fill');8/16數(shù)字信號處理實驗實驗報告N=1.5M時確定的幅度譜實驗代碼：> >T=78;> >M=16;> >N=1.5*M;此處與上一個程序相比只是改變了分析長度> >n=0:N-1

13、;> >t=n*T;> >x=exp(-3*t);> >y=fft(x);> >mag=abs(y);>>stem(n,mag,'fill');實驗結(jié)果:9/16數(shù)字信號處理實驗實驗報告N=2M時確定的幅度譜實驗代碼：> >T=78;> >M=16;> >N=2*M;> >n=0:N-1;> >t=n*T;> >x=exp(-3*t);> >y=fft(x);> >mag=abs(y);> >stem(n,mag

14、,'fill');實驗結(jié)果：10/16數(shù)字信號處理實驗實驗報告截取長度為原來的1.5倍時確定的幅度譜實驗代碼：> >T=78;> >M=24;> >N=M;> >n=0:N-1;> >t=n*T;> >x=exp(-3*t);> >y=fft(x);> >mag=abs(y);>>stem(n,mag,'fill');實驗結(jié)果:11/16數(shù)字信號處理實驗實驗報告截取長度為原來的2倍時確定的幅度譜實驗代碼：> >T=78;> >M=3

15、2;> >N=M;> >n=0:N-1;> >t=n*T;> >x=exp(-3*t);> >y=fft(x);> >mag=abs(y);>>stem(n,mag,'fill');實驗結(jié)果：12/16數(shù)字信號處理實驗實驗報告比較分析：可以看出，這些圖的基本形狀是差不多的，都是兩側(cè)的頻率值對應(yīng)的幅度值比較高而中央的幅度值比較低，只是在幅度上有些許變化，可以看出，在分析長度一定的情況下，截取長度越長，我們得到的頻譜在一定范圍內(nèi)與真實值更加接近，可以與第一問所求連續(xù)譜相比較；當(dāng)在截取長度一定的情況下

16、，分析長度越長，我們得到的頻譜在一定范圍內(nèi)與真實值更加接近，可以與第一問所求連續(xù)譜相比較。誤差分析：(1)雖然我們是按照奈奎斯特頻率進行的采樣，但是由于我們所研究的信號的頻譜是無限大的，我們是對頻譜做了近似后再按采樣定理進行的采樣，這樣一來就一定會產(chǎn)生頻譜的混疊。產(chǎn)生失真。(2)其次，我們是對時域信號進行了截取，雖然時域信號在t大于2后值基本等于0,可以忽略不計，但是我們還是對信號進行了省略，這樣很容易就產(chǎn)生了失真，影響了我們最后結(jié)果的真實性。解決方法：這些失真我們是無法消除的，為了解決這些問題，我們最采用的方法就是增加截取長度，增大采樣頻率，盡量減小失真，但是我們將永遠(yuǎn)無法消除這些失真。結(jié)果

17、分析：我們通過fft得到了離散傅里葉變化得到的頻譜，這些頻譜由于截取和采樣等原因產(chǎn)生了一些失真，但是其基本上還是符合信號的規(guī)律的，我們可以看出這個信號的頻譜特13/16數(shù)字信號處理實驗實驗報告征，就是在低頻段，所還有的分量較多而在高頻段所含有的頻譜分量較小其次，我們在這個程序中繼續(xù)使用了fft函數(shù)求離散傅里葉變換，這與上一題所使用的方法基本上是一致的。3、已知信號x(t)=0.15sin(2nfitJ+sin(2uf2t卜0.1sin(2nf3t)，其中f1=1Hz,f2=2Hz,f3=3Hz。從x(t)的表達(dá)式可以看出，它包含三個正弦波，但從時域波形圖來看，似乎是一個正弦信號，很難看到小信號的存在，因為它被打信號所掩蓋。取fs=32Hz,利用FFT做頻譜分析，確定是否有小信號的存在。解答：實驗代碼：> >fs=32;> >N=32;> >n=0:N-1;> >N=n/fs;> >x=0.15*cos(2*pi*t)+sin(4*pi*t)-0.1*sin(2*pi*3*t);> >y=fft(x);> >mag=abs(y);>>stem(n,mag,'fill&