數(shù)學建模長江污水排放問題詳解

1、、問題重述:上游江水流量為1000(1012L/min),污水濃度為0.8(mg/L)。江水下方3個工廠，它們分別產(chǎn)生定量的污水，3個工廠的污水流量均為5(1012L/min),從上到小下，濃度分別為100,60,50(mg/L)。已知國家標準規(guī)定水的污染濃度不超過1(mg/L)。所以3個工廠要對其污水進行處理，處理系數(shù)均為1(萬元/(1012L/min)乂(mg/L)。在3個工廠之間,江水有自凈作用，可減少污水的含量，兩段江面的自凈系數(shù)分別為0.9和0.6。求1、為了使江面上所有地段的水污染達到國家標準，最少需要花費多少費用？2、如果只要求3個居民點上游的水污染達到國家標準，最少需要花多少錢

2、？二、問題分析：此題為最優(yōu)化問題，我們考慮每個工廠在將其污水注入江水前，應分別對其污水進行處理，在處理過程后，各工廠處理后的污水濃度要符合國家污水濃度規(guī)定，所以我們的任務就是在滿足國家污水規(guī)定的同時，使3個工廠的花費最少。工廠的花費要受二個條件制約，一是污水濃度，二是國家污水濃度規(guī)定。污水濃度越高，各工程為滿足國家污水規(guī)定，應大量處理污水，工廠的花費也就越高。因此，可用線性規(guī)劃模型來解決此問題。我們可以用如下圖表示全過程：三、問題假設：1 .假設長江的水流量固定，不會因為加入污水或改變污水濃度而改變2 .假設污水之間無反應，不會因為污水反應而改變污水量或污水濃度3 .假設居民區(qū)不產(chǎn)生污水。4

3、.假設江水的自凈作用對所有污水都有效。5 .假設污水在進入長江之后是分布均勻的。6 .假設污水在進入長江之后不會流入上游。7 .假設江水進行自凈作用時，不改變江水本身流量。8 .假設在對進行污水處理時，不改變污水流量，只改變污水濃度。9 .彳貿(mào)設3個工廠之間的兩段江面，各自單位距離的自凈能力相同。四、符號假設：C0：表示長江上游污水濃度c12:表示工廠1處理后污水濃度C22:表示工廠2處理后污水濃度C32:表示工廠3處理后污水濃度v0:表示長江上游水流量v2:表示到達工廠2水流量vj:表示3個工廠長生的污水流量z1:表示工廠1、2之間的自凈化系數(shù)x1:表示工廠1的處理費x3:表示工廠3的處理費

4、c11:表示工廠1產(chǎn)生的污水濃度C21:表示工廠2產(chǎn)生的污水濃度C31:表示工廠3產(chǎn)生的污水濃度cb:表示國家標準規(guī)定水的污染濃度v1:表示到達工廠1水流量v3:表示到達工廠3水流量z2:表示工廠2、3之間的自凈化系數(shù)x2:表示工廠2的處理費s：表示處理系數(shù)五、建立模型（一）第一問：為了使江面上所有地段的水污染達到國家標準，最少需要花費多少費用？為了使江面上所有地段的水污染達到國家標準，即在工廠排出污水后，江水就應滿足國家污水規(guī)定。因此，分析，變量中C0、c11、c21、c31、Cb、v0、v1、v2、v3、vj、z1、z2都是已知的。C0=0.8;c11=100;c21=60;c31=50;

5、cb=1;v0=1000;v1=1000;v2=vj+v1;v3=v2+vj;vj=5;z1=0.9;s=1;有3個限制變量，一是工廠1處理后污水濃度（即C12）,二是工廠2處理后污水濃度（即C22）,三是廠3處理后污水濃度（即C32）。c12=（江水本有的污水+工廠1處理后的污水）/（江水流量+工廠1的污水量）江水本有的污水=江水流量（v1）*江水污水濃度（C0）工廠1處理后的污水=工廠1的污水量（vj）*處理后污水濃度處理后污水濃度=原污水濃度（C11）-污水減小濃度量污水減小濃度量=工廠1的花費(x1)/(處理系數(shù)(s)*工廠1的污水量(vj)整理可得：c12=(v0*c0+vj*(c1

6、1-x1/(vj*s)/(v0+vj)同理可得：c22=(v2*c12*z1+vj*(c21-x2/(vj*s)/(v2+vj)c32=(v3*c22*z2+vj*(c31-x3/(vj*s)/(v3+vj)同時c12<=cb;c22<=cb;c32<=cb;用Lingo求解得：Globaloptimalsolutionfoundatiteration:4Objectivevalue:489.5000VariableX1X2X3Value295.0000194.50000.000000ReducedCost0.0000000.0000001.000000即最少需要花費489.

7、5J元，工廠1花費295萬元，工廠2花費194.5,工廠3不用處理污水。(二)第二問：如果只要求3個居民點上游的水污染達到國家標準，最少需要花多少錢？題目沒有明確指明居民點的位置，只是說明它們在處理站對面是居民點，所以居民區(qū)可以有多種排法，它們可以在處理站前，也可在處理站后，也可以在2個處理站中間，因此我們只假設對應居民區(qū)在處理站前或處理站后。(1)居民區(qū)在對應工廠后，分析有可得，此假設和第一問的意義相同，所以我們不再進行計算。(2)居民區(qū)在對應工廠前如圖：居民區(qū)1自凈區(qū)域自凈區(qū)域居民區(qū)2居民區(qū)3則可考慮各工廠在處理污水時，不用將污水濃度處理到國家污水，因為江水本身有自凈作用，因此只要在到達下

8、個居民點前達到國家污水標準既可。那么c12<=cb,c22<=cb;,c32<=cb可變?yōu)閏12*z1<=cb,c22*z2<=cb,c32<=cb。206.3333用Lingo求解得：Globaloptimalsolutionfoundatiteration:Objectivevalue:VariableValueReducedCostX1183.3333X20.000000X323.000000.0000000.40000000.000000工廠1花費183.3333萬元，工廠2不用處理污水,即最少需要花費206.3333H元,工廠3花費23萬元。五、模

9、型改進在問題二中我們加入變量j2和j3,分別表示居民區(qū)2和居民區(qū)3的位置，且設2段江面的距離為1,因此0<=j2<=1,0<=j3<=1。因為假設3個工廠之間的兩段江面，各自單位距離的自凈能力相同，所以可以使居民區(qū)2和居民區(qū)3在2段江面中移動，當j=0.3時，表示居民區(qū)2距離工廠10.3的位置，距離工廠20.7的位置。則限制條件可寫為c12*(1-0.1*j2)<=cb,c22*(1-j3*0.4)<=cb,c32<=cb當j2=0,j3=0時即第一問，當j2=1,j3=1時即第二問，經(jīng)計算與第一、二問的結(jié)果相同。附錄：min=x1+x2+x3;c0=0.8;c11=100;c21=60;c31=50;cb=1;v0=1000;v1=1000;v2=vj+v1;v3=v2+vj;vj=5;z1=0.9;s=1;z2=0.6;c12=(v0*c0+vj*(c11-x1/(vj*s)/(v0+vj);c12*(1-0.1*j2)<=cb;c22=(v2*c12*z1+vj*(c21