經(jīng)典--初中數(shù)學三角形專題訓練及例題解析

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上經(jīng)典三角形專題訓練知識點梳理 考點一、三角形1、三角形的定義:由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.2、三角形的分類.三角形(按邊分)三角形(按角分) 3、三角形的三邊關系：三角形任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.4、三角形的重要線段三角形的中線：頂點與對邊中點的連線,三條中線交點叫重心三角形的角平分線：內(nèi)角平分線與對邊相交,頂點和交點間的線段,三個角的角平分線的交點叫內(nèi)心三角形的高：頂點向對邊作垂線,頂點和垂足間的線段.三條高的交點叫垂心(分銳角三角形,鈍角三角形和直角三角形的交點的位置不同)5、三角形具有穩(wěn)定性6、三角形的內(nèi)

2、角和定理及性質(zhì) 定理：三角形的內(nèi)角和等于180. 推論1：直角三角形的兩個銳角互補。 推論2：三角形的一個外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和。 推論3：三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角。7、多邊形的外角和恒為3608、多邊形及多邊形的對角線正多邊形：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形凸凹多邊形：畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，若整個圖形都在這條直線的同一側，這樣的多邊形稱為凸多邊形；，若整個多邊形不都在這條直線的同一側，稱這樣的多邊形為凹多邊形。多邊形的對角線的條數(shù):A.從n邊形的一個頂點可以引（n-3）條對角線，將多邊形分成（n-2）個三角形。B.n 邊形共有條對角線。9

3、、邊形的內(nèi)角和公式及外角和多邊形的內(nèi)角和等于（n-2）180(n3)。多邊形的外角和等于360。10、平面鑲嵌及平面鑲嵌的條件。平面鑲嵌：用形狀相同或不同的圖形封閉平面，把平面的一部分既無縫隙，又不重疊地全部覆蓋。平面鑲嵌的條件：有公共頂點、公共邊；在一個頂點處各多邊形的內(nèi)角和為360。與三角形有關的角、多邊形及其內(nèi)角和例1 一個三角形的兩邊長分別為2和9,第三邊為奇數(shù),則此三角形的周長是多少？（三邊關系：判定能否成三角形；求線段的取值范圍；證明線段的不等關系）針對性練習：若一個等腰三角形的周長為17cm，一邊長為3cm ,則它的另一邊長是 。例2如圖,已知中, 的角平分線BD,CE相交于點

4、O,且求。（內(nèi)角和定理）OADCBAE例3 如圖，BP平分FBC，CP平分ECB，A=40求BPC的度數(shù)。ACEPB4213F7.2.1 三角形的內(nèi)角1.三角形的一個外角等于與它相鄰的內(nèi)角的4倍，等于與它不相鄰的一個內(nèi)角的2倍，則這個三角形各角的度數(shù)為（ ）A45、45、90B30、60、90C25、25、130D36、72、722.已知三角形的一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的,是第三個內(nèi)角的,則這個三角形各內(nèi)角的度數(shù)分別為( )A.60,90,75 B.48,72,60C.48,32,38 D.40,50,903.已知ABC中,A=2(B+C),則A的度數(shù)為( )A.100 B.120 C.140 D

5、.1604.在ABC中,A=B=C,則此三角形是( )A.銳角三角形B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形7.2.2 三角形的外角5.若一個三角形的一個外角小于與它相鄰的內(nèi)角,則這個三角形是( )A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.無法確定6.如果三角形的一個外角和與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和為180,那么與這個外角相鄰的內(nèi)角的度數(shù)為( )A.30 B.60 C.90 D.1207.已知三角形的三個外角的度數(shù)比為2:3:4,則它的最大內(nèi)角的度數(shù)為( )A.90 B.110 C.100 D.1208.已知等腰三角形的一個外角是120,則它是( )A.等腰直角三角形; B.一般

6、的等腰三角形; C.等邊三角形; D.等腰鈍角三角形9.如圖1所示,若A=32,B=45,C=38,則DFE等于( )A.120 B.115 C.110 D.105(1)7.3 多邊形及其內(nèi)角和10.一個多邊形的外角中,鈍角的個數(shù)不可能是( )A.1個 B.2個 C.3個 D.4個11.不能作為正多邊形的內(nèi)角的度數(shù)的是( )A.120 B.(128) C.144 D.14512.若從一個多邊形的一個頂點出發(fā),最多可以引10條對角線,則它是( )A.十三邊形 B.十二邊形 C.十一邊形 D.十邊形13.若一個多邊形共有十四條對角線,則它是( )A.六邊形 B.七邊形 C.八邊形 D.九邊形7.4

7、 課題學習 鑲嵌14.用形狀、大小完全相同的圖形不能鑲嵌成平面圖案的是( )A.等腰三角形 B.正方形 C.正五邊形 D.正六邊形15.下列圖形中,能鑲嵌成平面圖案的是( )A.正六邊形 B.正七邊形 C.正八邊形 D.正九邊形例1.如圖，求A+C+3+F的度數(shù)。例2已知一個多邊形的每個外角都是其相鄰內(nèi)角度數(shù)的，求這個多邊形的邊數(shù)。例5如圖，AP平分BAC交BC于點P，ABC=90，且PB=3cm，AC=8cm，則APC的面積是 cm2考點二、全等三角形 1、全等三角形的概念能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對

8、應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）（3）邊邊邊定理：有三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。直角三角形全等的判定：對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）3、全等變換只改變圖形的位置，不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。全等變換包括一下三種：（1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動的變換叫做平移變換。（2）對稱變換：將圖形沿某直線翻折1

9、80，這種變換叫做對稱變換。（3）旋轉變換：將圖形繞某點旋轉一定的角度到另一個位置，這種變換叫做旋轉變換?？键c三、等腰三角形 1、等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。推論2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60。2、三角形中的中位線連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。（1）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構成一個新的三角形。（2）要會區(qū)別三角形中線與中位線。三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，

10、并且等于它的一半。三角形中位線定理的作用：位置關系：可以證明兩條直線平行。數(shù)量關系：可以證明線段的倍分關系。常用結論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：結論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。結論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。結論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。結論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。結論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。考點四、直角三角形 1、直角三角形的兩個銳角互余2、在直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的一半。3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 4直角三角

11、形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即5、攝影定理在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項，每條直角邊是它們在斜邊上的攝影和斜邊的比例中項ACB=90 CDAB 6、常用關系式由三角形面積公式可得：ABCD=ACBC經(jīng)典例題解析：例1.如圖，BP平分FBC，CP平分ECB，A=40求BPC的度數(shù)。 分析：可以利用三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和求解。解：1= 例2.如圖，求A+C+3+F的度數(shù)。分析：由已知B=30，G=80，BDF=130，利用四邊形內(nèi)角和，求出3的度數(shù)，再計算要求的值。解：四邊形內(nèi)角和為（4-2）180=3603=360-30-80-130=12

12、0又A C F是三角形的內(nèi)角 A+C+F+3=180+120=300例3已知一個多邊形的每個外角都是其相鄰內(nèi)角度數(shù)的，求這個多邊形的邊數(shù)。分析：每一個外角的度數(shù)都是其相鄰內(nèi)角度數(shù)的，而每個外角與其相鄰的內(nèi)角的度數(shù)之和為180。解：設此多邊形的外角為x，則內(nèi)角的度數(shù)為x 例4.用正三角形、正方形和正六邊形能否進行鑲嵌？ 分析：可以進行鑲嵌的條件是：一個頂點處各個內(nèi)角和為360 解：正三角形的內(nèi)角為 正方形的內(nèi)角為正六邊形的內(nèi)角為 可以鑲嵌。一個頂點處有1個正三角形、2個正方形和1個正六邊形。例5.如圖，在ABC中，ACB=60，BAC=75，ADBC于D，BEAC于E，AD與BE交于H，則CHD

13、= 解：在ABC中，三邊的高交于一點，所以CFAB，BAC=75，且CFAB，ACF=15，ACB=60，BCF=45在CDH中，三內(nèi)角之和為180，CHD=45，故答案為CHD=45點評：考查三角形中，三條邊的高交于一點，且內(nèi)角和為180例6如圖，AD、AM、AH分別ABC的角平分線、中線和高（1）因為AD是ABC的角平分線，所以 = = 1/2 ；（2）因為AM是ABC的中線，所以 = = ；（3）因為AH是ABC的高，所以 = =90分析：（1）根據(jù)三角形角平分線的定義知：角平分線平分該角；（2）根據(jù)三角形的中線的定義知：中線平分該中線所在的線段；（3）根據(jù)三角形的高的定義知，高與高所在

14、的直線垂直解答：解：（1）AD是ABC的角平分線，BAD=CAD=1/2BAC；（2）AM是ABC的中線，BM=CM=1/2BC；（3）AH是ABC的高，AHBC，AHB=AHC=90；故答案是：（1）BAD、CAD、BAC；（2）BM、CM、BC；（3）AHB、AHC例8如圖，AP平分BAC交BC于點P，ABC=90，且PB=3cm，AC=8cm，則APC的面積是 cm2解：AP平分BAC交BC于點P，ABC=90，PB=3cm，點P到AC的距離等于3，AC=8cm，APC的面積=832=12cm2例9. 已知：點P是等邊ABC內(nèi)的一點，BPC150，PB2，PC3，求PA的長。分析：將BA

15、P繞點B順時針方向旋轉60至BCD，即可證得BPD為等邊三角形，PCD為直角三角形。解：BCBA，將BAP繞點B順時針方向旋轉60，使BA與BC重合，得BCD，連結PD。BDBP2，PADC。BPD是等邊三角形。BPD60。DPCBPCBPD1506090。DCPADC。例10. 兩個全等的含30，60角的三角板ADE和ABC如圖所示放置，E，A，C三點在一條直線上，連接BD，取BD的中點M，連結ME，MC。試判斷EMC是什么樣的三角形，并說明理由。分析：判斷一個三角形的形狀，可以結合所給出的圖形作出假設，或許是等腰三角形。這樣就可以轉化為另一個問題：嘗試去證明EMMC，要證線段相等可以尋找全

16、等三角形來解決，然而圖中沒有形狀大小一樣的兩個三角形。這時思考的問題就可以轉化為這樣一個新問題：如何構造一對全等三角形？根據(jù)已知點M是直角三角形斜邊的中點，產(chǎn)生聯(lián)想：直角三角形斜邊上的中點是斜邊的一半，得：MDMBMA。連結M A后，可以證明MDEMAC。答：EMC是等腰直角三角形。證明：連接AM，由題意得，DEAC，ADAB，DAEBAC90。DAB90。DAB為等腰直角三角形。又MDMB，MAMDMB，AMDB，MADM AB45。MDEMAC105，DMA90。MDEMAC。DMEAMC，MEMC。又DMEEMA90，AMCEMA90。MCEM。EMC是等腰直角三角形。說明：構造全等三角

17、形是解決這個問題的關鍵，那么構造全等又如何進行的呢？對條件的充分認識和對知識點的聯(lián)想可以找到添加輔助線的途徑。構造過程中要不斷地轉化問題或轉化思維的角度。會轉化，善于轉化，更能體現(xiàn)思維的靈活性。在問題中創(chuàng)設以三角板為情境也是考題的一個熱點。例11.如圖，等腰直角三角形ABC中，ACB90，AD為腰CB上的中線，CEAD交AB于E求證CDAEDB提示：作CFAB于F，則ACF45，在ABC中，ACB90，CEAD，于是，由ACGB45，ABAC ，且易證12，由此得AGCCEB（ASA）再由CDDB，CGBE，GCDB，又可得CGDBED（SAS），則可證CDAEDB例12.如圖，ABC中，12

18、，34，56A60求ECF、FEC的度數(shù)ABCDFGE123456略解：因為 A60，所以 23（18060）60；又因為 B、C、D是直線，所以 4590；于是 FEC2360，F(xiàn)CE4590，F(xiàn)EC60ABCDEFGH例13. 在RtABC中，A90，CE是角平分線，和高AD相交于F，作FGBC交AB于G，求證：AEBG略解：作EHBC于H，由于E是角平分線上的點，可證 AEEH ；且又由 AECBECBCADECAAFE可證 AEAF，于是由 AFEH，AFGEHB90，BAGF可得 AFGEHB；所以 AGEB，即 AEEGBGGE，所以 AEBG反饋練習1.如圖，AD是ABC的中線，如果ABC的面積是18cm2，則ADC的面積是 cm22.如圖，ABC中，ABC=BAC=45，點P在AB上，ADCP，BECP，垂足分別為D，E，已知DC=2，則BE= 3（2009宜賓）已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，過AB的中點E作AC的垂線EF，交AD于點M，交