數(shù)的概念的發(fā)展

1、數(shù)的概念的發(fā)展教學(xué)目標(biāo)（1）了解數(shù)的概念發(fā)展的過(guò)程和動(dòng)力；（2） 了解引進(jìn)虛數(shù)單位i的必要性和作用；理解i的性質(zhì).（3）正確對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，掌握數(shù)集之間的從屬關(guān)系；（4） 了解數(shù)系從自然數(shù)到有理數(shù)到實(shí)數(shù)再到復(fù)數(shù)擴(kuò)充的基本思想.教學(xué)建議1.教材分析（1）知識(shí)結(jié)構(gòu) 首先簡(jiǎn)明扼要地對(duì)已經(jīng)學(xué)過(guò)的 數(shù)集因生產(chǎn)與科學(xué)發(fā)展的需要而逐步擴(kuò)充的過(guò)程作了概括；然后說(shuō)明,數(shù)集的每一次擴(kuò)充，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本身來(lái)說(shuō)，也解決了原有數(shù)集中某種 運(yùn)算不是永遠(yuǎn)可以實(shí)施的矛盾，使得某些代數(shù)方程在新的數(shù)集中能夠 有解。從而引出虛數(shù)單位i及其性質(zhì)，接著，將數(shù)的范圍擴(kuò)充到復(fù)數(shù)， 并指出復(fù)數(shù)后來(lái)由于在科學(xué)技術(shù)中得到應(yīng)用而進(jìn)一步發(fā)展。從實(shí)際生

2、產(chǎn)需要推進(jìn)數(shù)的發(fā)展自然數(shù) 整數(shù) 有理數(shù) 無(wú)理數(shù)從解方程的需要推進(jìn)數(shù)的發(fā)展負(fù)數(shù) 分?jǐn)?shù) 無(wú)理數(shù) 虛數(shù)（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析（一）認(rèn)識(shí)的動(dòng)力 從正整數(shù)擴(kuò)充到整數(shù)，從整數(shù)擴(kuò)充 到有理數(shù)，從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)，數(shù)的概念是不斷發(fā)展的，其發(fā)展的 動(dòng)力來(lái)自?xún)蓚€(gè)方面。解決實(shí)際問(wèn)題的需要 由于計(jì)數(shù)的需要產(chǎn)生了 自然數(shù)；為了表示具有相反意義的量的需要產(chǎn)生了整數(shù)； 由于測(cè)量的i來(lái)源網(wǎng)絡(luò)整理，僅供供參考需要產(chǎn)生了有理數(shù)；由于表示量與量的比值（如正方形對(duì)角線的長(zhǎng)度 與邊長(zhǎng)的比值）的需要產(chǎn)生了無(wú)理數(shù)（既無(wú)限不循環(huán)小數(shù)）。解方 程的需要。為了使方程 有解，就引進(jìn)了負(fù)數(shù)；為了使方程 有解， 就要引進(jìn)分?jǐn)?shù)；為了使方程 有解，就要引進(jìn)

3、無(wú)理數(shù)。引進(jìn)無(wú)理數(shù)后，我們已經(jīng)能使方程 永遠(yuǎn)有解，但是，這并沒(méi)有徹底解決問(wèn)題， 當(dāng) 時(shí)，方程 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解。為了使方程（）有解，就必須把實(shí)數(shù)概念進(jìn)一步擴(kuò)大，這就必須引進(jìn)新的數(shù)。（二）注意數(shù)的概念在擴(kuò)大時(shí)要遵循的原則 第一，要能解決實(shí)際問(wèn)題中或數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾?，F(xiàn)在要解決的就是在實(shí)數(shù)集中，方程無(wú)解這一矛盾。 第二，要盡量地保留原有數(shù)集（現(xiàn)在是實(shí)數(shù)集）的性質(zhì)，特別是它的運(yùn) 算性質(zhì)。（三）正確確認(rèn)識(shí)數(shù)集之間的關(guān)系 有理數(shù)就是一切形如的數(shù)，其中，所以有理數(shù)集實(shí)際就是分?jǐn)?shù)集. “循環(huán)節(jié)不為0 的循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)”.有理數(shù) = 分?jǐn)?shù) = 循環(huán)小數(shù),實(shí)數(shù) = 小數(shù).自然數(shù)集N、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)

4、數(shù)集R、復(fù)數(shù)集C之間有如下的包含關(guān)系： 2.教法建議 （1）注意知識(shí) 的連續(xù)性：數(shù)的發(fā)展過(guò)程是漫長(zhǎng)的，每一次發(fā)展都來(lái)自于生產(chǎn)、生活 和計(jì)算等需要，所以在教學(xué)時(shí)要注意使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)的發(fā)展的兩個(gè)動(dòng) 力.（2）創(chuàng)造良好的課堂氣氛：由于本節(jié)課要了解擴(kuò)充實(shí)數(shù)集的必要性，所以，教師可以多向?qū)W生介紹一些數(shù)的發(fā)展過(guò)程中的一些科學(xué)史，課堂學(xué)習(xí)的氣氛可以營(yíng)造成一種師生共同研究、 共同交流的氣氛。教學(xué)目的1.使學(xué)生了解數(shù)是在人類(lèi)社會(huì)的生產(chǎn)和生活中產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的，了解虛數(shù)產(chǎn)生歷史過(guò)程；2 .理解并掌握虛數(shù)單位的定義及性質(zhì)；3 .掌握復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的分類(lèi).教學(xué)重點(diǎn)虛數(shù)單位的定義、性質(zhì)及復(fù)數(shù)的分類(lèi).教學(xué)難點(diǎn)虛數(shù)單位的

5、性質(zhì).教學(xué)過(guò)程一、復(fù)習(xí)引入原始社會(huì)，由于計(jì)數(shù)的需要產(chǎn)生了自然數(shù)的概念，隨著文字的產(chǎn)生和發(fā)展，出現(xiàn)了記數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而建立了自然數(shù)的概念。自然數(shù)的全體構(gòu)成自然數(shù)集.為了表示具有相反意義的量引進(jìn)了正負(fù)數(shù)以及表示沒(méi)有的零，這樣將數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集有些量與量之間的比值，如用正方形的邊長(zhǎng)去度量它的對(duì)角線所得的結(jié)果，無(wú)法用有理數(shù)表示，為解決這種矛盾，人們又引進(jìn)了無(wú)理數(shù), 有理數(shù)和無(wú)理數(shù)合并在一起，構(gòu)成實(shí)數(shù)集.數(shù)的概念是人類(lèi)社會(huì)的生產(chǎn)和生活中產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的，數(shù)學(xué)理論 的研究和發(fā)展也推動(dòng)著，數(shù)已經(jīng)成為現(xiàn)代社會(huì)生活和科學(xué)技術(shù)時(shí)刻離 不開(kāi)的科學(xué)語(yǔ)言和工具.二、新課教學(xué)（一）虛數(shù)的產(chǎn)生我們知道，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，解方程

6、是無(wú)能為力的，只有把實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集才能解決.對(duì)于復(fù)數(shù) （a、b都是實(shí)數(shù)）來(lái)說(shuō)，當(dāng) 時(shí)， 就是實(shí)數(shù)；當(dāng) 時(shí)叫虛數(shù)，當(dāng) 時(shí)，叫做純虛數(shù).可是，歷史上引進(jìn) 虛數(shù)，把實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集可不是件容易的事，那么，歷史上是如 何引進(jìn)虛數(shù)的呢？16世紀(jì)意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)（15011576）在1545年發(fā)表的重 要的藝術(shù)一書(shū)中，公布了三次方程的一般解法，被后人稱(chēng)之為“卡 當(dāng)公式”.他是第一個(gè)把負(fù)數(shù)的平方根寫(xiě)到公式中的數(shù)學(xué)家，并且在討論是否可能把10分成兩部分，使它們的乘積等于40時(shí)，他把答案 寫(xiě)成 ，盡管他認(rèn)為 和 這兩個(gè)表示式是沒(méi)有意義的、想象的、虛無(wú)飄渺的，但他還是把10分成了兩部分，并使它們的乘積等于

7、40.給出“虛數(shù)”這一名稱(chēng)的是法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾(15961650), 他在幾何學(xué)(1637年發(fā)表)中使“虛的數(shù)與“實(shí)的數(shù)”相對(duì) 應(yīng)，從此，虛數(shù)才流傳開(kāi)來(lái).數(shù)系中發(fā)現(xiàn)一顆新星一一虛數(shù)，于是引起了數(shù)學(xué)界的一片困惑，很 多大數(shù)學(xué)家都不承認(rèn)虛數(shù).德國(guó)數(shù)學(xué)家菜不尼茨(16641716)在1702年說(shuō)：“虛數(shù)是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在 和虛妄兩界中的兩棲物”.瑞士數(shù)學(xué)大師歐拉( 17071783)說(shuō)：“一 切形如， 習(xí)的數(shù)學(xué)式子都是不可能有的，想象的數(shù)，因?yàn)樗鼈兯?表示的是負(fù)數(shù)的平方根.對(duì)于這類(lèi)數(shù)，我們只能斷言，它們既不是什 么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，

8、 它們純屬虛幻.”然而，真理性的東西一定可以經(jīng)得住時(shí)間和空間的 考驗(yàn)，最終占有自己的一席之地.法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)蘭貝爾(.17171783) 在1747年指出，如果按照多項(xiàng)式的四則運(yùn)算規(guī)則對(duì)虛數(shù)進(jìn)行運(yùn)算， 那么它的結(jié)果總是的形式(a、b都是實(shí)數(shù))(說(shuō)明：現(xiàn)行教科書(shū)中沒(méi)有使用記號(hào)而使用 ).法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫佛(16671754)在1730年發(fā)現(xiàn)公式了，這就是著名的探莫佛定理.歐拉在1748年發(fā)現(xiàn)了有名的關(guān)系式，并且是他在微分公式(1777年)一文中第 一次用i來(lái)表示-1的平方根，首創(chuàng)了用符號(hào)i作為虛數(shù)的單位.“虛數(shù)” 實(shí)際上不是想象出來(lái)的，而它是確實(shí)存在的.挪威的測(cè)量學(xué)家未塞爾 (17451818)在1

9、779年試圖給于這種虛數(shù)以直觀的幾何解釋?zhuān)⑹紫劝l(fā)表其作法，然而沒(méi)有得到學(xué)術(shù)界的重視.德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯(17771855)在1806年公布了虛數(shù)的圖象表示 法，即所有實(shí)數(shù)能用一條數(shù)軸表示，同樣，虛數(shù)也能用一個(gè)平面上的 點(diǎn)來(lái)表示.在直角坐標(biāo)系中，橫軸上取對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù) a的點(diǎn)A,縱軸上取 對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)b的點(diǎn)B,并過(guò)這兩點(diǎn)引平行于坐標(biāo)軸的直線，它們的交點(diǎn) C就表示復(fù)數(shù).象這樣，由各點(diǎn)都對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的平面叫做“復(fù)平面”， 后來(lái)又稱(chēng)“高斯平面”.高斯在1831年，用實(shí)數(shù)組(a, b)代表復(fù)數(shù)， 并建立了復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算，使得復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算也象實(shí)數(shù)一樣地 “代 數(shù)化”.他又在1832年第一次提出了 “復(fù)數(shù)”這個(gè)名詞，還將表示平 面上同一點(diǎn)的兩種不同方法一一直角坐標(biāo)法和極坐標(biāo)法加以綜合.統(tǒng)一于表示同一復(fù)數(shù)的代數(shù)式和三角式兩種形式中，并把數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，擴(kuò)展為平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng). 高斯不僅把復(fù)數(shù) 看作平面上的點(diǎn)，而且還看作是一種向量，并利用復(fù)數(shù)與向量之間一 一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法與乘法.至此，復(fù)數(shù)理論才比 較完整和系統(tǒng)地建立起來(lái)了.經(jīng)過(guò)許多數(shù)學(xué)家長(zhǎng)期不懈的努力，深刻探討并發(fā)展了復(fù)數(shù)理論，才使得在數(shù)學(xué)領(lǐng)域游蕩了 200 年的幽靈一一虛數(shù)揭去了神秘的面紗，顯 現(xiàn)出它的本來(lái)面目，原來(lái)虛數(shù)不虛呵.虛數(shù)成為