微積分2-5隱函數(shù)及參數(shù)方程ppt課件

1、第五節(jié)第五節(jié) 隱函數(shù)及參數(shù)方程確定隱函數(shù)及參數(shù)方程確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一一 隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法 對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法參數(shù)方程確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)參數(shù)方程確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小結(jié)小結(jié)1.定義:.稱為隱函數(shù)所確定的函數(shù)由二元方程)(),(xyyyxF形式稱為顯函數(shù).)(xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化問題問題: :隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)? ?如何求導(dǎo)如何求導(dǎo)? ?例如：例如：如何求導(dǎo)如何求導(dǎo)? ?, 0 yxeexy,333xyyx 一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.隱函數(shù)求導(dǎo)法方法一、方程兩邊微分，然后解出導(dǎo)數(shù)方法一、方程兩邊微分，然后解出導(dǎo)數(shù). .例1

2、 設(shè)求求.dxdyxdyydxdyydxx333322 解解 方法一方法一 方程兩邊微分方程兩邊微分,333xyyx xy為中間變量，然后解出導(dǎo)數(shù)為中間變量，然后解出導(dǎo)數(shù). .方法二、方程兩邊對方法二、方程兩邊對求導(dǎo)數(shù)，而將求導(dǎo)數(shù)，而將.)()(2222xyxydxdydxxydyxy 方法二方法二 方程兩邊求導(dǎo)方程兩邊求導(dǎo).)(3332222xyxydxdyyxyyyx 注意：隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是隱函數(shù).例2 求由方程, 0 yxeexy所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù).,0 xdxdydxdy的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)y解 方程兩邊對x對導(dǎo)，對導(dǎo)，0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,xxexyedxdy

3、由原方程知由原方程知, 0, 0 yx. 1 000 xyxxxexyedxdy 例3 , 0sin21 yyx求求 .,22dxyddxdy求導(dǎo)，求導(dǎo)，解 方程兩邊對x 對導(dǎo)，,cos202 , 0cos211ydxdyyyyy 再對再對x.)cos2(sin4 )cos2(sin2)cos22(3222yydxdyyyydxddxyd 1 對數(shù)求導(dǎo)法2 適用范圍:先在先在 兩邊取對數(shù)兩邊取對數(shù), ,然后利用隱函數(shù)的然后利用隱函數(shù)的 求導(dǎo)方法求出求導(dǎo)方法求出y y的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). .)(xfy 求冪指函數(shù)求冪指函數(shù)和多個函數(shù)相乘的導(dǎo)數(shù)和多個函數(shù)相乘的導(dǎo)數(shù). .)()(xvxu二、對數(shù)求導(dǎo)法冪指

4、函數(shù)求導(dǎo)：冪指函數(shù)求導(dǎo)：)0)()()( xuxuyxv先兩端取對數(shù)先兩端取對數(shù)uvylnln 然后兩端對然后兩端對)()()()(ln)()( )(xuxuxvxuxvxuyxv 對導(dǎo)，對導(dǎo)，dxuvdydxd)ln(ln 得，得，,ln1uuvuvyy 所以，所以，x例4.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)解等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxylnsinln xxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 上式兩邊對上式兩邊對x求導(dǎo)得求導(dǎo)得)1sinln(cos )ln(sin)(lnsinlnsinlnsinxxxxexxe

5、eyxxxxxx )sinln(cossinxxxxxx xxysin 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 方法，求出方法，求出然后利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)然后利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)yxxeylnsin 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)例5.,)4)(3()2)(1(yxxxxy 求求設(shè)設(shè)解 等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得)4ln()3ln()2ln()1ln(21ln xxxxy求求導(dǎo)導(dǎo)得得上上式式兩兩邊邊對對x4131)2(11121 xxxxyy4131)2(111)4)(3()2)(1(21 xxxxxxxxy)(tx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),)()(中中在參數(shù)方程在參數(shù)方程 tytx ),(1xt 具具有有單單調(diào)調(diào)連連續(xù)續(xù)的的反反

6、函函數(shù)數(shù))(1xy, 0)()(),( ttytx 且且都都可可導(dǎo)導(dǎo), ,再再設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù), ,也稱參數(shù)方程為參數(shù)式函數(shù)也稱參數(shù)方程為參數(shù)式函數(shù). .方法一、分別對方法一、分別對yx,求微分求微分, ,通過微商得到導(dǎo)數(shù)通過微商得到導(dǎo)數(shù). .)()()( ,)(ttdtdydttdydttdx 三 參數(shù)方程確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt 由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得dtdxdtdydxdy 故故方法二、方法二、.cotsincos .,sincostabtatbdtdydxdytbytax 解例6求求設(shè)橢圓方程設(shè)橢圓方程注

7、意:參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是參數(shù)式函數(shù).解, 12cos12sincos1sincossin2 tdtdytttaatadxdy例7.2)cos1()sin(處處的的切切線線方方程程在在求求擺擺線線 ttayttax).22( )12(,),12(2 axyaxayayaxt ：即即所求切線方程為所求切線方程為時時當當，, , 二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)若若函函數(shù)數(shù) )()( tytx )(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt )()()()()(322tttttdxyd 即即例8的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). .求求星星形形線線 taytax33sinc

8、os解dxdy)sin(cos3cossin322ttatta .tant )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 .sin3sec4tat 例9 設(shè)拋射體的運動方程為 2220102121sincosgttvgttvytvtvx 求拋射體在時刻求拋射體在時刻 的與動方向和速度大小的與動方向和速度大小. .t解 先求運動的方向 在 時刻的運動方向，即 軌道的切線方向， 可由切線的斜率來反映.tvxvyv0vxyo 設(shè)切線的傾角為設(shè)切線的傾角為 , ,那那么么 ,)()21(tan12122vgtvtvgttvdxdy 再求速度的大小再求速度的大小 水平分速度為水平分速度為 ,1vdtdxvx 鉛直分速度為鉛直分速度為 ,2gtvdtdyvy 故在故在 時刻拋射體的速度為時刻拋射體的速度為 t.)(222122gtvvvvvyx 五、小結(jié) 隱函數(shù)求導(dǎo)法則：直接對