復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算及其幾何意義

1、新授課:3.2,1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算及其幾何意義教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法、減法的運(yùn)算法則.難點(diǎn)：復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義.知識(shí)點(diǎn)：1.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算法則；2.理解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義.能力點(diǎn)：培養(yǎng)學(xué)生滲透轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生分析問題、解決問題以及運(yùn)算的能力.教育點(diǎn)：通過探究學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生互助合作的學(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)探索和渴求的思想.在掌握知識(shí)的同時(shí)，形成良好的思維品質(zhì)和鍥而不舍的鉆研精神.自主探究點(diǎn)：如何運(yùn)用復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義來解決問題考試點(diǎn)：會(huì)計(jì)算復(fù)數(shù)的和與差；能用復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義解決簡單問題.易錯(cuò)易混點(diǎn)：復(fù)數(shù)的加法

2、與減法的綜合應(yīng)用.拓展點(diǎn)：復(fù)數(shù)與其他知識(shí)的綜合.一、引入新課復(fù)習(xí)引入1 .虛數(shù)單位i：它的平方等于1,即i21；2 .對(duì)于復(fù)數(shù)zabia,bR：當(dāng)且僅當(dāng)b0時(shí)，z是實(shí)數(shù)a;當(dāng)b0時(shí)，z為虛數(shù)；當(dāng)a0且b0時(shí)，z為純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)，z就是實(shí)數(shù)0.3 .復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：N宅Z%Q室R至C.4 .復(fù)數(shù)幾何意義：復(fù)數(shù)zabia,bR復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Za,b復(fù)數(shù)zabia,b一一對(duì)應(yīng)ULfR復(fù)平面內(nèi)的向量OZ=a,b我們把實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)系，那么復(fù)數(shù)之間是否存在運(yùn)算呢？答案是肯定的，這節(jié)課我們就來研究復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算.【設(shè)計(jì)意圖】通過復(fù)習(xí)回顧復(fù)數(shù)概念、幾何意義等相關(guān)知識(shí)，使學(xué)生對(duì)這一知識(shí)

3、結(jié)構(gòu)有個(gè)清醒的初步認(rèn)知逐漸過渡到對(duì)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算及其幾何意義的學(xué)習(xí)情境，為探究本節(jié)課的新知識(shí)作鋪墊.二、探究新知探究一：復(fù)數(shù)的加法1.復(fù)數(shù)的加法法則我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的加法法則如下：設(shè)乙abi,z2cdi(a,b,c,dR)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么：乙z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i提出問題：(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)的和是個(gè)什么數(shù)，它的值唯一確定嗎？(2)當(dāng)b=0,d0時(shí)，與實(shí)數(shù)加法法則一致嗎？(3)它的實(shí)質(zhì)是什么？類似于實(shí)數(shù)的哪種運(yùn)算方法？學(xué)生明確：(1)仍然是個(gè)復(fù)數(shù)，且是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)；(2) 一致；(3)實(shí)質(zhì)是實(shí)部與實(shí)部相加，虛部與虛部相加，類似于實(shí)數(shù)運(yùn)算中的合并同類項(xiàng).【設(shè)計(jì)意圖】加深

4、對(duì)復(fù)數(shù)加法法則的理解，且與實(shí)數(shù)類比，了解規(guī)定的合理性：將實(shí)數(shù)的運(yùn)算通性、通法擴(kuò)充到復(fù)數(shù)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新精神.2 ,復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律實(shí)數(shù)的加法有交換律、結(jié)合律，復(fù)數(shù)的加法滿足這些運(yùn)算律嗎？對(duì)任意的乙，z2,z3C,有ZiZ2Z2Zi(交換律)，(ziz)z3zi(z2z3)(結(jié)合律)【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)數(shù)加法滿足的運(yùn)算律，大膽嘗試推導(dǎo)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律，學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組交流.提高學(xué)生的建構(gòu)能力及主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題，探究問題的能力.3 .復(fù)數(shù)加法的幾何意義復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么請(qǐng)同學(xué)們猜想一下，復(fù)數(shù)的加法也有這種對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？uuuuuu設(shè)O乙,OZ2分別與復(fù)

5、數(shù)abi,cnumUUUUUUUdi對(duì)應(yīng)，則有O乙(a,b),OZ2(c,d),由平面向重的坐標(biāo)運(yùn)算有UJUUuuuuO乙OZ2(ac,bd).這說明兩個(gè)向量OZ與OZU的和就是與復(fù)數(shù)(ac)+(bd)i對(duì)應(yīng)的向量.因此，復(fù)數(shù)的加法可以按照向量加法的平行四邊形法則來進(jìn)行.這就是復(fù)數(shù)加法的幾何意義.如圖所示:由圖可以看出，以O(shè)乙、(ac)+(bd)i對(duì)應(yīng)的向量.OZ2為鄰邊畫8行四邊形OZ1ZZ2,其對(duì)角線OZ所表示的向量OZ就是復(fù)數(shù)，訓(xùn)練學(xué)生的形象思【設(shè)計(jì)意圖】通過向量的知識(shí)，讓學(xué)生體會(huì)從數(shù)形結(jié)合的角度來認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)的加減法法則維能力，也培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.另外，當(dāng)兩復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)向量共線時(shí)，可

6、直接運(yùn)算；當(dāng)不共線時(shí)，可類比向量加法的平行四邊形，也培養(yǎng)了學(xué)生的類比思想.探究二：復(fù)數(shù)的減法類比復(fù)數(shù)的加法法則，你能試著推導(dǎo)復(fù)數(shù)減法法則嗎？1.復(fù)數(shù)的減法法則我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，即把滿足(cdi)(xyi)abi的復(fù)數(shù)xyi叫做復(fù)數(shù)abi減去cdi的差,記作(abi)(cdi).根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義,有cxa,dyb,因此xac,ybd,所以xyi(ac)(bd)i,即(abi)(cdi)(ac)(bd)i.這就是復(fù)數(shù)的減法法則，所以兩個(gè)復(fù)數(shù)的差是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算法則是通過轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算而得到的，滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，是學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想的素材.讓學(xué)生

7、自己動(dòng)手推導(dǎo)減法法則，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和互助合作的學(xué)習(xí)習(xí)慣.考查學(xué)生的類比思想，提高學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題，探究問題的能力.2.復(fù)數(shù)減法的幾何意義LULULUUDumnULUinnUJLLT1一設(shè)O乙,OZ2分別與受數(shù)abi,cdi對(duì)應(yīng)，則這兩個(gè)受數(shù)的差z1z2與向量OZ1OZ2(即Z2Z1)對(duì)應(yīng)，這就是復(fù)數(shù)減法的幾何意義.如圖所示.【設(shè)計(jì)意圖】兩個(gè)復(fù)數(shù)的差Z1-Z2(即OZ1OZ2)與連接兩個(gè)終點(diǎn)乙，Z2,且指向被減數(shù)的向量對(duì)應(yīng)與平面向量的幾何解釋是一致的；它不僅又一次讓我們看到了向量這一工具的功能，也使數(shù)和形得到了有機(jī)的結(jié)合.注意：只有將差向量平移至以原點(diǎn)為起點(diǎn)時(shí)，其終點(diǎn)才能對(duì)應(yīng)該復(fù)數(shù).

8、三、理解新知1 .復(fù)數(shù)的加減法法則：設(shè)乙abi,z2cdi(a,b,c,dR)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，規(guī)定:ZZ2(ac)(bd)i;Zz2(ac)(bd)i.2 .復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義：(1)復(fù)數(shù)的加法按照向量加法的平行四邊形法則；(2)復(fù)數(shù)的減法按照向量減法的三角形法則.3.幾點(diǎn)說明:(1)復(fù)數(shù)的加(減)法法則規(guī)定的合理性：它既與實(shí)數(shù)運(yùn)算法則，運(yùn)算律相同，又與向量完美地結(jié)合起來(2)復(fù)數(shù)白加(減)法實(shí)質(zhì)是：復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相加減；(3)多個(gè)復(fù)數(shù)相加減：可將各個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相加減.(4)復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)間距離公式：d乙一z2.其中z1,z2是復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)乙和Z2

9、所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，d為點(diǎn)乙和點(diǎn)Z2間的距離.即兩個(gè)復(fù)數(shù)差的模的幾何意義是：兩個(gè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離.【設(shè)計(jì)意圖】加深對(duì)復(fù)數(shù)加(減)法法則的理解，從不同的角度總結(jié)，既學(xué)到知識(shí)，又學(xué)到了數(shù)學(xué)方法，使知識(shí)更加系統(tǒng)化，學(xué)生的思維將上升到一個(gè)更高的層面，為準(zhǔn)確地運(yùn)用新知，作必要的鋪墊.培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力，使學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)，解決問題時(shí)可以信手拈來.四、運(yùn)用新知例1.計(jì)算：(23i)(5i)；(2)(1,2i)(1.2i)；(23i)(52i)；(4)(56i)(2i)(34i)；解：(1)(23i)(5i)(25)(31)i32i；(2) (1.2i)(12i)(11)(,2,2

10、)i0；(3) (23i)(52i)(25)(32)i35i；(4) (56i)(2i)(34i)(523)(614)i11i.【設(shè)計(jì)意圖】直接運(yùn)用復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算法則進(jìn)行，就是將它們的實(shí)部、虛部分別相加、減，實(shí)數(shù)范圍的運(yùn)算律在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.變式訓(xùn)練：計(jì)算(12i)(23i)(34i)(45)iL(19992000i)(20002001i).解：(解法一)原式(123456L19992000)(23456L20002001)i10001000i.(解法二)(12i)(23i)1i；(34i)(45i)1i；(19992000i)(20002001i)1i.將上列1000個(gè)式子累加，得1

11、000(1i)10001000i.【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)數(shù)的加減法，相當(dāng)于多項(xiàng)式加減中的合并同類項(xiàng)的過程；如果根據(jù)給出復(fù)數(shù)求和的特征從局部入手，抓住了式子中相鄰兩項(xiàng)之差是一個(gè)常量這一特點(diǎn)，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行組合，從而可簡化運(yùn)算.進(jìn)一步鞏固復(fù)數(shù)加減運(yùn)算，并帶有一定的規(guī)律性.UJLUDOZ2,LULULULULULU例2.(1)設(shè)O乙,OZ2分力I與受數(shù)z53i,z214i對(duì)應(yīng)，計(jì)算乙z2,并在復(fù)平面內(nèi)作出O乙uurnuuuu(2)設(shè)O乙,OZ2分力1J與受數(shù)解:zZ2=(5+3i)(14i)(51)(34)i4(如圖1所示);Z+Z2(13i)(2i)(12)(31)i34i.(如圖2所示).【設(shè)計(jì)意圖】由復(fù)數(shù)

12、的幾何意義知，復(fù)數(shù)乙,Z2所對(duì)應(yīng)的的點(diǎn)分別為ujluuur、Z3Z2.OZ1OZ2就是表不向重uur.Z2乙，而uuuamuin_OZOZ2可利用平仃四邊形法則作出變式訓(xùn)練：已知復(fù)數(shù)22Za3(a5)i,z2a1(ajjjjjjjj2a1)i(aR)分別對(duì)應(yīng)向量O乙,OZ2(O為坐標(biāo)原點(diǎn))量Zu量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求a的值.答案：a1.例3.已知關(guān)于x的方程：x2(6i)x9ai0(aR)有實(shí)數(shù)根b.(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;若復(fù)數(shù)z滿足zabi2z0,求z的最小值.22解：(1)由題意，得b(6i)b9ai0,即(b6b9)(ab)i0.由復(fù)數(shù)相等的定義得b6b90,解得ab3.ab0設(shè)zx

13、yi(x,yR),由|zabi2z0,得(x3)(y3)i2z,即(x3)2(y3)24(xy)2,整理得(x1)2(y1)28,即復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(x,y)的軌跡是以C(1,1)為圓心，半徑長為2衣的圓.的幾何意義是Z(x,y)與原點(diǎn)O(0,0)的距離，uuuuuuur13i,z22i對(duì)應(yīng)，計(jì)算z+z2,并在復(fù)平面內(nèi)作出OZ1OZ2.如圖，由平面幾何知識(shí)知minCACO2金&應(yīng).【設(shè)計(jì)意圖】在問題(1)中由復(fù)數(shù)相等的概念，列方程組求出兩個(gè)參數(shù)值，把復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化，既復(fù)習(xí)了概念又鍛煉了學(xué)生的計(jì)算能力和解決問題的能力；在問題(2)中由zJ(x0)2(y0)2，把z轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的

14、點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，解決此類問題的關(guān)鍵是利用復(fù)數(shù)的幾何意義畫出圖形，在圖形中尋求答案，把數(shù)轉(zhuǎn)化成形，利用數(shù)形結(jié)合思想解決即可.變式訓(xùn)練：復(fù)數(shù)z的模為1,求z1i的最大值和最小值.答案：、,2+1,.21.【設(shè)計(jì)意圖】通過變式訓(xùn)練，便于學(xué)生全面的認(rèn)識(shí)利用復(fù)數(shù)差的模的幾何意義解決問題，提高學(xué)生理解、運(yùn)用知識(shí)的能力.五、課堂小結(jié)(一)知識(shí):1 .復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法、減法的運(yùn)算法則；2 .復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義.3 .幾點(diǎn)說明:(1)復(fù)數(shù)的加(減)法法則規(guī)定的合理性：它既與實(shí)數(shù)運(yùn)算法則，運(yùn)算律相同，又與向量完美地結(jié)合起來；(2)復(fù)數(shù)白加(減)法實(shí)質(zhì)是：復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相加減；(3)多個(gè)復(fù)

15、數(shù)相加減：可將各個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相加減.(4)復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)間距離公式：d乙一z2.其中Zi,z2是復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)乙和Z2所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，d為點(diǎn)乙和點(diǎn)Z2間的距離.即兩個(gè)復(fù)數(shù)差的模的幾何意義是：兩個(gè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離.(二)思想方法：類比的思想、轉(zhuǎn)化的思想、數(shù)形結(jié)合的思想.【設(shè)計(jì)意圖】通過課堂小結(jié)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法、減法的運(yùn)算法則及幾何意義的理解，及時(shí)查缺補(bǔ)漏，從而更好地運(yùn)用知識(shí)，解題要有目的性，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法的認(rèn)識(shí)與自覺運(yùn)用.深化對(duì)知識(shí)的理解，完善認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，領(lǐng)悟思想方法，強(qiáng)化情感體驗(yàn)，提高認(rèn)識(shí)能力.引導(dǎo)學(xué)生自我反饋、自我總結(jié)，并對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行提

16、煉升華，使知識(shí)系統(tǒng)化.讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)內(nèi)化知識(shí)的方法與經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)習(xí)目標(biāo)的完成.六、布置作業(yè)必做題：1 .計(jì)算：(1)(24i)(34i);(2)(34i)(2i)(15i).uuuuuuuuuruuu2 .復(fù)數(shù)6+533+4i對(duì)應(yīng)的向量分別是OA與OB,其中O是原點(diǎn)，求向量AB,BA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，并指出其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)位于第幾象限.3 .復(fù)平面上三點(diǎn)A,B,C分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)1,2i,52i,則由A,B,C所構(gòu)成的三角形ABC是三角形.4 .求復(fù)數(shù)2i,3i所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離.5 .已知復(fù)數(shù)z滿足z+z28i,求復(fù)數(shù)z.6.已知平行四邊形uuur(1)AO表示的復(fù)數(shù)OABC的三個(gè)頂點(diǎn)O,A,C

17、對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為0,32i,24i,試求:uuu答案：1.(1)5;(2)22i.(2)CA表示的復(fù)數(shù)；(3)B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).2 .9i,位于第三象限；9i,位于第一象限3 .直角三角形.4.君.5.z158i.6.(1)32i；(2)52i；(3)16i選做題：1.在復(fù)平面內(nèi)，求滿足方程z+izi4的復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡.2.復(fù)數(shù)乙,z2滿足乙z21,z1+z2J2,求乙z2.答案：1.提示：方程可以變形為z(i)zi|4|,表示到兩個(gè)定點(diǎn)(0,1)和(0,1)距離之和等于4的點(diǎn)的軌跡，故滿足方程的動(dòng)點(diǎn)軌跡是橢圓.2.提示：法一：數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)造邊長為1的正方形，則其中一條對(duì)角線的長度為

18、J5,則所求的另一條對(duì)角線的長度也等于1.法二：(向量法)設(shè)乙？2所對(duì)應(yīng)的向量分別是：，b,將乙+z2亞兩邊平方得基0,則z2)22,所以乙z2|也.【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)必做題是引導(dǎo)學(xué)生先復(fù)習(xí)，再作業(yè)，培養(yǎng)學(xué)生良好白學(xué)習(xí)習(xí)慣，是讓學(xué)生會(huì)用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法、減法的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算；設(shè)計(jì)選做題意在培養(yǎng)學(xué)生深刻理解復(fù)數(shù)差的模的幾何意義，增加問題的多樣性、趣味性，訓(xùn)練學(xué)生思維的發(fā)散性、深刻性.讓學(xué)生理解知識(shí)之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生用整體的觀點(diǎn)看問題，起到鞏固舊知的作用.七、教后反思1.本教案的亮點(diǎn)是：(1本節(jié)中由于復(fù)數(shù)的加法法則是規(guī)定的，從問題入手，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生理解這種規(guī)定的合理性.在復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律及幾彳s意義的處理上，都是讓學(xué)生自主探究，使學(xué)生在參與中學(xué)會(huì)