數(shù)學(xué)分析廣義積分

1、第十一章 廣義積分（ 6 時 ）問題的提出: 針對Riemann積分的缺陷要求積分區(qū)間有限;被積函數(shù)有界再結(jié)合1 P264兩例. 廣義積分亦稱為CauchyRiemann積分,或CR積分.一. 無窮限廣義積分:1 概念和幾何意義：定義， .幾何意義:例1 討論積分 , , 的斂散性 . 計算積分 . 例 2 討論以下積分的斂散性 :; .例3 討論積分的斂散性 .2. 無窮積分的性質(zhì):在區(qū)間上可積,為常數(shù),則函數(shù)在區(qū)間上可積,且. 和在區(qū)間上可積在區(qū)間上可積, 且.無窮積分收斂的Cauchy準(zhǔn)則: ( 翻譯 )Th 積分收斂.絕對收斂與條件收斂: 定義概念. 絕對收斂收斂,( 證 ) 但反之不

2、確. 絕對型積分與非絕對型積分 .3. 無窮積分判斂法: 非負(fù)函數(shù)無窮積分判斂法: 對非負(fù)函數(shù),有. 非負(fù)函數(shù)無窮積分?jǐn)可⑿杂浄? 比較判斂法:設(shè)在區(qū)間 上函數(shù)和非負(fù)且，又對任何>,和在區(qū)間 上可積.則 < < ；. ( 證 )例4 判斷積分的斂散性. 比較原則的極限形式:設(shè)在區(qū)間 上函數(shù),.則> < < 與 共斂散;> < 時,< ；> , 時, . ( 證 ) Cauchy判斂法:(以為比較對象, 即取.以下> 0 )設(shè)對任何>, , 且, < ；若且, .Cauchy判斂法的極限形式:設(shè)是在任何有限區(qū)間上可積的

3、正值函數(shù).且 . 則> < ；> . ( 證 )例5 討論以下無窮積分的斂散性 :>> 1P324 E6Ex 1P331332 1，4，5. 其他判斂法: Abel判斂法:若在區(qū)間上可積,單調(diào)有界,則積分收斂.Dirichlet判斂法: 設(shè)在區(qū)間 上有界，在上單調(diào),且當(dāng)時，. 則積分收斂.例6 討論無窮積分與的斂散性. 例7 例7 證明下列無窮積分收斂 , 且為條件收斂 : , , . 例8 (乘積不可積的例) 設(shè), .由例6的結(jié)果,積分收斂.但積分卻發(fā)散.( 參閱例6 )Ex 1P332 6 ，18 .二. 瑕積分:先介紹函數(shù)的瑕點(diǎn).1. 瑕積分的定義:以點(diǎn)為瑕

4、點(diǎn)給出定義. 然后就點(diǎn)為瑕點(diǎn)、點(diǎn)為瑕點(diǎn)以及有多個瑕點(diǎn)的情況給出說明.例9 判斷積分的斂散性 .例10 討論瑕積分的斂散性,并討論積分的斂散性.2. 瑕積分與無窮積分的關(guān)系:設(shè)函數(shù)連續(xù), 為瑕點(diǎn). 有, 把瑕積分化成了無窮積分;設(shè), 有 ，把無窮積分化成了瑕積分.可見,瑕積分與無窮積分可以互化. 因此,它們有平行的理論和結(jié)果.例11 證明瑕積分當(dāng)時收斂.證, 由例6 , 該積分當(dāng)時收斂.1. 瑕積分判斂法:Th ( 比較原則 ) 1P329 Th10-23.推論1 ( Cauchy判別法 ) 推論2 ( Cauchy判別法的極限形式 ) 例12 判別下列瑕積分的斂散性 : ( 注意被積函數(shù)非正 ).例13 討論非正常積分的斂散性. 三. CR積分與R積分的差異: 1. R在上;但在區(qū)間 上可積, 在區(qū)間 上有界.例如函數(shù) 2.R,|R,但反之不確. R積分是絕對型積分. |在區(qū)間 上可積在區(qū)間 上可積,但反之不確.