數(shù)列與函數(shù)的極限1

1、g3.1030數(shù)列與函數(shù)的極限（1）一、知識回顧1、 數(shù)列極限定義 （1）定義：設an是一個無窮數(shù)列，a是一個常數(shù)，如果對于預先給定的任意小的正數(shù)，總存在正整數(shù)N，使得只要正整數(shù)n>N，就有|an-a|<，那么就稱數(shù)列an以a為極限，記作an=a。對前任何有限項情況無關。*（2）幾何解釋：設>0，我們把區(qū)間(a-，a+)叫做數(shù)軸上點a的鄰域；極限定義中的不等式|an-a|<也可以寫成a-<an<a+，即an(a-，a+)；因此，借助數(shù)軸可以直觀地理解數(shù)列極限定義：不論a點的鄰域怎么小，數(shù)列an從某一項以后的所有項都要進入這個鄰域中，也可以說點a的任意小的鄰域

2、(a-，a+)中含有無窮數(shù)列an的幾乎所有的項，而在這個鄰域之外至多存在有限個項，由此可以想像無窮數(shù)列an的項是多么稠密地分布在點a的附近。2、幾個常用極限C=C（常數(shù)列的極限就是這個常數(shù)） 設a>0，則特別地 設q(-1，1)，則qn=0；或不存在。若無窮等比數(shù)列叫無窮遞縮等比數(shù)列，其所有項的和（各項的和）為：3、數(shù)列極限的運算法則如果an=A，bn=B，那么(1)(an±bn)=A±B (2)(an·bn)=A·B (3)=(B0)極限不存在的情況是1、；2、極限值不唯一，跳躍，如1，-1，1，-1.注意：數(shù)列極限運算法則運用的前提:(1)參與

3、運算的各個數(shù)列均有極限;(2)運用法則,只適用于有限個數(shù)列參與運算,當無限個數(shù)列參與運算時不能首先套用.二.基本訓練1、=；=2、=_3已知a、b、c是實常數(shù)，且的值是（ ）A.B.C.D.64已知a、b都是實數(shù)，且a>0，如果，那么a與b的關系是（ ）A.a<2bB.a<2bC.a<bD.a<b<5.在等比數(shù)列中，a1>1,前項和Sn滿足，那么a1的取值范圍是（ ） （A）（1，） （B）（1，4） （C）（1，2） （D）（1，）6.等比數(shù)列an中，a1=1,前n項和為Sn，若則（ ）（A） （B） （C）2 (D)2 三、例題分析例1求下列極限(

4、1)(-)(2)(-)(3)(+)(4)(a1)例2：已知=5，求常數(shù)a、b、c的值。例3設數(shù)列a1，a2，an，的前n項的和Sn和an的關系是，其中b是與n無關的常數(shù)，且b1（1）求an和an1的關系式；（2）寫出用n和b表示an的表達式;（3）當0<b<1時，求極限例4、已知數(shù)例an前n項之和Sn=1+kan（k為不是0、1的常數(shù)）。(1)用n，k表示an； (2)若Sn=1，求k的取值范圍。例5、某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同，為保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不

5、應超過多少輛？備用:某縣地處水鄉(xiāng)，縣政府原計劃從今年起填湖圍造一部分生產(chǎn)和生活用地。但根據(jù)前幾年抗洪救災得到的經(jīng)驗教訓和環(huán)境保護、生態(tài)平衡的要求，準備重新研究修改計劃。為了尋求合理的計劃方案，需要研究以下問題：(1)若按原計劃填湖造地，水面的減少必然導致蓄水能力的下降。為了保證防洪能力不會下降，除了填湖費用外，還需要增加排水設備費用，所需經(jīng)費與當年所填湖造地的面積x（畝）的平方成正比，其比例系數(shù)為a。又知每畝水面的年平均經(jīng)濟收益為b元，填湖造地后的每畝土地的年平均經(jīng)濟收益為c元（其中a，b，c均為常數(shù)）。若按原計劃填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，試求所填面積x的最大值。(2)如果以每年1

6、%的速度減少填湖造地的新增面積，并為保證水面的蓄洪能力和環(huán)保要求，填湖造地的總面積永遠不能超過現(xiàn)有水面面積的，求今年填湖造地的面積最多只能占現(xiàn)有水面的百分之幾？解析：(1)收入不小于支出的條件可以表示為：cx-(ax2+bx)0即ax2+(b-c)x0，xax-(c-b) 0當c-b0時，x0，此時不能填湖造地當c-b>0時，0x，此時所填面積的最大值為畝。(2)設該縣現(xiàn)有水面為m畝，今年填湖造地的面積為x畝，則x+(1-1%)x+(1-1%)2x+(1-1%)nx+不等式左邊是無窮等比數(shù)列的和，故有，即x=0.25%m今年填湖造地的面積最多只能占有水面的0.25%。思維點拔此列應用數(shù)極

7、限解決實際問題。三、課堂小結1、極限的四則運算，要特別注意四則運算的條件是否滿足。2、極限運算最終轉化為qn=0(|q|<1)，=0，C=C(C為常數(shù))3、本節(jié)復習內(nèi)容是數(shù)列極限在代數(shù)，平面幾何、三角、解析幾何中的綜合應用，尤其要注意公式S=的運用。四、作業(yè)g3.1030數(shù)列與函數(shù)的極限（1）1已知a、b是互不相等的正數(shù)，則A.1 B.1或1 C.0 D.1或02an是(1+x)n展開式中含x2的項的系數(shù)，則等于 A.2 B.1 C. D.3已知數(shù)列an中，a1=1，2an+1=an(n=1，2，3)，則這個數(shù)列前n項和的極限是 A.2 B.C.3 D.4. （05廣東卷）已知數(shù)列滿足，

8、若，則 x1等于 ()（）（）（）（）5.（05湖南卷）已知數(shù)列l(wèi)og2(an1)（nN*）為等差數(shù)列，且a13，a25，則）=（）A2BC1D6.（05浙江卷）( )(A) 2 (B) 4 (C) (D)070<a<1,計算8首項為1，公比為q(q>0)的等比數(shù)列前n項和為Sn，則9s和t分別表示(1+2x)n和(1+3x)n展開式中各項系數(shù)和，則10有一系列橢圓，滿足條件：（1）中心在原點；（2）以x=2為準線；（3）離心率。則所有這些橢圓的長軸長之和為_.11. （05山東）9求極限：10已知Sn=2+kan為數(shù)列的前n項和，其中k為不等于1的常數(shù)。（1）求an；（2）若，求k的取值范圍.答案例1. (1) (2) (3)(4)當|a|<1時，原式=1；當|a|&