材力第3章：剪切及扭轉(zhuǎn)b

1、 一、概述一、概述實例實例： 方向盤的操縱桿 傳動軸 鉆頭、鉆桿 圓桿各橫截面繞桿的軸線作相對轉(zhuǎn)動；圓桿各橫截面繞桿的軸線作相對轉(zhuǎn)動； 桿表面上的縱向線變成螺旋線。桿表面上的縱向線變成螺旋線。受力特點：受力特點：圓截面直桿受到一對大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面圓截面直桿受到一對大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面垂直于桿的軸線的外力偶作用垂直于桿的軸線的外力偶作用變形特點：變形特點：Me Me 實際構件工作時除發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形外，還常伴隨有實際構件工作時除發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形外，還常伴隨有彎曲、拉壓等其他變形。彎曲、拉壓等其他變形。傳動軸的轉(zhuǎn)速傳動軸的轉(zhuǎn)速n ；某一輪上某一輪上所傳遞的功率所傳遞的功率P (kW)作用在

2、該輪上的外力偶矩作用在該輪上的外力偶矩Me。已知：已知：求：求：輪上外力偶矩輪上外力偶矩Me一分鐘內(nèi)所作的功等于一分鐘內(nèi)一分鐘內(nèi)所作的功等于一分鐘內(nèi)該輪所輸出的功：該輪所輸出的功：3e2 (Nm)60 10 (J)MnPMe1 Me2 Me3 n從動輪主動輪從動輪二二 傳動軸的外力偶矩傳動軸的外力偶矩 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖傳動輪的轉(zhuǎn)速傳動輪的轉(zhuǎn)速n 、功率、功率P 及其上的外力偶矩及其上的外力偶矩Me之之間的關系：間的關系：nPM260103e)mN(1055. 93nPMe1 Me2 Me3 n從動輪主動輪從動輪3e2 (Nm)60 10 (J)MnP若功率單位為馬力時，經(jīng)過單位換算可得

3、到)(7mkNnPm 主動輪為動力輪，其上外力偶的轉(zhuǎn)向與軸轉(zhuǎn)動方向相同；從動輪為阻力輪，其上的外力偶的轉(zhuǎn)動方向與軸轉(zhuǎn)動方向相反。mx截面法：mmT 扭轉(zhuǎn)內(nèi)力通常用T表示，稱為扭矩。0 xm由mT 0mT若保留右段，則有mT 即TT與大小相等，轉(zhuǎn)向相反mxmmTmT(作用力反作用力)為了表達方便，按變形特點規(guī)定符號按右手螺旋法將扭矩T表為矢量，若該矢量方向與截面外法線方向一致為正，反之為負。mTmTmTmT正負(a)(b)mxmmTmT無論保留左段還是右段，得到的扭矩大小、符號均相同，同時，若給出某截面扭矩的大小和符號，則無論保留左段還是右段，都能方便地畫出該截面的扭矩 (大小、轉(zhuǎn)向)。 已知A

4、輪為主動輪，B、C、D， 400kwPA， 120kwPPCBkwPD160試求1-1，2-2，3-3截面的扭矩。，軸的轉(zhuǎn)速為300轉(zhuǎn)/分，為從動輪。ABDC123123解：mkNmA73.1230040055. 9mkNmmCB82. 330012055. 9mkNmD09. 530016055. 9mAmCmBmDmBT1mBT2mCT3mD作軸的受力圖，利用截面法可求出扭矩mKNMTB82. 31mKNMMTCB64. 72mKNMTD09. 53此時，T的符號具有雙重意義。+5.093.82(kNm)TmAmCmBmD7.64mkNMTB82. 31mkNMMTCB64. 72mkNM

5、TD09. 53132mAmCmBmDmBT1mBT2mCT3mD 若將力偶用矢量表示，則與桿的拉、壓內(nèi)力計算完全類似。通常指通常指 的圓筒，可假定其的圓筒，可假定其應力沿壁厚方向均勻分布應力沿壁厚方向均勻分布100r內(nèi)力偶矩內(nèi)力偶矩扭矩扭矩TeMT 薄壁圓桿薄壁圓桿nnMeMe lT Me nnr0圓筒兩端截面之間相對轉(zhuǎn)過圓筒兩端截面之間相對轉(zhuǎn)過的圓心角的圓心角 相對扭轉(zhuǎn)角相對扭轉(zhuǎn)角 表面正方格子傾斜的角度表面正方格子傾斜的角度直角的改變量直角的改變量 切應變切應變 tanlr即lr/ lABDCMe Me 薄壁圓筒受扭時變形情況：薄壁圓筒受扭時變形情況：ABC D B1A1D1 C1 DD

6、1C1CMe Me 圓周線只是繞圓筒軸線轉(zhuǎn)動，其形狀、大小、間距圓周線只是繞圓筒軸線轉(zhuǎn)動，其形狀、大小、間距不變；不變；表面變形特點及分析：表面變形特點及分析：橫截面在變形前后都保持為形狀、大小未改橫截面在變形前后都保持為形狀、大小未改變的平面，沒有正應力產(chǎn)生變的平面，沒有正應力產(chǎn)生所有縱向線發(fā)生傾斜且傾斜程度相同。所有縱向線發(fā)生傾斜且傾斜程度相同。橫截面上有與圓軸相切的切應力且沿圓筒周橫截面上有與圓軸相切的切應力且沿圓筒周向均勻分布向均勻分布ABDCMe Me 1 1、橫截面上無正應力；、橫截面上無正應力；2 2、只有與圓周相切的切應力，、只有與圓周相切的切應力，且沿圓筒周向均勻分布；且沿圓

7、筒周向均勻分布； 薄壁圓筒橫截面上應力的分布規(guī)律分析：薄壁圓筒橫截面上應力的分布規(guī)律分析：ABDCABC D B1A1D1 C1 DD1C1C nnMe r0 xt 3 3、對于薄壁圓筒，可認為切、對于薄壁圓筒，可認為切應力沿壁厚也均勻分布。應力沿壁厚也均勻分布。薄壁圓筒橫截面上切應力的計算公式薄壁圓筒橫截面上切應力的計算公式：ATrA0dtArT0t靜力學條件靜力學條件因薄壁圓環(huán)橫截面上各點處的因薄壁圓環(huán)橫截面上各點處的切應力相等切應力相等02 rA 202 rTArArTA00dtt得得t dAnnMe r0 xr0dzdydzdy21tt21ttdzdydx1t組成一力偶xyzdxdyd

8、zt1t2t3t4平衡，可推測上、下兩個面中必有剪應t3, t4此處為以橫截面、徑截面以及與表面平行此處為以橫截面、徑截面以及與表面平行的面從受扭的等直圓桿表面處截取一微小的面從受扭的等直圓桿表面處截取一微小的正六面體的正六面體單元體單元體Me Me 0yF043dzdxdzdxtt43ttdydzdx3t組成一力偶31tt由平衡知dzdxdydzdydx31ttxyzdxdydzt1t2t3t40 xF單元體的兩個相互垂直的單元體的兩個相互垂直的截面上，與該兩個面的交截面上，與該兩個面的交線垂直的切應力數(shù)值相等，線垂直的切應力數(shù)值相等，且均指向且均指向( (或背離或背離) ) 兩截兩截面的交

9、線。面的交線。單元體在其兩對互相垂直的單元體在其兩對互相垂直的平面上只有切應力而無正應平面上只有切應力而無正應力的狀態(tài)稱為力的狀態(tài)稱為純剪切應力狀態(tài)純剪切應力狀態(tài)。tttt當剪應力不超過材料的彈性極限時，剪應力t與剪應變成正比：t=Gt G 材料的材料的切變模切變模量量或或剪切彈性模量剪切彈性模量ttG與t同量綱 G、E、 均為反映材料性質(zhì)的材料常數(shù)對各向同性材料 這三個量中，只有兩個獨立，它們滿足下列關系：2(1)EG思路思路：觀察變形，提出變形假設，導出應變與變形的關系(幾何關系)。利用材料本身的性質(zhì)應力-應變關系(稱為物理關系)，由應變規(guī)律得到應力分布規(guī)律。利用應力-內(nèi)力關系(靜力關系)

10、，可得到用內(nèi)力表示的應力公式。 各圓周線形狀、大小、相鄰兩圓周線的間距不變。 各縱向線近似于直線，只是傾斜了一個相同的角度。 軸表面變形前的矩形格，變形后成了平行四邊形格。m0m0從變形的可能性出發(fā)假設：桿橫截面像剛性平面一樣繞軸線轉(zhuǎn)動。(剛性平面假設剛性平面假設)此假設只適用于等直圓桿，假設的合理性被實驗結(jié)果和彈性理論所證實。設想，從軸上取出微段dxdx1 2xzyo1 21lxmm1212dxAAodmax截面2-2相對于截1-1將有一個相對的扭轉(zhuǎn)角d，根據(jù)剛性平面假設，截面2-2上的任意一半徑OA轉(zhuǎn)動到0A ，且保持直線。如將圓軸看成由無數(shù)個同心薄壁圓筒組成的，則在這一微段中，組成圓軸的

11、所有薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)角均相等。EGGG tanxddd)2/(xdddDGGETTO1O2ababdxDAdDGGEO1O2DAdxd現(xiàn)求橫截面上距圓心為現(xiàn)求橫截面上距圓心為 的的點處的切應變點處的切應變式中ddx為相對扭轉(zhuǎn)角沿桿長度的變化率，記為ddxdGGdxt上式表明：橫截面上的切應力隨著到圓心的距離 按直線規(guī)律變化，在同一半徑為的圓周上，各點的切應力均相等。根據(jù)剪切胡克定律稱作：單位長度扭轉(zhuǎn)角，對于給定的橫截面為常量。?ddx橫截面上剪應力的合成結(jié)果就是該橫截面上的扭矩。2AAddGdAGdAdxdxAdATt trdAttmaxdAo2pAIdA稱為橫截面的稱為橫截面的極慣性矩ab p

12、dTGIdx pdTdxGI pdTGdxIt在給定的橫截面上，最外緣剪應力最大maxmax PPTTIWtmaxPPIW 抗扭截面系數(shù)(1) 實心圓軸取距離圓心為，厚度為d的環(huán)形面積為dA于是，ddA2/2220 2dPAIdAd 324d43max32162PPdIdWddod(2) 空心圓軸24422 2()32DdPIdDd )1 (3244DDd 令34(1)162PPIDWDDodd等直圓軸在扭轉(zhuǎn)時，桿內(nèi)各點均處于純剪切狀態(tài)，其強度條件是最大工作剪應力不大于材料的許用剪應力。即 tmax t等直圓軸強度條件為 maxPTWt根據(jù)上式可進行三種不同情況的強度計算 校核強度 設計截面

13、計算許可荷載m a xPTWtm a xPTWtm a xPTWt單位長度扭轉(zhuǎn)角：pdTdxGI相距dx的兩橫截面的扭轉(zhuǎn)角pdTdxdxdxGIpTddxGI 相距L的兩橫截面的扭轉(zhuǎn)角為0LpLTddxGI 若在L長度內(nèi)，T、G、I p為常數(shù)，則上式可寫成：00LLpppTTTLdxdxGIGIGIGIp 抗扭剛度對比 軸向拉壓EANLl pTLGI公式形式相似，適用條件相同。圓軸扭轉(zhuǎn)pGITLipiiiGILTLpxGITdx0)( 為了保證軸的剛度，通常限制軸的最大單位長度扭轉(zhuǎn)角max剛度條件： max在工程中，的單位習慣上用 度/m,記為/m，而按 (3-16) 式求出的值單位為弧度/m

14、 ，此外，等直桿，(3-16) 式中的T 為 Tmax(3-17) 上式可改寫成 max180pTGI(3-18)：許用單位長度扭轉(zhuǎn)角通常一根軸必須同時滿足強度條件和剛度條件。按(3-18) 可進行三種不同形式的剛度計算：即 校核剛度max180 pTGI 設計截面max180 pTIG 計算許可荷載max 180pGIT 實心圓軸的直徑D=100mm，長l=1m，兩端受外力偶矩m0=14kNm作用，如圖所示。設材料的剪切彈性模量G=80GPa。ABzm0m0yC(1) 桿內(nèi)圖示截面上A、B、C三點處的剪應力數(shù)值及方向；(2) 桿內(nèi)最大剪應力t max(3) 兩端截面之間相對扭轉(zhuǎn)角試求：ABz

15、m0m0yC解：(1) 由截面法，易求得軸任意截面的扭矩均為T=m0MPapa4 .71104 .716ApAITt 31243105010321001014BpBITt MPa4 .7131243105010321001014CpCITt MPa7 .3531243102510321001014 截面扭矩為正號扭矩，由靜力等效的關系知：在整體圖中從右往左看，剪應力方向為tA水平向左，tB鉛垂向下，tC豎直向上。ACByzT(2) 因為等直圓軸，且各截面T相等，因此，軸內(nèi)最大剪應力即為任意截面最外緣的剪應力。MpaA4 .71 maxtt(3)pTLGI)(1078. 110321001080

16、11014212493弧度 一傳動軸，橫截面上最大扭矩為Tmax=1.5kNm，許用剪用力t=50MPa，試按下列兩種方案確定軸的截面尺寸，并比較其重量。(1) 橫截面為實心圓截面(2) 橫截面是內(nèi)外徑比 = 0.9的空心截面解解： 設計實心圓軸 maxmaxPTWtt max PTWt tmax3016 Td即 3633max0105014. 3105 . 11616tTdmmm5 .53105 .533mmd54 0取(2) 設計空心圓軸 max PTWt tmax43)1 (16 TD 34max)1 (16tTDmm76mmDd4 .689 . 0m3364310761050)9 .

17、01 (14. 3105 . 116(3) 比較重量同種材料，桿長相同，所以，重量比即為橫截面面積之比395. 0545 .687644 2222022ddD重量比空心軸遠比實心軸輕，說明空心軸材料利用率高。原因？ 有一外徑D=100mm，內(nèi)徑d=80mm的空心圓軸與一直徑d=80mm的實心圓軸用鍵聯(lián)接(如圖所示)。在A輪輸入功率為N1=300馬力。在B、C輪處分別負載N2=150馬力、N3=150馬力。若已知軸的轉(zhuǎn)速為n=300轉(zhuǎn)/分。材料的剪切彈性模量為G=80GPa，軸的扭轉(zhuǎn)許用剪應力t=100MPa，許用單位長度扭轉(zhuǎn)角=1/m ，要求：(1) 校核軸的強度和剛度(不考慮鍵的影響)(2)

18、 三個輪的位置應如何設置才較為合理(3) 經(jīng)合理布置各輪位置后，求C截面相對A截面轉(zhuǎn)角ABC2m1m1mD解： 計算外力偶mkNm730030071mkNmm5 . 3300150732 繪制扭矩圖m1m2m32m1m1m+T(kNm) 剛度校核“ AD”軸3maxmax961807 1018080 105.79 10ADpTGI 0.8661mm12444410)80100(32)(32I dDp式中461079. 5m“ DC”軸3maxmax961803.5 1018080 104.02 10DCpTGI 0.6241mm4612441002. 410803232I mdp式中經(jīng)校核，全軸剛度足夠。 強度校核CD軸：36maxmax63.5 1035 10100 10CDPTPaWt339638010100 101616PdWm式中 MPaMPa4035t經(jīng)校核CD軸強度足夠。式中34349801 ()1001 ()101616100PdWDD3610116mAD軸：36maxmax67 1060.3 1060.3116 10ADPTPaMPaWt經(jīng)校核AD軸強度不夠。403 .60maxttMPaMPa