概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)_73置信區(qū)間

1、11,1 20;(2) (), .0nin,xinxx 其其他他解解( (1) ) 樣本的樣本的似然函數(shù)似然函數(shù)為為 1( )();niif xL 2();3xf xdxEX 當(dāng)當(dāng)0 x i 0, 1ln,( )()lnln2(1)niixnL ，ni 1X1, X2, , Xn 是取自總體是取自總體X的一組樣本的一組樣本, 1,0(2)1();,0 xxf x ；其其它它求求 的極大似然估計(jì)量與矩估計(jì)量的極大似然估計(jì)量與矩估計(jì)量. 其中其中 0為未知參數(shù)為未知參數(shù), 例例 設(shè)總體設(shè)總體 X 的密度為的密度為故有故有對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)數(shù)似然函數(shù)：1( )lnln2niindLxd 對(duì)對(duì) 求導(dǎo)并令其

2、為求導(dǎo)并令其為 0 可得可得似然方程似然方程： = 0 , 解得解得極大似然估計(jì)量極大似然估計(jì)量： 12lnniinX 令令 121,3niiXXn ( (2) ) 解得矩估計(jì)量：解得矩估計(jì)量： 32.1XX 而區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)而區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷的這個(gè)缺陷.無偏性無偏性有效性有效性一致性一致性 估計(jì)量的期望值等于未知參數(shù)的真值估計(jì)量的期望值等于未知參數(shù)的真值. 為了使估計(jì)的結(jié)論更可信為了使估計(jì)的結(jié)論更可信, 需要引入?yún)^(qū)間估計(jì)需要引入?yún)^(qū)間估計(jì). 評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)評(píng)選標(biāo)準(zhǔn) 方差更小的無偏估計(jì)量方差更小的無偏估計(jì)量. 樣本樣本 k 階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩是總體是總體 k 階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩

3、 的無偏估計(jì)量的無偏估計(jì)量 ; 樣本方差樣本方差 S 2 是總體方差是總體方差 2 的無偏估計(jì)量的無偏估計(jì)量 ; 無偏估計(jì)量的函數(shù)未必是無偏估計(jì)量無偏估計(jì)量的函數(shù)未必是無偏估計(jì)量 在在 的所有線性無偏估計(jì)量中的所有線性無偏估計(jì)量中, 樣本均值樣本均值 X 是最有效的是最有效的. 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù). 使用使用起來把握不大起來把握不大. 點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值, 它沒有它沒有反映出這個(gè)近似值的誤差范圍反映出這個(gè)近似值的誤差范圍. 若我們根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本若我們根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本得到

4、魚數(shù)得到魚數(shù) N 的極大似然估計(jì)為的極大似然估計(jì)為 1000 條條. 一個(gè)可以想到的估計(jì)辦法是：若我們能給一個(gè)可以想到的估計(jì)辦法是：若我們能給出一個(gè)區(qū)間出一個(gè)區(qū)間,并告訴人們?cè)搮^(qū)間包含未知參數(shù)并告訴人們?cè)搮^(qū)間包含未知參數(shù) N的可靠度的可靠度 (也稱置也稱置信系數(shù)信系數(shù)). 但實(shí)際上但實(shí)際上, N 的真值可能大于的真值可能大于 1000 條條, 也也可能小于可能小于1000條條.7.3 7.3 單個(gè)正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間單個(gè)正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間 也就是說也就是說,給出一個(gè)區(qū)間，使我們能以一定的可靠度相信區(qū)給出一個(gè)區(qū)間，使我們能以一定的可靠度相信區(qū)間包含參數(shù)間包含參數(shù) 。湖中魚數(shù)的真

5、值湖中魚數(shù)的真值 這里所說的這里所說的“可靠程度可靠程度”是用概率來度是用概率來度量的量的, 稱為稱為置信概率置信概率，置信度置信度或或置信水平置信水平.習(xí)慣上把置信水平記作習(xí)慣上把置信水平記作 1- - , 這里這里 是一個(gè)很小的正數(shù)是一個(gè)很小的正數(shù). 譬如，在估計(jì)湖中魚數(shù)的問題中譬如，在估計(jì)湖中魚數(shù)的問題中, 根據(jù)置信水平根據(jù)置信水平1- - , 可以可以找到一個(gè)正數(shù)找到一個(gè)正數(shù) , 例如例如, 通?？扇≈眯磐ǔ？扇≈眯潘剿?= 0.95 或或 0.9 等等等等.,1)( P 根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本, 由給定的置信水平由給定的置信水平1- - , 我們求出一個(gè)的我們求出一個(gè)的

6、區(qū)間區(qū)間 , 使使),( 置信水平的大小是根據(jù)實(shí)際需要選定的置信水平的大小是根據(jù)實(shí)際需要選定的.如何尋找這種區(qū)間？如何尋找這種區(qū)間？， 1)| (P使得使得 我們選取未知參數(shù)的某個(gè)估計(jì)量我們選取未知參數(shù)的某個(gè)估計(jì)量 , 只要知道只要知道 的概率分布就可以確定的概率分布就可以確定 . 下面我們就來正式給出置信區(qū)間的定義下面我們就來正式給出置信區(qū)間的定義, 并通過例子說明求并通過例子說明求置信區(qū)間的方法置信區(qū)間的方法. 由不等式由不等式 |可以解出可以解出 ：這個(gè)不等式就是我們所求的這個(gè)不等式就是我們所求的置信區(qū)間置信區(qū)間 . ),( 代入樣本值所得的普通區(qū)間稱為代入樣本值所得的普通區(qū)間稱為置信區(qū)

7、置信區(qū)間的實(shí)現(xiàn)間的實(shí)現(xiàn). 1） 為兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量（由樣本完全確定的已知函數(shù)）；為兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量（由樣本完全確定的已知函數(shù)）； X1, X2, , Xn 是取自總體是取自總體 X 的樣本的樣本, ， 1)(P對(duì)給定值對(duì)給定值 0 1, ),(21nXXX ),(21nXXX ),( 滿足滿足 定義定義4 設(shè)設(shè) 是總體是總體 X 的待估參數(shù)的待估參數(shù), 和和分別稱為分別稱為置信下限置信下限和和置信上限置信上限. 一、一、 置信區(qū)間的概念置信區(qū)間的概念則稱隨機(jī)區(qū)間則稱隨機(jī)區(qū)間 為為 的的置信水平為置信水平為 1- - 的雙側(cè)置信區(qū)間的雙側(cè)置信區(qū)間 . 若統(tǒng)計(jì)量若統(tǒng)計(jì)量 和和 置信度置信度 置信概率置信概率

8、和),( 2） 是隨機(jī)區(qū)間是隨機(jī)區(qū)間, 并非一個(gè)實(shí)現(xiàn)以并非一個(gè)實(shí)現(xiàn)以 1- - 的概率覆蓋了的概率覆蓋了 要求置信區(qū)間的長度盡可能短要求置信區(qū)間的長度盡可能短. 估計(jì)的可靠度：估計(jì)的可靠度： 即即 P( ( ) )= 1- - 要盡可能大要盡可能大. 可靠度與精度是一對(duì)矛盾可靠度與精度是一對(duì)矛盾, 一般是在一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度保證可靠度的條件下盡可能提高精度. 估計(jì)的精度：估計(jì)的精度： 即要求區(qū)間置信的長度盡可能短即要求區(qū)間置信的長度盡可能短, 或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則.要求要求 以很大的可能被包含在置信區(qū)間內(nèi)以很大的可能被包含在置信區(qū)間內(nèi) .要求估

9、計(jì)盡量可靠要求估計(jì)盡量可靠. 置信水平的概率意義：置信水平的概率意義： 置信水平為置信水平為 0.95 是指是指 100 組樣本值所得置信區(qū)間的組樣本值所得置信區(qū)間的實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)中中, 約有約有95個(gè)能覆蓋個(gè)能覆蓋 , 而不是一個(gè)而不是一個(gè)實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)以以 0.95 的概率覆蓋了的概率覆蓋了 .估計(jì)要盡量可靠估計(jì)要盡量可靠,估計(jì)的精度要盡可能的高：估計(jì)的精度要盡可能的高： 只要知道只要知道 的概率分布的概率分布就可以確定就可以確定 . 如何根據(jù)實(shí)際樣本如何根據(jù)實(shí)際樣本, 由給定的置信水平由給定的置信水平1- - , 求出一個(gè)區(qū)間求出一個(gè)區(qū)間 , 使使 根據(jù)置信水平根據(jù)置信水平1- - , 可以可以找到

10、一個(gè)正數(shù)找到一個(gè)正數(shù) , 二、置信區(qū)間的求法二、置信區(qū)間的求法 ( (一一) ) 單個(gè)正態(tài)總體單個(gè)正態(tài)總體1. 均值均值 ( (1) ) 已知方差已知方差 2 1. 均值均值 1- - 2 ( (1) ) 已知方差已知方差 12, , 22 ( (二二) ) 兩個(gè)正態(tài)總體兩個(gè)正態(tài)總體 2. 方差方差 2 ( (2) ) 未知方差未知方差 2 ？ 1)(P),( ， 1)| (P使得使得 我們選取未知參數(shù)的某個(gè)估計(jì)量我們選取未知參數(shù)的某個(gè)估計(jì)量 , 由不等式由不等式 |可以解出可以解出 ：這個(gè)不等式就是我們所求的置信區(qū)間這個(gè)不等式就是我們所求的置信區(qū)間 . ),( 分布的分位數(shù)分布的分位數(shù) (

11、(1) ) 已知均值已知均值 ( (2) ) 未知均值未知均值 ( (2) ) 未知方差未知方差 12, , 22 2. 方差方差 12/ / 22 ( (1) ) 已知均值已知均值 1, 2 ( (2) ) 未知均值未知均值 1, 2 , ,但相等但相等! ! 對(duì)于給定的置信水平對(duì)于給定的置信水平, 根據(jù)估計(jì)量根據(jù)估計(jì)量U 的分布的分布, 確定確定一個(gè)區(qū)間一個(gè)區(qū)間, 使得使得 U 取值于該區(qū)間的概率為置信水平取值于該區(qū)間的概率為置信水平. X , S 2 分別是其樣本分別是其樣本均值和樣本方差均值和樣本方差, X N( ( , 2/ /n), ), 求參數(shù)求參數(shù) 、 2 的置信水平為的置信水

12、平為1- - 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 設(shè)設(shè) X1, , Xn 是總體是總體 X N( ( , 2) )的樣本的樣本, nXU/ 確定未知參數(shù)的確定未知參數(shù)的估計(jì)量及其函數(shù)的分布估計(jì)量及其函數(shù)的分布 是是 的無偏估計(jì)量的無偏估計(jì)量, 由分布求分位數(shù)由分布求分位數(shù) 即得置信區(qū)間即得置信區(qū)間( (一一) ) 單個(gè)正態(tài)總體單個(gè)正態(tài)總體置信區(qū)間的求法置信區(qū)間的求法( (1) )已知已知方差方差 2 時(shí)時(shí) 故可用故可用 X 作為作為 EX 的一個(gè)估計(jì)量的一個(gè)估計(jì)量, niiXnX11 N( (0, 1), ), 對(duì)給定的置信度對(duì)給定的置信度 1- - , ,按標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)按標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè) 分位數(shù)

13、的定義分位數(shù)的定義2/2/2/|/| unXunXunX ,)| (2/ uUP,21)(2/ u即即令令查正態(tài)分布表可得查正態(tài)分布表可得 u / 2 , 由由u / 2確確定置信區(qū)間定置信區(qū)間, ),(2/2/ unXunX 有了分布就可求出有了分布就可求出U 取值于任意區(qū)間的概率取值于任意區(qū)間的概率簡記為簡記為 2 unX 由抽樣分布定理知由抽樣分布定理知 1. 均值均值 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2/2/ unXunX 是求什么參數(shù)的置信區(qū)間是求什么參數(shù)的置信區(qū)間? 置信水平置信水平 1- - 是多少是多少? 1. 尋找未知參數(shù)尋找未知參數(shù) 的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì)量的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì)量 ( (X

14、1, X2, , Xn ) ); 確定待估參數(shù)估計(jì)量確定待估參數(shù)估計(jì)量函數(shù)函數(shù) U( ( ) ) 的分布的分布 ; 求置信區(qū)間首先要明確問題：求置信區(qū)間首先要明確問題：2. 對(duì)于給定的置信水平對(duì)于給定的置信水平 1- - , 由概率由概率 ( ( , ) ) 就是就是 的的 100( (1- - ) ) 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 一般步驟如下一般步驟如下: 3. 由分位數(shù)由分位數(shù)| |U| | x 確定置信區(qū)間確定置信區(qū)間 ( ( , , ) ). ,)| ( xUP )| (2/uUP21)(2/ u),(2/2/ unXunX 查表求出分布的分位數(shù)查表求出分布的分位數(shù) x , )1,0(/N

15、nXU niiXnX11 總體分布的形式是否已知總體分布的形式是否已知, ,是怎樣的是怎樣的類型類型, ,至關(guān)重要至關(guān)重要. . 某鄉(xiāng)農(nóng)民在聯(lián)產(chǎn)承包責(zé)任制前人均純收入某鄉(xiāng)農(nóng)民在聯(lián)產(chǎn)承包責(zé)任制前人均純收入 X( (單單位位: :元元), ), 求求 的置信水的置信水平為平為 0. 95 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. . 推行聯(lián)產(chǎn)承包責(zé)任制后推行聯(lián)產(chǎn)承包責(zé)任制后, 在該鄉(xiāng)抽得在該鄉(xiāng)抽得 n =16 的樣本的樣本, 且且 X N ( ( , 252). ). 解解 由于由于 =0.05 , 查正態(tài)分布表得查正態(tài)分布表得 例例1 得得 x =325元元, 假設(shè)假設(shè) 2 = 25 2 沒有變化沒有變化, 2/

16、|/| unX 96. 1|16/25325| 96. 1162532596. 11625325 即得置信區(qū)間即得置信區(qū)間 ( ( 312. 75 , 337. 25 ) ). . 同一置信水平下的置信區(qū)間不唯一同一置信水平下的置信區(qū)間不唯一, 如在上例中取如在上例中取 = 0. 01 + 0. 04 , )(1)(104. 001. 004. 010. 0uu 75. 1,33. 204. 001. 0 uu由正態(tài)分布上側(cè)分位數(shù)定義知由正態(tài)分布上側(cè)分位數(shù)定義知 )(101. 004. 0uUuP )()(104. 010. 0uu 查表知查表知 75. 1162532533. 2162532

17、5 u0. 025 = 1. 96 , 當(dāng)然區(qū)間長度越短的估計(jì)當(dāng)然區(qū)間長度越短的估計(jì), 精度就越高精度就越高. 其長度也不相等其長度也不相等. 區(qū)間長度為區(qū)間長度為 24. 25 長度為長度為 25. 5 誰是精度最高的？誰是精度最高的？ 由于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形是單峰且對(duì)稱的由于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形是單峰且對(duì)稱的, xx在保持面積不變的條件下在保持面積不變的條件下, 以對(duì)稱區(qū)間的長度為最短以對(duì)稱區(qū)間的長度為最短 ! ! 但但的長度是最短的的長度是最短的, l 與與 n , 的關(guān)系：的關(guān)系： ),(2/2/ unXunX 可知可知, 置信區(qū)間的長度置信區(qū)間的長度 l 為為: ,22

18、/ unl 由置信區(qū)間公式由置信區(qū)間公式 l 隨著隨著 的減小而增大的減小而增大; 20 若給定若給定 , l 隨著隨著 n 的增大而減小的增大而減小; 21)(2/ u)(x 同一置信水平下的置信區(qū)間不唯一同一置信水平下的置信區(qū)間不唯一. 其長度也不相等其長度也不相等. ),(2/2/ unXunX 故我們總?cè)∷鳛橹眯潘綖楣饰覀兛側(cè)∷鳛橹眯潘綖?1- - 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 若給定若給定 n , 且由于且由于 l 與與 成反比成反比, n減小的速度并不快減小的速度并不快, 例如例如, n 由由 100 增至增至 400 時(shí)時(shí), l 才能減小一半才能減小一半. 則則 u / 2 越

19、大越大, l 就越大就越大, 這時(shí)這時(shí) 就越小就越小. 10 ( (u / 2) )就越大就越大, 一般地一般地, , 在概率密度為單峰且對(duì)稱的情形下在概率密度為單峰且對(duì)稱的情形下, , a =- -b 對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的置信區(qū)間的長度為最短置信區(qū)間的長度為最短. .例例2: 某廠生產(chǎn)的零件長度某廠生產(chǎn)的零件長度 X 服從服從 N( , 0.04) ), ,現(xiàn)從現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取該廠生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取6個(gè)，長度測(cè)量值如下個(gè)，長度測(cè)量值如下( (單位單位: :毫米毫米): ): 14.6, 15.l, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1.求求: : 的置信系數(shù)為的置信系數(shù)為0.9

20、50.95的區(qū)間估計(jì)。的區(qū)間估計(jì)。 解：解：n = 6， = 0.05，z /2 = z0.025 = 1.96， 2 2=0.22 . . ,95.14X 通過計(jì)算，得. 11.15 ,79.14 ,22znXznX所求置信區(qū)間為所求置信區(qū)間為 故不能采用已知方差故不能采用已知方差的均值估計(jì)方法的均值估計(jì)方法 由于由于 與與 有關(guān)有關(guān), 但其解決的思路一致但其解決的思路一致. nSX 由于由于 S 2是是 2 的無偏估計(jì)量的無偏估計(jì)量, 查查 t 分布表確定上側(cè)分布表確定上側(cè) / /2 分位數(shù)分位數(shù)令令 ， 1)1(| 2ntTP T = ( (2) ) 未知方差未知方差),(2/2/ un

21、XunX nXU/ 用用 分布的分位數(shù)求分布的分位數(shù)求 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 故可用故可用 S 替代替代 的估計(jì)量的估計(jì)量: S t( (n- -1), ), ) )( ()1(, ) 1(22 ntnSXntnSX 即為即為 的置信度為的置信度為 1- - 的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì). ) 1() 1(22 ntnSXntnSX 2 時(shí)時(shí) 由抽樣分布定理知由抽樣分布定理知 實(shí)用價(jià)值更大實(shí)用價(jià)值更大 ! )1(|2/ ntnSX t / 2( (n - -1), ), 測(cè)定總體服從正態(tài)測(cè)定總體服從正態(tài)分布分布, 求總體均值求總體均值 的置信水平為的置信水平為 0. 95 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. .

22、解解 由于由于 / /2 =0. 025 , 查查 t 分布表得分布表得 例例3 為確定某種溶液中甲醛濃度為確定某種溶液中甲醛濃度, 且其且其 4 個(gè)獨(dú)立測(cè)量值的平均值個(gè)獨(dú)立測(cè)量值的平均值 x = 8. 34% %, 樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差 s= 0. 03% %, 2/|/| tnSX 182. 3|4/03. 034. 8| %)182. 3403. 034. 8(%)182. 3403. 034. 8( 即得置信區(qū)間即得置信區(qū)間自由度自由度 n- -1= 3, t 0. 025 = 3. 182, 將將 x = 8. 34 % % 代入代入 得得 %)182. 3403. 034. 8(,

23、%)182. 3403. 034. 8(.)%883. 8,%292. 8(即即, )1()1(222 nSn ( (2) ) 未知時(shí)未知時(shí) 1)1()1(222221nnP,)1()1()1()1(22122222 nSnnSn 所以所以 2的置信水平為的置信水平為1- - 的區(qū)間估計(jì)為的區(qū)間估計(jì)為因?yàn)橐驗(yàn)?2 的無偏估計(jì)為的無偏估計(jì)為 S 2 , 2. 方差方差 2 的的置信區(qū)間的求法置信區(qū)間的求法 由抽樣分布定理知由抽樣分布定理知 2 = 由由確定確定 2 分布的上側(cè)分布的上側(cè) /2 分位數(shù)分位數(shù).)1()1(,)1()1(2212222 nSnnSn 找一個(gè)含找一個(gè)含 與與S, 但不含

24、但不含 , 且分布已知的統(tǒng)計(jì)量且分布已知的統(tǒng)計(jì)量 為了計(jì)算簡單為了計(jì)算簡單, ,在概率密度不對(duì)稱的情形下在概率密度不對(duì)稱的情形下, ,如如 2 分布分布, ,F 分布分布, ,習(xí)慣上仍取習(xí)慣上仍取對(duì)稱的分位點(diǎn)對(duì)稱的分位點(diǎn)來計(jì)算未知參數(shù)的置信區(qū)間來計(jì)算未知參數(shù)的置信區(qū)間. . 并不是最短的置信區(qū)間并不是最短的置信區(qū)間 /2 /2)1()1()1(2222221 nSnn , )1(22 n , )1(221 n 測(cè)定總體服從正態(tài)測(cè)定總體服從正態(tài)分布分布, 求總體均值求總體均值 的置信水平為的置信水平為 0. 95 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. .解解 由于由于 / /2 =0. 025 , 查查 2

25、分布表得分布表得例例4 為確定某種溶液中甲醛濃度為確定某種溶液中甲醛濃度, 且其且其 4 個(gè)獨(dú)立測(cè)量值的平均值個(gè)獨(dú)立測(cè)量值的平均值 x = 8. 34% %, 樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差 s= 0. 03% %, 故故 2 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為自由度自由度 n- -1= 3, 得得將將 s 2 = 0. 0009代入代入，)%0125. 0,%00029. 0(.)%112. 0,%017. 0(求總體方差求總體方差 2和標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差 的置信水平為的置信水平為 0. 95 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. .，348.9)3(2025.0 , )1()1()1(2222221 nSnn ,216.000

26、09.03348.90009.032 故故 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為,216.0)3(2025.01 在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常會(huì)遇到兩個(gè)正態(tài)總體的區(qū)間在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常會(huì)遇到兩個(gè)正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)問題。估計(jì)問題。 于是，評(píng)價(jià)新技術(shù)的效果問題，就歸結(jié)為研究于是，評(píng)價(jià)新技術(shù)的效果問題，就歸結(jié)為研究兩個(gè)正態(tài)總體均值之差兩個(gè)正態(tài)總體均值之差 1- - 2 的問題。的問題。 例如：考察一項(xiàng)新技術(shù)對(duì)提高產(chǎn)品的某項(xiàng)質(zhì)量指例如：考察一項(xiàng)新技術(shù)對(duì)提高產(chǎn)品的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的作用標(biāo)的作用，將實(shí)施，將實(shí)施新技術(shù)前的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)看成正新技術(shù)前的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)看成正態(tài)總體態(tài)總體 N( 1, 12)，實(shí)施，實(shí)施新技術(shù)后產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)看

27、成新技術(shù)后產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)看成正態(tài)總體正態(tài)總體 N( 2, 22)。 設(shè)設(shè) X1, , Xm分別是總體分別是總體 X N( ( 1 1 , 1 12) )的樣本的樣本, Y1, , Yn分別分別是總體是總體 Y N( ( 2 2 , 2 22) )的樣本的樣本, X , Y 分別是總體分別是總體 X 和和 Y 的樣本均值的樣本均值, 求參數(shù)求參數(shù) 1- - 2 和和 12/ / 22 的的置信水平為置信水平為 1- - 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 由于由于X , Y 分別是分別是 1, , 2 的無偏估計(jì)量的無偏估計(jì)量, 即得置信區(qū)間即得置信區(qū)間( (二二) ) 兩個(gè)正態(tài)總體兩個(gè)正態(tài)總體( (1) )

28、已知已知方差方差 12, , 22 時(shí)時(shí) 故可用故可用 X - -Y 作為作為 1- - 2 的一個(gè)估計(jì)量的一個(gè)估計(jì)量, N( (0, 1), ), 對(duì)給定的置信度對(duì)給定的置信度 1- - , ,22221212/212/2/2|uuuX YX YUmnmn,21)(2/ u令令查正態(tài)分布表可得查正態(tài)分布表可得 u / 2 , 由抽樣分布定理知由抽樣分布定理知 1. 均值均值 1- - 2 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 SX2 , SY2分別是總體分別是總體 X 和和 Y 的樣本方差的樣本方差, 置信區(qū)間的求法置信區(qū)間的求法 nmYXU222121)( 22221212/2/2(),uuX YX Ym

29、nmn 設(shè)設(shè) X1, , Xm分別是總體分別是總體 X N( ( 1 1 , 1 12) )的樣本的樣本, Y1, , Yn分別分別是總體是總體 Y N( ( 2 2 , 2 22) )的樣本的樣本, X , Y 分別是總體分別是總體 X 和和 Y 的樣本均值的樣本均值, 求參數(shù)求參數(shù) 1- - 2 和和 12/ / 22 的的置信水平為置信水平為 1- - 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 即得置信區(qū)間即得置信區(qū)間( (二二) ) 兩個(gè)正態(tài)總體兩個(gè)正態(tài)總體置信區(qū)間的求法置信區(qū)間的求法 ( (2) )未知未知方差方差 12, , 22 , 但但 12 = 22 = 2時(shí)時(shí) 仍用仍用 X - - Y 作為

30、作為 1- - 2 的一個(gè)估計(jì)量的一個(gè)估計(jì)量, t( (n+ +m- -2), ), 對(duì)給定的置信度對(duì)給定的置信度 1- - , ,1111)2(|2/212/2/nmStYXnmStYXmntT 查查 t 分布表可得分布表可得 由抽樣分布定理知由抽樣分布定理知 1. 均值差均值差 1- - 2 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 SX2 , SY2分別是總體分別是總體 X 和和 Y 的樣本方差的樣本方差, nmSYXT11)(21 2)1()1(22 nmSnSmYX)1111(2/2/nmStYXnmStYX ，t / 2( (n+ +m- -2),), 例例5：某公司利用兩條自動(dòng)化流水線灌裝礦泉水。設(shè)

31、這兩條流某公司利用兩條自動(dòng)化流水線灌裝礦泉水。設(shè)這兩條流水線所裝礦泉水的體積水線所裝礦泉水的體積 (單位單位:毫升毫升) XN( 1, 2) 和和 YN( 2, 2)。現(xiàn)從生產(chǎn)線上分別抽取?，F(xiàn)從生產(chǎn)線上分別抽取 X1, X2, X12 和和 Y1, Y2, , Y17，樣本均值與樣本方差分別為樣本均值與樣本方差分別為:. 7 . 4 7 .499 4 . 2 , 1 .5012221SYSX，；.94. 1 217127 . 4) 117(4 . 2) 112(S求求 1 1- - 2 2 的置信系數(shù)為的置信系數(shù)為0.95的區(qū)間估計(jì)。的區(qū)間估計(jì)。解：解：m=12, n=17, = 0.05，且

32、，且查查 t 分布表分布表，得得 tm+n- -2( /2) = t27(0.025)=2.05.因此，置信度為因此，置信度為 1- 的置信區(qū)間：的置信區(qū)間：. 2.901 0.101 )2/( 112，nmStYXnm例例6 (比較棉花品種的優(yōu)劣比較棉花品種的優(yōu)劣)：假設(shè)用甲、乙兩種棉花：假設(shè)用甲、乙兩種棉花紡出的棉紗強(qiáng)度分別為紡出的棉紗強(qiáng)度分別為 XN( 1, 2.182)和和Y N( 2, 1.762)。試驗(yàn)者從這兩種棉紗中分別抽取樣本。試驗(yàn)者從這兩種棉紗中分別抽取樣本 X1, X2 , X200 和和 Y1, Y2, , Y100，樣本均值分別為，樣本均值分別為: 求求 1 1- -

33、2 2 的置信系數(shù)為的置信系數(shù)為 0.95 的的區(qū)間估計(jì)。區(qū)間估計(jì)。 。， 76. 5 32. 5YX解解: 1=2.18, 2=1.76, m=200, n=100, =0.05, 1- - 2 的置信系數(shù)為的置信系數(shù)為 1- - 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為:. 0.019 ，899. 0)/()/(22212/nmuYX設(shè)同上設(shè)同上, 求參數(shù)求參數(shù) 12/ / 22 的置信水平為的置信水平為 1- - 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 即得即得 12/ / 22 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 ( (二二) ) 兩個(gè)正態(tài)總體兩個(gè)正態(tài)總體置信區(qū)間的求法置信區(qū)間的求法 ( (2) )未知未知 1 , 2 時(shí)時(shí) F(

34、 (m- -1, n- -1), ), 對(duì)給定的置信度對(duì)給定的置信度 1- - , ,) 11(1) 11(1) 1, 1(|2/1222122212/22212/ n,mFSSn,mFSSnmFF 查查 F 分布表可得上側(cè)分位數(shù)分布表可得上側(cè)分位數(shù)由抽樣分布定理知由抽樣分布定理知 2. 方差比方差比 12/ / 22 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 222212 YXSSF ) 11(1,) 11(1(2/122212/2221 n,mFSSn,mFSS F / 2( (m- -1, n- -1),), F1- - / 2( (m- -1, n- -1), ), 求兩總體方差比求兩總體方差比 12/

35、/ 22 的的置信水平為置信水平為 0. 90 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. .稱重后所的樣本方差分別為稱重后所的樣本方差分別為 sx2= 0.0125, sy2= 0. 01, 假定所假定所裝番茄醬的重量裝番茄醬的重量 X 與與 Y 分別服從正態(tài)分布分別服從正態(tài)分布N( ( 1 1 , 1 12) )和和 N( ( 2 2 , 2 22) ), 解解 由于由于 / /2 =0. 05 , 查查 F 分布表得分布表得 例例7 某廠用兩條流水線生產(chǎn)番茄醬小包裝某廠用兩條流水線生產(chǎn)番茄醬小包裝, 現(xiàn)從兩條流水線上各隨機(jī)抽取樣本容量分別為現(xiàn)從兩條流水線上各隨機(jī)抽取樣本容量分別為 m=6 , n=7 的樣本

36、的樣本, 將條件代入得將條件代入得 12/ / 22 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 ( ( 0. 2847 , 6. 1875 ).).自由度自由度 m- -1=5, n- -1= 6, ，39. 4)6, 5(05. 0 F,954.1)5 , 6(1)6, 5(05. 005. 01 FF,) 11(1) 11(12/1222122212/2221 n,mFSSn,mFSS 主要根據(jù)主要根據(jù)抽樣分布抽樣分布Th( (二二) )兩個(gè)總體兩個(gè)總體 由由 的概率分布和置信水平的概率分布和置信水平 1- - , 確定其相應(yīng)的確定其相應(yīng)的分位數(shù)分位數(shù) x / /2 ; 小結(jié)小結(jié)正態(tài)總體正態(tài)總體置信區(qū)間的求法置信區(qū)間的求法 ( (一一) )單個(gè)總體單個(gè)總體均值均值 已知方差已知方差 2 均值差均值差 1- - 2 已知方差已知方差 12, , 22 方差方差 2 未知方差未知方差 2 . ),( 解得解得所求的置信區(qū)間所求的置信區(qū)間 根據(jù)未知參數(shù)的無偏估計(jì)量根據(jù)未知參數(shù)的無偏估計(jì)量, 確定其某個(gè)估計(jì)量確定其某個(gè)估計(jì)量 ; 由不等式由不等式 ,| x 已知均值已知均值 未知均值未知均值 未知方差未知方差 12, , 22 方差比方差比 12/ / 22 已知均值已知均值 1, 2 未知均值未知均值 1, 2 但相等但相等!