新高中數(shù)學(xué)直線與圓的方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。高中數(shù)學(xué)之直線與圓的方程一、概念理解：1、傾斜角：找a：直線向上方向、X軸正方向;平行：a=0；范圍：0W“V180。2、斜率：找k:k=tana（aw90）;垂直：斜率k不存在；范圍：斜率kCR。3、斜率與坐標(biāo)：ktany一y2y2-見(jiàn)X1X2X2X1構(gòu)造直角三角形（數(shù)形結(jié)合）；斜率k值于兩點(diǎn)先后順序無(wú)關(guān)；注意下標(biāo)的位置對(duì)應(yīng)。4、直線與直線的位置關(guān)系:11:yk1Xb1,l2:yk2Xb2相交：斜率kik2（前提是斜率都存在）特例垂直時(shí)：11x軸，即冗不存在，則k20;斜率都存在時(shí)：k1?k21。平行：斜率都存在時(shí)：k1

2、k21blb2；斜率都不存在時(shí)：兩直線都與X軸垂直。重合：斜率都存在時(shí)：k1k2,b1b2；二、方程與公式：1、直線的五個(gè)方程：點(diǎn)斜式：yy0k（xx0）將已知點(diǎn)（x0,y0）與斜率k直接帶入即可;斜截式：ykxb將已知截距（0,b）與斜率k直接帶入即可;兩點(diǎn)式：一匹殳,（其中X1x2,y1y2）J各已知兩點(diǎn)（X）,y）,（X2,y?）直接y2y1X2X1帶入即可；截距式：Xy1將已知截距坐標(biāo)（a,0）,（0,b）直接帶入即可；ab一般式：AxByC0,其中A、B不同日寸為0用得比較多的是點(diǎn)斜式、斜截式與一般式。2、求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)：直接將兩直線方程聯(lián)立，解方程組即可放棄很簡(jiǎn)單，但你堅(jiān)持到

3、底的樣子一定很酷!所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。3、距離公式:兩點(diǎn)間距離:P1P2/、2/、2.(xiX2)(yiy2)點(diǎn)到直線距離:AxoBy。C平行直線間距離:CiC2IA22AAB4、中點(diǎn)、三分點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知兩點(diǎn)A(Xi,yjB(X2,y2)AB中點(diǎn)a。,)：(當(dāng),三)AB三分點(diǎn)(s1t),(s2,t2):(空一x放棄很簡(jiǎn)單，但你堅(jiān)持到底的樣子一定很酷!,2y一y2)靠近A的三分點(diǎn)坐標(biāo)33(Xl2X2,yi2y2)靠近B的三分點(diǎn)坐標(biāo)33中點(diǎn)坐標(biāo)公式，在求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、第四章圓與方程中，經(jīng)常用到。三分點(diǎn)坐標(biāo)公式，用得較少，多見(jiàn)于大題難題。5.直線的對(duì)稱(chēng)

4、性問(wèn)題已知點(diǎn)關(guān)于已知直線的對(duì)稱(chēng)：設(shè)這個(gè)點(diǎn)為P(X。，y。)，對(duì)稱(chēng)后的點(diǎn)坐標(biāo)為P(x,y),則pp的斜率與已知直線的斜率垂直，且pp的中點(diǎn)坐標(biāo)在已知直線上。三、解題指導(dǎo)與易錯(cuò)辨析：i、解析法(坐標(biāo)法)建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系，依據(jù)幾何性質(zhì)關(guān)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)；將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果，翻譯成幾何中“所求或所要證明”2、動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離“最值問(wèn)題”：依據(jù)代數(shù)關(guān)系(點(diǎn)在直線或曲線上)，進(jìn)行有關(guān)代數(shù)運(yùn)算，并得出相關(guān)結(jié)果;PAPB的最小值：找對(duì)稱(chēng)點(diǎn)再連直線，如右圖所示:PAPB的最大值：三角形思想“兩邊之差小于第三邊”P(pán)A2PB2的最值：函數(shù)思想“轉(zhuǎn)換成一元二次函數(shù)，找對(duì)稱(chēng)軸”3、直線必過(guò)點(diǎn)：含有一個(gè)參數(shù)-y

5、=(a-i)X+2a+i=y=(a-i)(X+2)+3令：X+2=0=必過(guò)點(diǎn)(-2,3)含有兩個(gè)參數(shù)-(3m-n)X+(m+2n)y-n=0=m(3X+y)+n(2y-X-i)=0令：3X+y=0、2y-X-i=0聯(lián)立方程組求解=必過(guò)點(diǎn)(-i/7,3/7)4、易錯(cuò)辨析：討論斜率的存在性：解題過(guò)程中用到斜率，一定要分類(lèi)討論：斜率不存在時(shí)，是否滿(mǎn)足題意；斜率存在時(shí)，斜率會(huì)有怎樣關(guān)系。注意“截距”可正可負(fù)，不能“錯(cuò)認(rèn)為”截距就是距離，會(huì)丟解；(求解直線與坐標(biāo)軸圍成面積時(shí)，較為常見(jiàn)。)所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。直線到兩定點(diǎn)距離相等，有兩種情況：直線與兩定點(diǎn)

6、所在直線平行；直線過(guò)兩定點(diǎn)的中點(diǎn)。圓的方程1,定義：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)以定長(zhǎng)繞一周所形成的圖形叫做圓，其中定點(diǎn)稱(chēng)為圓的圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑.2,圓的方程表示方法：第一種：圓的一般方程x2y2DxEyF0其中圓心cD,I22半徑rD2E24F.2當(dāng)D2E24F0時(shí)，方程表示一個(gè)圓,當(dāng)D2E24F0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)當(dāng)D2E24F0時(shí)，方程無(wú)圖形.D_E2,2第二種：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2,其中點(diǎn)C(a,b)為圓心，r為半徑的圓第三種：圓的參數(shù)方程一一圓的參數(shù)方程：xarC0S(為參數(shù))ybrsin注：圓的直徑方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)(xx1)(xx2)(yy1)(

7、yy2)03.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：給定點(diǎn)M(x0,y)及圓C:(xa)2(yb)2r2.M在圓C內(nèi)(x0a)2(y0b)2r2M在圓C上(x0a)2(y0b)2r2M在圓C外(x0a)2(y0b)2r24,直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)圓圓C：(xa)2(yb)2r2(r0)；直線l：AxByC0(A2B20)；圓心C(a,b)到直線l的距離dAaBbCdr時(shí)，l與C相切；dr時(shí)，l與C相交；,dr時(shí)，l與C相離.5、圓的切線方程：一般方程若點(diǎn)(x,v。)在圓上，則(x-a)(x-a)+(y-b)(y。-b)=R2,特別地,過(guò)圓x2y2r2上一點(diǎn)P(x0,yO)的切線方程為xxy0yr2.(注：該點(diǎn)在圓

8、上，則切線方程只有一條)放棄很簡(jiǎn)單，但你堅(jiān)持到底的樣子一定很酷!所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。yiV。k（XiX0）若點(diǎn)（X0,y0）不在圓上，圓心為（a,b）則|by1k（aX1）,聯(lián)立求出k切線方程.（注：.R21過(guò)圓外的點(diǎn)引切線必定有兩條，若聯(lián)立的方程只有一個(gè)解，那么另外一條切線必定是垂直于X軸的直線。）6 .圓系方程：過(guò)兩圓的交點(diǎn)的圓方程：假設(shè)兩圓方程為：G:x2+y2+Dx+Eiy+Fi=0G:x2+y2+D2x+Ey+F2=0則過(guò)兩圓的交點(diǎn)圓方程可設(shè)為：x2+y2+Dx+Ey+Fi+入（x2+y2+Dx+Ey+F2）=0過(guò)兩圓的交點(diǎn)的直線方

9、程：x2+y2+Dx+Eiy+Fi-x2+y2+Bx+Ey+F2=0（兩圓的方程相減得到的方程就是直線方程）7 .與圓有關(guān)的計(jì)算：弦長(zhǎng)的計(jì)算：AB=2*VR2-d2其中R是圓的半徑，d等于圓心到直線的距離AB=（Vi+k2）*IXi-X2I其中k是直線的斜率，Xi與又是直線與圓的方程聯(lián)立之后得到的兩個(gè)根過(guò)圓內(nèi)的一點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)是垂直于過(guò)圓心的直線圓內(nèi)的最長(zhǎng)弦是直徑8 .圓的一些最值問(wèn)題圓上的點(diǎn)到直線的最短距離=圓心到直線的距離減去半徑圓上的點(diǎn)到直線的最長(zhǎng)距離=圓心到直線的距離加上半徑假設(shè)P（x,y）是在某個(gè)圓上的動(dòng)點(diǎn)，則（x-a）/（y-b）的最值可以轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與該點(diǎn)（a,b）的斜率問(wèn)題，即

10、先求過(guò)該定點(diǎn)的切線，得到的斜率便是該分式的最值。假設(shè)P（x,y）是在某個(gè)圓上的動(dòng)點(diǎn)，則求x+y或x-y的最值可以轉(zhuǎn)化為：設(shè)T=x+y或T=x-y,在圓上找到點(diǎn)（X,Y）使得以丫=*+丁或丫=乂-丁在Y軸上的截距最值化。9 .圓的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題已知圓關(guān)于已知的直線對(duì)稱(chēng)，則對(duì)稱(chēng)后的圓半徑與已知圓半徑是相等的，只需求出已知圓的圓心關(guān)于該直線對(duì)稱(chēng)后得到的圓心坐標(biāo)即可。若某條直線無(wú)論其如何移動(dòng)都能平分一個(gè)圓，則這個(gè)直線必過(guò)某定點(diǎn)，且該定點(diǎn)是圓的圓心坐標(biāo)圓錐曲線橢圓橢圓：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)（定長(zhǎng)大于兩定點(diǎn)間距離）的點(diǎn)的集合i、定義：*11刑2a（2a例）222、標(biāo)準(zhǔn)方程：4y2-i（ab0）或ab第

11、二定義:PFce(0a22方方i(ab0)；ei)所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。,，xacos,一、一3、參數(shù)方程（為參數(shù)）幾何意義：離心角ybsin4、幾何性質(zhì)：（只給出焦點(diǎn)在x軸上的的橢圓的幾何性質(zhì)）、頂點(diǎn)（a,0）,（0,b）、焦點(diǎn)（c,0）c、離心率ec（0e1）a2a傕線：x（課改后對(duì)準(zhǔn)線不再要求，但題目中偶爾給出）c2.5、焦點(diǎn)二角形面積：SpF1F2btan-（設(shè)F1PF2）（推導(dǎo)過(guò)程必須會(huì)）6、橢圓面積：與ab（了解即可）7、直線與橢圓位置關(guān)系：相離（0）;相交（0）;相切（0）判定方法：直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式判斷根的個(gè)數(shù)8

12、、橢圓切線的求法2x1）切點(diǎn)（x0y0）已知時(shí)，a2yb21(a0)切線駕aYoY1b22y2a1(a0)切線yoy2aXoX1b22x2）切線斜率k已知時(shí)，ay21(a0)切線kxa2k2b29、焦半徑:橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離2x2a2yb21(ab0)2ab21(ab0)2xb21(a0)切線kxaex0（左加右減）aey0（下加上減）雙曲線一八PFc1、定義：PF1PF22a第二定義：e（e1）da放棄很簡(jiǎn)單，但你堅(jiān)持到底的樣子一定很酷!所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。2、標(biāo)準(zhǔn)方程:0,b0)（焦點(diǎn)在x軸）參數(shù)方程:2y_2a2x21(ab0,b0)

13、（焦點(diǎn)在y軸）sectan為參數(shù)）用法:可設(shè)曲線上任一點(diǎn)P(asec,btan)3、幾何性質(zhì)頂點(diǎn)（a,0)焦點(diǎn)（c,0)b22ac2xy2ab2yx2ab準(zhǔn)線x漸近線1(a221(a20,b0,b0)0)bx或a4、特殊雙曲線、等軸雙曲線2x-2a漸近線2x、雙曲線wab21的共軻雙曲線2x2ab2性質(zhì)1：雙曲線與其共軻雙曲線有共同漸近線性質(zhì)2:雙曲線與其共軻雙曲線的四個(gè)焦點(diǎn)在同一圓上5、直線與雙曲線的位置關(guān)系相離（0）;相切（0）；相交（0)判定直線與雙曲線位置關(guān)系需要與漸近線聯(lián)系一起0時(shí)可以是相交也可以是相切6、焦半徑公式2x2ab21(a0,b0)點(diǎn)P在右支上rex0a（左加右減）點(diǎn)P在

14、左支上r（ex0a）（左加右減）所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。22yx1(a0,b0)點(diǎn)P在上支上rey0a(下加上減)ab點(diǎn)P在上支上r(eyoa）（下加上減）7、雙曲線切線的求法切點(diǎn)P（xo,yo）已知xayb21(a0,b0)切線XoX2ayoyb222y2x21(a0,b0)切線yoy2XoX,2abab22112x切線斜率K已知2a2y_b2kx,a2k2b2(k8、焦點(diǎn)三角形面積：SPFiF2y2akxa2b2k2(k-)ab2cot-2F1PF2)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離設(shè)為P(-,0)2e1對(duì)稱(chēng)軸：y軸拋物線1、定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn)和一定直線的

15、距離相等的點(diǎn)的集合（軌跡）2、幾何性質(zhì)：P幾何意義：焦準(zhǔn)距標(biāo)準(zhǔn)方程：y22px（p0）K圖像：,m*范圍：x0對(duì)稱(chēng)軸：x軸頂點(diǎn)：（0,0）焦點(diǎn)：（20）2離心率：e1準(zhǔn)線：x-2標(biāo)準(zhǔn)方程：x22py（p0）放棄很簡(jiǎn)單，但你堅(jiān)持到底的樣子一定很酷!所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。定點(diǎn)：（0,0）焦點(diǎn)：（0,）2離心率：e1準(zhǔn)線：yE(0,0)(0,P)2e123、參數(shù)方程x2pt2y2ptt為參數(shù)方程）2y2px(p0)4、通徑：過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱(chēng)軸的弦橢圓：雙曲線通徑長(zhǎng)2b2拋物線通徑長(zhǎng)2P5、直線與拋物線的位置關(guān)系1）相交（有兩個(gè)交點(diǎn)或一個(gè)交點(diǎn)）相切（

16、有一個(gè)交點(diǎn)）；3）相離（沒(méi)有交點(diǎn)）6、拋物線切線的求法1切點(diǎn)P(x0,y0)已知:2y2px(p0)的切線；y0yp(xx)2）切線斜率K已知：y22px(p0):y2px(p0)：ykx2kkx2k2py(p0)：ykxpk222py(p0):ykxpk2此類(lèi)公式填空選擇或解答題中（部分）可作公式直接應(yīng)用附加：弦長(zhǎng)公式：ykxb與曲線交與兩點(diǎn)A、B則解題指導(dǎo)：軌跡問(wèn)題：（一）求軌跡的步驟1、建模：設(shè)點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)曲線上任一點(diǎn)p（x,y）2、立式：寫(xiě)出適條件的p點(diǎn)的集合3、代換：用坐標(biāo)表示集合列出方程式f（x,y）=04、化簡(jiǎn)：化成簡(jiǎn)單形式，并找出限制條件5、證明：以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)

17、在曲線上（二）求軌跡的方法放棄很簡(jiǎn)單，但你堅(jiān)持到底的樣子一定很酷!所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。1、直接法：求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)，按五步去直接求出軌跡2、定義法：利用已知或幾何圖形關(guān)系找到符合圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義3、轉(zhuǎn)移代入法：適用于一個(gè)動(dòng)點(diǎn)隨另一曲線上的動(dòng)點(diǎn)變化問(wèn)題4、交軌法：適用于求兩條動(dòng)直線交點(diǎn)的軌跡問(wèn)題。用一個(gè)變量分別表示兩條動(dòng)直線，然后聯(lián)立，消去變量即可。5、參數(shù)法：用一個(gè)變量分別表示所求軌跡上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，聯(lián)立消參。6、同一法：利用兩種思維分別求出同一條直線，再參考參數(shù)法，找到軌跡方程。弦長(zhǎng)問(wèn)題：|AB|=.(1k2)(x1x2)2

18、4x1x2。弦的中點(diǎn)問(wèn)題：中點(diǎn)坐標(biāo)公式-注意應(yīng)用判別式。I.求曲線的方程1.曲線的形狀已知這類(lèi)問(wèn)題一般可用待定系數(shù)法解決。例1(1994年全國(guó))已知直線L過(guò)原點(diǎn)，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上。若點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(0,8)關(guān)于L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在C上，求直線L和拋物線C的方程。分析：曲線的形狀已知，可以用待定系數(shù)法。設(shè)出它們的方程，L：y=kx(kw0),C:y2=2px(p0).設(shè)A、B關(guān)于L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為A/、B/,則利用對(duì)稱(chēng)性可求得它們的坐標(biāo)分別為：k212k16k8(k21)A1,d),d(一,空一1)。因?yàn)锳/、B/均在拋物線上，代入，消去p,k1k1k1k1得：k2-k-

19、1=0.解得：k=-5,p=2,5.25所以直線L的方程為：y=-x,拋物線C的方程為y2=9、5x.52.曲線的形狀未知-求軌跡方程例3(1994年全國(guó))已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q(2,0)和圓C:x2+y2=1,動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與|MQ|的比等于常數(shù)(0),求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么曲線。分析：如圖，設(shè)MNIW圓C于點(diǎn)N,則動(dòng)點(diǎn)M組成的放棄很簡(jiǎn)單，但你堅(jiān)持到底的樣子一定很酷！所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。集合是:P=M|MN|=|MQ|,由平面幾何知識(shí)可知：|MN|2二|MO|2-|ON|2=|MO|2-1,將M點(diǎn)坐標(biāo)代入,可得：(2-1)

20、(x2+y2)-42x+(1+42)=0.當(dāng)=1時(shí)它表示一條直線；當(dāng)wl時(shí)，它表示圓。這種方法叫做直接法。n.研究圓錐曲線有關(guān)的問(wèn)題1.有關(guān)最值問(wèn)題例6(1990年全國(guó))設(shè)橢圓中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x上，離心率，已知點(diǎn)P(0,3)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是72求這個(gè)橢圓方程，并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：最值問(wèn)題，函數(shù)思想。關(guān)鍵是將點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離表示為某一變量是函數(shù),然后利用函數(shù)的知識(shí)求其最大值。223設(shè)橢圓方程為二與1,則由e=M得：a2=4b2,所以x2=4b2-4y2.a2b22設(shè)Q(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn)，則：|PQ1=Jx2(y234b24y2(yj)-2293y3y4b(-byb).4若b1,則-1與b0),過(guò)M(a,0