第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析

1、第二章第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析連續(xù)系統(tǒng)的時域分析2 .1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 一、微分方程的經(jīng)典解一、微分方程的經(jīng)典解 二、關(guān)于二、關(guān)于0和和0初始值初始值 三、零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)三、零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)2 .2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)2 .3 卷積積分卷積積分2 .4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)一、一、微分方程的經(jīng)典解微分方程的經(jīng)典解y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)經(jīng)典解：經(jīng)典解： y

2、(t)(完全解完全解) = yh(t)(齊次解齊次解) + yp(t)(特解特解）齊次解齊次解: y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 的解的解yh(t)的形式的形式: 由微分方程的由微分方程的特征根特征根確定確定l 齊次解齊次解的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，而與激勵的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，而與激勵f(t)的函數(shù)形式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的的函數(shù)形式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的固有響應(yīng)固有響應(yīng)或或自由響應(yīng)自由響應(yīng)；l 特 解特 解 的 函 數(shù) 形 式 由 激 勵 確 定 ， 稱 為的 函 數(shù) 形 式 由 激 勵 確 定 ， 稱 為 強(qiáng) 迫 響 應(yīng)強(qiáng) 迫 響 應(yīng) 。例例

3、: 描述某系統(tǒng)的微分方程為描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t) 求（求（1）當(dāng)）當(dāng)f(t) = 2e- -t，t0；y(0)=2，y(0)= - -1時的全解；時的全解； （2）當(dāng)）當(dāng)f(t) = e- -2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0時的全解時的全解; （3）當(dāng)）當(dāng)f(t) = 10cos(t)，t0；y(0)= 2，y(0)=0時的全解。時的全解。 解解: 特征方程特征方程2 + 5+ 6 = 0 1= 2，2= 3。 齊次解為齊次解為 yh(t) = C1e 2t + C2e 3t(1) f(t) = 2e t，設(shè)特解為，設(shè)特解為 y

4、p(t) = Pe t 代入微分方程代入微分方程 Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得解得 P=1 yp(t) = e t全解全解 y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t由初始條件由初始條件 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得解得 C1 = 3 ，C2 = 2 全解全解 y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0 例：例： y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t) （1）當(dāng)）當(dāng)f(t) = 2e-t，t0；y(0)=2，y(0)= -

5、1時的全解時的全解齊次或自由齊次或自由yh (t)特解或強(qiáng)迫特解或強(qiáng)迫yp (t)齊次解同上齊次解同上: yh(t) = C1e 2t + C2e 3tf(t)=e2t ，而，而2為特征根之一，為特征根之一，特解特解 yp(t) = P1t e2t 代入得代入得 P1e-2t = e2t 全解為全解為 y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t 代入初始條件，得代入初始條件，得 y(0) = C1+ C2=1 ，y(0)= 2C13C2+1=0得得 C1 = 2 ,C2= 1 y(t) = 2e2t e3t + te2t , t 0y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(

6、t)（2）當(dāng)）當(dāng)f(t) = e-2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0時的全解。時的全解。 齊次或自由齊次或自由yh (t)特解或強(qiáng)迫特解或強(qiáng)迫yp (t)y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)（3）當(dāng)）當(dāng)f(t) = 10cos(t)，t0；y(0)= 2，y(0)=0時的全解。時的全解。 齊次解同上齊次解同上: yh(t) = C1e 2t + C2e 3t1 jtpyAe設(shè) 1 10, Re1010cosj tj tftef tet設(shè)則有 RecosjtpytAetAA則f1(t)、yp1(t)代入、有代入、有:5610jtjtjtjtAej AeAee(/4)10

7、255jAej 2cos/4pytt 2312 2cos/4tty tc ec et由由 y(0)= 2，y(0)=0可求得：可求得：c1 = 2、c2 = - 1 2312 2cos/4tty tc ec et暫態(tài)分量暫態(tài)分量ytr (t)穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量ys (t)齊次或自由齊次或自由yh (t)特解或強(qiáng)迫特解或強(qiáng)迫yp (t)參見參見P43二、關(guān)于二、關(guān)于0和和0初始值初始值1、基本概念：、基本概念：當(dāng)激勵于當(dāng)激勵于t = 0加到系統(tǒng)上，系統(tǒng)的起始狀態(tài)有可能出現(xiàn)突變加到系統(tǒng)上，系統(tǒng)的起始狀態(tài)有可能出現(xiàn)突變2、確定方法：、確定方法：利用物理（電路）分析和利用物理（電路）分析和數(shù)學(xué)解析數(shù)學(xué)解

8、析y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = 3f(t)f(t) = 2e-te e (t)；y(0-)=2，y(0-)= -1, y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = 3f(t)+f(t)f(t) = 2e-te e (t)；y(0-)=2，y(0-)= -1= 4e-te e (t)+2 d d(t)易知：易知：y(t)=2d d(t) + r1(t); y(t)=r2(t); y(t)=r3(t); ri(t）為不含有）為不含有d d(t)、d d(t)等的函數(shù)等的函數(shù)0000( )(0 )(0 )2( )(0 )(0 )0y t dtyyy t dtyy 因此：因此：y(

9、0+)= y(0-) = 2，y(0+)= y(0-)+2= 1= 6e-te e (t)則：則：y(0+)=2，y(0+)= -1沒有沖激、沒有沖激、沖激偶等沖激偶等只有沖激只有沖激y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = 3f(t)+f(t)+2f(t)f(t) = 2e-te e (t)；y(0-)=2，y(0-)= -1= 8e-te e (t) - 2d d(t) +4d d(t)0000( )(0 )(0 )22( )(0 )(0 )4y t dtyyy t dtyy 因此：因此：y(0+) = y(0-) - 22= -20，y(0+) = y(0-)+4 = 3y(t)=

10、4d d(t) -22 d d(t) +r1(t);y(t)= 4 d d(t) + r2(t); y(t)=r3(t); 代入方程：代入方程：出現(xiàn)沖激、出現(xiàn)沖激、沖激偶等沖激偶等設(shè)：設(shè)：y(t)= a d d(t) + b d d(t) + r1(t); y(t)= a d d(t) + r2(t); y(t) = r3(t); ri(t）為不含有）為不含有d d(t)、d d(t)等的函數(shù)等的函數(shù)三、零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)三、零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)y(t)(完全解完全解) = yh(t)(齊次解齊次解) + yp(t)(特解特解） = yx(t)(零輸入零輸入) + yf(t)(零狀態(tài)零狀

11、態(tài)） =ytr(t)(瞬態(tài)解瞬態(tài)解)+ yss(t)(穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)1、概念概念：當(dāng)：當(dāng)輸入輸入為零為零、起始狀態(tài)起始狀態(tài)不為零不為零時系統(tǒng)的響應(yīng)為時系統(tǒng)的響應(yīng)為零輸入響應(yīng)；零輸入響應(yīng)； 當(dāng)當(dāng)輸入輸入不為零不為零、起始狀態(tài)起始狀態(tài)為零為零時系統(tǒng)的響應(yīng)為時系統(tǒng)的響應(yīng)為零狀態(tài)響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)。2、解法解法：零輸入解零輸入解具有齊次解的形式具有齊次解的形式；零狀態(tài)解零狀態(tài)解則由部分齊次解和特解組成則由部分齊次解和特解組成。設(shè)：系統(tǒng)有設(shè)：系統(tǒng)有n個單實(shí)根個單實(shí)根l li, i = 1, 2, 3.,n1intxiic el零輸入解零輸入解yx(t) = 其中，其中，Cxi由由( )(

12、)( )(0)(0)(0)( )0kkkxxyyyf t1( )intfipic eytl零狀態(tài)解零狀態(tài)解yf(t) = 其中，其中，Cfi由由( )( )( )( )(0)(0)(0 )(0 )0kkkkffyyyy3、例例：見：見p50 例例2.17f(t)*h(t)Chi = Cxi+Cfi例：例：y(t) + 3y (t) + 2y (t) = 2 f (t) + 6 f (t) y(0-)=2, y(0-)=1, f(t)=e e(t), 求求yzi(t)、yzs(t) y(0-)= 2 、y(0-) = 1 yzi(t)=5e-t - 3e-2t t0 yzi(0+)= 2、yzi

13、(0+) =1解解: 特征方程特征方程2 + 3+ 2 = 0 1= 1，2 = 2 (1) 零輸入解為零輸入解為 yzi(t) = Czi1e t + Czi2e 2t + 0Czi1 + Czi2 = 2- Czi1 - 2 Czi2 = 1Czi1 = 5Czi2 = -3= 2d d(t)+6e e(t)(2)零狀態(tài)解為零狀態(tài)解為 yzs(t) = Czs1e t + Czs2e 2t + 3 e e(t) 設(shè)設(shè) yzs(t)= a d d (t) + r1(t); yzs(t)= r2(t); yzs(t) = r3(t); yzs(0+) - yzs(0-) =2 yzs(0+)

14、- yzs (0-) = 0yzs(0+) =2 yzs(0+) = 0 Czs1= - 4 Czs2 = 1可得：可得：a=2 yzs(t) = - 4e t + e 2t + 3 e e(t)（3）全解）全解 y (t) = yzs(t) + yzi(t)= e-t -2e-2t + 3 t 0暫態(tài)分量暫態(tài)分量ytr (t)穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量yss (t)2 .2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)一、基本概念一、基本概念沖激響應(yīng)：沖激響應(yīng)：由單位沖激函數(shù)由單位沖激函數(shù)d d(t)所引起的所引起的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)稱為稱為單位沖單位沖激響應(yīng)激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，記為，簡稱沖激響應(yīng)，記為h

15、(t)。h(t)=T0, d d(t) 階躍響應(yīng)：階躍響應(yīng)：由單位階躍函數(shù)由單位階躍函數(shù)e e(t)所引起的所引起的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)稱為稱為單位階單位階躍響應(yīng)躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)，記為，簡稱階躍響應(yīng)，記為g(t)。g(t)=T0,e e(t) 二、求解方法二、求解方法1、經(jīng)典解法、經(jīng)典解法2 tttt d tg th t d th tgted又3、變換域（變換域（s域）法域）法*（第五章）（第五章）三、例：三、例：p54 例例2.22、p56 例例2.2-3、p57 2.2-4一次解出一次解出疊加原理疊加原理( )( )00kkhhh(t) + 5h (t) + 6h (t) = d d

16、(t) + 2 d d(t) + 3 d d (t) 解法一：一次解出解法一：一次解出由題意由題意 h(0-)=h(0-)=0, f(t) = d d(t)2312(0)0tthhh tc ec et特征方程特征方程2 + 5+ 6 = 0 1= 2，2= 3已知已知 y(t) + 5y (t) + 6y (t) = f (t) + 2 f (t) + 3 f (t); 求求h(t) 設(shè)：設(shè)：h(t) = ad d (t) + b d d(t) + c d d (t) + r0(t)h(t) = ad d (t) + b d d(t) + r1(t)h (t) = ad d (t) + r2(

17、t)a =1b+5a = 2c+5b+6a = 3a = 1b = -3c = 12h(0+)= h(0-)+b=0 - 3= - 3h(0+)= h(0-)+c = 0 + 12= 12所以所以、h (t) = d d (t) + (3e-2t - 6e-3t) e e(t)ch1= 3ch2 = - 6h(t) + 5h (t) + 6h (t) = d d (t) + 2 d d(t) + 3 d d (t) 解法二：線性疊加法解法二：線性疊加法由題意由題意 h(0-)=h(0-)=0, f(t) = d d(t)已知已知 y(t) + 5y (t) + 6y (t) = f (t) +

18、 2 f (t) + 3 f (t) 求求: h(t) 111( )23h th th th t23112(0)tth tc ec e1111(0 )(0 )0(0 )(0 ) 11hhhh 231( )()tth teete 1111156(0 )(0 )0h th th tthhd 設(shè)：設(shè)：12120231cccc1211cc - 3f(t)-2y(t)2-1y(t) + 3y (t) + 2y (t) = - f (t) + 2 f (t) 由由 y(0-)= 1 、y(0-) = 2(1) y(0-) = 1 y(0-) = 2、 求零輸入響應(yīng)求零輸入響應(yīng)yx(t)因?yàn)?、因?yàn)椤 l1

19、= -1、l l2= -2 所以、所以、 yx(t)=Cx1e-t+Cx2e-2t t0有：有： yx(t) = 4e-t - 3e-2t t0(2) f1 (t) = e e(t) 求零狀態(tài)響應(yīng)求零狀態(tài)響應(yīng)yf1(t)yf1 (t) = Cf1e-t+Cf2e-2t +1 e e(t)由由方程右邊方程右邊=- d d(t)+2e e(t) 、有有y (t) = - d d(t)+ r1(t) ;y (t) = r2(t) yf (0+) = - 1 1 ;yf (0+) = 0 yf1 (t) = - 3e-t + 2 e-2t + 1 e e(t)(3) f2 (t) = d d(t) 求

20、求yf2(t)yf2 (t) = Cf1e-t+Cf2e-2t + 0 e e(t)右邊右邊=- d d(t) + 2d d(t) 、y (t)= - d d(t) + 5 d d(t)+r1(t) ; y (t) = - d d(t)+ r2(t) yf (0+) = 5 ;yf (0+) = -1 yf1 (t) = 3e-t - 4 e-2t e e(t) = h(t)=g(t)求導(dǎo)求導(dǎo)p56- 3f(t)-2y(t)12 y(t) + 3y (t) + 2y (t) = 2f (t) + f (t) =2d d(t)+e e(t) (1) f1 (t) = e e(t) 求零狀態(tài)響應(yīng)求

21、零狀態(tài)響應(yīng)yf1(t)yf1 (t) = Cf1e-t+Cf2e-2t +0.5 e e(t) yf (0+) = 2;yf (0+) = 0 yf1 (t) = e-t - 1.5e-2t +0.5 e e(t)(2) f2 (t) = e e(t)- e e(t-4)求零狀態(tài)響應(yīng)求零狀態(tài)響應(yīng)yf 2(t) f2 (t) = e e(t)- e e(t-4) = f1 (t) - f1 (t-4) yf2 (t) = yf1 (t) - yf1 (t-4) = e-t - 1.5e-2t +0.5 e e(t)-e-t+4 - 1.5e-2t+8 +0.5 e e(t-4) 24280 01

22、.50.5 04 11.51 4 0，所以：，所以：0 0e t 0te e 0t 01 1tfytdttt e ee e fytf th ttde ee e 解解：例例1:例例2: 22()2()0ttttteteeedeedeee ee 例例3: ( ) 1f tfd 常常t (-, +t (-, +數(shù)數(shù)) )例例4 ：f (t) ,h(t) 如圖所示，求yf(t)= h(t) * f (t) 。解 采用圖形卷積 。 f ( t - -)f ()反折反折f (- -)平移平移t t 0時時 , f ( t - -)向左移向左移f ( t - -) h() = 0，故故 yf(t) = 0

23、0t 1 時時, 2011( )d24tfytt 1t 2時時1111( )d224tftytt 3t 時時f ( t - -) h() = 0，故故 yf(t) = 0f ( t )t0211th ( t )22h(t)函數(shù)形式復(fù)雜函數(shù)形式復(fù)雜 換元為換元為h()。 f (t)換元換元 f ()f (- )f (t - )t-1 tt-1 t t-1 ttyf (t )20134143tt-1 tt-1 2t 3 時時2211113( )d2424ftyttt 0h( )f (t - )20132 .4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)一、卷積代數(shù)一、卷積代數(shù)1、交換律、交換律： f1(t)*

24、f2(t) =f2(t)* f1(t)2、分配律、分配律： f1(t)* f2(t)+ f3(t) =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t)3、結(jié)合律、結(jié)合律： f1(t)* f2(t)* f3(t) =f1(t)* f2(t) * f3(t)二、奇異函數(shù)的卷積特性二、奇異函數(shù)的卷積特性1. f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t) f(t)*(t t0) = f(t t0)2. f(t)*(t) = f(t) f(t)*(n)(t t0) = f (n)(t t0)3. f(t)*(t)( ) ()d( )dtftf e(t) *(t) = t(t)對應(yīng)系統(tǒng)對應(yīng)系統(tǒng)并并

25、聯(lián)聯(lián)對應(yīng)系統(tǒng)對應(yīng)系統(tǒng)串串聯(lián)聯(lián)t(t) *(t) =0.5 t2(t)移位移位43-1210f(t)2t10h(t)(1)(2)*0-1212yf(t)= f(t)+2f(t-1)f(t)2 f(t-1)= yf(t) = ?例例1：-1210f(t)2*d d(2 - t)= ?f (t) d d (2 - t) = f (t) - d d (t-2) =- f (t-2)-121034f ( t)- 12- f ( t-2)= - 2e e(t-1) + 3e e(t)- e e(t)例例2：例例：f1(t), f2(t)如圖，求如圖，求f1(t)* f2(t) t11-1f 1(t)t10

26、2f 2(t)0解解： f1(t) = 2 (t) 2 (t 1) f2(t) = (t+1) (t 1) f1(t)* f2(t) = 2 (t)* (t+1) 2 (t)* (t 1) 2 (t 1)* (t+1) +2 (t 1)* (t 1) 由于由于 (t)* (t) = t (t) 據(jù)時移特性，有據(jù)時移特性，有f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) (t+1) - 2 (t 1) (t 1) 2 t (t) +2 (t 2) (t 2)-1210f(t)2三、卷積的時移特性三、卷積的時移特性若若 f(t) = f1(t)* f2(t)，則，則 f1(t t1)* f2(t t

27、2) = f(t t1 t2) *卷積后信號的取值上下限分別為原信號上下限之和卷積后信號的取值上下限分別為原信號上下限之和 ( )0.51 f tttee 0.5 0.52220.51222 0.51tttf th tttttttttteeeeeeee ( )2 h ttttee 22220.250.2522 00.5 220.25110.2.5 25333tttttttttteeee220 0.25 0.50.25 250.50.75 0ttttf (t ) 0.5t1t22h (t ) 0 0 1 1 2 2 3 3ttttt四、卷積的微積分性質(zhì)四、卷積的微積分性質(zhì)1.121221d( )

28、d( )d( )*( )*( )( )*dddnnnnnnf tftf tftftf tttt證：上式證：上式= (n)(t) *f1(t)* f2(t) = (n)(t) *f1(t) * f2(t) = f1(n)(t) * f2(t) 2.121212( )*( )d( )d *( )( )*( )d tttffff tf tf證：上式證：上式= (t) *f1(t)* f2(t) = (t) *f1(t) * f2(t) = f1(1)(t) * f2(t) *3. 在在f1( ) = 0和和f2( - ) = 0的前提下的前提下 f1(t)* f2(t) (n) = f1(+j) (t)* f2(nj) (t) 1( )dtftf例例連續(xù)連續(xù)LTILTI系統(tǒng)時域分析總結(jié)系統(tǒng)時域分析總結(jié)1、框圖、框圖 微分方程微分方程2、系統(tǒng)響應(yīng)的三種分解、系統(tǒng)響應(yīng)的三種分解y(t)(完全解完全解) = yh(t)(齊次解齊次解) + yp(t)(特解特解） = yx(t)(零輸入零輸入) + yf(t)(零狀