周衍柏《理論力學教程(第三版)》電子教案第三章4-5剛體力學

1、 第三章第三章剛剛 體體 力力 學學導讀導讀 空間力系和平行力系的求和空間力系和平行力系的求和 剛體運動微分方程和平衡方程剛體運動微分方程和平衡方程 簡單轉動慣量的計算簡單轉動慣量的計算轉動慣量的計算轉動慣量的計算1 1 力系的簡化力系的簡化將所有空間力作用點都遷移到一點將所有空間力作用點都遷移到一點.3.4 剛體運動方程與平衡方程剛體運動方程與平衡方程1F2F3F力是滑移矢量力是滑移矢量力可沿作用線移動，不能隨意移動力可沿作用線移動，不能隨意移動FFFF 設設F為作用在剛體為作用在剛體A點上的一個力點上的一個力, P為空間任意一為空間任意一點點, 但不在但不在F的作用線上的作用線上. FrA

2、PF1F2 在在P點添上兩個與點添上兩個與F的作用線的作用線平行的力平行的力F1及及F2, 且且 , 02121FFFFF 這樣這樣F可以化為過可以化為過P點的力點的力F1和和F及及F2所組成的所組成的一個力偶一個力偶. 方向：永遠垂直于力偶的作用面大?。号co點無關。因此：力偶矩是一自由矢量，可以平行于 自身任意移動位置，不影響其效應。力偶力偶所以可以把所有空間力化為過一點的力和力偶所以可以把所有空間力化為過一點的力和力偶. 主矢使剛體平動狀態(tài)發(fā)生變化主矢使剛體平動狀態(tài)發(fā)生變化主矩使剛體轉動狀態(tài)發(fā)生變化主矩使剛體轉動狀態(tài)發(fā)生變化P點叫點叫簡化中心簡化中心, 力的矢量和叫力的矢量和叫主矢主矢,

3、力偶矩的矢量力偶矩的矢量和叫對簡化中心的和叫對簡化中心的主矩主矩. 2 2 剛體運動微分方程剛體運動微分方程 如果如果ri代表剛體中任一質點代表剛體中任一質點Pi 對靜止系對靜止系S原點原點O的位的位矢矢, rC 為質心為質心C對對O的位矢的位矢, 而而ri 為為Pi 對質心對質心C的位矢的位矢, 動動坐標系坐標系S隨質心作平動隨質心作平動, 其原點與質心其原點與質心C重合重合. FFrmeiC )(則剛體質心則剛體質心C的運動方程為的運動方程為剛體在動坐標系剛體在動坐標系S中的相對運動對質心中的相對運動對質心C 的總角動量的總角動量滿足滿足MJ 對固定坐標系中的定點對固定坐標系中的定點O,

4、上式仍有效上式仍有效, 只需將只需將J改改J (對定點對定點O的總角動量的總角動量)，M改改M.剛體的運動分解隨質心的平動繞質心的轉動zcycxcFzMFyMFxM zzyyxxMdtJdMdtJdMdtJd六個獨立的方程 剛體有六個獨立變量剛體有六個獨立變量. 故質心運動及繞質心轉動兩故質心運動及繞質心轉動兩組方程式恰好確定剛體的運動情況組方程式恰好確定剛體的運動情況. 也可應用動能原理，也可應用動能原理，作為一個輔助方程來代替方程中的任意一個作為一個輔助方程來代替方程中的任意一個. 注意注意: 這時剛體內力所作元功之和為零這時剛體內力所作元功之和為零, 故剛體動能的故剛體動能的微分等于剛體

5、在運動過程中外力所作的元功之和微分等于剛體在運動過程中外力所作的元功之和.3 3 剛體平衡方程剛體平衡方程00MF 如為共面力系如為共面力系, 且設諸力均位于且設諸力均位于xy平面內平面內, 則平衡方則平衡方程簡化為程簡化為0, 0, 0zyxMFF若剛體處于平衡狀態(tài)：若剛體處于平衡狀態(tài)：一根均勻的棍子、重為一根均勻的棍子、重為P長為長為2 2l. 今將其一端置于今將其一端置于粗糙地面上，又以其上的粗糙地面上，又以其上的C點，靠在墻上，墻離地面的點，靠在墻上，墻離地面的高度為高度為h. .當棍子與地面的角度當棍子與地面的角度 為最小值為最小值 0 0時時, , 棍子在棍子在上述位置仍處于平衡狀

6、態(tài)，求棍與地面的摩擦系數(shù)上述位置仍處于平衡狀態(tài)，求棍與地面的摩擦系數(shù) 受力分析知受力分析知0sin, 001fNFx0cos, 0201PNNFy0sin/cos010hNPlhPlPNhPlf/sincos/sincos0022020hPlPhPlNf/sincos/sincos0020202AxyBChOllPN2N1 0f 剛體以剛體以 作定點轉動作定點轉動, 其中質點其中質點Pi對定點的位矢是對定點的位矢是ri, 則質點對定點的動量矩為則質點對定點的動量矩為iiivmr整個剛體對定點的動量矩為整個剛體對定點的動量矩為iiiivmrLiiiirrmiiiirrrm2動量矩一般不與剛體角速

7、度共線動量矩一般不與剛體角速度共線. (. (動量與速度總共線動量與速度總共線) )1 剛體的動量矩剛體的動量矩3.5 剛體轉動慣量剛體轉動慣量在直角坐標系下在直角坐標系下kjikzjyixrzyxiiiiiiiiziiiiiyiiixiiziyixiiiixixzxmyxmzymzyxxzyxmL22222所以所以iiiiziiiiyiiiixyzymxzmxymL22iiiiziiiiyiiiixzyxmyzmxzmL22引入符號引入符號iiiixxzymI22iiiiyyxzmI22iiiizzyxmI22iiiiyxxyxymIIiiiizxxzxzmIIiiiizyyzyzmII則剛

8、體動量矩表達式簡化為則剛體動量矩表達式簡化為zxzyxyxxxxIIILzyzyyyxyxyIIILzzzyzyxzxzIIIL剛體對各軸的轉動慣量剛體對各軸的轉動慣量慣量積慣量積剛體以剛體以 作定點轉動作定點轉動, 對定點的轉動動能為對定點的轉動動能為yxxyxzzxzyyzzzzyyyxxxiiiiiiiiiiiiiiikIIIIIILvmrrvmvvmvmE22221212121212122222 剛體的轉動動能剛體的轉動動能剛體對定點的轉動動能也可以寫為剛體對定點的轉動動能也可以寫為 2222222121sin212121ImrmrrmvvmEiiiiiiiiiiiiiiik 上式中上

9、式中 i為為Pi的位矢的位矢 ri 與角速度矢量與角速度矢量 之間的夾角之間的夾角, i 為自為自Pi至轉動瞬軸的垂直距離，而至轉動瞬軸的垂直距離，而 I 稱為剛體繞稱為剛體繞轉動瞬軸的轉動慣量轉動瞬軸的轉動慣量.3 剛體的轉動慣量剛體的轉動慣量回轉半徑回轉半徑mIrG/zGr 物體的轉動慣量決定于物體的質量物體的轉動慣量決定于物體的質量分布的情況分布的情況, 又決定于轉動軸的位置又決定于轉動軸的位置. 轉轉動軸不同動軸不同,即使是同一物體轉動慣量也不即使是同一物體轉動慣量也不同同. 平行軸定理平行軸定理 若剛體若剛體對過質心的軸對過質心的軸的轉動慣量為的轉動慣量為 Ic ，則剛體對與該軸相距

10、為則剛體對與該軸相距為 d 的平行軸的平行軸 z 的轉的轉動慣量動慣量 Iz 是是2mdIIcz 質量為質量為 m, ,長為長為 l 的細棒繞通過其端點和質心的細棒繞通過其端點和質心的垂直軸的轉動慣量的垂直軸的轉動慣量oxzdxdmx231mlI 2121mlIC 質量為質量為 m, ,半徑為半徑為 R 的均勻圓盤的均勻圓盤, , 通過盤中心通過盤中心并與盤面垂直的軸的轉動慣量并與盤面垂直的軸的轉動慣量221mRI ordrR質量質量 M = 16 = 16 kg 、半徑為、半徑為 R = 0.15 = 0.15 m 的實心的實心滑輪滑輪, ,一根細繩繞在其上，繩端掛一質量為一根細繩繞在其上，

11、繩端掛一質量為 m=8kg 的的物體物體. .求（求（1 1）由靜止開始）由靜止開始 1 1 秒鐘后，物體下降的距離秒鐘后，物體下降的距離. . （2 2）繩子的張力）繩子的張力. .maTmgmMmmgT221MRRTRa N40Tm5 . 2212ath2sm52Mmmga一質量為一質量為 m 、長為、長為 l 的均質細桿，轉軸在的均質細桿，轉軸在 O 點，距點，距A端端 l l/3 . /3 . 桿從靜止開始由水平位置繞桿從靜止開始由水平位置繞O點轉點轉動動. . 求：（求：（1 1）水平位置的角速度和角加速度）水平位置的角速度和角加速度. . （2 2）垂直位置時的角速度和角加速度）垂

12、直位置時的角速度和角加速度. .coBA2mdIIco2220916121mllmmlI0olg232916mllmglg30 , 0M機械能守恒機械能守恒00 62120lmgIcoBA勢能零點勢能零點OcoBA cos60IlmgM00 sin62120lmgI勢能零點勢能零點O4 4 慣量張量和慣量橢球慣量張量和慣量橢球對形狀規(guī)則的剛體，將轉動慣量寫為積分形式對形狀規(guī)則的剛體，將轉動慣量寫為積分形式mzyIxxd22mxzIyyd22myxIzzd22mxyIIyxxydmzxIIzxxzdmyzIIzyyzdzyx,xyzxyzzzyyxxIIIIIII222222一次算出軸轉動慣量和

13、慣量積一次算出軸轉動慣量和慣量積, 通過通過O點的任一軸線的點的任一軸線的轉動慣量都可得出轉動慣量都可得出.xyzo),(mdPxyz 三個軸轉動慣量和六個慣量積作為統(tǒng)一的一個三個軸轉動慣量和六個慣量積作為統(tǒng)一的一個物理量物理量, 代表剛體轉動的慣性的量度，可以寫為矩代表剛體轉動的慣性的量度，可以寫為矩陣的形式陣的形式叫做慣量張量叫做慣量張量, 元素叫慣量張量的組元或慣量系數(shù)元素叫慣量張量的組元或慣量系數(shù). zzzyzxyzyyyxxzxyxxIIIIIIIII利用矩陣乘法利用矩陣乘法,得得zzzyzxyzyyyxxzxyxxIIIIIIIIIIzyxzzzyzxyzyyyxxzxyxxzyx

14、IIIIIIIIILLL 顯然可以把慣量積通過選取坐標軸的方向而消除顯然可以把慣量積通過選取坐標軸的方向而消除, 如在轉動軸上如在轉動軸上, 截取線段截取線段RIOQ1I 為剛體繞該軸的轉動慣量為剛體繞該軸的轉動慣量, 則則Q點的坐標將是點的坐標將是RzRyRx,因過因過O點有很多轉軸點有很多轉軸, 則有很多的則有很多的Q點，這些點的軌跡是點，這些點的軌跡是1222222xyIzxIyzIzIyIxIxyzxyzzzyyxx這是一個中心在這是一個中心在O點的橢球點的橢球, 通常叫通常叫慣量橢球慣量橢球, 如如O為質心為質心,又叫又叫中心慣量橢球中心慣量橢球.橢球有三個主軸橢球有三個主軸, 如坐

15、標軸選取與之重合如坐標軸選取與之重合, 則慣量積消失則慣量積消失.1232221zIyIxII1, I2, I3稱為稱為O點上的主轉動慣量點上的主轉動慣量. 此時有此時有kIjIiILzyx32123222121zyxkIIIE 橢球與主軸交點的位矢橢球與主軸交點的位矢R的方向和橢球上該點法的方向和橢球上該點法線的方向重合線的方向重合. . 這是解析幾何里求二次曲面主軸的方這是解析幾何里求二次曲面主軸的方法法, , 或線性代數(shù)里求本征值的方法或線性代數(shù)里求本征值的方法. . 在力學里在力學里, , 大都大都是對稱的均勻剛體是對稱的均勻剛體, , 而這種剛體的慣量主軸而這種剛體的慣量主軸, , 則可根則可根據(jù)對稱性很方便地求出據(jù)對稱性很方便地求出. .小結小結力系的簡化規(guī)則力系的簡化規(guī)則剛體