最優(yōu)估計(jì)之隨機(jī)動態(tài)系統(tǒng)模型

1、最優(yōu)估計(jì)第第5 5章章 隨機(jī)動態(tài)系統(tǒng)模型隨機(jī)動態(tài)系統(tǒng)模型l 確定性動態(tài)系統(tǒng)模型l 隨機(jī)動態(tài)系統(tǒng)模型l 模型的轉(zhuǎn)化l 建立模型需注意的問題3幾點(diǎn)說明：幾點(diǎn)說明：系統(tǒng)模型是研究各種估計(jì)方法的基礎(chǔ)；系統(tǒng)模型是研究各種估計(jì)方法的基礎(chǔ)；我們的研究對象是隨機(jī)系統(tǒng)模型，由確定性方程附加隨機(jī)我們的研究對象是隨機(jī)系統(tǒng)模型，由確定性方程附加隨機(jī)成份構(gòu)成；成份構(gòu)成；模型描述了待估計(jì)狀態(tài)的動態(tài)特性（運(yùn)動學(xué)或動力學(xué)特性）模型描述了待估計(jì)狀態(tài)的動態(tài)特性（運(yùn)動學(xué)或動力學(xué)特性）以及外部觀測的規(guī)律；以及外部觀測的規(guī)律；系統(tǒng)的動態(tài)方程是系統(tǒng)物理過程的數(shù)學(xué)描述，方程是系統(tǒng)系統(tǒng)的動態(tài)方程是系統(tǒng)物理過程的數(shù)學(xué)描述，方程是系統(tǒng)物理過程的

2、隱式表示，而方程的解可看作是顯式表示；物理過程的隱式表示，而方程的解可看作是顯式表示；系統(tǒng)模型可分為連續(xù)系統(tǒng)模型和離散系統(tǒng)模型；系統(tǒng)模型可分為連續(xù)系統(tǒng)模型和離散系統(tǒng)模型；系統(tǒng)模型可分為線性系統(tǒng)模型和非線性系統(tǒng)模型。系統(tǒng)模型可分為線性系統(tǒng)模型和非線性系統(tǒng)模型。 45.1 確定性動態(tài)系統(tǒng)模型確定性動態(tài)系統(tǒng)模型5.1.1 5.1.1 連續(xù)系統(tǒng)模型連續(xù)系統(tǒng)模型 )()()()()()(01110111tucdttudcdttudctzadttzdadttzdppppppnnnnn微分方程模型：微分方程模型： 狀態(tài)空間模型：狀態(tài)空間模型： )()()()()(tCxtztButAxtx傳遞函數(shù)模型：傳遞

3、函數(shù)模型： ，)()()(sUsGsZ011011)(asascscscsGnnnpppp1. 連續(xù)線性時(shí)不變系統(tǒng)模型連續(xù)線性時(shí)不變系統(tǒng)模型上述三種模型之間可以轉(zhuǎn)化：)()()()()()(01110111tucdttudcdttudctzadttzdadttzdppppppnnnnn)()()()()(tCxtztButAxtx)()()(sUsGsZ1210100001000010naaaaA1000B0010pcccC BAsICsG1)(其中：例例5.1試求其狀態(tài)空間模型。：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2221)(nnssssG)()(1 )()(10)()(210)()(4 . 1 . 51

4、23 . 1 . 5111121110120txtxtztutxtxstxtxCCaannnn）可寫出狀態(tài)空間模型因此按式（，）知，由式（解：)()()()()()()()(txtCtztutBtxtAtx3. 連續(xù)非線性時(shí)變系統(tǒng)模型連續(xù)非線性時(shí)變系統(tǒng)模型),(),()(),(),()(ttutxhtzttutxftx式中，f *,*,* 和 h*,*,* 是關(guān)于狀態(tài)和輸入的非線性函數(shù)。2. 連續(xù)線性時(shí)變系統(tǒng)模型連續(xù)線性時(shí)變系統(tǒng)模型時(shí)變系統(tǒng)模型：模型中的系數(shù)可以隨時(shí)間改變。例例5.2 衛(wèi)星的軌跡可以用r,兩個(gè)極坐標(biāo)變量來描述，其中r是衛(wèi)星到地心的距離，是衛(wèi)星和地心的聯(lián)線相對于參考坐標(biāo)軸的角度。

5、假定衛(wèi)星具有徑向ur(t)和切向ul(t)的推力控制和，試建立衛(wèi)星軌跡控制的系統(tǒng)模型。 )()(1)()()(2)()()()()()(22tutrtrttrttutrGttrtrlr 運(yùn)動方程可寫為：根據(jù)力學(xué)規(guī)律，衛(wèi)星的4321xxrxrx，選擇狀態(tài)變量：)()(1)()()(2)()()()()()()()()()(a7 . 1 . 5124142124124321tutxtxtxtxtxtutxGtxtxtxtxtxtxtxlr制的系統(tǒng)模型：），可得衛(wèi)星軌跡控（由（95.1.2 5.1.2 離散系統(tǒng)模型離散系統(tǒng)模型 實(shí)際應(yīng)用中，基本都采用計(jì)算機(jī)處理數(shù)據(jù)，直接選用離散實(shí)際應(yīng)用中，基本都采用

6、計(jì)算機(jī)處理數(shù)據(jù)，直接選用離散模型，會給工作帶來很大便捷；模型，會給工作帶來很大便捷；動態(tài)方程是系統(tǒng)物理過程的隱式表示，而方程的解是顯式動態(tài)方程是系統(tǒng)物理過程的隱式表示，而方程的解是顯式表示，二者在本質(zhì)上是一致的，故將方程的解稱為系統(tǒng)的表示，二者在本質(zhì)上是一致的，故將方程的解稱為系統(tǒng)的狀態(tài)；狀態(tài)；離散系統(tǒng)方程，實(shí)際上是系統(tǒng)的狀態(tài)值在任意兩個(gè)相鄰離離散系統(tǒng)方程，實(shí)際上是系統(tǒng)的狀態(tài)值在任意兩個(gè)相鄰離散時(shí)刻的遞推關(guān)系。因此，可由連續(xù)系統(tǒng)方程的解獲得離散時(shí)刻的遞推關(guān)系。因此，可由連續(xù)系統(tǒng)方程的解獲得離散系統(tǒng)方程。散系統(tǒng)方程。10)()(),()(),()(1111kttkkkkktudBttxtttxk

7、kduBetxetxttttAtttA)()()()(00)(0)()()()(kxkCkzktk kukBkxkkkx)()()(), 1() 1()()()()()(tutBtxtAtx狀狀態(tài)態(tài)方方程程)()()(txtCtz觀觀測測方方程程 kxkCkzkukBkxkkkx)()()()()()(), 1() 1(得離散系統(tǒng)模型：目的：連續(xù)模型 離散模型方法：一階常微分方程求解。差分方程115.2 隨機(jī)動態(tài)系統(tǒng)模型隨機(jī)動態(tài)系統(tǒng)模型實(shí)際的物理系統(tǒng)中，除了控制作用實(shí)際的物理系統(tǒng)中，除了控制作用 u(t) 外，還存在一些隨外，還存在一些隨機(jī)干擾作用及系統(tǒng)噪聲機(jī)干擾作用及系統(tǒng)噪聲 w(t) 。在

8、測量方程中，存在隨機(jī)干。在測量方程中，存在隨機(jī)干擾，或測量噪聲擾，或測量噪聲 v(t) 。在確定性系統(tǒng)模型中加入系統(tǒng)噪聲和測量噪聲，即得隨機(jī)在確定性系統(tǒng)模型中加入系統(tǒng)噪聲和測量噪聲，即得隨機(jī)動態(tài)系統(tǒng)模型。動態(tài)系統(tǒng)模型。12在不考慮控制作用的情況下，線性隨機(jī)動態(tài)系統(tǒng)模型為：)()()()()(twtGtxtAtx隨機(jī)微分方程5.2.1 5.2.1 線性隨機(jī)微分方程線性隨機(jī)微分方程)()()()(00)(0)(dGetxetxttttAtttAttdGttxtttx0)()(),()(),()(00理論解)()()()()(tdtGdttxtAtdx)()(tddttw),(),(3),(),()

9、,(2),(1),()(),(),(10000000ttttttItttttAttttn）（）（）（且具有以下性質(zhì)：滿足齊次方程：為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，13ttdGttxtttx0)()(),()(),()(00dwGttxtttxkkttkkkkk)()(),()(),()(11115.2.2 5.2.2 線性隨機(jī)差分方程線性隨機(jī)差分方程1)()(),()(),()(111kkttkkkkkktwdGttxtttxkkkkkkkwxx, 1, 11145.2.3 5.2.3 隨機(jī)動態(tài)系統(tǒng)模型的一般形式隨機(jī)動態(tài)系統(tǒng)模型的一般形式1. 一般系統(tǒng)模型一般系統(tǒng)模型),(),(),()(ttwtutxftx

10、),(),(),()(ttvtutxhtz- (5.2.13a) - (5.2.13b) 完整地描述一個(gè)動態(tài)系統(tǒng)，需要系統(tǒng)方程和測量方程兩個(gè)方程。完整地描述一個(gè)動態(tài)系統(tǒng)，需要系統(tǒng)方程和測量方程兩個(gè)方程?，F(xiàn)將測量方程加入，給出隨機(jī)動態(tài)系統(tǒng)模型的一般形式。現(xiàn)將測量方程加入，給出隨機(jī)動態(tài)系統(tǒng)模型的一般形式。2. 線性系統(tǒng)模型線性系統(tǒng)模型3. 關(guān)于噪聲的假設(shè)關(guān)于噪聲的假設(shè)幾點(diǎn)說明幾點(diǎn)說明：假設(shè)噪聲為白噪聲，即噪聲過程是時(shí)間不相關(guān)的，因此噪聲過程的方差陣為對角陣。假設(shè)噪聲為高斯的，則噪聲過程可以僅由其均值和協(xié)方差描述，且對于線性系統(tǒng)，其輸出也是高斯過程。否則，可以將噪聲通過成形濾波器來產(chǎn)生這樣的隨機(jī)過程

11、。系統(tǒng)噪聲、測量噪聲與系統(tǒng)初始狀態(tài)是不相關(guān)，這是因?yàn)橄到y(tǒng)干擾一般是在建模過程中產(chǎn)生的誤差，不應(yīng)該與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)；而測量設(shè)備屬于外圍設(shè)備，其測量誤差也不應(yīng)該與初始狀態(tài)有關(guān)。185.3 模型的轉(zhuǎn)化模型的轉(zhuǎn)化在線離散化在線離散化。在濾波算法的遞推執(zhí)行過程中，利用求解常微分方程的數(shù)值算法，如龍格庫塔（Runge-Kutta）法，通過實(shí)時(shí)計(jì)算連續(xù)系統(tǒng)在每個(gè)離散時(shí)刻的狀態(tài)值而實(shí)現(xiàn)。 5.3.1 5.3.1 連續(xù)系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)化為離散系統(tǒng)模型連續(xù)系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)化為離散系統(tǒng)模型離線離散化離線離散化。離線狀態(tài)下，通過求解常微分方程來計(jì)算隨機(jī)動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，從而得到各離散時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)值。 模型離散化的兩種

12、方式：模型離散化的兩種方式：優(yōu)點(diǎn)：不必手動計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，便于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)； 缺點(diǎn)：屬于數(shù)值算法，所以是一種近似求解方法。 優(yōu)點(diǎn)：屬于解析的方法，相對第一種方法更精確；缺點(diǎn)：如果模型復(fù)雜，計(jì)算過程繁瑣，容易出錯(cuò)。 5.2節(jié)中，由隨機(jī)微分方程導(dǎo)出隨機(jī)差分方程的過程就是對系統(tǒng)方程的離散化，而測量方程是簡單的代數(shù)方程，因此它的離散形式與連續(xù)形式相同 ，因此可直接得對應(yīng)上述系統(tǒng)的離散模型形式為：自由狀態(tài)連續(xù)系統(tǒng)模型的轉(zhuǎn)化：自由狀態(tài)連續(xù)系統(tǒng)模型的轉(zhuǎn)化：)()()()()(twtGtxtAtx)()()()(tvtxtHtzkkkkkkkwxx, 1, 111111kkkkvxHz205.3.2 5.3.

13、2 離散系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)化為連續(xù)系統(tǒng)模型離散系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)化為連續(xù)系統(tǒng)模型兩系統(tǒng)模型的系數(shù)矩陣與轉(zhuǎn)移矩陣之間的關(guān)系：兩系統(tǒng)模型的系數(shù)矩陣與轉(zhuǎn)移矩陣之間的關(guān)系：，ttAItttn)(),(ttGttt)(),(兩系統(tǒng)模型之間的噪聲均值、相關(guān)函數(shù)的關(guān)系兩系統(tǒng)模型之間的噪聲均值、相關(guān)函數(shù)的關(guān)系 ：離散化)()()()()(twtGtxtAtx)()()()(tvtxtHtzkkkkkkkwxx, 1, 111111kkkkvxHz兩系統(tǒng)模型之間的關(guān)系兩系統(tǒng)模型之間的關(guān)系 ：代替代替)(),()(),()(twttttxtttttxn)(),()(),()()(twtttttxtItttttxttxnntQtQ

14、kt0lim)(tRtRkt0lim)(兩系統(tǒng)模型噪聲方差之間的關(guān)系兩系統(tǒng)模型噪聲方差之間的關(guān)系 ：)()()()()()(twtttGtxtttAttxttxn0t)()()()(1111kkkktvtxtHtz，)()()()()(twtGtxtAtx)()()()(tvtxtHtz23非線性系統(tǒng)模型非線性系統(tǒng)模型： 5.3.3 5.3.3 非線性模型線性化非線性模型線性化)(),(),()(twttxgttxftx)(),()(tvttxhtz一般線性化方法一般線性化方法：將非線性函數(shù)在某固定點(diǎn)處展開成泰勒級數(shù)，并截取一階項(xiàng)，得非線性函數(shù)的線性近似。 nnxxnxfxxxfxxxfxfx

15、f)(!)()(! 2)()()()(00)(200000)()()(000 xxxfxfxf選取固定點(diǎn)選取固定點(diǎn)x0的兩種方法的兩種方法：（1）標(biāo)稱值：方程沒有干擾時(shí)推算出來的量。（2）估計(jì)值。245.4 建立隨機(jī)動態(tài)系統(tǒng)模型時(shí)需注意的問題建立隨機(jī)動態(tài)系統(tǒng)模型時(shí)需注意的問題模型中的兩類量：狀態(tài)向量、觀測向量。5.4.1 5.4.1 模型向量的選取模型向量的選取1. 狀態(tài)向量的選取狀態(tài)向量的選取模型的精度與建模時(shí)所考慮的因素有關(guān)。模型向量的選取取決于系統(tǒng)功能的需要和實(shí)際要求。系統(tǒng)功能的要求；系統(tǒng)濾波的要求；實(shí)際運(yùn)算的要求。狀態(tài)向量的選擇具有不唯一性。2. 測量向量的選取測量向量的選取精度和可靠性要求