概率論與數(shù)理統(tǒng)計第14節(jié)全概及逆概公式ppt課件

1、1.4.1 1.4.1 全概率公式全概率公式1.4.2 1.4.2 逆概率公式逆概率公式1.4 全概率公式與逆概率公式全概率公式與逆概率公式定義定義且且滿滿足足為為一一個個隨隨機機事事件件序序列列，設(shè)設(shè)nAAA,21niAPi, 2 , 1, 0)()1( 兩兩互斥兩兩互斥nAAA,)2(21 nAAA21)3(為一個完備事件組為一個完備事件組那么，稱那么，稱nAAA,21也稱為也稱為 的一個分割的一個分割1A2A3A1 nAnA樣本空間的分割樣本空間的分割P38P3821 有三個罐子有三個罐子,1號裝有號裝有 2 紅紅 1 黑球黑球 , 2號號裝有裝有 3 紅紅 1 黑球，黑球，3號裝有號裝

2、有 2 紅紅 2 黑球黑球. 某人某人從中隨機取一罐，再從中恣意取出一球，求從中隨機取一罐，再從中恣意取出一球，求獲得紅球的概率獲得紅球的概率.3引例引例1 1： 如何求獲得紅球的概率？如何求獲得紅球的概率？)()()()()()()(,221121nnnABPAPABPAPABPAPBPAAAEBE 則則的的一一個個完完備備事事件件組組為為的的事事件件為為的的樣樣本本空空間間為為設(shè)設(shè)試試驗驗定定理理 一、全概率公式一、全概率公式P38P38全概率公式全概率公式)()()()(21BAPBAPBAPBPn 證明證明BB .21BABABAn )()()()()()(2211nnABPAPABP

3、APABPAP 兩兩互斥兩兩互斥BABABAn,21BAAAn)(21 全概率公式的主要用途在于它可以將一個復(fù)雜事全概率公式的主要用途在于它可以將一個復(fù)雜事件的概率計算問題件的概率計算問題, ,分解為假設(shè)干個簡單事件的概分解為假設(shè)干個簡單事件的概率計算問題率計算問題, ,最后運用概率的可加性求出最終結(jié)果最后運用概率的可加性求出最終結(jié)果. .全概率公式的運用我們把事件我們把事件B B看作某一過程的結(jié)果，看作某一過程的結(jié)果，因因，看看作作該該過過程程的的若若干干個個原原把把nAAA,21根據(jù)歷史資料，每一緣由發(fā)生的概率知，根據(jù)歷史資料，每一緣由發(fā)生的概率知， 已已知知即即nAP 已知已知即即nAB

4、P而且每一緣由對結(jié)果的影響程度知，而且每一緣由對結(jié)果的影響程度知，那么我們可用全概率公式計算結(jié)果發(fā)生的概率那么我們可用全概率公式計算結(jié)果發(fā)生的概率 BP即求即求 niiiABPAPBP1)()()(由于由于B 發(fā)生總是伴隨著發(fā)生總是伴隨著 A1, A2, A3 之一同時發(fā)生之一同時發(fā)生依題意依題意: P(Ai )= 1/3 (i=1,2,3),P(B|A1)=2/3, P(B|A2 )=3/4, P(B|A3 )=1/2, 有三個罐子有三個罐子,1號裝有號裝有 2 紅紅 1 黑球黑球 , 2號裝有號裝有 3 紅紅 1 黑球，黑球，3號裝有號裝有 2 紅紅 2 黑球黑球. 某人從中隨機取一罐，某

5、人從中隨機取一罐，再 從 中 恣 意 取 出 一 球 ， 求 獲 得 紅 球 的 概 率再 從 中 恣 意 取 出 一 球 ， 求 獲 得 紅 球 的 概 率 .21解解: 記記 Ai = 球取自球取自 i 號罐號罐 i = 1, 2, 3, A1, A2, A3是樣本空間的一個分割是樣本空間的一個分割; B = 獲得紅球獲得紅球 31)|()()(iiiABPAPBP由由全全概概率率公公式式得得3再看引例再看引例1 代入數(shù)據(jù)計算得：代入數(shù)據(jù)計算得：362321433231)( BP由于由于B 發(fā)生總是伴隨著發(fā)生總是伴隨著 A1, A2, A3 之一同時發(fā)生之一同時發(fā)生 有三個罐子有三個罐子,

6、1號裝有號裝有 2 紅紅 1 黑球黑球 , 2號裝有號裝有 3 紅紅 1 黑球，黑球，3號裝有號裝有 2 紅紅 2 黑球黑球. 某人從中隨機取一罐，某人從中隨機取一罐，再 從 中 恣 意 取 出 一 球 ， 求 獲 得 紅 球 的 概 率再 從 中 恣 意 取 出 一 球 ， 求 獲 得 紅 球 的 概 率 .21解解 記記 Ai = 球取自球取自 i 號罐號罐 i = 1, 2, 3, A1, A2, A3是樣本空間的一個分割是樣本空間的一個分割; B = 獲得紅球獲得紅球 31)|()()(iiiABPAPBP由由全全概概率率公公式式得得3再看引例再看引例1 依題意依題意: P(Ai )=

7、 1/3 (i=1,2,3),P(B|A1)=2/3, P(B|A2 )=3/4, P(B|A3 )=1/2,代入數(shù)據(jù)計算得：代入數(shù)據(jù)計算得：362321433231)( BP例例1 1 有一批同一型號的產(chǎn)品，知其中由一廠有一批同一型號的產(chǎn)品，知其中由一廠消費的占消費的占 30% 30% ，二廠消費的占，二廠消費的占 50% 50% ，三廠消，三廠消費的占費的占 20%20%，又知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別，又知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別為為2% 2% ， 1%1%，1%1%，問從這批產(chǎn)品中任取一件是，問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少次品的概率是多少? ?設(shè)事件設(shè)事件 B 為為“任取一件為

8、次品任取一件為次品,. 3, 2, 1,”“ iiAi廠廠的的產(chǎn)產(chǎn)品品任任取取一一件件為為為為事事件件,321 AAA解解. 3 , 2 , 1, jijiAAji 30%20%50%, 2 . 0)(, 5 . 0)(, 3 . 0)(321 APAPAP1A2A3A例例1 1 有一批同一型號的產(chǎn)品，知其中由一廠有一批同一型號的產(chǎn)品，知其中由一廠消費的占消費的占 30% 30% ，二廠消費的占，二廠消費的占 50% 50% ，三廠消，三廠消費的占費的占 20%20%，又知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別，又知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別為為2% 2% ， 1%1%，1%1%，問從這批產(chǎn)品中任取一件是，問

9、從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少次品的概率是多少? ?事件事件 B 為為“任取一件為次品任取一件為次品, 30%20%50%2%1%1%,02. 0)(1 ABP,01. 0)(2 ABP,01. 0)(3 ABP1A2A3A由全概率公式得由全概率公式得, 2 . 0)(, 5 . 0)(, 3 . 0)(321 APAPAP)()()()()()()(332211ABPAPABPAPABPAPBP .013. 02 . 001. 05 . 001. 03 . 002. 0 ,01. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 ABPABPABP例2飛機有三個不同的部分遭到射擊,在第一

10、部分被擊中一彈,或第二部分被擊中2彈,或第3部分被擊中3彈飛機才會被擊落,其命中率和每一部分面積成正比,三部分面積之比為0.1:0.2:0.7.假設(shè)知飛機中兩彈兩彈獨立,求飛機被擊落的概率.解:部分為第一彈擊中第設(shè)iAi將中的兩彈分出先后次序部分為第二彈擊中第iBi3 ,2 , 1i為飛機被擊落設(shè)C1A2A3A1B2B3B1B2B3B1B2B3BCCCCCCCCC111110100)|()()(1111BACPBAPCP)|()(2121BACPBAP)|()(3131BACPBAP)|()(1212BACPBAP)|()(2222BACPBAP)|()(3232BACPBAP)|()(131

11、3BACPBAP)|()(2323BACPBAP)|()(3333BACPBAP)|()()(1111BACPBAPCP)|()(2121BACPBAP)|()(3131BACPBAP)|()(1212BACPBAP)|()(2222BACPBAP)|()(3232BACPBAP)|()(1313BACPBAP)|()(2323BACPBAP)|()(3333BACPBAP07 . 07 . 002 . 07 . 011 . 07 . 007 . 02 . 012 . 02 . 011 . 02 . 017 . 01 . 012 . 01 . 011 . 01 . 0事件B的實現(xiàn)有n種途徑，在

12、每種途徑下,實現(xiàn)B的概率各不一樣,但它們的概率之和即為P(B),即全概率公式全概率公式的本質(zhì):=0.23例3某人忘記了號碼的最后一個數(shù),因此隨意地撥號, 求他在前三次撥通的概率.1A2A3ABBB解:3 ,2 , 1, iiAi次撥電話代表第設(shè)為撥通電話B由全概率公式：)|()()|()()|()()(332211ABPAPABPAPABPAPBP1)(1AP)|(1ABP101其中)(2AP)|(2ABP)(3AP)|(3ABP109919810981)|()()|()()|()()(332211ABPAPABPAPABPAPBP1038198109911091011正確嗎？)()(321B

13、ABABAPBP)()()(321BAPBAPBAP)|()()|()()|()(332211ABPAPABPAPABPAP兩兩互斥由于雖然求解過程中用全概率公式錯誤,但結(jié)果依然正確.全概率公式的另一種提法:那么nnAAABAAA2121,設(shè)niiiABPAPBP1)|()()(niiiABPAPBP1)|()()(為兩兩互斥的事件組，且事件引例引例2 2：某人從任一罐中恣意摸出一球某人從任一罐中恣意摸出一球,發(fā)現(xiàn)是發(fā)現(xiàn)是紅球紅球,求該球是取自求該球是取自 1號罐的概率號罐的概率.213這是一個條件概率問題這是一個條件概率問題下面就引見為處理這類問題而引出的下面就引見為處理這類問題而引出的逆概

14、率逆概率 (Bayes)公式公式., 2 , 1,)()()()()(), 2 , 1(, 0)(, 0)(,.121niABPAPABPAPBAPniAPBPAAAEBEnjjjiiiin 則則且且的的一一個個劃劃分分為為的的事事件件為為的的樣樣本本空空間間為為設(shè)設(shè)試試驗驗定定理理 稱此為逆概率公式或貝葉斯公式稱此為逆概率公式或貝葉斯公式. 二、逆概率公式二、逆概率公式(Bayes(Bayes公式公式) )P39P39證明證明)()()(BPBAPBAPii ,)()()()(1 njjjiiABPAPABPAP., 2 , 1ni 該公式于該公式于17631763年由貝葉斯年由貝葉斯(Ba

15、yes)(Bayes)給出給出. . 它是在察看到事件它是在察看到事件B B已發(fā)生的條件下，尋覓已發(fā)生的條件下，尋覓導(dǎo)致導(dǎo)致B B發(fā)生的每個緣由的概率發(fā)生的每個緣由的概率. .逆概率公式(Bayes公式)的運用我們把事件我們把事件B B看作某一過程的結(jié)果，看作某一過程的結(jié)果，因，因，看作該過程的若干個原看作該過程的若干個原把把nAAA,21根據(jù)歷史資料，每一緣由發(fā)生的概率知，根據(jù)歷史資料，每一緣由發(fā)生的概率知， 已已知知即即nAP 已知已知即即nABP而且每一緣由對結(jié)果的影響程度知，而且每一緣由對結(jié)果的影響程度知，假設(shè)知事件假設(shè)知事件B B曾經(jīng)發(fā)生，要求此時是由第曾經(jīng)發(fā)生，要求此時是由第 i

16、i 個緣個緣由引起的概率，那么用逆概率公式由引起的概率，那么用逆概率公式 BAPi即即求求 njjjiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()(逆概率公式(Bayes公式)的運用我們把事件我們把事件B B看作某一過程的結(jié)果，看作某一過程的結(jié)果，因，因，看作該過程的若干個原看作該過程的若干個原把把nAAA,21根據(jù)歷史資料，每一緣由發(fā)生的概率知，根據(jù)歷史資料，每一緣由發(fā)生的概率知， 已已知知即即nAP 已知已知即即nABP而且每一緣由對結(jié)果的影響程度知，而且每一緣由對結(jié)果的影響程度知，假設(shè)知事件假設(shè)知事件B B曾經(jīng)發(fā)生，要求此時是由第曾經(jīng)發(fā)生，要求此時是由第 i i 個緣個緣由引起的概

17、率，那么用逆概率公式由引起的概率，那么用逆概率公式 BAPi即即求求A1, A2, A3是樣本空間的一個分割是樣本空間的一個分割依題意依題意: P(Ai )= 1/3 (i=1,2,3),P(B|A1)=2/3, P(B|A2 )=3/4, P(B|A3 )=1/2,某人從任一罐中恣意摸出一球某人從任一罐中恣意摸出一球,發(fā)現(xiàn)是紅球發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自求該球是取自 1號罐的概率號罐的概率.再看引例再看引例2 21解解 記記 Ai = 球取自球取自 i 號罐號罐 i=1, 2, 3; B = 獲得紅球獲得紅球 31111)|()()|()()|(iiiABPAPABPAPBAP由由貝貝葉葉斯斯

18、公公式式得得3代入數(shù)據(jù)計算得：代入數(shù)據(jù)計算得：23/836233231)|(1 BAP3623)( BPA1, A2, A3是樣本空間的一個分割是樣本空間的一個分割某人從任一罐中恣意摸出一球某人從任一罐中恣意摸出一球,發(fā)現(xiàn)是紅球發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自求該球是取自 1號罐的概率號罐的概率.再看引例再看引例2 21解解 記記 Ai = 球取自球取自 i 號罐號罐 i=1, 2, 3; B = 獲得紅球獲得紅球 31111)|()()|()()|(iiiABPAPABPAPBAP由由貝貝葉葉斯斯公公式式得得3依題意依題意: P(Ai )= 1/3 (i=1,2,3),P(B|A1)=2/3, P(

19、B|A2 )=3/4, P(B|A3 )=1/2,代入數(shù)據(jù)計算得：代入數(shù)據(jù)計算得：23/836233231)|(1 BAP3623)( BP;,)1(.,05. 080. 015. 003. 001. 002. 0321:.概概率率求求它它是是次次品品的的元元件件在在倉倉庫庫中中隨隨機機地地取取一一只只無無區(qū)區(qū)別別的的標標志志且且倉倉庫庫中中是是均均勻勻混混合合的的設(shè)設(shè)這這三三家家工工廠廠的的產(chǎn)產(chǎn)品品在在提提供供元元件件的的份份額額次次品品率率元元件件制制造造廠廠的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)根根據(jù)據(jù)以以往往的的記記錄錄有有以以下下件件制制造造廠廠提提供供的的的的元元件件是是由由三三家家元元某某電電子子設(shè)設(shè)備備

20、制制造造廠廠所所用用例例2 2,“取到的是一只次品”“取到的是一只次品”表示表示設(shè)設(shè) B)(BP求求家工廠提供的”家工廠提供的”“所取到的產(chǎn)品是由第“所取到的產(chǎn)品是由第表示表示設(shè)設(shè)iiAi)3 , 2 , 1( ，的的一一個個分分割割是是樣樣本本空空間間則則 321,AAA,05. 0)(,80. 0)(,15. 0)(321 APAPAP且且.03. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 ABPABPABP )()()()(321321BABABAPBAAAPBPBP 由由全全概概率率公公式式：03. 005. 001. 080. 002. 015. 0 ）332211()()()(

21、)()(ABPAPABPAPABPAP .0125. 0 .,)2(試求這些概率試求這些概率是多少是多少家工廠生產(chǎn)的概率分別家工廠生產(chǎn)的概率分別需求出此次品由三需求出此次品由三為分析此次品出自何廠為分析此次品出自何廠次品次品若已知取到的是若已知取到的是元件元件在倉庫中隨機地取一只在倉庫中隨機地取一只(2) 由逆概率公式得由逆概率公式得)()()()(111BPABPAPBAP 0125. 002. 015. 0 .24. 0 ,64. 0)(2 BAP.12. 0)(3 BAP.2 家家工工廠廠的的可可能能性性最最大大故故這這只只次次品品來來自自第第同理可得同理可得.0125. 0)(,02.

22、 0)(,15. 0)(11 BPABPAP;,)1(.,05. 080. 015. 003. 001. 002. 0321:.概概率率求求它它是是次次品品的的元元件件在在倉倉庫庫中中隨隨機機地地取取一一只只無無區(qū)區(qū)別別的的標標志志且且倉倉庫庫中中是是均均勻勻混混合合的的設(shè)設(shè)這這三三家家工工廠廠的的產(chǎn)產(chǎn)品品在在提提供供元元件件的的份份額額次次品品率率元元件件制制造造廠廠的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)根根據(jù)據(jù)以以往往的的記記錄錄有有以以下下件件制制造造廠廠提提供供的的的的元元件件是是由由三三家家元元某某電電子子設(shè)設(shè)備備制制造造廠廠所所用用例例4 4.,)2(試求這些概率試求這些概率是多少是多少家工廠生產(chǎn)的概率分別

23、家工廠生產(chǎn)的概率分別需求出此次品由三需求出此次品由三為分析此次品出自何廠為分析此次品出自何廠次品次品若已知取到的是若已知取到的是元件元件在倉庫中隨機地取一只在倉庫中隨機地取一只解解,“取到的是一只次品”“取到的是一只次品”表示表示設(shè)設(shè) B.家家工工廠廠提提供供的的”“所所取取到到的的產(chǎn)產(chǎn)品品是是由由第第表表示示i)3 , 2 , 1( iAi,321的的一一個個分分割割是是樣樣本本空空間間則則 AAA,05. 0)(,80. 0)(,15. 0)(321 APAPAP且且.03. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 ABPABPABP(1) 由全概率公式得由全概率公式得)()()()

24、()()()(332211ABPAPABPAPABPAPBP .0125. 0 (2) 由逆概率公式得由逆概率公式得)()()()(111BPABPAPBAP 0125. 002. 015. 0 .24. 0 ,64. 0)(2 BAP.12. 0)(3 BAP.2 家家工工廠廠的的可可能能性性最最大大故故這這只只次次品品來來自自第第?,.%95,.%55,%98,概概率率是是多多少少機機器器調(diào)調(diào)整整得得良良好好的的品品時時早早上上第第一一件件產(chǎn)產(chǎn)品品是是合合格格試試求求已已知知某某日日機機器器調(diào)調(diào)整整良良好好的的概概率率為為時時每每天天早早上上機機器器開開動動其其合合格格率率為為種種故故障障

25、時時而而當(dāng)當(dāng)機機器器發(fā)發(fā)生生某某產(chǎn)產(chǎn)品品的的合合格格率率為為良良好好時時當(dāng)當(dāng)機機器器調(diào)調(diào)整整得得明明對對以以往往數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)分分析析結(jié)結(jié)果果表表解解,“產(chǎn)產(chǎn)品品合合格格”為為事事件件設(shè)設(shè) B.“機器調(diào)整良好”“機器調(diào)整良好”為事件為事件A則有則有,55. 0)(,98. 0)( ABPABP例例3 3,05. 0)(,95. 0)( APAP)(BAP求求 )()()()(BAABPBAAPBPBP 由全概率公式：由全概率公式：)()(BAPABP )()()()(ABPAPABPAP 55. 005. 098. 095. 0 9585. 0 由逆概率公式得所求概率為由逆概率公式得所求概率為 )(

26、)()()(BPABPAPBAP 97. 09585. 098. 095. 0 ?,.%95,.%55,%98,概概率率是是多多少少機機器器調(diào)調(diào)整整得得良良好好的的品品時時早早上上第第一一件件產(chǎn)產(chǎn)品品是是合合格格試試求求已已知知某某日日機機器器調(diào)調(diào)整整良良好好的的概概率率為為時時每每天天早早上上機機器器開開動動其其合合格格率率為為種種故故障障時時而而當(dāng)當(dāng)機機器器發(fā)發(fā)生生某某產(chǎn)產(chǎn)品品的的合合格格率率為為良良好好時時當(dāng)當(dāng)機機器器調(diào)調(diào)整整得得明明對對以以往往數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)分分析析結(jié)結(jié)果果表表解解,“產(chǎn)產(chǎn)品品合合格格”為為事事件件設(shè)設(shè) B.“機器調(diào)整良好”“機器調(diào)整良好”為事件為事件A則有則有,55. 0)

27、(,98. 0)( ABPABP例例5 5,05. 0)(,95. 0)( APAP 由逆概率公式得所求概率為由逆概率公式得所求概率為)()()()()()()(ABPAPABPAPABPAPBAP 55. 005. 098. 095. 098. 095. 0 .97. 0 .97. 0,整良好的概率為整良好的概率為此時機器調(diào)此時機器調(diào)是合格品時是合格品時即當(dāng)生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品即當(dāng)生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品上題中概率上題中概率 0.95 是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的, 叫叫做先驗概率做先驗概率.P39而在得到信息之后再重新加以修正的概率而在得到信息之后再重新加以修正的概率0.97叫做后

28、驗概率叫做后驗概率.P39先驗概率與后驗概率先驗概率與后驗概率95. 0)( AP97. 0)( BAP后驗概率后驗概率逆概率公式逆概率公式(Bayes(Bayes公式公式) )先驗概率與后驗概率的關(guān)系先驗概率與后驗概率的關(guān)系 njjjiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()(先驗概率先驗概率).(,005. 0)(,005. 0,.95. 0)(,95. 0)(,:,ACPCPCAPCAPCA試試求求即即的的概概率率為為設(shè)設(shè)被被試試驗驗的的人人患患有有癌癌癥癥進進行行普普查查現(xiàn)現(xiàn)在在對對自自然然人人群群有有則則有有癌癌癥癥”表表示示事事件件“被被診診斷斷者者患患以以為為陽陽性性”

29、表表示示事事件件“試試驗驗反反應(yīng)應(yīng)若若以以驗驗具具有有如如下下的的效效果果某某種種診診斷斷癌癌癥癥的的試試根根據(jù)據(jù)以以往往的的臨臨床床記記錄錄 解解,005. 0)( CP依依題題意意 )(CP例例4 4 )(CAP而而)()()()()()()(CAPCPCAPCPCAPCPACP ,95. 0)( CAP05. 0995. 095. 0005. 095. 0005. 0 .087. 0 即平均即平均1000個具有陽性反響的人中大約只需個具有陽性反響的人中大約只需87人人患有癌癥患有癌癥.,995. 0,05. 0)(1 CAP)()()()()()()()()(CAPCPCAPCPCAPC

30、PAPACPACP ).(,005. 0)(,005. 0,.95. 0)(,95. 0)(,:,ACPCPCAPCAPCA試試求求即即的的概概率率為為設(shè)設(shè)被被試試驗驗的的人人患患有有癌癌癥癥進進行行普普查查現(xiàn)現(xiàn)在在對對自自然然人人群群有有則則有有癌癌癥癥”表表示示事事件件“被被診診斷斷者者患患以以為為陽陽性性”表表示示事事件件“試試驗驗反反應(yīng)應(yīng)若若以以驗驗具具有有如如下下的的效效果果某某種種診診斷斷癌癌癥癥的的試試根根據(jù)據(jù)以以往往的的臨臨床床記記錄錄 解解,005. 0)( CP依依題題意意,995. 0)( CP例例6 6,05. 0)(1)( CAPCAP而而,95. 0)( CAP由逆

31、概率公式得所求概率為由逆概率公式得所求概率為05. 0995. 095. 0005. 095. 0005. 0)()()()()()()( CAPCPCAPCPCAPCPACP.087. 0 即平均即平均1000個具有陽性反響的人中大約只需個具有陽性反響的人中大約只需87人人患有癌癥患有癌癥.每每100100件產(chǎn)品為一批件產(chǎn)品為一批, , 知每批產(chǎn)品中次品數(shù)不知每批產(chǎn)品中次品數(shù)不超越超越4 4件件, , 每批產(chǎn)品中有每批產(chǎn)品中有i i 件次品的概率為件次品的概率為 i 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1從每批產(chǎn)品中不放回地取從每批產(chǎn)品中不放回地取1010件進展檢驗件

32、進展檢驗, ,假設(shè)發(fā)現(xiàn)假設(shè)發(fā)現(xiàn)有不合格產(chǎn)品有不合格產(chǎn)品, ,那么以為這批產(chǎn)品不合格，否那么那么以為這批產(chǎn)品不合格，否那么就以為這批產(chǎn)品合格就以為這批產(chǎn)品合格. . 求求(1) (1) 一批產(chǎn)品經(jīng)過檢驗的概率；一批產(chǎn)品經(jīng)過檢驗的概率；(2) (2) 經(jīng)過檢驗的產(chǎn)品中恰有經(jīng)過檢驗的產(chǎn)品中恰有 i i 件次品的概率件次品的概率. .例例7 7設(shè)一批產(chǎn)品中有設(shè)一批產(chǎn)品中有i 件次品為事件件次品為事件Ai , i = 0,1,4 B 為一批產(chǎn)品經(jīng)過檢驗為一批產(chǎn)品經(jīng)過檢驗)(BP求求4 , 3 , 2 , 1 , 0, )( iBAPi求求由全概率公式與由全概率公式與Bayes Bayes 公式可計算公式

33、可計算P( B )P( B )與與4 , 3 , 2 , 1 , 0),( iBAPi解解 設(shè)一批產(chǎn)品中有設(shè)一批產(chǎn)品中有i i 件次品為事件件次品為事件Ai , i = 0,1,4Ai , i = 0,1,4B 為一批產(chǎn)品經(jīng)過檢驗為一批產(chǎn)品經(jīng)過檢驗知知P( Ai )P( Ai )如表中所示，如表中所示，4 , 3 , 2 , 1 , 0,)(1010010100 iCCABPiiA0, A1, A2 , A3, A4是樣本空間的一個分割是樣本空間的一個分割且且 i 0 1 2 3 4 P( Ai ) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1)(iABP1.0 0.9 0.809 0.727 0.

34、652)(iABP)(BAPi814. 0)()()(40 iiiABPAPBP4 , 3 , 2 , 1 , 0,)()()()( iBPABPAPBAPiii1.0 0.9 0.809 0.727 0.6520.123 0.221 0.397 0.179 0.0801 1 一批產(chǎn)品經(jīng)過檢驗的概率；一批產(chǎn)品經(jīng)過檢驗的概率； 2 經(jīng)過檢驗的產(chǎn)品中恰有經(jīng)過檢驗的產(chǎn)品中恰有 i 件次品的概率件次品的概率. i 0 1 2 3 4 P( Ai ) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1每每100100件產(chǎn)品為一批件產(chǎn)品為一批, , 知每批產(chǎn)品中次品數(shù)不知每批產(chǎn)品中次品數(shù)不超越超越4 4件件, , 每

35、批產(chǎn)品中有每批產(chǎn)品中有i i 件次品的概率為件次品的概率為 i 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1從每批產(chǎn)品中不放回地取從每批產(chǎn)品中不放回地取1010件進展檢驗件進展檢驗, ,假設(shè)發(fā)現(xiàn)假設(shè)發(fā)現(xiàn)有不合格產(chǎn)品有不合格產(chǎn)品, ,那么以為這批產(chǎn)品不合格，否那么那么以為這批產(chǎn)品不合格，否那么就以為這批產(chǎn)品合格就以為這批產(chǎn)品合格. . 求求(1) (1) 一批產(chǎn)品經(jīng)過檢驗的概率；一批產(chǎn)品經(jīng)過檢驗的概率；(2) (2) 經(jīng)過檢驗的產(chǎn)品中恰有經(jīng)過檢驗的產(chǎn)品中恰有 i i 件次品的概率件次品的概率. .例例7 7解解 設(shè)一批產(chǎn)品中有設(shè)一批產(chǎn)品中有i i 件次品為事件件次品為事件Ai

36、, i = 0,1,4Ai , i = 0,1,4B 為一批產(chǎn)品經(jīng)過檢驗為一批產(chǎn)品經(jīng)過檢驗4 , 3 , 2 , 1 , 0,40 jijiAAABjiii 那么那么知知P( Ai )P( Ai )如表中所示，且如表中所示，且4 , 3 , 2 , 1 , 0,)(1010010100 iCCABPii結(jié)果如下表所示結(jié)果如下表所示)(iABP)(BAPi814. 0)()()(40 iiiABPAPBP4 , 3 , 2 , 1 , 0,)()()()( iBPABPAPBAPiii i 0 1 2 3 4 P( Ai ) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.11.0 0.9 0.809 0.

37、727 0.6520.123 0.221 0.397 0.179 0.080例例8 (軟件包維護問題軟件包維護問題) 假設(shè)要維護一個有假設(shè)要維護一個有3個配置選項的軟個配置選項的軟件包。其中用戶用到件包。其中用戶用到A項的有項的有40%，用到，用到B項的有項的有30%，用，用到到C項的有項的有30%。假定用戶每個時辰只能運用一種選項。經(jīng)。假定用戶每個時辰只能運用一種選項。經(jīng)過對該軟件包支持閱歷的不斷積累，發(fā)現(xiàn)過對該軟件包支持閱歷的不斷積累，發(fā)現(xiàn)A項用戶的出現(xiàn)問項用戶的出現(xiàn)問題的概率是題的概率是0.5%，B項用戶是項用戶是0.75%，C項用戶是項用戶是0.95%。問維護的人力應(yīng)該投向哪個選項？問

38、維護的人力應(yīng)該投向哪個選項？解解 假設(shè)每個選項能夠?qū)е碌募夹g(shù)支持懇求的百分比是一樣假設(shè)每個選項能夠?qū)е碌募夹g(shù)支持懇求的百分比是一樣的，顯然應(yīng)該對發(fā)生支持懇求用戶數(shù)最多的那個選項集中的，顯然應(yīng)該對發(fā)生支持懇求用戶數(shù)最多的那個選項集中人力對其加以改良。人力對其加以改良。 由貝葉斯公式得由貝葉斯公式得P(A)P(|A)P(A |) =P(A)P(|A)+ P(B)P(| B)+ P(C)P(|C)問題問題問題問題問題知P(A)=40%，P(B)=30%，P(C)=30%，P(問題|A)=0.5%，P(問題|B)=0.75%， P(問題|C)=0.95%，于是有 比較三個結(jié)果可知，維護的人力應(yīng)投向C項

39、。0.40.005P(A |) =0.40.005+0.30.00750.30.00950.0020.281728%0.00710.30.0075P(B|) =0.40.005+0.30.00750.30.00950.0022532%0.00710.30.0095P(C |) =0.40.005+0.30.00750.30.00950.002850.007問題問題問題40%1 貝葉斯公式可作如下解釋：假定有n個兩兩互斥的“緣由A1,A2,An可引起同一種“景象B發(fā)生，假設(shè)該景象已發(fā)生，利用貝葉斯公式可算出由某一個緣由Aj(j=1,2, ,n)所引起的能夠性有多大。假設(shè)能找到某個Aj，使 P(A

40、j|B)=maxP(Aj|B) (1jn)那么Aj就是引起“景象B的最大“緣由。 上述結(jié)論有諸多運用，如可用于公安機關(guān)破案警力的配備，渣滓郵件的過濾和計算機網(wǎng)絡(luò)防火墻的設(shè)計等方面的參考。練習(xí)1 用X射線檢查肺癌的可靠性有以下數(shù)據(jù)，肺癌患者經(jīng)過檢查被確診的有98，而未患肺癌者經(jīng)檢查有99%可正確診斷為未患肺癌，誤診率分別為2%及1%。在某人口密集的工業(yè)區(qū)，估計有3%的人患肺癌，現(xiàn)從該地域任選1人檢查，試求： (1)假設(shè)此人被診斷為患肺癌，他確患此病的概率； (2)假設(shè)此人被診斷為未患肺癌，他實患此病的概率 (3)解釋以上結(jié)論的意義。 解：設(shè)A=此人確實患肺癌 B=此人被診斷為患肺癌 P(B|A)

41、0.98 P(B|A)0.99 P(A)0.03(1) 假設(shè)此人被診斷為患肺癌，他確患此病的概率(2) 假設(shè)此人被診斷為未患肺癌，他實患此病的概率P(AB)P(A)P(B|A)P(A|B)P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)0.03 0.980.75200.03 0.980.97 0.01P(AB)P(A)P(B|A)P(A|B)P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)0.03 0.020.00060.03 0.020.97 0.99(3) 解釋以上結(jié)論的意義: 對被查出患有肺癌，確實患有肺癌的概率是0.7520那么實踐未患癌的能夠性有近1/4。應(yīng)不要太緊張，可作進一步檢查。 對未被診斷為未患肺癌，他實患此病的概率0.0006,那么實踐未患此病的概率是：0.9994，可以置信未患癌癥的檢查結(jié)果。1.條件概率條件概率)()()(APABPABP 全概率公式全概率公式貝葉斯公式貝葉斯公式小結(jié)1122( )() ()() ()() ()nnP AP B P ABP B P ABP B P AB1() ()(),1,2, .() ()iiinjjjP B P A BP B AinP BP A B()( ) ()P ABP A P B A乘法定理乘法定理.)AB(P)AB(P,AB)AB(P,AB)AB(P,.B,)AB(P,AB,)AB(P