第四章根軌跡方程

1、- -第四章 根軌跡法4-1 根軌跡的根本概念一 根軌跡概念：閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能與閉環(huán)極點(diǎn)在s平面上的位置密切相關(guān),系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)也就是特征方程式的根.當(dāng)系統(tǒng)的某一個(gè)或某些參量變化時(shí),特征方程的根在s平面上運(yùn)動(dòng)的軌跡稱(chēng)為根軌跡.根軌跡法: 直接由開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)求取閉環(huán)特征根的方法.Ks(0.5s+1)圖4-1 控制系統(tǒng)的構(gòu)造圖圖 3-10 標(biāo)準(zhǔn)化二階系統(tǒng)C(s)R(s)例：設(shè)控制系統(tǒng)如圖4-1所示 , 開(kāi)環(huán)極點(diǎn)： , ；式中此系統(tǒng)的特征方程式可寫(xiě)為：討論： 令k為0.可以用解析的方法求出閉環(huán)極點(diǎn)的全部數(shù)值，將這些數(shù)值標(biāo)住在S平面上，并連成光滑的粗實(shí)線，如圖4-2所示。圖上，粗實(shí)線就稱(chēng)為系統(tǒng)的根軌

2、跡。分析:1.變化時(shí),根軌跡均位于左半s平面,系統(tǒng)恒穩(wěn)定.2.根軌跡有兩條,兩個(gè)起點(diǎn)3.時(shí),閉環(huán)特征根為負(fù)實(shí)根,呈過(guò)阻尼狀態(tài).4.時(shí),閉環(huán)特征根為一對(duì)重根,響應(yīng)為單調(diào)上升的指數(shù)曲線.5.時(shí),閉環(huán)特征根為共軛復(fù)根,響應(yīng)為衰減振蕩.6.開(kāi)環(huán)增益K可有根軌跡上對(duì)應(yīng)的值求得.為可變參量繪制的根軌跡,稱(chēng)為常規(guī)根軌跡.二、根軌跡的幅值條件和相角條件R(s)C(s)G(S)H(S)圖4-3 控制系統(tǒng)的構(gòu)造圖圖 3-10 標(biāo)準(zhǔn)化二階系統(tǒng)設(shè)單閉環(huán)控制系統(tǒng)框圖如圖：通常有兩種表示形式：A時(shí)間常數(shù)形式：B零、極點(diǎn)形式：那么，系統(tǒng)特征方程: 1+G(s)H(s)=0 G(s)H(s)= -1 幅值條件: |G(s)H

3、(s)|=1 相角條件: G(s)H(s)=(2k+1), k=0,1,2,考慮開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)一般形式： ,因此幅值條件: 或 相角條件: =(2q+1), q=0,1,2,說(shuō)明：幅值條件與K0有關(guān)，而相角條件與K0無(wú)關(guān)。因此，凡能滿(mǎn)足相角條件的點(diǎn)必然滿(mǎn)足幅值條件；而滿(mǎn)足幅值條件的點(diǎn)不一定滿(mǎn)足相角條件！因此，繪制根軌跡的一般步驟是：先找出S平面上滿(mǎn)足相角條件的點(diǎn)，并把它們連成曲線；然后根據(jù)實(shí)際需要，用幅值條件確定相關(guān)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的K值。例子：P107，例4-1。4-2 繪制根軌跡的根本規(guī)那么閉環(huán)特征方程：上式說(shuō)明了系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)和開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的關(guān)系?；谶@種關(guān)系，就可以根據(jù)開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的分布確定閉環(huán)極點(diǎn)

4、的位置了。根軌跡是根據(jù)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)去繪制的。在下面的討論中，假定所研究的變化是根軌跡增益值K0，但是當(dāng)可變參數(shù)為系統(tǒng)的其他參數(shù)時(shí)，這些根本法那么仍然適用。這些根本法那么繪出的根軌跡，其相角遵循1800+2k條件的稱(chēng)為1800根軌跡；其相角遵循00+2k條件的，稱(chēng)為00根軌跡。規(guī)那么1：對(duì)稱(chēng)性法那么根軌跡對(duì)稱(chēng)于S平面的實(shí)軸。規(guī)那么2：根軌跡的分支數(shù)、根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)：分支數(shù)等于特征方程的階數(shù)，為n條；根軌從n個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)出發(fā)，其中m條終于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，(n-m)條終點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處。, K0=0為根軌跡的起點(diǎn) s = pi， K0為根軌跡的終點(diǎn) s = zj或s規(guī)那么3：根軌跡在實(shí)軸上分布： 實(shí)軸

5、上某線段右邊的實(shí)零點(diǎn)和實(shí)極點(diǎn)總數(shù)為奇數(shù)時(shí), 這些線段就是根軌跡的局部。規(guī)那么4：根軌跡的漸進(jìn)線 n-m條趨向無(wú)窮遠(yuǎn)的根軌跡可由漸進(jìn)線決定： 漸進(jìn)線的傾角為: 漸進(jìn)線與實(shí)軸的交點(diǎn)為: 例1：設(shè)控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,求漸進(jìn)線和與實(shí)軸的交點(diǎn)。解1系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為0，3，(1j)和(1j),它們是根軌跡上各分支的起點(diǎn)。共有四條根軌跡分支。有一條根軌跡分支終止在有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn)2，其它三條根軌跡分支將趨向于無(wú)窮遠(yuǎn)處。2確定根軌跡的漸近線漸近線的傾斜角為取式中的q=0，1，2，得a=/3，5/3，或60及180。漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為規(guī)那么5：根軌跡的別離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)、別離角：兩條以上根軌跡的交點(diǎn)。 別離點(diǎn)和

6、會(huì)合點(diǎn)必須滿(mǎn)足方程 -必要條件 別離角-根軌跡離開(kāi)重極點(diǎn)處的切線與實(shí)軸正方向的夾角 別離角= ， r為重根數(shù)，q=0,1,2例2：控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為，確定根軌跡的別離點(diǎn)。解 ：系統(tǒng)的特征方程式為：即：利用,那么有解之可得，別離點(diǎn)d1=0.46 和 d2=2.22。規(guī)那么6：根軌跡的出射角和入射角： 出射角:從復(fù)數(shù)極點(diǎn)出發(fā)的角度。 入射角:到達(dá)復(fù)數(shù)零點(diǎn)的角度。 P116， 圖4-13:取靠近的點(diǎn),由相角條件: 時(shí)，那么： 一般情況，出射角： 同理，入射角：規(guī)那么7：根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 兩種方法: (1).用勞斯判據(jù)求 (2).將帶入特征方程求解例3：設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：，試?yán)L制系統(tǒng)的根

7、軌跡。解 根據(jù)繪制根軌跡的法那么，先確定根軌跡上的一些特殊點(diǎn)，然后繪制其根軌跡圖。1系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為，是根軌跡各分支的起點(diǎn)。由于系統(tǒng)沒(méi)有有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，三條根軌跡分支均趨向于無(wú)窮遠(yuǎn)處。 2系統(tǒng)的根軌跡有條漸進(jìn)線漸進(jìn)線的傾斜角為取式中的q=0，1，2，得a=/3，5/3。漸進(jìn)線與實(shí)軸的交點(diǎn)為： 三條漸近線如圖4-13中的虛線所示。3實(shí)軸上的根軌跡位于原點(diǎn)與1點(diǎn)之間以及2點(diǎn)的左邊，如圖的粗實(shí)線所示。4確定別離點(diǎn)：系統(tǒng)的特征方程式為： 即：利用，那么有：解得： 和 由于在1到2之間的實(shí)軸上沒(méi)有根軌跡，故s2=1.577顯然不是所要求的別離點(diǎn)。因此，兩個(gè)極點(diǎn)之間的別離點(diǎn)應(yīng)為s1=0.423。5確定根軌跡

8、與虛軸的交點(diǎn)方法一 利用勞斯判據(jù)確定勞斯行列表為123202由勞斯判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的極限值為3。相應(yīng)于K=3的頻率可由輔助方程 確定。解之得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為。根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的頻率為方法二 令代入特征方程式，可得：即：令上述方程中的實(shí)部和虛局部別等于零，即：，所以 ：系統(tǒng)的根軌跡如下列圖：jS平面規(guī)那么8：閉環(huán)極點(diǎn)的和與積. 系統(tǒng)特征方程(nm時(shí))為閉環(huán)極點(diǎn)的和：閉環(huán)極點(diǎn)的積：可利用此性質(zhì)判閉環(huán)極點(diǎn)的分布情況 一些變化后,另一些會(huì)做相反變化.例4：在例3中，確定根軌跡各分支上每一點(diǎn)的值根據(jù)繪制根軌跡的根本法那么，當(dāng)從開(kāi)環(huán)極點(diǎn)0與1出發(fā)的兩條根軌跡分支向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，從另一極點(diǎn)2出發(fā)的根軌跡

9、分支一定向左移動(dòng)。當(dāng)前兩條根軌跡分支和虛軸在K=3處相交時(shí)，可按式開(kāi)環(huán)極點(diǎn)0，-1，-2之和；即和為定值求出后一條根軌跡分支上K=3的點(diǎn)為x=3。由4知，前兩條根軌跡分支離開(kāi)實(shí)軸時(shí)的相應(yīng)根值為0.423j0。因此，后一條根軌跡分支的相應(yīng)點(diǎn)為所以 ，x=2.154。因本系統(tǒng)特征方程式的三個(gè)根之和為-3，利用這一關(guān)系，可確定根軌跡各分支上每一點(diǎn)的K值?，F(xiàn)在根軌跡的別離點(diǎn)分別為0.423j0和2.154，該點(diǎn)的K值為= -0.423即，K=0.192。另：閉環(huán)極點(diǎn)確實(shí)定:1. 在根軌跡上任取一點(diǎn),可由 確定相應(yīng)的值.2. 給定值,可由做射線,求得一對(duì)共軛復(fù)根.C(s)R(s)圖 控制系統(tǒng)的構(gòu)造圖圖

10、3-10 標(biāo)準(zhǔn)化二階系統(tǒng)例5：設(shè)控制系統(tǒng)的構(gòu)造圖如下列圖試證明系統(tǒng)根軌跡的一局部是圓；解 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為0和2，開(kāi)環(huán)零點(diǎn)為3。由根軌跡的幅角條件：得 ： s為復(fù)數(shù)。將代入上式，那么有即： 取上述方程兩端的正切，并利用以下關(guān)系有： 即： 這是一個(gè)圓的方程，圓心位于3，j0處，而半徑等于注意，圓心位于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)上。證畢。例6：設(shè)控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。解1系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為0，3，(1j)和(1j),它們是根軌跡上各分支的起點(diǎn)。共有四條根軌跡分支。有一條根軌跡分支終止在有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn)2，其它三條根軌跡分支將趨向于無(wú)窮遠(yuǎn)處。2確定根軌跡的漸近線漸近線的傾斜角為取式中的K=0

11、，1，2，得a=/3，5/3，或60及180。三條漸近線如圖中的虛線所示。漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為3實(shí)軸上的根軌跡位于原點(diǎn)與零點(diǎn)2之間以及極點(diǎn)3的左邊，如圖4-14中的粗線所示。從復(fù)數(shù)極點(diǎn)(1j)出發(fā)的兩條根軌跡分支沿60漸近線趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處。4在實(shí)軸上無(wú)根軌跡的別離點(diǎn)。5確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)的特征方程式為即 勞斯行列表185 0 6 假設(shè)陣列中的s1行等于零，即6+3K150K/34-3K=0，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。解之可得K=2.34。相應(yīng)于K=2.34的頻率由輔助方程確定。解之得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為s=j1.614。根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的頻率為=1.614。6確定根軌跡的出射角根據(jù)繪制根軌跡的根本

12、法那么，自復(fù)數(shù)極點(diǎn)p1=1j出發(fā)的根軌跡的出射角為將由圖中測(cè)得的各向量相角的數(shù)值代入并取k=0，那么得到系統(tǒng)的根軌跡如下列圖。S平面-1-2-3-40j1j2j3-j3135459026.6j圖 例6系統(tǒng)的根軌跡例7：設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函為，試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡。解：根軌跡方程為1確定實(shí)軸上的根軌跡：實(shí)軸上0，-3區(qū)域必為根軌跡。2確定實(shí)軸上的漸進(jìn)線：由于n-m=4,故有四條根軌跡漸進(jìn)線。3確定別離點(diǎn)：用試探法求得d-2.34確定起始角：用量角器量各向量相角，算得5確定根軌跡與虛軸交點(diǎn)：本例閉環(huán)特征方程為法一：應(yīng)用勞斯判據(jù)，有令,得k*=8.16.根據(jù)行的系數(shù)，得如下輔助方程。，代入K*=8.

13、16，令s=jw，得w=+1.1或w=-1.1法二：將s=jw代入特征方程式，可得4-3 參量根軌跡的繪制一. 參量根軌跡以非為參變量的根軌跡稱(chēng)參量根軌跡,又稱(chēng)廣義根軌跡。繪制方法: 將參量演化到相當(dāng)于的位置上,適用前述規(guī)那么。例：P121二. 幾個(gè)可變參量的根軌跡的繪制應(yīng)用場(chǎng)合：分析幾個(gè)參量同時(shí)變化時(shí)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。繪制方法：固定某些參量，改變其中一個(gè)參量進(jìn)展繪制根軌跡簇。例：P122例1 圖中，系統(tǒng)I為比例控制系統(tǒng)，系統(tǒng)為比例-微分系統(tǒng)，系統(tǒng)為測(cè)速反響控制系統(tǒng)，Ta表示分?jǐn)?shù)分器時(shí)間常數(shù)或測(cè)速反響系數(shù)。試作分析，比較。4-4 非最小相位系統(tǒng)的根軌跡傳遞函數(shù)的極點(diǎn)決定了相應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，穩(wěn)定

14、系統(tǒng)的全部極點(diǎn)位于S的左半平面，然而系統(tǒng)有右半平面的零點(diǎn)時(shí)系統(tǒng)還可以穩(wěn)定的。最小相位系統(tǒng)：傳遞函數(shù)的全部零點(diǎn)均位于S左半平面的系統(tǒng)。非最小相位系統(tǒng)：傳遞函數(shù)的局部或全部零點(diǎn)在S右半平面。工程上出現(xiàn)非最小相位系統(tǒng)的三種情況：1、 系統(tǒng)中存在著局部正反響回路；R(s)C(s)G(S)H(S)2、 系統(tǒng)中含有非最小相位元件；3、 系統(tǒng)中含有滯后環(huán)節(jié)；一、正反響回路的根軌跡正反響系統(tǒng)框圖如圖：閉環(huán)傳遞函數(shù): 零度根軌跡規(guī)那么作相應(yīng)修改:規(guī)那么3: 實(shí)軸上存在根軌跡的條件是其右邊的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目之和為偶數(shù).規(guī)那么4：漸近線的傾角. 規(guī)那么6: 出射角 入射角 R(s)C(s)G(S)H(S)例1：設(shè)正

15、反響系統(tǒng)構(gòu)造圖如下列圖，其中試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。解：根軌跡方程為二、系統(tǒng)中含有非最小相位元件P125二、滯后系統(tǒng)的根軌跡P1254-7 用根軌跡分析控制系統(tǒng)一、用根軌跡法確定系統(tǒng)的有關(guān)參數(shù)P138二、確定指定K0時(shí)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 如果K，可以沿著特定的根軌跡分支，根據(jù)幅值條件，用試探法求相應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)。當(dāng)代數(shù)方程的次數(shù)較高時(shí)，求根比較困難，即使利用此法例1：試用根軌跡法確定以下代數(shù)方程的根解 當(dāng)代數(shù)方程的次數(shù)較高時(shí)，求根比較困難，即使利用試探法，也存在一個(gè)選擇初始試探點(diǎn)的問(wèn)題。用根軌跡法可確定根的分布情況，從而對(duì)初始試探點(diǎn)作出合理的選擇。把待求代數(shù)方程視為某系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式，作等效變換

16、得Kg=1時(shí)，即為原代數(shù)方程式。等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為因?yàn)镵g0, 先做出常規(guī)根軌跡。 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)z1=2，z2=4；開(kāi)環(huán)有限極點(diǎn)為p1=p2=0，p3=1，p3=3。實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為-4，-3，-2，-1。根軌跡有兩條漸近線，且a=1，a=90。作等效系統(tǒng)的根軌跡如下列圖。 例1 系統(tǒng)的根軌跡-4-3-2-10jS平面圖知，待求代數(shù)方程根的初始試探點(diǎn)可在實(shí)軸區(qū)間4，3和2，1內(nèi)選擇。確定了實(shí)根以后，運(yùn)用長(zhǎng)除法可確定其余根。初選s1=1.45，檢查模值由于Kg1故應(yīng)增大s1，選s1=1.442，得Kg=1.003。初選s2=3.08，檢查模值得Kg=1.589，由于Kg1，故應(yīng)增大s2，

17、選s2=3.06，得Kg=1.162。經(jīng)幾次試探后，得Kg=0.991時(shí)s2=3.052。設(shè)運(yùn)用多項(xiàng)式的長(zhǎng)除法得解得。解畢。三、確定具有指定阻尼比的閉環(huán)極點(diǎn)和單位階躍響應(yīng)閉環(huán)極點(diǎn)確實(shí)定:1、根軌跡上任取一點(diǎn),可由 確定相應(yīng)的值.2、給定值,可由做射線,求得一對(duì)共軛復(fù)根.K(0.5s+1)4例2 控制系統(tǒng)的構(gòu)造圖圖 3-10 標(biāo)準(zhǔn)化二階系統(tǒng)C(s)R(s)例2： 控制系統(tǒng)如下列圖1 試根據(jù)系統(tǒng)的根軌跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2 估算時(shí)的K值。解：1系統(tǒng)有四個(gè)開(kāi)環(huán)重極點(diǎn)：p1=p2=p3=p4= -2。沒(méi)有零點(diǎn)。實(shí)軸上除2一點(diǎn)外，沒(méi)有根軌跡段。根軌跡有四條漸進(jìn)線，與實(shí)軸的交點(diǎn)及夾角分別為，下面證明根軌跡

18、和漸近線是完全重合的。將根軌跡上任一點(diǎn)s=s1代入幅角方程，有即 和漸近線方位角的表達(dá)式比較，兩者相等，于是有由于s1的任意性，因此根軌跡和漸近線完全重合。系統(tǒng)的根軌跡如下列圖。jw 例2 系統(tǒng)的根軌跡S平面圖知，隨著Kg的增加，有兩條根軌跡將與虛軸分別交于j2和j2處。將s=j2代入幅值方程有解得開(kāi)環(huán)根增益：Kgc=64，開(kāi)環(huán)增益：Kc=Kg/16=4即當(dāng)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)虛根j，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定的狀態(tài)。當(dāng)K4時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)將出現(xiàn)一對(duì)實(shí)部為正的復(fù)數(shù)根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。所以，使系統(tǒng)穩(wěn)定的開(kāi)環(huán)增益范圍為0K4。2由超調(diào)量的計(jì)算公式及指標(biāo)要求，有解得，即，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的阻尼角為。在s平面上做等阻尼線OA，使之與負(fù)實(shí)軸夾角為=60。OA與根軌跡相交于s1點(diǎn)，容易求得，s1=0.73+j1.27，代入幅值方程，有注意：此題應(yīng)用二階欠阻尼系統(tǒng)的超調(diào)量和阻尼比關(guān)系式估算四階系統(tǒng)的性能指標(biāo)，實(shí)際上是利用了閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念。不難驗(yàn)證，本系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)的分布滿(mǎn)足主導(dǎo)極點(diǎn)的分布要求?？梢哉J(rèn)為s1、s2是主導(dǎo)極點(diǎn)，忽略s3、s4的作用，從而將一個(gè)復(fù)雜的四階系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)，大大簡(jiǎn)化了問(wèn)題的處理過(guò)程。四、增加開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響.結(jié)論:1.增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)后,根軌跡將向零點(diǎn)方