參數估計與假設檢驗練習題精

1、第5章參數估計與假設檢驗練習題1、設隨機變量X的數學期望為N,方差為02,(Xi,X2,一，Xn)為X的一個樣本,試比較1n.0.,1n一一.，E(-Z(XiN)與E(-Z(Xi-X)的大小。ni4ny(前者大于后者)2、設隨機變量X與Y相互獨立，已知EX=3,EY=4,DX=DY=屋，試問：k取何值時,Z=k(X2-Y2)+Y2是o2的無偏估計。(16/7)3、設正態(tài)總體XN(N,仃2),參數N,仃2均未知，(X1,X2,，Xn)(n>2)n1為簡單隨機樣本，試確定C,使得夕2=C£(Xt-Xi)2為a2的無偏估計。i112(n-1)4、假設總體X的數學期望為N,方差為仃2,

2、(X1,X2,.,Xn)為來自總體X的一個樣本,X、S2分別為樣本均值和樣本方差，試確定常數c,使得X2-CS2為N2的無偏估計量.(1/n)5、設X1,X2是取自總體N(口，仃2)(口未知)的一個樣本，試說明下列三個統(tǒng)計量,13.11111.*,杪1=1X1+3X2,%=1X1+1X2,，=1X1+1X2中哪個最有效。442232?23x26、設某總體X的密度函數為：f（x,6）=-300：x二其它,(Xi,X2,，Xn)為該總體的樣本,Yn=max（X1,X2，Xn）,試比較未知參數0的估計量-X3與竺匚工哪3n個更有效?時，黑Yn更有效107、從某正態(tài)總體取出容量為10的樣本，計算出&#

3、163;為i=1=15010-2,工xi=2720i=1o求總體期望與方差的矩估計I?和92。478、設總體1/一1wX具有密度f(x;3)=C§x0C為已知常數,x<C且C>0,從中抽得一樣本X1,X2,，Xn,求參數3的矩估計量。9、設總體X服從（0,S）上的均勻分布，其中>>0是未知參數，（X1,X2，Xn）為簡單隨機樣本，求出3的矩估計量?,并判斷?是否為G的無偏估計量。一,-1n一(2X,其中X=七Xi;是)nt10、設（X1,X2,，Xn）為總體X的一組樣本，總體X密度函數為：12f(X；3)=_1X0MxM*10其它,其中3>1且未知。試求

4、該總體未知參數3的極大似然估計量。1lnXni40(1-x)0J,xw(0,1)11、設總體X的概率密度為f(X；8)=，其中日>0是未知參數,、0,x(0,1)5(X1,X2,，Xn)是取自總體X的一個樣本，試求：總體期望EX的最大似然估計量值和最大似然估計量。?MLE=n“l(fā)n1(-xi)i1n%ln1(-xi)-ni1n%ln(1-Xi)y12、設樣本X1,X2,，Xn為取自分布密度為f(x)的總體，其中3(SSr'axx>0f(x)=()(r已知)，&>0,求參數S的極大似然估計。0x<0cr1n(&LE=二，其中x=一乙xixni1Cr

5、.-1.n猊LE=q,其中X=-ZXiXnid13、已知某地區(qū)各月因交通事故死亡的人數為3,4,3,0,2,5,1,0,7,2,0,3。若死亡人數X服從參數為人的Poisson分布，求：(1)九的極大似然估計值；(2)利用(1)的結果求P(X>2)。1(1)Zle=2.5；(2)0.4562)1-7-x14、設(X1,X2,，Xn)為總體X的一組樣本，總體X密度函數為：f(x;b)=e仃2二(參數a未知，且a>0),(1)試求未知參數的極大似然估計量；(2)檢驗其無偏性。一1n.一一、(1)%lE=11Xi；(2)無偏估計量)nwX-2-215、設總體X密度函數為：f(x;3)=&

6、lt;”exa0,(參數S>0且未知)，取樣本、0其它(X1,X2,，Xn),求總體未知參數G的最大似然估計量和矩估計量。lT2npi2；蹴飛，其中引三),一»、一，痣X用,0<X<1，一八/一16、設總體X具有密度函數f(x;3)=廣X0：一1(其中G為未知參數，且0其它>>0),取自總體X的一組樣本(X1,X2,，Xn),求3的矩估計量和極大似然估計量。nnZlnXi'X弋甘+-1J,其中X=£Xi1Xni-x17、設隨機變量Xf(x)=xex0（未知參數人>0），且EX=R。取樣本（X1,0x<0X2,，Xn),求總體

7、期望N的矩估計量和極大似然估計量，并檢驗其無偏性。_1n_1n(恁E=X,其中X=ZXi,無偏；*mle=2X2,其中X=TXi,nidnyE?mle=2£X2=旦卜"匕有偏)n,18、作n次獨立重復試驗，觀察到事件A發(fā)生了m次，試證明P(A)=p的矩估計和極大似然估計均為m/n19、方差仃2已知，置信度為1-口，為使正態(tài)總體均值N的置信區(qū)間長度不大于L,樣本容量至少為多少？2(不小于±uj/2的最小正整數)20、設總體XN(N,102)(N未知),若要使N的置信度為0.95的雙側置信區(qū)間的長度為4,求樣本容量n最小應為多少？(97)21、由總體XN(N,仃2)(

8、仃2未知)取得一個樣本Xi,X2,，X9,計算出一x=10,1921Z(xi-10)2=2，試求N的雙側置信區(qū)間(a=0.05)。9口(8.847,11.153)22、從一批釘子中隨機抽取16枚，測得平均長度為2.125cm,樣本標準差為0.01713cm,假設釘子的長度X服從方差為0.012的正態(tài)分布，求總體X的均值N的置信度為90%的置信區(qū)問(計算結果保留小數點后三位有效數字)o(2.121,2.129)23、從一大批電子元件中隨機抽取100只，測得元件的平均壽命為1000小時，如果電子元件的壽命服從正態(tài)分布，且均方差仃=40小時，求&=0.05時，電子元件平均壽命的置信區(qū)問。(9

9、92.16,1007.84)24、設總體X容量為4的樣本為0.5,1.25,0.8,2.0,已知Y=lnX服從正態(tài)分布N(V-,1),(1)求總體X的數學期望；(2)求N的置信度為95%的置信區(qū)間。/彳、-1/、/、(1)e2;(2)(0.98,0.98)25、假設鋼珠的直徑服從正態(tài)分布，現從鋼珠的生產線中抽取容量為9的樣本(單位：mm),測的直徑的平均值"x=31.05,s2=0.252,試求：總體N和a2的雙側置信區(qū)間(a=0.05;t0.025(8)=2.306,t0.05(9)=1.8333,璘.95(9)=3.325,72.05(9)=16.919,72.025(8)=17

10、.535,?：.975(8)=2.18)。(30.858,31.242);(0.0285,0.2294)26、設總體XN(N,仃2),參數N,屋均未知，(X1,X2，-，Xn)為簡單隨機樣本，1nnX=£Xi,w2=£(Xi-X)2,若假設H0:N=0,H1:N#0。試寫出假設檢驗時使用的統(tǒng)ni1i1計量的表達式。X.-1n0nc(T=I,其中X=£Xi,W2=£(XiX)2)W/,n(n-1)nyy27、設某批產品的某項質量指標服從正態(tài)分布，并且方差根為150,從該批產品中抽取容量為25的一組樣本，并測得該項指標的平均值為1645(單位)，問是否可以認

11、為這批產品得該項指標值為1600(單位)？(«=0.05;ta/2(24)=2.064，0(1.96)=0.975,1(25)=1.708)(U-檢驗法，雙側，接受H0,可以)28、某燈泡廠所生產的燈泡的使用壽命士N(N,。2),如果生產正常時，N=2000(小時),現在抽檢25個燈泡后，得"x=1832,s=498,試問生產是否正常(a=0.05)?（t-檢驗法，雙側，接受H0,正常）29、某食品廠用自動裝罐機裝罐頭食品，規(guī)定當標準重量為250克，標準差不超過3克時，機器工作正常。每天定時檢查機器情況。現抽取16罐，測的平均重量為252克，樣本標準差為4克，假定罐頭重量服

12、從正態(tài)分布，試問該機工作是否正常（a=0.05）?（不正常）30、設某次考試的考生成績服從正態(tài)分布，從中隨機地抽取25位考生的成績，算得平均成績?yōu)?1.5分，標準差為15分。試問：在顯著水平0.05下，是否可以認為這次考試全體考生的平均成績?yōu)?5分？并寫出檢驗過程。（t-檢驗法，雙側，接受H0,可以）31、設某校高中二年級的數學考試成績服從正態(tài)分布，第一學期全年級數學考試平均分為80分，第二學期進行了教改，隨機抽取25名學生的數學成績，算得平均分為85分，標準差為10分。問：教改是否有效果（支=0.05）?（t-檢驗法，右側，否定H0，接受H1,有效果）32、某工廠生產一種金屬線，抗拉強度的測

13、量值XN（N,屋），且知N=105.6kg/mm2,現經過改進生產了一批新的金屬線，從中隨機地取10根作實驗，測出抗拉強度值，并計算得均值x=106.3kg/mm2,標準差s=0.8kg/mm2,問這批新線的抗拉強度是否比原來金屬線的抗拉強度高（口=0.05）?（t-檢驗法，右側，否定Ho,接受Hi,是）33、某工廠采用一種新的方法處理廢水。對處理后的水測量所含某種有毒物質的濃度X（N（N,。2）,測量10個水樣，得到以下數據：-x=17.10,s2=2.902。而以往用老方法處理廢水后，該種有毒物質的平均濃度為19。問新方法是否比老方法好（a=0.05,計算結果保留小數點后一位有效數字即可）？(t-檢驗法，左側，否定H0,接受Hi,是34、某廠生產的電子元件壽命服從方差為仃02=10000(小時2)的正態(tài)分布。現采用一種能提高元件效率的新工藝進行生產，并從生產線隨機抽取26只元件測出其壽命的樣本方差為S2=12000(小時2),試根據顯著性水平a=0.05,作如下顯著性檢驗H0:1=仃02,Hi:<t2#b2