物理系列教案43《萬有引力定律及應用》

1、第3講萬有引力定律及應用考情直播1.考綱要求考綱內(nèi)容能力要求考向定位1 .萬有引力定律及 其應用2 .環(huán)繞速度3 .第二宇宙速度和 第三宇宙速度1 .掌握萬有引力定律的內(nèi)容，并 能夠用萬有引力定律求解相關問題。2 .理解第一宇宙速的意義。3 . 了解第二宇宙速度和第三宇宙 速度萬有引力定律是廣東高考的必考內(nèi)容，也是全國高考命題的一個熱點內(nèi)容?？忌炀?掌握該定律的內(nèi)容，還要知道其主要應用，要 求能夠結合該定律與牛頓第二定律估算天體 質(zhì)量、密度、計算天體間的距離(衛(wèi)星高度)、 以及分析衛(wèi)星運動軌道等相關問題。要理解環(huán)繞速度實際上是衛(wèi)星在天體表 面做勻速圓周運動時的線速度。由于高考計算題量減少，

2、故本節(jié)命題應當 會以選擇題為主，難度較以前會有所降低。2.考點整合考點1萬有引力定律基本公式的理解1.萬有引力定律：(1)內(nèi)容：宇宙間的一切物體都是相互吸引的，兩個物體間的引力大小，跟它們的成正 比，跟它們成反比.(2)公式：，G為萬有引力常量，G=6.67X 1011N.m2/kg2.(3)適用條件：公式適用于間的相互作用.當兩個物體間的距離物體本身的大小時，物 體可視為質(zhì)點.2.物體在地球表面所受的重力與萬有引力的關系：若不考慮地球自轉(zhuǎn)，物體在地球表面運行時有，特別提醒:萬有引力普遍存在于物體之間，但萬有引力定律有其適用條件，。此外，要注意有些情況下萬有引力可以略，例如微觀粒子間的萬有引力

3、。例1如圖所示，在一個半徑為 R、質(zhì)量為M的均勻球體中，緊貼球的邊緣挖去一個半徑為R/2的球形空穴后，對位于球心和空穴中心連線上、與球心相距解析把整個球體對質(zhì)點的引力看成是挖去的小球體和剩 余部分對質(zhì)點的引力之和.其中完整的均質(zhì)球體對球外質(zhì)點的引力這個引力可以看成是d的質(zhì)點m的引力是多m分對質(zhì)點的引力F1與半徑為F GM? : m挖去球穴后的剩余部 dR/2的小球?qū)|(zhì)點的引力 F2之和，即F=F+F2.因半徑為 R/2的小球質(zhì)量M/為M，R34 38M.則F2 GMmM / m_2d R/2 2所以挖去球穴后的剩余部分對球外質(zhì)點m的引力FiF F2 GM? G Jd 8 d R/2227d 8

4、dR 2RGMm 2-8d2 d R/2 2【答案】GMmM 8d8dR 2R2-2d R/2考點2與天體有關的估算問題在估算有關天體的一些物理量時應緊扣兩個關鍵：掌握一串公式：，以及質(zhì)量公式.掌握一個模型：將天體或衛(wèi)星的運動看成運動，其向心力由提供.特別提醒:應用萬有引力定律能夠估算到的只是中心天體的質(zhì)量、密度等相關物理量，而 對于繞行天體，則只能計算其運動的線速度、角速度、周期、向心加速度等。例2 （2009湛師附中）中國首個月球探測計劃 嫦娥工程”預計在2017年送機器人上月球, 實地采樣送回地球，為載人登月及月球基地選址做準備。設想我國宇航員隨嫦娥”號登月飛船繞月球飛行，飛船上備有以下

5、實驗儀器：A計時表一只，B.彈簧秤一把，C.已知質(zhì)量為m的物體一個，D.天平一只（附祛碼一盒）。在飛船貼近月球表面時可近似看成繞月做勻速圓周運動，宇航員 測量出飛船在靠近月球表面的圓形軌道繞行N圈所用時間為t,飛船的登月艙在月球上著陸后，遙控機器人利用所攜帶的儀器又進行第二次測量，科學家利用上述兩次測量數(shù)據(jù)便可計算出月球 的半徑和質(zhì)量。若已知萬有引力常量為 G,則：（1）簡述機器人是如何通過第二次測量物體在月球所受的重力F。（2）試利用測量數(shù)據(jù)（用符號表示）球月球的半徑和質(zhì)量。解析（1）利用彈簧秤測量物體 m的重力F（2）在月球近地表面有，GM? m（）2R, T -R2TN在月球表面有，GM

6、7 FR2“FT2f 3T4則有 R 一 , M F T3 4m416Gm3 4FT 2f 3T 4【答案】（1）略（2） R -FT, M F T3 4m416Gm規(guī)律總結萬有引力定律在天文上的典型應用就是計算天體的質(zhì)量、密度、半徑，此時 要緊口兩個關鍵：一是緊扣一個物理模型：就是將天體（或衛(wèi)星）的運動看成是勻速圓周運 動；二是緊扣一個物體做圓周運動的動力學特征，即天體（或衛(wèi)星）的向心力由萬有引力提 供.考點3.描述天體運動的物理量之間的關系、衛(wèi)星變軌問題1 .描述天體運動的物理量主要有、與軌道半徑2 .行星和衛(wèi)星的運動可近似視為，而萬有引力提供行星、衛(wèi)星作勻速圓周運動的.3 .根據(jù)萬有引力

7、定律及向心力公式，可推導出線速度.角速度.周期隨高度變化的關系,具體關系如下：由得V jGM , r越大，v越小；由得JGM , r越大，越?。?】r/2 3由得T 4_L, r越大，T越大.GM特別提醒:衛(wèi)星在變軌過程中，機械能并不守恒。軌道半徑越大，運動的速度越小，但發(fā) 射時所需要的能量卻越多，即發(fā)射速度要越大。例3 （2009深圳外國語學校）嫦娥一號"探月衛(wèi)星以圓形軌道繞月飛行，衛(wèi)星將獲取的信息以微波信號發(fā)回地球，假設衛(wèi)星繞月的軌道平面與地月連心線共面，各已知物理量如 表中所示：地球質(zhì) 量月球質(zhì)里地球 半徑月球 半徑月球表向 重力加速度月球繞地軌道半 徑衛(wèi)星繞月軌道半 徑MmR

8、R1g1r門（1）嫦娥一號在奔月過程中受地球和月球引力相等時離月球面的高度為多少?（2）嫦娥一號繞月球一周所用的時間為多少？解析（1）設衛(wèi)星質(zhì)量m',由萬有引力定律得：衛(wèi)星受地球和月球引力相等有：G Mm Gmml2 l2又因為：L i + L 2 = r ,衛(wèi)星到月球表面的距離為：S = L 2 R 1I由上各式解得S，型R1.M . m2（2）由月球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供向心力得：Gmm2_Gr2 T在月球表面有：Gmm! mg1Ri解得繞月球一周所用的時間為：T 2 r1 r1g1Rgi - 12 r1Rg1【答案】(1) S二:''mR1 (2) T.M . m例

9、4 （2008山西太原）我國研制的嫦娥一號”衛(wèi)星于2007年10月24日18時由長征三甲運載火箭發(fā)射升空，星箭分離后在遠地點做了一次變軌，進入到16小時軌道，然后分別在16小時、24小時（停泊軌道）、48小時軌道（調(diào)相軌道）軌道近地點，各進行了一次變軌， 其中在調(diào)相軌道近地點變軌后，嫦娥一號”衛(wèi)星進入地月轉(zhuǎn)移軌道正式奔月，下列說法中正確的是（）A.嫦娥一號”由24小時軌道變?yōu)?8小時軌道時應讓其發(fā)動機 在A點點火向后噴氣B.嫦娥一號”由24小時軌道變?yōu)?8小時軌道時應讓其發(fā)動機在 B點點火向后噴氣C.嫦娥一號”沿24小時軌道在B點的速度大于沿 24小時軌道 在A點的速度D.嫦娥一號”沿48小時

10、軌道在B點的加速度大于沿 24小時軌 道在B點的加速度解析嫦娥一號”由由24小時軌道變?yōu)?8小時軌道應做離心運動，此時要增大速度，若選在A點點火，這樣會使衛(wèi)星進入另一個與 A點相切的橢圓軌道，而不會進入預定的與 B點相 切的48小時軌道，因此要在 B點點火，A錯B對；嫦娥一號”沿24小時橢圓軌道運動時， B 點相當于近地點而 A點相當于遠地點，根據(jù)機械能守恒可知 C選項正確。根據(jù)公式GMm/R2=ma 可知 嫦娥一號”沿48小時軌道在B點的加速度等于沿 24小時軌道在B點的加速度，故D錯。【答案】B C規(guī)律總結在處理變軌問題時，一定要分清圓周軌道與橢圓軌道，弄清楚軌道切點上速 度的關系，再根據(jù)

11、機械能的變化分析衛(wèi)星的運動情況?？键c4 萬有引力與重力的關系、黃金代換”關系1 .萬有引力與重力的關系地面上的物體由于受到地球的引力，這個力就是地球?qū)ξ矬w的萬有引力.物體所受到的萬有引力將產(chǎn)生兩個效果：一個是，另一個是物體隨地球一起轉(zhuǎn)動時所需要的.在一般情況下， 由于重力與萬有引力相差不大，所以認為兩者相等，即：，這個關系式也稱之為黃金代換公式.2 .重力加速度與距離地面高度的關系若不考慮地球自轉(zhuǎn)，在地球表面處有mg G嗎，即地球表面處的重力加速度g GM ;R2R2g"由牛頓第二定律可得:在距地表高度為h的高空處，萬有引力引起的重力加速度為Mmmg G2-即：。(R h)2可見重力

12、加速度隨高度增加而，這一結論對其它星球也適用.例5 (2009廣州大學附中)我國首個月球探測計劃“嫦娥工程”將分三個階段實施,大約用十年左右時間完成，這極大地提高了同學們對月球的關注程度.以下是某同學就有關月球的知識設計的兩個問題，請你解答：(1)若已知地球半徑為 R,地球表面的重力加速度為g,月球繞地球運動的周期為T,且把月球繞地球的運動近似看做是勻速圓周運動。試求出月球繞地球運動的軌道半徑。(2)若某位宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球某水平表面上方h高處以速度vo水平拋出一個小球，小球落回到月球表面的水平距離為 s。已知月球半徑為R月，萬有引力常量為Go 試求出月球的質(zhì)量 M月。解析(1

13、)假設地球質(zhì)量為 M ,有GMm/R 2=mg設月球繞地球運動的軌道半徑為r, 有GM月m/r2=m月r(2兀/T)由以上各式可得：r 32 2gR T4 2(2)設物體下落到月面的時間為t,有h=g月t2/2 , s= v0t可得：g月=2h vo2/s2,根據(jù)萬有引力定律，mgji=G Mm /R月2,解得M月=2h R2 vo2/Gs2【答案】(1) r ；JgR T(2) M 月=2h R月2 v02/Gs24規(guī)律總結處理中心天體質(zhì)量未知的問題，必然要用到黃金代換公式 這一公式，我們可以將中心天體的質(zhì)量用其表面重力加速度表示出來，即G-Mm mg。通過R2GM=gR2?？键c5三種宇宙速

14、度1.第一宇宙速度（環(huán)繞速度）：即衛(wèi)星繞地球表面做時的速度，此時重力提供向心力，由2v _ Mm mg m G廠得vR R2造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球運行的最速度。VRg 7.9 103km/s。這是人造地球衛(wèi)星的最小速度，也是人2.第二宇宙速度（脫離速度）：V2=VVi=11.2 km/s,使物體掙脫引力束縛的最小發(fā)射速度。3.第三宇宙速度（逃逸速度）：V3=16.7km/s,使物體掙脫引力束縛的最小發(fā)射速度。特別提醒:第一宇宙速度是發(fā)射衛(wèi)星的最小速度，卻是衛(wèi)星在圓周軌道上運行的最大速 度。例6我國將要發(fā)射一顆繞月運行的探月衛(wèi)星嫦娥1號"。設該衛(wèi)星的軌道是圓形的， 且貼近月球表面。已知月球

15、的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的1/81,月球的半徑約為地球半徑的 1/4,地球上的第一宇宙速度約為 7.9km/s,則該探月衛(wèi)星繞月運行的速率約為（）A. 0.4 km/s B. 1.8 km/s C. 11 km/s D. 36 km/s解析設地球質(zhì)量為 M、半徑為R,第一宇宙速度為 V,月球質(zhì)量為 m、半徑為r,第一2宇宙速度為 v,則根據(jù)第一宇宙速度的定義，對任一物體m ,有GMm- m ,而R2 R2G 粵 m匚，由兩以上兩式并代入數(shù)據(jù)可得v 1.8km/srr【答案】B規(guī)律總結第一宇宙速度亦即環(huán)繞速度，在高考中也頻繁出現(xiàn)，往往是要求其它星體的 第一宇宙速度，這就要求大家弄清該速度的本質(zhì)意義：即

16、衛(wèi)星圍繞星球表面做勻速圓周運動 時的速度。高考重點熱點題型探究熱點1衛(wèi)星、天體運動問題真題1 （2008年廣東高考）圖7是“嫦娥一導奔月”示意圖，衛(wèi)星發(fā)射后通過自帶的 小型火箭多次變軌，進入地月轉(zhuǎn)移軌道，最終被月球引力捕獲，成為繞月衛(wèi)星，并開展對月 球的探測，下列說法正確的是（A.發(fā)射“嫦娥一號”的速度必須達到第三宇宙 速度B.在繞月圓軌道上，衛(wèi)星周期與衛(wèi)星質(zhì)量有關C.衛(wèi)星受月球的引力與它到月球中心距離的平 方成反比D.在繞月圓軌道上，衛(wèi)星受地球的引力大于受 月球的引力解析“嫦娥一號”只是擺脫地球吸引，但并未飛離太陽系，則其發(fā)射速度應大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，A錯。根據(jù)GMm； m衛(wèi)

17、（2）2 R可知繞月周期與衛(wèi)星質(zhì)量無關,R2T故該軌道B錯。根據(jù)萬有引力定律可知 C正確。衛(wèi)星在擺脫地球引力后才能達到繞月圓軌道,上，衛(wèi)星受月球引力遠大于地球引力，D錯。【答案】C名師指引衛(wèi)星以及與航天知識相關的科技熱點，在高考中頻繁出現(xiàn)。這類問題，考查 的內(nèi)容相當廣泛，泛及衛(wèi)星運動的周期、軌道半徑、發(fā)射及運動速度、發(fā)射過程中的變軌問 題等。這幾年航天事業(yè)在我國的高速發(fā)展，這塊知識對考生的考查尤為重要。因此要求同學 們對萬有引力定律及相關知識全面掌握，并在平時關注相關熱點問題?！敬鸢浮砍鏊腡A垃MA 95 vB2TB9 M新題導練1 . （2009北京崇文區(qū)）2008年9月我國成功發(fā)射神舟七號

18、載人航天飛船。如 圖所示為神舟七號繞地球飛行時的電視直播畫面，圖中數(shù)據(jù)顯示，飛船距地面的高度約為地一一，1 ，一“球半徑的。已知地球半徑為 R,地面附 20近的重力加速度為 g,設飛船、大西洋星繞 地球均做勻速圓周運動。（1）估算神舟七號飛船在軌運行的加速度大??；（2）已知大西洋星距地面的高度約為地球半徑的6倍，估算大西洋星的速率。熱點2黃金代換公式的應用真題2 （2007上海高考）宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時間t小球落回原處；若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過時間5t小球落回原處。（取地球表面重力加速度 g= 10 m/s2,空氣阻力不計）求該星球表

19、面附近的重力加速度g。已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星:R地= 1:4,求該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比M星:M地。解析小球在地球上做豎直上拋運動，有t2VO。小球在星球上做豎直上拋運動，有2V0125t ,故 g -g 2m/s og5D2MmgR地（星）球表面物體所受重力大小近似于萬有引力，即G mg ,得M ,可解得:R2GM 星:M 地=1 12:5 42= 1:80【答案】1:80名師指引星球表面的重力加速度，是聯(lián)系物體運動與應用“黃金代換”公式的橋梁， 因此，要重視對重力加速度的求解的應用。新題導練2. （2009江蘇泰興）我國月球探測計劃“嫦娥工程”將分三個階段實施，大約 用十年

20、左右時間完成，這極大的提高了同學們對月球的關注程度。以下是某同學就有關月球 的知識設計的兩個問題，現(xiàn)請你解答：（1）若已知地球半徑為 R,地球表面的重力加速度為g,月球繞地球運動的周期為 T,且把月球繞地球的運動近似看做是勻速圓周運動。試求出月球繞地球運動的軌道半徑。（2）若某位宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度 V0豎直向上拋出一個小球，經(jīng)過時間t,小球落回到拋出點。已知月球半徑為R月，萬有引力常量為 Go試求出月球的質(zhì)量M月。熱點3環(huán)繞速度（第一宇宙速度）真題3 （2007天津高考）我國繞月探測工程的預先研究和工程實施已取得重要進展。設地球、月球的質(zhì)量分別為mi、m2,半徑分

21、別為Ri、R2,人造地球衛(wèi)星的第一宇宙速度為應的環(huán)繞周期為T,則環(huán)繞月球表面附近圓軌道飛行的探測器的速度和周期分別為（v,對)A.m2®, h、，mi R2mR2B.- v ,m2R1m2 Ri3 T mi R3C.m2% v , m1R2miR23 T m2Ri3m2Ri3T miR3D.mR2Vv ,m2RimiR3 丁 :m2Ri3解析第一宇宙速度是物體圍繞星球表面作勻速圓周運動的速度,根據(jù)萬有引力定律及向心力公式，質(zhì)量為 m繞地球表面做圓周運動的物體有 6號Ri2 V m Rim(-2)2 Ri ,而質(zhì)量為m2繞月球表面做圓周運動的物體有 Gmm m-RR222一,、，一m（

22、幸）12,由以上兩式相比可知A選項正確。【答案】A名師指引解題的關鍵是準確理解第一宇宙速度的意義，即物體圍繞星球表面作勻速圓 周運動的速度，此時物體的重力近似等于萬有引力，并提供圓周運動的向心力。新題導練3. （2009廣州調(diào)研）航天宇航員在月球表面完成了如下實驗：如圖所示，在月 球表面固定一豎直光滑圓形軌道，在軌道內(nèi)的最低點，放一可視為質(zhì)點的小球，當給小球水平初速度 V0時，小球剛好能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運動。已知圓形軌道半徑為r,月球的半徑為 Ro若在月球表面上發(fā)射一顆環(huán)月衛(wèi)星，求最小發(fā)射速度。熱點4與萬有引力定律相關的信息題真題4 （2008全國高考II）我國發(fā)射的為了獲得月球表面全貌的信息，讓衛(wèi)星軌道平面緩慢變化。衛(wèi)星將獲得的信息持續(xù)用微 波信號發(fā)回地球。 設地球和月球的質(zhì)量分別 為M和m,地球和月球的半徑分別為R和Ri,月球繞地球的軌道半徑和衛(wèi)星繞月球的 軌道半徑分別為r和門，月球繞地球轉(zhuǎn)動的4”探月B星沿近似于圓形軌道繞月飛行。周期為