數(shù)學(xué)歸納法_課件(人教A版選修2-2)

1、11-12學(xué)年高二數(shù)學(xué)：2.3 數(shù)學(xué)歸納法 課件（人教A版選修2-2）23數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法 理解數(shù)學(xué)歸納法的概念，掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟 本節(jié)重點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法的原理及步驟 本節(jié)難點(diǎn)：用數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟、技巧 在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的過程中： 第步，驗(yàn)證nn0時(shí)結(jié)論成立的n0不一定為1，根據(jù)題目要求，有時(shí)可為2、3等 第步，證明nk1時(shí)命題也成立的過程中，一定要用到歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法 這兩個(gè)步驟缺一不可，前一步是遞推的基礎(chǔ)，后一步是遞推的依據(jù)，缺了哪一步得出的結(jié)論也是錯誤的 另外，歸納假設(shè)中要保證n從第一個(gè)數(shù)n0開始，即假設(shè)nk(kn0)時(shí)結(jié)論成立，括號內(nèi)限制條件改為kn0就錯了

2、 用數(shù)學(xué)歸納法證明中一個(gè)關(guān)鍵問題就是要抓住項(xiàng)數(shù)和項(xiàng)的增減變化，如證明恒等式和不等式中，n1時(shí)究竟有幾項(xiàng)，從nk到nk1的過渡到底項(xiàng)有哪些變化，添了幾項(xiàng)，減了幾項(xiàng) 1數(shù)學(xué)歸納法 證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行： (歸納奠基)證明當(dāng)n取時(shí)命題成立 (歸納遞推)假設(shè)第一個(gè)值n0(n0N*)nk(kn0，kN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立 2應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)特別注意： (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明的對象是與 有關(guān)的命題 (2)在用數(shù)學(xué)歸納法證明中，兩個(gè)基本步驟缺一不可正整數(shù)n 點(diǎn)評證明過程的關(guān)鍵是第二步由nk到nk1的過渡，要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系，并朝nk1證明目標(biāo)的表達(dá)

3、式變形 分析按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明，在由nk到nk1的推證過程中應(yīng)用了放縮技巧，使問題簡單化，這是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的常用技巧之一 點(diǎn)評用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)常常要用到放縮法，即在歸納假設(shè)的基礎(chǔ)上，通過放大或縮小技巧變換出要證明的目標(biāo)不等式 例3求證：an1(a1)2n1能被a2a1整除，nN*，aR. 分析證明整除性問題的關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”，即采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等手段，湊出nk時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問題得以解決 證明(1)當(dāng)n1時(shí)，a11(a1)211a2a1，命題顯然成立 (2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，則當(dāng)nk1時(shí)，ak2(a1

4、)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1. 由歸納假設(shè)知，上式能被a2a1整除，故當(dāng)nk1時(shí)命題也成立 由(1)，(2)知，對一切nN*，命題都成立 點(diǎn)評對于多項(xiàng)式A，B，如果ABC，C也是多項(xiàng)式，那么A能被B整除在推證nk1時(shí)，為了湊出歸納假設(shè)，采用了“加零分項(xiàng)”技巧：a(a1)2k1a(a1)2k1.另外，在推證nk1命題也成立時(shí)，還可以用整除的定義，將歸納假設(shè)表示出來，假設(shè)nk時(shí)，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，則ak1(a1)2k1(a2a1)q(a)(q(a)為多項(xiàng)式)

5、， 所以(a1)2k1(a2a1)q(a)ak1， 所以nk1時(shí)，ak2(a1)2k1 ak2(a1)2(a1)2k1 ak2(a1)2(a2a1)q(a)ak1 ak2(a1)2(a2a1)q(a)(a1)2ak1 (a1)2(a2a1)q(a)ak1(a2a1)， 顯然能被a2a1整除，即nk1時(shí)，命題亦成立 求證：當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除 證明(1)顯然，當(dāng)n1時(shí)，命題成立，即x1y1能被xy整除 (2)假設(shè)當(dāng)n2k1(kN*)時(shí)命題成立，即(xy)能整除x2k1y2k1則當(dāng)n2k1時(shí)， x2k1y2k1x2x2k1x2y2k1x2y2k1y2y2k1 x2(x2k1y2k1

6、)(xy)(xy)y2k1 xy能整除(x2k1y2k1) 又xy能整除(xy)(xy)y2k1 (xy)能整除(x2k1y2k1) 由(1)、(2)可知當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除. 例4平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓都交于兩點(diǎn)，且無三個(gè)及以上的圓交于一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓將平面分成n2n2(nN*)個(gè)區(qū)域 分析本題關(guān)鍵是弄清第k1個(gè)圓與前k個(gè)圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，以及這些交點(diǎn)又將第k1個(gè)圓分成了多少段弧，每一段弧又是怎樣影響平面區(qū)域的劃分的 證明(1)當(dāng)n1時(shí)，1個(gè)圓將平面分成2個(gè)區(qū)域，命題顯然成立 (2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)命題成立，即k個(gè)圓將平面分成k2k2個(gè)區(qū)域則當(dāng)nk1時(shí)，第k1個(gè)圓

7、交前面k個(gè)圓于2k個(gè)點(diǎn)，這2k個(gè)點(diǎn)將第k1個(gè)圓分成2k段弧，每段弧將各自所經(jīng)過的區(qū)域一分為二，于是增加了2k個(gè)區(qū)域，所以這k1個(gè)圓將平面分成k2k22k個(gè)區(qū)域，即(k1)2(k1)2個(gè)區(qū)域，故當(dāng)nk1時(shí)，命題也成立 由(1)、(2)可知，對一切nN*，命題都成立 點(diǎn)評用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項(xiàng)”，即幾何元素從k個(gè)變成k1個(gè)時(shí)，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識或借助于幾何中圖形來分析，在實(shí)在分析不出來的情況下，將nk1和nk分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說明即可，這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的一大技巧 例5是否存在常數(shù)a，b，c使等式1(n212

8、)2(n222)n(n2n2)an4bn2c對一切正整數(shù)n成立？證明你的結(jié)論 分析先取n1,2,3探求a，b，c的值，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明對一切的nN*，a，b，c所確定的等式都成立 點(diǎn)評本題是探索性命題，它通過觀察歸納猜想證明這一完整的思路過程去探索和發(fā)現(xiàn)問題，并證明所得結(jié)論的正確性，這是非常重要的一種思維能力 已知數(shù)列an的第一項(xiàng)a15且Sn1an(n2，nN*)， (1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表達(dá)式； (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明an的通項(xiàng)公式 解析(1)a2S1a15， a3S2a1a210， a4S3a1a2a3551020， 猜想an52n2(n2，nN*) 一、選擇題 1用數(shù)學(xué)歸納法證明12(2n1)(n1)(2n1)時(shí)，在驗(yàn)證n1成立時(shí)，左邊所得的代數(shù)式是() A1 B13 C123 D1234 答案C 解析當(dāng)n1時(shí)，2n12113，所以左邊為123.故應(yīng)選C. 答案D 答案B 答案1234 解析當(dāng)n1時(shí)，n34， 所以等式左邊為1234. 5用數(shù)學(xué)歸納法證明某個(gè)命題時(shí)，左邊為12342345n(n1)(n2)(n3)，從nk到nk1左邊