經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-不定積分的概念及性質(zhì)

1、一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念四、不定積分的性質(zhì)四、不定積分的性質(zhì)三、基本積分表三、基本積分表五、小結(jié)五、小結(jié) 思考題思考題第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)二、不定積分的幾何意義二、不定積分的幾何意義例例 xxcossin xsin是是xcos的原函數(shù)的原函數(shù). )0(1ln xxxxln是是x1在在區(qū)區(qū)間間), 0( 內(nèi)內(nèi)的的原原函函數(shù)數(shù). 如如果果在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)，定義：定義：可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 那那么么函函數(shù)數(shù))(xF就就稱(chēng)稱(chēng)為為)(xf導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)為為)(xf，一、原函數(shù)與不定積分的概念( pr

2、imitive function )定義定義原函數(shù)存在定理：原函數(shù)存在定理：如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)， 簡(jiǎn)言之：簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問(wèn)題：?jiǎn)栴}：(1) 原函數(shù)是否唯一？原函數(shù)是否唯一？例例 xxcossin xCxcossin （ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C那那么么在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)存存在在可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xF， 使使Ix ，都都有有)()(xfxF . .(2) 若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？定理定理關(guān)于原函數(shù)的說(shuō)明：關(guān)于原函數(shù)的說(shuō)明：（1）若）若 ，則對(duì)于任意常數(shù)，則對(duì)于任意常數(shù) ，)()(xfxF CC

3、xF )(都都是是)(xf的的原原函函數(shù)數(shù).（2）若）若 和和 都是都是 的原函數(shù)，的原函數(shù)，)(xF)(xG)(xf則則CxGxF )()(（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C證證 )()()()(xGxFxGxF 0)()( xfxfCxGxF )()(（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C .的全部原函數(shù)的全部原函數(shù)是是說(shuō)明說(shuō)明xfcxF 任意常數(shù)任意常數(shù)積分號(hào)積分號(hào)被積函數(shù)被積函數(shù)不定積分不定積分(indefinite integral)的定義：的定義：在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)，( )d( )f xxF xC被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量函函數(shù)數(shù))(xf的的帶帶有有任任意意常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的的原原函函數(shù)

4、數(shù)稱(chēng)稱(chēng)為為)(xf在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)的的不不定定積積分分，記記為為 dxxf)(. .定義定義原函數(shù)原函數(shù)例例1 1 求求5d .xx解解,656xx 656d.xxxC解解例例2 2 求求211d . xx ,11arctan2xx 211darctan.xxCx例例3 3 某商品的邊際成本為某商品的邊際成本為 , , 求總成求總成 解解cxx21001002( )()dC xxx其中 為任意常數(shù)cx2100 本函數(shù)本函數(shù) . . )(xC二、不定積分的幾何意義函函數(shù)數(shù))(xf的的原原函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形稱(chēng)稱(chēng)為為)(xf的的積積分分曲曲線線. 顯然，求不定積分得到一顯然，求不定積分得到一積分

5、曲線族積分曲線族,橫坐標(biāo)橫坐標(biāo) 處處,任一曲線的切線有任一曲線的切線有相同的斜率相同的斜率.0 xx0 xy0 x在同一在同一實(shí)例實(shí)例 xx 1111d.xxxC 啟示啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論結(jié)論既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.)1( 三、 基本積分表基基本本積積分分表表1 ( )d(k xkxCk是常數(shù)是常數(shù));1211( )d();xxxC 3d( )ln;xxCx說(shuō)明：說(shuō)明： , 0 xdln,xxCx )ln(, 0 xx,1)(1xxx dln

6、(),xxCxdln|,xxCx2141( )dxx;arctanCx 2151( )dxx;arcsinCx 6( )cos dx x ;sinCx 7( )sin dx x ;cosCx 28d( )cosxx2secdx x ;tanCx 29d( )sinxx2cscdx x ;cotCx 10()sectan dxx x ;secCx 11()csccot dxx x ;cscCx 12()dxex ;Cex 13()dxax ;lnCaax 例例4 4 求積分求積分2d .xx x解解2dxx x52dxxCx 125125.7227Cx Cxdxx 1)2(1 根根據(jù)據(jù)積積分分公

7、公式式1 ( ) ( )( )df xg xx( )d( )d ;f xxg xx證證( )d( )df xxg xx( )d( )df xxg xx).()(xgxf 等式成立等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）四、 不定積分的性質(zhì)2( )( )dkf xx ( )d .kf xx（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k例例5 5 求積分求積分解解223211()d . xxx223211()dxxx22113211ddxxxxxarctan3 xarcsin2 C 例例6 6 求積分求積分解解2211d .()xxxxx2211d()xxxxx221

8、1()d()xxxxx2111dxxx2111ddxxxx.lnarctanCxx例例7 7 求積分求積分解解222121d .()xxxx222121d()xxxx222211d()xxxxx22111ddxxxx.arctan1Cxx 例例8 8 求積分求積分解解112d .cosxx112dcosxx21121dcosxx2112dcosxx.tan21Cx 說(shuō)明：說(shuō)明： 以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表恒等變形，才能使用基本積分表.化積分為代數(shù)和的積分例例 9 9 已知一曲線已知一曲線)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn))(,(xfx處的處的切線

9、斜率為切線斜率為xxsinsec2 ，且此曲線與，且此曲線與y軸的交軸的交點(diǎn)為點(diǎn)為)5 , 0(，求此曲線的方程，求此曲線的方程.解解2dsecsin ,dyxxx2secsindyxxx,costanCxx , 5)0( y, 6 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 6costan xxy基本積分表（基本積分表（1）（）（13）不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) 原函數(shù)的概念：原函數(shù)的概念：)()(xfxF 不定積分的概念：不定積分的概念：( )d( )f xxF xC求微分與求積分的互逆關(guān)系求微分與求積分的互逆關(guān)系五、 小結(jié)思考題思考題符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù) 0, 10, 00, 1sgn)(xxxxxf在在 內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？?jī)?nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？),( 思考題解答思考題解答不存在不存在.假設(shè)有原函數(shù)假設(shè)有原函數(shù))(xF 0,0,0,)(xCxxCxCxxF但但)(xF在在0 x處處不不可可微微，故假設(shè)錯(cuò)誤故假設(shè)錯(cuò)誤所以所以 在在 內(nèi)不存在原函數(shù)內(nèi)不存在原函數(shù).),( )(xf結(jié)論