中南大學(xué)電磁場(chǎng)與電磁波課件

1、電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波緒論緒論矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)基本物理量電磁場(chǎng)基本物理量靜電場(chǎng)分析靜電場(chǎng)分析靜電場(chǎng)邊值問題靜電場(chǎng)邊值問題恒定磁場(chǎng)分析恒定磁場(chǎng)分析時(shí)變電磁場(chǎng)時(shí)變電磁場(chǎng)正弦平面電磁波正弦平面電磁波 緒緒 論論一、課程的性質(zhì)和任務(wù)一、課程的性質(zhì)和任務(wù) “電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波”是高等學(xué)校電子信息類及電氣信息是高等學(xué)校電子信息類及電氣信息類專業(yè)本科生必修的一門技術(shù)基礎(chǔ)課，課程涵蓋的內(nèi)容是類專業(yè)本科生必修的一門技術(shù)基礎(chǔ)課，課程涵蓋的內(nèi)容是合格的電子、電氣信息類專業(yè)本科學(xué)生所應(yīng)具備的知識(shí)結(jié)合格的電子、電氣信息類專業(yè)本科學(xué)生所應(yīng)具備的知識(shí)結(jié)構(gòu)的重要組成部分。近代科學(xué)的發(fā)展表明，電磁場(chǎng)與電磁

2、構(gòu)的重要組成部分。近代科學(xué)的發(fā)展表明，電磁場(chǎng)與電磁波基本理論又是一些交叉學(xué)科的生長(zhǎng)點(diǎn)和新興邊緣學(xué)科發(fā)波基本理論又是一些交叉學(xué)科的生長(zhǎng)點(diǎn)和新興邊緣學(xué)科發(fā)展的基礎(chǔ)，而且對(duì)完善自身素質(zhì)，增強(qiáng)適應(yīng)能力和創(chuàng)造能展的基礎(chǔ)，而且對(duì)完善自身素質(zhì)，增強(qiáng)適應(yīng)能力和創(chuàng)造能力長(zhǎng)遠(yuǎn)地發(fā)揮作用。力長(zhǎng)遠(yuǎn)地發(fā)揮作用。 本課程將在本課程將在“大學(xué)物理（電磁學(xué)）大學(xué)物理（電磁學(xué)）”的基礎(chǔ)上，進(jìn)一的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究宏觀電磁現(xiàn)象和電磁過程的基本規(guī)律及其分析計(jì)算步研究宏觀電磁現(xiàn)象和電磁過程的基本規(guī)律及其分析計(jì)算方法。通過課程的學(xué)習(xí)，掌握基本的宏觀電磁方法。通過課程的學(xué)習(xí)，掌握基本的宏觀電磁理論，具備理論，具備分析和解決基本的電磁場(chǎng)工

3、程問題的能力。分析和解決基本的電磁場(chǎng)工程問題的能力。 二、電磁場(chǎng)理論發(fā)展歷史二、電磁場(chǎng)理論發(fā)展歷史最初，人們只能定性觀察電現(xiàn)象、磁現(xiàn)象最初，人們只能定性觀察電現(xiàn)象、磁現(xiàn)象 電磁場(chǎng)理論發(fā)展中的重大事件：電磁場(chǎng)理論發(fā)展中的重大事件：庫(kù)侖定律（電荷相互作用力規(guī)律）庫(kù)侖定律（電荷相互作用力規(guī)律）18201820：電流磁效應(yīng)（奧斯特）：電流磁效應(yīng)（奧斯特） 安培力定律（安培）安培力定律（安培）18311831：電磁感應(yīng)（法拉第）：電磁感應(yīng)（法拉第）18641864：位移電流假說，麥克斯韋方程組：位移電流假說，麥克斯韋方程組( (麥克斯韋麥克斯韋) )18881888：試驗(yàn)證明電磁波存在（赫茲）：試驗(yàn)證明

4、電磁波存在（赫茲）三、電磁場(chǎng)、電磁波與工程應(yīng)用三、電磁場(chǎng)、電磁波與工程應(yīng)用 當(dāng)今世界，電子信息系統(tǒng)，不論是通信、雷達(dá)、廣播、當(dāng)今世界，電子信息系統(tǒng)，不論是通信、雷達(dá)、廣播、電視，還是導(dǎo)航、遙控遙測(cè)，都是通過電磁波傳遞信息來電視，還是導(dǎo)航、遙控遙測(cè)，都是通過電磁波傳遞信息來進(jìn)行工作的。因此以宏觀電磁理論為基礎(chǔ)，電磁信息的傳進(jìn)行工作的。因此以宏觀電磁理論為基礎(chǔ)，電磁信息的傳輸和轉(zhuǎn)換為核心的電磁場(chǎng)與電磁波工程技術(shù)將充分發(fā)揮其輸和轉(zhuǎn)換為核心的電磁場(chǎng)與電磁波工程技術(shù)將充分發(fā)揮其重要作用。下面以無線電通信系統(tǒng)為例來說明。重要作用。下面以無線電通信系統(tǒng)為例來說明。 發(fā)射機(jī)末級(jí)回路產(chǎn)生的高頻振蕩電流經(jīng)過饋線送

5、到發(fā)射發(fā)射機(jī)末級(jí)回路產(chǎn)生的高頻振蕩電流經(jīng)過饋線送到發(fā)射天線，通過發(fā)射天線將其轉(zhuǎn)換成電磁波輻射出去；到了接收天線，通過發(fā)射天線將其轉(zhuǎn)換成電磁波輻射出去；到了接收端，電磁波在接收天線上感生高頻振蕩電流，再經(jīng)饋線將高端，電磁波在接收天線上感生高頻振蕩電流，再經(jīng)饋線將高頻振蕩電流送到接收機(jī)輸入回路，這就完成了信息的傳遞。頻振蕩電流送到接收機(jī)輸入回路，這就完成了信息的傳遞。在這個(gè)過程中，經(jīng)歷了電磁波的在這個(gè)過程中，經(jīng)歷了電磁波的傳輸傳輸、發(fā)射發(fā)射、傳播傳播、接收接收等等過程。過程。 接收機(jī)接收天線饋線下行波發(fā)射機(jī)發(fā)射天線饋線導(dǎo)行波 傳輸導(dǎo)行電磁波（導(dǎo)波理論） 發(fā)射和接收天線（天線理論） 傳播入射、反射、

6、透射、繞射（電波傳播）中、短波發(fā)射天線中、短波發(fā)射天線微波接力天線微波接力天線電磁場(chǎng)理論的工程應(yīng)用 天線天線卡塞格侖天線MMDSA型微波天線MMDSC型微波天線矩形波導(dǎo)圓波導(dǎo)平行雙線同軸線微帶線 傳輸線傳輸線 隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，電子、電氣系統(tǒng)獲得越來越廣隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，電子、電氣系統(tǒng)獲得越來越廣泛的應(yīng)用。運(yùn)行中的電子、電氣設(shè)備大泛的應(yīng)用。運(yùn)行中的電子、電氣設(shè)備大多伴隨著電磁能量的轉(zhuǎn)多伴隨著電磁能量的轉(zhuǎn)換，使得高密度、寬頻譜的電磁信息充滿整個(gè)人類的生存空間，換，使得高密度、寬頻譜的電磁信息充滿整個(gè)人類的生存空間，構(gòu)成極其復(fù)雜的電磁環(huán)境，出現(xiàn)了電磁干擾和電磁污染。使電構(gòu)成極其復(fù)雜的電

7、磁環(huán)境，出現(xiàn)了電磁干擾和電磁污染。使電子系統(tǒng)受到嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)，人類生存受到威脅。人們面臨的一個(gè)子系統(tǒng)受到嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)，人類生存受到威脅。人們面臨的一個(gè)新問題就是如何提高電子系統(tǒng)在復(fù)雜電磁環(huán)境下正常運(yùn)行的能新問題就是如何提高電子系統(tǒng)在復(fù)雜電磁環(huán)境下正常運(yùn)行的能力，如何改善人類生存環(huán)境。力，如何改善人類生存環(huán)境。 在這樣的背景下提出了電磁兼容的概念，逐漸形成了一門在這樣的背景下提出了電磁兼容的概念，逐漸形成了一門新學(xué)科新學(xué)科電磁兼容性（電磁兼容性（Electromagnetic Compatibility,Electromagnetic Compatibility,簡(jiǎn)寫為簡(jiǎn)寫為EMCEMC）。電子系統(tǒng)

8、的電磁兼容性的分析、計(jì)算、試驗(yàn)都）。電子系統(tǒng)的電磁兼容性的分析、計(jì)算、試驗(yàn)都要用到大量的電磁場(chǎng)理論知識(shí)，應(yīng)用到電路的基礎(chǔ)知識(shí)，甚至要用到大量的電磁場(chǎng)理論知識(shí)，應(yīng)用到電路的基礎(chǔ)知識(shí)，甚至生物醫(yī)學(xué)知識(shí)?？梢哉f，電磁兼容學(xué)科是電磁場(chǎng)學(xué)科和其他相生物醫(yī)學(xué)知識(shí)。可以說，電磁兼容學(xué)科是電磁場(chǎng)學(xué)科和其他相關(guān)學(xué)科相結(jié)合而形成的新學(xué)科。關(guān)學(xué)科相結(jié)合而形成的新學(xué)科。 電磁兼容電磁兼容 生物電磁學(xué)也是與電磁場(chǎng)相關(guān)聯(lián)的一門新學(xué)科，它研究生物電磁學(xué)也是與電磁場(chǎng)相關(guān)聯(lián)的一門新學(xué)科，它研究電磁場(chǎng)與生物系統(tǒng)的相互作用、相互影響的關(guān)系，電磁場(chǎng)與電磁場(chǎng)與生物系統(tǒng)的相互作用、相互影響的關(guān)系，電磁場(chǎng)與電磁波無疑是其討論的理論依據(jù)。電

9、磁波無疑是其討論的理論依據(jù)。 生物電磁學(xué)生物電磁學(xué)難點(diǎn)難點(diǎn)分析和處理問題的方法 數(shù)學(xué)處理過程矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析與場(chǎng)量基礎(chǔ)矢量分析與場(chǎng)量基礎(chǔ)矢量場(chǎng)的通量矢量場(chǎng)的通量 散度散度矢量場(chǎng)的環(huán)流矢量場(chǎng)的環(huán)流 散度散度標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理1.1 矢量分析與場(chǎng)論基礎(chǔ)矢量分析與場(chǎng)論基礎(chǔ)一、一、 矢量與矢量場(chǎng)矢量與矢量場(chǎng) 標(biāo)量與矢量標(biāo)量與矢量 標(biāo)量：只有大小，沒有方向的物理量（溫度，高度等）標(biāo)量：只有大小，沒有方向的物理量（溫度，高度等） 矢量：既有大小，又有方向的物理量（力，電、磁場(chǎng)強(qiáng)度）矢量：既有大小，又有方向的物理量（力，電、磁場(chǎng)強(qiáng)度） 矢量的表示方式矢量

10、的表示方式注：矢量書寫時(shí)，注：矢量書寫時(shí)，印刷體印刷體為場(chǎng)量符號(hào)加粗，如為場(chǎng)量符號(hào)加粗，如 。教材上符。教材上符號(hào)即為印刷體。號(hào)即為印刷體。D矢量可表示為：矢量可表示為： 其中其中 為其為其模值模值，表征矢量的，表征矢量的大小大?。?為其為其單位矢量單位矢量，表征矢量的，表征矢量的方向方向；AA AeAAe 矢量的運(yùn)算矢量的運(yùn)算xxyyzzxxyyzzAe Ae Ae ABe Be Be B則：則：()()()xxxyyyzzzABeABeABe ABcosABxxyyzzA BA BA BA BA B()()()xyzxyzxyzxyzzyyzxxzzxyyxeeeABAAABBBeA BA

11、 BeA BA BeA BA B說明：矢量間不存在除法運(yùn)算。說明：矢量間不存在除法運(yùn)算。 標(biāo)量場(chǎng)與矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)與矢量場(chǎng) 按物理量的性質(zhì)按物理量的性質(zhì) 標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng) 物理量為標(biāo)量（溫度場(chǎng)物理量為標(biāo)量（溫度場(chǎng), ,電位場(chǎng)）電位場(chǎng)） 矢量場(chǎng)矢量場(chǎng) 物理量為矢量（電場(chǎng)、磁場(chǎng)）物理量為矢量（電場(chǎng)、磁場(chǎng)）場(chǎng)概念的引入：物理量（如溫度、電場(chǎng)、磁場(chǎng)）在空間中以場(chǎng)概念的引入：物理量（如溫度、電場(chǎng)、磁場(chǎng)）在空間中以某種形式分布，若某種形式分布，若每一時(shí)刻每個(gè)位置該物理量都有一個(gè)確定每一時(shí)刻每個(gè)位置該物理量都有一個(gè)確定的值的值，則稱在該空間中確定了該物理量的場(chǎng)。，則稱在該空間中確定了該物理量的場(chǎng)。 按物理量變化特性

12、按物理量變化特性 靜態(tài)場(chǎng)靜態(tài)場(chǎng) 物理量不隨時(shí)間的變化而變化物理量不隨時(shí)間的變化而變化 時(shí)變場(chǎng)（動(dòng)態(tài)場(chǎng)）時(shí)變場(chǎng)（動(dòng)態(tài)場(chǎng)） 物理量隨時(shí)間的變化而變化物理量隨時(shí)間的變化而變化場(chǎng)的分類：場(chǎng)的分類：二、常用坐標(biāo)系二、常用坐標(biāo)系 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系,xyzeee單位矢量：?jiǎn)挝皇噶浚菏噶勘硎荆菏噶勘硎荆?00 xyzFe xe ye z位置矢量：位置矢量：xyzre xe ye z基本變量：基本變量：,xyz 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系,rzeee單位矢量：?jiǎn)挝皇噶浚菏噶勘硎荆菏噶勘硎荆? )( )( )rrzzAe A re Are A r位置矢量：位置矢量：rzre re z基本變量：基本變量：,rz 球面

13、坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系單位矢量：?jiǎn)挝皇噶浚菏噶勘硎荆菏噶勘硎荆?reee( )( )( )rrAe A re A re A r位置矢量：位置矢量：0rre r基本變量：基本變量：,r 坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換 圓柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系間單位矢量變換關(guān)系圓柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系間單位矢量變換關(guān)系cossinsincosrxyxyzzeeeeeeee 球面坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系間單位矢量變換關(guān)系球面坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系間單位矢量變換關(guān)系sincossinsincossincoscoscoscossinsinrxyzxyxyzeeeeeeeeeee 1.2 矢量場(chǎng)的通量矢量場(chǎng)的通量 散度散度一、矢量線（力線）一、矢量線（力

14、線）矢量場(chǎng)的通量矢量場(chǎng)的通量 矢量線的疏密表征矢量場(chǎng)的大小矢量線的疏密表征矢量場(chǎng)的大小 矢量線上每點(diǎn)的切向代表該處矢量場(chǎng)的方向矢量線上每點(diǎn)的切向代表該處矢量場(chǎng)的方向 若若S 為閉合曲面為閉合曲面 ( )srd AS( )Srd AS 若若矢量場(chǎng)矢量場(chǎng) 分布于空間中，在空分布于空間中，在空間中取任意曲面間中取任意曲面S S，定義：，定義：( )A r為為矢量矢量 沿沿有向曲面有向曲面S S 的通量的通量。( )A r物理意義：表示穿入和穿出閉合面物理意義：表示穿入和穿出閉合面S S的通量的的通量的代數(shù)和代數(shù)和。 二、矢量場(chǎng)的散度二、矢量場(chǎng)的散度( ) cos ( )sA rr ds dSn 面元

15、矢量面元矢量 定義：面積很小的有向曲面定義：面積很小的有向曲面dS：面元面積，其值可認(rèn)為無限小；：面元面積，其值可認(rèn)為無限?。籨Sn：面元法線方向，垂直于面元平面。：面元法線方向，垂直于面元平面。 通過閉合面通過閉合面S S的通量的物理意義的通量的物理意義 若若 ，閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的，閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的正源正源0 若若 ，閉合面內(nèi)有吸收矢量線的，閉合面內(nèi)有吸收矢量線的負(fù)源負(fù)源0 若若 ，閉合面內(nèi)，閉合面內(nèi)無源無源0 三、矢量場(chǎng)的散度三、矢量場(chǎng)的散度 散度的定義散度的定義 在場(chǎng)空間在場(chǎng)空間 中任意點(diǎn)中任意點(diǎn)M M 處作一個(gè)閉合曲面，所圍的體積處作一個(gè)閉合曲面，所圍的體積為為 ，則定義場(chǎng)矢

16、量，則定義場(chǎng)矢量 在在M M 點(diǎn)處的散度為：點(diǎn)處的散度為： ( )A rV( )A r0( )div( )limASAsVrdrV討論：討論： 散度的物理意義散度的物理意義 矢量場(chǎng)的散度表征了矢量場(chǎng)的矢量場(chǎng)的散度表征了矢量場(chǎng)的通量源的分布特性通量源的分布特性 矢量場(chǎng)的散度是一個(gè)標(biāo)量矢量場(chǎng)的散度是一個(gè)標(biāo)量 矢量場(chǎng)的散度是空間坐標(biāo)的函數(shù)矢量場(chǎng)的散度是空間坐標(biāo)的函數(shù) 矢量場(chǎng)的散度值表征空間中通量源的密度矢量場(chǎng)的散度值表征空間中通量源的密度 若若 ，則該矢量場(chǎng)稱為，則該矢量場(chǎng)稱為有源場(chǎng)有源場(chǎng)， 為源密度為源密度( )0divA r( )0divA r 若若 處處成立，則該矢量場(chǎng)稱為處處成立，則該矢量場(chǎng)

17、稱為無源場(chǎng)無源場(chǎng) 討論：在矢量場(chǎng)中，討論：在矢量場(chǎng)中，( ( 正源正源) )( )0divF r 負(fù)源負(fù)源) )( )0divF r( ( 無源無源）( )0divF r ( )yxzAAAdivA rxyz() ()xyzxxyyzzeeee Ae Ae Axyz( )A r 式中：式中：()xyzeeexyz 哈密頓算符哈密頓算符 散度的計(jì)算散度的計(jì)算 直角坐標(biāo)系下：直角坐標(biāo)系下： 圓柱坐標(biāo)系下：圓柱坐標(biāo)系下：1()rzeeerrz ()11( )rzArAAA rrrrz11()sinreeerrr 22111( )()(sin)sinsinrAA rr AArrrr 球面坐標(biāo)系下：球面

18、坐標(biāo)系下：四、散度定理（矢量場(chǎng)的高斯定理）四、散度定理（矢量場(chǎng)的高斯定理）( )( )VsA r dVA rdS 該公式表明了矢量場(chǎng)該公式表明了矢量場(chǎng) 的散度在體積的散度在體積V內(nèi)的積分等于矢量場(chǎng)在內(nèi)的積分等于矢量場(chǎng)在限定該體積的限定該體積的邊界面邊界面S S上的積分（通量）。上的積分（通量）。( )F r散度定理的證明散度定理的證明散度定理的證明散度定理的證明從散度定義有：從散度定義有：00( )( )limlimsVVA r dSdA rVVdV 則在一定體積則在一定體積V V內(nèi)的總的通量為：內(nèi)的總的通量為：( )VA r dV 得證！得證！( )sA rdS1.3 矢量場(chǎng)的矢量場(chǎng)的環(huán)流環(huán)

19、流 旋度旋度一、矢量的環(huán)量一、矢量的環(huán)量SSn 環(huán)流的計(jì)算ACP在場(chǎng)矢量在場(chǎng)矢量 空間中，取一有向閉合空間中，取一有向閉合路徑路徑l l，則稱，則稱 沿沿l l積分的結(jié)果稱為積分的結(jié)果稱為矢量矢量 沿沿l l的環(huán)量。即：的環(huán)量。即：( )A r( )A r( )A r( )lA rdl 環(huán)流意義：若矢量場(chǎng)環(huán)流不為零，則回路所圍面積中存在產(chǎn)環(huán)流意義：若矢量場(chǎng)環(huán)流不為零，則回路所圍面積中存在產(chǎn)生矢量場(chǎng)的漩渦源。生矢量場(chǎng)的漩渦源。 在直角坐標(biāo)系中：在直角坐標(biāo)系中：xxyyzzAe Ae Ae Axy yzdle dxe dye dzxyzCA dxA dyA dz 討論：討論：二、矢量的旋度二、矢量

20、的旋度 環(huán)流面密度環(huán)流面密度 矢量場(chǎng)的旋度矢量場(chǎng)的旋度 旋度是一個(gè)矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向?yàn)樽畲笮仁且粋€(gè)矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向。用環(huán)量密度的方向。用 表示，即：表示，即：rot Am ax0ro tlimcSAd lAnS式中：式中： 表示矢量場(chǎng)旋度的方向；表示矢量場(chǎng)旋度的方向； nSSnACM 表示矢量場(chǎng)表示矢量場(chǎng) 在點(diǎn)在點(diǎn)M M處沿處沿 方向的漩渦源密度；其值方向的漩渦源密度；其值與方向與方向 有關(guān)。有關(guān)。nrot A( )A r n n0limcnsA dlrot As 在場(chǎng)矢量在場(chǎng)矢量 空間中，圍繞空間某點(diǎn)空間中，圍繞空間某點(diǎn)M M取一面

21、元取一面元S S，其，其邊界曲線為邊界曲線為C C，面元法線方向?yàn)椋嬖ň€方向?yàn)?，當(dāng)面元面積無限縮小，當(dāng)面元面積無限縮小時(shí)，可定義時(shí)，可定義 在點(diǎn)在點(diǎn)M M處沿處沿 方向的環(huán)量面密度方向的環(huán)量面密度( )A r nnrot A n( )A r 旋度的物理意義旋度的物理意義 旋度的計(jì)算旋度的計(jì)算 矢量的旋度為矢量的旋度為矢量矢量，是空間坐標(biāo)的函數(shù)；，是空間坐標(biāo)的函數(shù)； 矢量在空間某點(diǎn)處的旋度表征矢量場(chǎng)在該點(diǎn)處的矢量在空間某點(diǎn)處的旋度表征矢量場(chǎng)在該點(diǎn)處的漩渦源密度漩渦源密度； 在直角坐標(biāo)系下：在直角坐標(biāo)系下：xxyyzzrotFe rot Fe rot Fe rot F()()()yyxxzz

22、xyzFFFFFFeeeyzzxxy()xyzxxyyzzeeee Fe Fe FxyzF xyzxxxeeexyzFFF三、斯托克斯定理三、斯托克斯定理()cdd lAAS0limro tcnSdSlAe由旋度的定義由旋度的定義 對(duì)于有限大對(duì)于有限大面面積積s，可將其按如圖，可將其按如圖方式進(jìn)行分割，對(duì)每一小面積元有方式進(jìn)行分割，對(duì)每一小面積元有c)11()cdd lAAS22()cdd lAAS()sd AScdlA()SlddAlAS斯托克斯定理的證明：斯托克斯定理的證明：得證！得證！ 意義：矢量場(chǎng)的旋度在曲面上的積分等于意義：矢量場(chǎng)的旋度在曲面上的積分等于該矢量場(chǎng)在限定該曲面的閉合曲線

23、上的線積分。該矢量場(chǎng)在限定該曲面的閉合曲線上的線積分。四、矢量場(chǎng)旋度的重要性質(zhì)四、矢量場(chǎng)旋度的重要性質(zhì)()0F ()()()xyzyyxxzzxyzeeexyzFFFFFFeeeyzzxxy證明：左邊=(+)222222()()()0yyxxzzFFFFFFx yx zy zx yx zy z 任意矢量場(chǎng)旋度的散度等于零。任意矢量場(chǎng)旋度的散度等于零。1.4 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度一一. . 等值面（線）等值面（線） 由所有場(chǎng)值相等的點(diǎn)所構(gòu)成的面由所有場(chǎng)值相等的點(diǎn)所構(gòu)成的面( (線線) )，即為等值面，即為等值面( (線線) )。即。即若標(biāo)量函數(shù)為若標(biāo)量函數(shù)為 ，則等值面方程為：，則等值面方程

24、為：( , , )uu x y z( , , )u x y zcconst二二. . 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度 梯度的定義梯度的定義max( , , )lugradu x y zel式中：式中： 為垂直于等值面（線）的方向。為垂直于等值面（線）的方向。le 梯度的性質(zhì)梯度的性質(zhì) 標(biāo)量場(chǎng)的梯度為一矢量，且是坐標(biāo)位置的函數(shù)標(biāo)量場(chǎng)的梯度為一矢量，且是坐標(biāo)位置的函數(shù) 標(biāo)量場(chǎng)的梯度表征空間某點(diǎn)處場(chǎng)的變化規(guī)律：方向?yàn)闃?biāo)量標(biāo)量場(chǎng)的梯度表征空間某點(diǎn)處場(chǎng)的變化規(guī)律：方向?yàn)闃?biāo)量場(chǎng)增加最快的方向，幅度表示標(biāo)量場(chǎng)的最大增加率場(chǎng)增加最快的方向，幅度表示標(biāo)量場(chǎng)的最大增加率梯度描述了空間某點(diǎn)處標(biāo)量場(chǎng)梯度描述了空間某點(diǎn)處標(biāo)量

25、場(chǎng) 隨位置變化的規(guī)律。隨位置變化的規(guī)律。( , , )u x y zuPNleMuu ne 梯度的運(yùn)算梯度的運(yùn)算1rzuuuueeerrz 11sinruuuueeerrr ()xyzxyzuuugradueeexyzeee uxyzu 在球面坐標(biāo)系中在球面坐標(biāo)系中 柱面坐標(biāo)系中柱面坐標(biāo)系中 直角坐標(biāo)系下直角坐標(biāo)系下三三. . 梯度的重要性質(zhì)梯度的重要性質(zhì)0u 標(biāo)量場(chǎng)的梯度恒等于零。標(biāo)量場(chǎng)的梯度恒等于零。xyzxyzuuueeeeyeexyzxzz證明： 左邊=(+)222222()()()0 xyzuuuuuueeey zz yz xx zx yy x 1.5 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 一、

26、亥姆霍茲定理一、亥姆霍茲定理 在有限區(qū)域內(nèi)，任意矢量場(chǎng)由矢量場(chǎng)的在有限區(qū)域內(nèi)，任意矢量場(chǎng)由矢量場(chǎng)的散度散度、旋度旋度和和邊界邊界條件條件（即矢量場(chǎng)在有限區(qū)域邊界上的分布）唯一確定。這就是（即矢量場(chǎng)在有限區(qū)域邊界上的分布）唯一確定。這就是亥姆霍茲定理的內(nèi)容。亥姆霍茲定理的內(nèi)容。 二、矢量場(chǎng)的分類二、矢量場(chǎng)的分類根據(jù)矢量場(chǎng)的散度和旋度值根據(jù)矢量場(chǎng)的散度和旋度值是否為零是否為零進(jìn)行分類：進(jìn)行分類：調(diào)和場(chǎng)調(diào)和場(chǎng) 若矢量場(chǎng)若矢量場(chǎng) 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內(nèi)，處處有：內(nèi)，處處有： 和和 則在該區(qū)域則在該區(qū)域V V內(nèi)，場(chǎng)內(nèi)，場(chǎng) 為調(diào)和場(chǎng)。為調(diào)和場(chǎng)。 0F0F( )F r( )F r注意：注意：不存在在整個(gè)空

27、間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場(chǎng)。不存在在整個(gè)空間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場(chǎng)。有源無旋場(chǎng)有源無旋場(chǎng) 若矢量場(chǎng)若矢量場(chǎng) 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內(nèi)，處處內(nèi)，處處 ，但在某，但在某些位置或整個(gè)空間內(nèi)，有些位置或整個(gè)空間內(nèi)，有 ，則稱在該區(qū)域，則稱在該區(qū)域V V內(nèi)，場(chǎng)內(nèi)，場(chǎng) 為有源無旋場(chǎng)。為有源無旋場(chǎng)。 0F0F( )F r( )F r( )0cF rdl 結(jié)論：結(jié)論：有源無旋場(chǎng)矢量沿任何閉合路徑積分結(jié)果等于零有源無旋場(chǎng)矢量沿任何閉合路徑積分結(jié)果等于零。有源。有源無旋場(chǎng)也稱無旋場(chǎng)也稱保守場(chǎng)保守場(chǎng)。 無源有旋場(chǎng)無源有旋場(chǎng) 若矢量場(chǎng)若矢量場(chǎng) 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內(nèi)，處處內(nèi)，處處 ，但在某，但在某些位

28、置或整個(gè)空間內(nèi)，有些位置或整個(gè)空間內(nèi)，有 ，則稱在該區(qū)域，則稱在該區(qū)域V V內(nèi)，場(chǎng)內(nèi)，場(chǎng) 為無源有旋場(chǎng)。為無源有旋場(chǎng)。 ( )F r0F0FJ( )F r討論：由于旋度為零，由斯托克斯定理討論：由于旋度為零，由斯托克斯定理說明：式中說明：式中 為矢量場(chǎng)漩渦源密度。為矢量場(chǎng)漩渦源密度。 J已知已知矢量矢量F F的通量源密度的通量源密度矢量矢量F F的旋度源密度的旋度源密度場(chǎng)域邊界條件場(chǎng)域邊界條件在電磁場(chǎng)中在電磁場(chǎng)中電荷密度電荷密度 電流密度電流密度J J場(chǎng)域邊界條件場(chǎng)域邊界條件（矢量（矢量A A唯一地確定）唯一地確定） 有源有旋場(chǎng)有源有旋場(chǎng) 若矢量場(chǎng)若矢量場(chǎng) 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內(nèi)，在某些位置

29、或整個(gè)空間內(nèi)，內(nèi)，在某些位置或整個(gè)空間內(nèi)，有有 和和 ，則稱在該區(qū)域，則稱在該區(qū)域V V內(nèi)，內(nèi)，場(chǎng)場(chǎng) 為有源有旋場(chǎng)。為有源有旋場(chǎng)。 ( )F r0F0FJ( )F r有源有旋場(chǎng)可分解一個(gè)有源有旋場(chǎng)可分解一個(gè)有源無旋場(chǎng)有源無旋場(chǎng)和和無源有旋場(chǎng)無源有旋場(chǎng)的疊加，即：的疊加，即：( )( )( )isF rF rF r( )( )0iiF rF r( )0( )ssF rF rJ( )( )lF rF r ( )( )sF rF rJ亥姆霍茲定理在電磁理論中的意義：亥姆霍茲定理在電磁理論中的意義：研究電磁場(chǎng)的一條主線研究電磁場(chǎng)的一條主線。電磁場(chǎng)的基本物理量電磁場(chǎng)的基本物理量電磁場(chǎng)的源量電磁場(chǎng)的源量庫(kù)

30、侖定律庫(kù)侖定律 電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度安培定律安培定律 磁感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度2.1 電磁場(chǎng)的源量電磁場(chǎng)的源量電荷和電流電荷和電流 自然界中最小的帶電粒子包括電子和質(zhì)子自然界中最小的帶電粒子包括電子和質(zhì)子 一般帶電體的電荷量通常用一般帶電體的電荷量通常用q q表示表示 從微觀上看，電荷是以離散的方式出現(xiàn)在空間中的從微觀上看，電荷是以離散的方式出現(xiàn)在空間中的 從宏觀電磁學(xué)的觀點(diǎn)上看，大量帶電粒子密集出現(xiàn)在某空間范從宏觀電磁學(xué)的觀點(diǎn)上看，大量帶電粒子密集出現(xiàn)在某空間范圍內(nèi)時(shí)，可假定電荷是以連續(xù)的形式分布在這個(gè)范圍中圍內(nèi)時(shí)，可假定電荷是以連續(xù)的形式分布在這個(gè)范圍中 電荷的幾種分布方式：空間中體積電荷體密度電

31、荷的幾種分布方式：空間中體積電荷體密度 面上電荷面密度面上電荷面密度 s s 線上電荷線密度線上電荷線密度 l l一、電荷與電荷密度一、電荷與電荷密度 體電荷：電荷連續(xù)分布在一定體積內(nèi)形成的電荷體體電荷：電荷連續(xù)分布在一定體積內(nèi)形成的電荷體 體電荷密度體電荷密度 的定義的定義( )r0( )limVqdqrVdV 在電荷空間在電荷空間V V內(nèi)，任取體積元內(nèi)，任取體積元 ，其中電荷量為，其中電荷量為Vq則則( )Vqr dV 體電荷密度體電荷密度 面電荷：當(dāng)電荷只存在于一個(gè)薄層上時(shí)，稱電荷為面電荷面電荷：當(dāng)電荷只存在于一個(gè)薄層上時(shí)，稱電荷為面電荷 面電荷密度面電荷密度 的定義的定義( )sr0(

32、 )limsSqdqrSdS 在面電荷上，任取面積元在面電荷上，任取面積元 ，其中電荷量為，其中電荷量為Sq則則( )sSqr ds 面電荷密度面電荷密度 線電荷：當(dāng)電荷只分布在一條細(xì)線上時(shí)，稱電荷為線電荷線電荷：當(dāng)電荷只分布在一條細(xì)線上時(shí)，稱電荷為線電荷 線電荷密度線電荷密度 的定義的定義( )lr0( )limllqdqrldl 在線電荷上，任取線元在線電荷上，任取線元 ，其中電荷量為，其中電荷量為lq則則( )llqr dl 線電荷密度線電荷密度000( )lim0VrqrrV 當(dāng)電荷體體積非常小，可忽略其體積時(shí)，稱為點(diǎn)電荷。點(diǎn)當(dāng)電荷體體積非常小，可忽略其體積時(shí)，稱為點(diǎn)電荷。點(diǎn)電荷可看作

33、是電量電荷可看作是電量q q無限集中于一個(gè)幾何點(diǎn)上。無限集中于一個(gè)幾何點(diǎn)上。 點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷 電流由定向流動(dòng)的電荷形成，通常用電流由定向流動(dòng)的電荷形成，通常用 I I 表示，定義為表示，定義為 當(dāng)電荷速度不隨時(shí)間變化時(shí)，電流也不隨時(shí)間變化，稱為恒定當(dāng)電荷速度不隨時(shí)間變化時(shí)，電流也不隨時(shí)間變化，稱為恒定（穩(wěn)恒）電流（穩(wěn)恒）電流 空間各點(diǎn)電荷的流動(dòng)除快慢不同外，方向可能不同，僅用穿過某空間各點(diǎn)電荷的流動(dòng)除快慢不同外，方向可能不同，僅用穿過某截面的電荷量無法描述電流的分布情況截面的電荷量無法描述電流的分布情況 引入電流密度引入電流密度 來描述電流的分布情況來描述電流的分布情況 電荷的幾種分布方式：空間

34、中體積電流體密度電荷的幾種分布方式：空間中體積電流體密度J J 面上電流面密度面上電流面密度JsJs 線上線電流線上線電流I I二、二、 電流與電流密度電流與電流密度0limtqdqItdt 電流的物理意義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流過曲面電流的物理意義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流過曲面S S的電荷量的電荷量J 體電流密度體電流密度 電荷在一定體積空間內(nèi)流動(dòng)所形成的電流成為體電流電荷在一定體積空間內(nèi)流動(dòng)所形成的電流成為體電流設(shè)單位體積內(nèi)有設(shè)單位體積內(nèi)有N N個(gè)帶電粒子，所有粒子帶有相同的電荷個(gè)帶電粒子，所有粒子帶有相同的電荷q q，且，且都以相同的速度都以相同的速度v v運(yùn)動(dòng)，體積中的總電荷將在運(yùn)動(dòng)，體積中的總電荷將在

35、dtdt 時(shí)間內(nèi)經(jīng)時(shí)間內(nèi)經(jīng) dSdS 流流出柱體，可以得到出柱體，可以得到 dt dt 時(shí)間內(nèi)通過時(shí)間內(nèi)通過 dSdS 的電荷量為的電荷量為 dQNq vdtdSv dSdtJ dSdt dQdIddSdSJt 通通過過的的電電流流強(qiáng)強(qiáng)度度為為： v P dS vdt 如圖，設(shè)如圖，設(shè)P P為空間中的任意點(diǎn)，過為空間中的任意點(diǎn)，過P P取面積元取面積元d dS S。 體電流密度體電流密度 定義定義JjdQdIJedtdS 物理意義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過垂直電流傳播方向物理意義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過垂直電流傳播方向單位面積單位面積的電量的電量關(guān)于體電流密度的說明關(guān)于體電流密度的說明Jv 式中：式中： 為空間

36、中電荷體密度，為空間中電荷體密度， 為正電荷流動(dòng)速度為正電荷流動(dòng)速度v通過截面積通過截面積S S的電流的電流SSIJ dSJ ndS 反映空間各點(diǎn)電流流動(dòng)情況的物理量，形成一個(gè)反映空間各點(diǎn)電流流動(dòng)情況的物理量，形成一個(gè)空間矢量場(chǎng)空間矢量場(chǎng) 一般是時(shí)間一般是時(shí)間t t的函數(shù)，即的函數(shù)，即J=J(r, J=J(r, t t) ) 。恒定電流是特殊情況。恒定電流是特殊情況 如有如有N N種帶電粒子，電荷密度分別為種帶電粒子，電荷密度分別為 i i，平均速度為，平均速度為v vi i，則，則1NiiiJv 0Jvvv = 0= 0時(shí)可能存在電流。如導(dǎo)體中電荷體密度為時(shí)可能存在電流。如導(dǎo)體中電荷體密度為

37、0 0，但因正電，但因正電荷質(zhì)量相對(duì)于電子大很多，因此近似不動(dòng)，有荷質(zhì)量相對(duì)于電子大很多，因此近似不動(dòng)，有 面電流密度面電流密度 定義：定義： 當(dāng)電流集中在一個(gè)厚度趨于零的薄層（如導(dǎo)體表面）中流動(dòng)時(shí)，當(dāng)電流集中在一個(gè)厚度趨于零的薄層（如導(dǎo)體表面）中流動(dòng)時(shí)，電流被認(rèn)為是表面電流或面電流，其分布情況用面電流密度矢量電流被認(rèn)為是表面電流或面電流，其分布情況用面電流密度矢量 J Js s 來表示。來表示。sJ 面電流密度面電流密度 h Js n l S 如圖，設(shè)電流集中在厚度為如圖，設(shè)電流集中在厚度為h h的薄層內(nèi)流動(dòng)，薄層的橫截面的薄層內(nèi)流動(dòng)，薄層的橫截面 S S，n n為表示截面方向的單位矢量。顯

38、為表示截面方向的單位矢量。顯然穿過截面的電流為然穿過截面的電流為 0limsSlIJSJ nh lJhn ln lIdIJldlJ 關(guān)于面電流密度的說明關(guān)于面電流密度的說明 J Js s是反映是反映薄層中薄層中各點(diǎn)電流流動(dòng)情況的物理量，它形成一個(gè)空間矢量各點(diǎn)電流流動(dòng)情況的物理量，它形成一個(gè)空間矢量場(chǎng)分布場(chǎng)分布 J Js s的方向?yàn)榭臻g中電流流動(dòng)的方向的方向?yàn)榭臻g中電流流動(dòng)的方向 J Js s在某點(diǎn)的大小為在某點(diǎn)的大小為單位時(shí)間單位時(shí)間內(nèi)內(nèi)垂直垂直通過通過單位長(zhǎng)度單位長(zhǎng)度的電量的電量 當(dāng)薄層的厚度趨于零時(shí)，面電流稱為理想面電流當(dāng)薄層的厚度趨于零時(shí)，面電流稱為理想面電流 只有當(dāng)電流體密度只有當(dāng)電流

39、體密度J J趨于無窮，理想面電流密度趨于無窮，理想面電流密度J Js s才不為零，即才不為零，即 若表面上電荷密度為若表面上電荷密度為 ，且電荷沿某方向以速度，且電荷沿某方向以速度 運(yùn)動(dòng)，則可運(yùn)動(dòng)，則可推得此時(shí)面電流密度為：推得此時(shí)面電流密度為：svssJv0lim0shJhJJ 電荷只在一條線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，形成的電流即為線電流。電荷只在一條線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，形成的電流即為線電流。 電流元電流元 ：長(zhǎng)度為無限小的線電流元。：長(zhǎng)度為無限小的線電流元。Idl 線電流和電流元線電流和電流元三、三、 電流的連續(xù)性方程電流的連續(xù)性方程 電荷守恒定律是電磁現(xiàn)象中的基本定律之一。實(shí)驗(yàn)證明，電荷電荷守恒定律是電磁現(xiàn)象中

40、的基本定律之一。實(shí)驗(yàn)證明，電荷是守恒的，既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅，它只能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移是守恒的，既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅，它只能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體，或者從一個(gè)地方移動(dòng)到另一個(gè)地方。到另一個(gè)物體，或者從一個(gè)地方移動(dòng)到另一個(gè)地方。 取電流流動(dòng)空間中的任意一個(gè)體積取電流流動(dòng)空間中的任意一個(gè)體積V V，設(shè)在，設(shè)在 S V I 時(shí)間內(nèi)，時(shí)間內(nèi)，V V內(nèi)流出內(nèi)流出S S的電荷量為的電荷量為dtdq由電流強(qiáng)度定義：由電流強(qiáng)度定義：定律：定律： 時(shí)間內(nèi)，時(shí)間內(nèi)，V V內(nèi)電荷改變量為內(nèi)電荷改變量為dqdt由電荷守恒由電荷守恒( )SdqI dtJ rds dt( )sdqJ rdsdt ( )Vdr

41、 dVdt ()VVJ dVdVt Jt 0Jt( )sJ rds( )Vdr dVdt 即即電荷守恒定電荷守恒定律積分形式律積分形式 在等式的左端應(yīng)用高斯散度定理，將閉合面上的面積分變?yōu)轶w在等式的左端應(yīng)用高斯散度定理，將閉合面上的面積分變?yōu)轶w積分，得積分，得電荷守恒定電荷守恒定律微分形式律微分形式 2 2、當(dāng)體積、當(dāng)體積V V為整個(gè)空間時(shí)，閉合面為整個(gè)空間時(shí)，閉合面S S為無窮大界面，將沒有電流經(jīng)為無窮大界面，將沒有電流經(jīng)其流出，電流連續(xù)性方程可寫成其流出，電流連續(xù)性方程可寫成0VdVt 對(duì)電流連續(xù)性方程的進(jìn)一步討論對(duì)電流連續(xù)性方程的進(jìn)一步討論即整個(gè)空間的總電荷是守恒的。即整個(gè)空間的總電荷是

42、守恒的。1 1、積分形式反映的是電荷變化與電流流動(dòng)的宏觀關(guān)系，而微分形、積分形式反映的是電荷變化與電流流動(dòng)的宏觀關(guān)系，而微分形式則描述空間各點(diǎn)電荷變化與電流流動(dòng)的局部關(guān)系式則描述空間各點(diǎn)電荷變化與電流流動(dòng)的局部關(guān)系3 3、對(duì)于恒定電流，當(dāng)電流不隨時(shí)間變化，空間中電荷分布、對(duì)于恒定電流，當(dāng)電流不隨時(shí)間變化，空間中電荷分布也不改變，即：也不改變，即：00Jtt則恒定電流的電流連續(xù)性方程為則恒定電流的電流連續(xù)性方程為0J0sJ ds 4 4、對(duì)于面電流，電流連續(xù)性方程為：、對(duì)于面電流，電流連續(xù)性方程為：意義：流入閉合面意義：流入閉合面S S的電流等于流出閉合面的電流等于流出閉合面S S的電流的電流基

43、爾霍基爾霍夫電流方程夫電流方程()sSlSJndldSt 時(shí)變面電流時(shí)變面電流()0SlJndl恒定面電流恒定面電流例例 在球面坐標(biāo)系中，傳導(dǎo)電流密度為在球面坐標(biāo)系中，傳導(dǎo)電流密度為J=eJ=er r1010r r-1.5-1.5( (A/mA/m) )，求：（求：（1 1）通過半徑）通過半徑r r1 1mmmm的球面的電流值；（的球面的電流值；（2 2）在半徑）在半徑r r=1=1mmmm的球面的球面上電荷密度的增加率；（上電荷密度的增加率；（3 3）在半徑）在半徑r r=1=1mmmm的球體內(nèi)總電荷的增加率。的球體內(nèi)總電荷的增加率。解：解： （1）21.521000.5110sin|40|

44、3.97( )rmmSrmmIJ dSrrd drA （2）在球面坐標(biāo)系中）在球面坐標(biāo)系中 21.522.58311105|1.58 10/rmmddJrrdtr drrA m （3）由電荷守恒定律得）由電荷守恒定律得3.97( )SdqJ dSIAdt 2.2 庫(kù)侖定律庫(kù)侖定律 電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度一、庫(kù)侖定律一、庫(kù)侖定律 庫(kù)侖定律描述了真空中兩個(gè)點(diǎn)電荷間相互作用力的規(guī)律庫(kù)侖定律描述了真空中兩個(gè)點(diǎn)電荷間相互作用力的規(guī)律 O rrRRrr1q2q 庫(kù)侖定律內(nèi)容：如圖，電荷庫(kù)侖定律內(nèi)容：如圖，電荷q q1 1對(duì)對(duì)電荷電荷q q2 2的作用力為：的作用力為：121212230044Rq qq qFeR

45、RR式中：式中：RRRReR0為真空中介電常數(shù)。為真空中介電常數(shù)。90110/36F m對(duì)庫(kù)侖定律的進(jìn)一步討論對(duì)庫(kù)侖定律的進(jìn)一步討論 大小與電量成正比、與距離的平方成反比，方向在連線上大小與電量成正比、與距離的平方成反比，方向在連線上 多個(gè)電荷對(duì)一個(gè)電荷的靜電力是各電荷力的多個(gè)電荷對(duì)一個(gè)電荷的靜電力是各電荷力的矢量疊加矢量疊加，即，即 連續(xù)分布電荷系統(tǒng)的靜電力須通過連續(xù)分布電荷系統(tǒng)的靜電力須通過矢量積分矢量積分進(jìn)行求解進(jìn)行求解304iiiiiiqqFFRR 二、電場(chǎng)強(qiáng)度矢量二、電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E 電場(chǎng)的定義電場(chǎng)的定義 電場(chǎng)強(qiáng)度矢量電場(chǎng)強(qiáng)度矢量 用電場(chǎng)強(qiáng)度矢量用電場(chǎng)強(qiáng)度矢量 表示電場(chǎng)的大小和方向表示

46、電場(chǎng)的大小和方向E 電場(chǎng)是電荷周圍形成的物質(zhì)，當(dāng)另外的電荷處于這個(gè)物質(zhì)中電場(chǎng)是電荷周圍形成的物質(zhì)，當(dāng)另外的電荷處于這個(gè)物質(zhì)中時(shí)，會(huì)受到電場(chǎng)力的作用時(shí)，會(huì)受到電場(chǎng)力的作用靜止電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)稱為靜電場(chǎng)靜止電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)稱為靜電場(chǎng) 隨時(shí)間發(fā)生變化的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)稱為時(shí)變電場(chǎng)隨時(shí)間發(fā)生變化的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)稱為時(shí)變電場(chǎng)0Fq E 0FEq 實(shí)驗(yàn)證明：電場(chǎng)中電荷實(shí)驗(yàn)證明：電場(chǎng)中電荷q0q0所受的電場(chǎng)力大小與自身所帶電所受的電場(chǎng)力大小與自身所帶電量量q0q0成正比，與電荷所在位置電場(chǎng)強(qiáng)度大小成正比，即成正比，與電荷所在位置電場(chǎng)強(qiáng)度大小成正比，即對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)度的進(jìn)一步討論對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)度的進(jìn)一步討論 電場(chǎng)強(qiáng)度形成矢量場(chǎng)

47、分布，各點(diǎn)相同時(shí)，稱為均勻電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度形成矢量場(chǎng)分布，各點(diǎn)相同時(shí)，稱為均勻電場(chǎng) 電場(chǎng)強(qiáng)度是單位點(diǎn)電荷受到的電場(chǎng)力，只與電場(chǎng)強(qiáng)度是單位點(diǎn)電荷受到的電場(chǎng)力，只與產(chǎn)生電場(chǎng)的電荷產(chǎn)生電場(chǎng)的電荷有關(guān)有關(guān) 對(duì)靜電場(chǎng)和時(shí)變電場(chǎng)上式均成立對(duì)靜電場(chǎng)和時(shí)變電場(chǎng)上式均成立 點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng) 單個(gè)點(diǎn)電荷單個(gè)點(diǎn)電荷q q在空間任意點(diǎn)激發(fā)的電場(chǎng)為在空間任意點(diǎn)激發(fā)的電場(chǎng)為200( )lim4sRqsFqE reqR01()4qR O rrRRrrqP O rRrqP 特殊地，當(dāng)點(diǎn)電荷特殊地，當(dāng)點(diǎn)電荷q q位于坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，位于坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，0r 200( )lim4rqFqE reqr01( )4qr 多個(gè)點(diǎn)電

48、荷組成的電荷系統(tǒng)產(chǎn)生的電場(chǎng)多個(gè)點(diǎn)電荷組成的電荷系統(tǒng)產(chǎn)生的電場(chǎng) 由矢量疊加原理，由矢量疊加原理，N N個(gè)點(diǎn)電荷組成的電荷系統(tǒng)在空間任意點(diǎn)激發(fā)個(gè)點(diǎn)電荷組成的電荷系統(tǒng)在空間任意點(diǎn)激發(fā)的電場(chǎng)為的電場(chǎng)為31014NiiiiqERR 1q2qNqO 1r2rNrrNR1R2R( )P r ( )P r1E2ENEE合iiRrr式中式中: : 連續(xù)分布的電荷系統(tǒng)產(chǎn)生的電場(chǎng)連續(xù)分布的電荷系統(tǒng)產(chǎn)生的電場(chǎng)連續(xù)分布于連續(xù)分布于體積體積V V中的電荷在空間任意點(diǎn)中的電荷在空間任意點(diǎn)r r產(chǎn)生的電場(chǎng)產(chǎn)生的電場(chǎng) O dV rrR( )P r 處理思路：處理思路： 1) 1) 無限細(xì)分區(qū)域無限細(xì)分區(qū)域 2 2）考查每個(gè)區(qū)域

49、）考查每個(gè)區(qū)域 3 3）矢量疊加原理）矢量疊加原理30( )( , )4r dVdE r rRRrrR 設(shè)體電荷密度為設(shè)體電荷密度為 ，圖中，圖中dVdV在在P P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)為：點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)為：( )r則整個(gè)體積則整個(gè)體積V V內(nèi)電荷在內(nèi)電荷在P P點(diǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)為：點(diǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)為：301( )( )( , )4VVrE rdE r rRdVR 面電荷和線電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)只需在上式中將電荷體密度、體面電荷和線電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)只需在上式中將電荷體密度、體積元和積分區(qū)域作相應(yīng)替換即可，如積元和積分區(qū)域作相應(yīng)替換即可，如 014sVrRE rdSR 3 014llrRE rdlR 3 線電荷線電荷

50、面電荷面電荷例例 圖中所示為一個(gè)半徑為圖中所示為一個(gè)半徑為r r的帶電細(xì)圓環(huán)，圓環(huán)的帶電細(xì)圓環(huán)，圓環(huán)上單位長(zhǎng)度帶電上單位長(zhǎng)度帶電 l l，總電量為，總電量為q q。求圓環(huán)軸線上任。求圓環(huán)軸線上任意點(diǎn)的電場(chǎng)。意點(diǎn)的電場(chǎng)。 r0 O R dE z dl ldEz 解：將圓環(huán)分解成無數(shù)個(gè)線元，每個(gè)線元可看成點(diǎn)電荷解：將圓環(huán)分解成無數(shù)個(gè)線元，每個(gè)線元可看成點(diǎn)電荷 l l(r)(r)dldl，則線元在軸線任意點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)為則線元在軸線任意點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)為2014lRdldEeR 由對(duì)稱性和電場(chǎng)的疊加性，合電場(chǎng)只有由對(duì)稱性和電場(chǎng)的疊加性，合電場(chǎng)只有z z分量，則分量，則 2033330000cos42444

51、4zlzzllzlzllzzlleE zedEdlReerzzzqzdldleeRRRR 結(jié) 果 分 析結(jié) 果 分 析（1 1）當(dāng)）當(dāng)z z00，此時(shí)，此時(shí)P P點(diǎn)移到圓心，圓環(huán)上各點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)抵消，點(diǎn)移到圓心，圓環(huán)上各點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)抵消，E=0E=0（2 2）當(dāng)）當(dāng)z z，R R與與z z平行且相等，平行且相等，r r 極化電荷：極化電荷：,PE 0EPE介質(zhì)空間中電場(chǎng)：介質(zhì)空間中電場(chǎng)：0EEE介質(zhì)空間外加電場(chǎng)介質(zhì)空間外加電場(chǎng) ，實(shí)際電場(chǎng)為，實(shí)際電場(chǎng)為 ，變化與介質(zhì)性質(zhì)有關(guān)。，變化與介質(zhì)性質(zhì)有關(guān)。0EE引入電位移矢量引入電位移矢量 作為描述空間電場(chǎng)分布的輔助量作為描述空間電場(chǎng)分布的輔助量. .

52、D電介質(zhì)極化率（極化系數(shù)）電介質(zhì)極化率（極化系數(shù)）電介質(zhì)本構(gòu)關(guān)系電介質(zhì)本構(gòu)關(guān)系媒質(zhì)介電常數(shù)媒質(zhì)介電常數(shù)媒質(zhì)相對(duì)介電常媒質(zhì)相對(duì)介電常數(shù)數(shù) 真空的相對(duì)介電常數(shù)等于真空的相對(duì)介電常數(shù)等于1 1，真空中電場(chǎng)的本構(gòu)關(guān)系為，真空中電場(chǎng)的本構(gòu)關(guān)系為0DE 真空中點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位移矢量為：真空中點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位移矢量為：24rqeDr 引入電位移矢量后，真空中靜電場(chǎng)的基本方程可寫為引入電位移矢量后，真空中靜電場(chǎng)的基本方程可寫為0ED SVD dSdV00ED0CD dl對(duì)電位移矢量的討論對(duì)電位移矢量的討論 zreP O分析：駐極體是指外場(chǎng)消失后，仍保持極分析：駐極體是指外場(chǎng)消失后，仍保持極化狀態(tài)的電介質(zhì)體。化

53、狀態(tài)的電介質(zhì)體。解：在駐極體內(nèi)：解：在駐極體內(nèi)：0PP 駐極體在表面上：駐極體在表面上：SPP n0zrPe e cossinzreee0cosP求半徑為求半徑為a a，永久極化強(qiáng)度為，永久極化強(qiáng)度為 的球形駐極體中的的球形駐極體中的極化電荷分布。已知：極化電荷分布。已知：0zPPeP例例 半徑為半徑為a a的球形電介質(zhì)體，其相對(duì)介電常數(shù)的球形電介質(zhì)體，其相對(duì)介電常數(shù) , ,若在球心處存在一點(diǎn)電荷若在球心處存在一點(diǎn)電荷Q Q，求極化電荷分布。，求極化電荷分布。4r解：由高斯定律，可以求得解：由高斯定律，可以求得SD dSQ24rQeDr0PDE在媒質(zhì)內(nèi)：在媒質(zhì)內(nèi)：023316rQeEr24rQ

54、eEr體極化電荷分布體極化電荷分布: :PP 221()0rr Prr面極化電荷分布面極化電荷分布: :SPrP e2316Qa在球心點(diǎn)電荷處：在球心點(diǎn)電荷處：2344pSPspQQQa 例例 在線性均勻媒質(zhì)中，已知電位移矢量在線性均勻媒質(zhì)中，已知電位移矢量 的的z z分量為分量為 ，極化強(qiáng)度，極化強(qiáng)度 求：介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度求：介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度 和電位移矢量和電位移矢量 。220/zDnC m292115/xyzPeeenC mDED解：由定義，知：解：由定義，知：00DEPDP1(1)rPD4zrzzDPD1rrDP43P014ED例例3.5 介質(zhì)中的高斯定律介質(zhì)中的高斯定律 邊界條件邊界條

55、件一、介質(zhì)靜電場(chǎng)基本方程一、介質(zhì)靜電場(chǎng)基本方程真空中的高斯定律：真空中的高斯定律：0SqE dS0SE dSq在介電常數(shù)為在介電常數(shù)為 的介質(zhì)中，類似地，有：的介質(zhì)中，類似地，有：SE dSqSD dSqD 介質(zhì)中的高斯定律介質(zhì)中的高斯定律在介質(zhì)中，靜電場(chǎng)仍然為保守場(chǎng)在介質(zhì)中，靜電場(chǎng)仍然為保守場(chǎng)0E0CE dl介質(zhì)中的環(huán)路定律介質(zhì)中的環(huán)路定律 SSE dSD dSq0()SDP dSq0SSD dSP dSqPVPdVq 電介質(zhì)中，穿過閉合面電介質(zhì)中，穿過閉合面S S的電通量由真空中的電通量和束的電通量由真空中的電通量和束縛電荷穿過閉合面縛電荷穿過閉合面S S的電通量組成。的電通量組成。0PS

56、D dSqq 式中：式中：q q為自由電荷電量，不包括極化電荷電荷。為自由電荷電量，不包括極化電荷電荷。對(duì)介質(zhì)中靜電場(chǎng)基本方程的討論對(duì)介質(zhì)中靜電場(chǎng)基本方程的討論二、介質(zhì)的電位方程二、介質(zhì)的電位方程在均勻、各向同性、線性媒質(zhì)中（在均勻、各向同性、線性媒質(zhì)中（ 為常數(shù)）為常數(shù)）D()EE E()E 2 介質(zhì)中的泊松方程介質(zhì)中的泊松方程三、靜電場(chǎng)的邊界條件三、靜電場(chǎng)的邊界條件 在兩種介質(zhì)界面上，介質(zhì)性質(zhì)有突變，電磁場(chǎng)也會(huì)突變?cè)趦煞N介質(zhì)界面上，介質(zhì)性質(zhì)有突變，電磁場(chǎng)也會(huì)突變 分界面兩邊電場(chǎng)按照某種規(guī)律突變，稱這種突變關(guān)系為電場(chǎng)的分界面兩邊電場(chǎng)按照某種規(guī)律突變，稱這種突變關(guān)系為電場(chǎng)的邊邊值關(guān)系值關(guān)系或或

57、邊界條件邊界條件 推導(dǎo)邊界條件的依據(jù)是靜電場(chǎng)基本方程的積分形式推導(dǎo)邊界條件的依據(jù)是靜電場(chǎng)基本方程的積分形式在非均勻媒質(zhì)中，在非均勻媒質(zhì)中， 為坐標(biāo)函數(shù)為坐標(biāo)函數(shù)D()EE 的邊界條件的邊界條件D 212D1Dn0h Snn12()sDDn12nnsDD 為分界面上自由電荷面密度，不包括自由極化電荷。為分界面上自由電荷面密度，不包括自由極化電荷。s120nnDD 若媒質(zhì)為理想媒質(zhì)，則若媒質(zhì)為理想媒質(zhì)，則 ， 滿足邊界條件滿足邊界條件0sD 在分界面上取一個(gè)扁盒，將在分界面上取一個(gè)扁盒，將 應(yīng)用于此盒，并考慮應(yīng)用于此盒，并考慮h h0 0，得，得SD dSq 12SD dS =D nS+D-n S

58、=q 對(duì)對(duì) 邊界條件的討論邊界條件的討論D 結(jié)論一：若邊界面上不存在自由電荷，則結(jié)論一：若邊界面上不存在自由電荷，則 法向連續(xù)。法向連續(xù)。D 的邊界條件的邊界條件E 212En1E210h ls 在分界面上作一矩形回路，將在分界面上作一矩形回路，將 用于此回路，且考慮用于此回路，且考慮h h0 0，得，得0lE dl 12ttEE結(jié)論二：在兩種媒質(zhì)分界面上，結(jié)論二：在兩種媒質(zhì)分界面上， 切向連續(xù)。切向連續(xù)。E0s1122sinsinEE 12CE dl = E l -El =0 1212()()0EnsEnsEnEn理想媒質(zhì)和導(dǎo)體的靜電場(chǎng)邊界條件理想媒質(zhì)和導(dǎo)體的靜電場(chǎng)邊界條件 理想介質(zhì)分界面的

59、邊界條件（理想介質(zhì)分界面的邊界條件（ ） 理想介質(zhì)：理想介質(zhì)：導(dǎo)電率為導(dǎo)電率為0 0的媒質(zhì)。因此在理想介質(zhì)內(nèi)部和表面的媒質(zhì)。因此在理想介質(zhì)內(nèi)部和表面均不存在自由電荷分布，故邊界條件為：均不存在自由電荷分布，故邊界條件為：12120nnttDDEE0nstDE0sD nEn 導(dǎo)體邊界條件導(dǎo)體邊界條件 在導(dǎo)體內(nèi)部，不存在靜電場(chǎng)。故靜電場(chǎng)導(dǎo)體邊界為在導(dǎo)體內(nèi)部，不存在靜電場(chǎng)。故靜電場(chǎng)導(dǎo)體邊界為 電位邊界條件電位邊界條件 在介質(zhì)邊界兩邊，電位分布同樣遵照某種規(guī)律變化，這種變化在介質(zhì)邊界兩邊，電位分布同樣遵照某種規(guī)律變化，這種變化規(guī)律即為電位的邊界條件。規(guī)律即為電位的邊界條件。tnEtEn tnEeetn

60、 ttnnEE eE e12nnSDD1122nnSEE2121Snnn由21120ttEE120tt120電位邊界條件電位邊界條件 212En1E212D1D12()0DDn12()0EEn11221122coscossinsinDDEE討論：在理想媒質(zhì)分界面上討論：在理想媒質(zhì)分界面上1122tantan 從上式可以看出，電場(chǎng)矢量方向在分界面兩邊將發(fā)生改變，改變從上式可以看出，電場(chǎng)矢量方向在分界面兩邊將發(fā)生改變，改變量與媒質(zhì)介電常數(shù)有關(guān)。量與媒質(zhì)介電常數(shù)有關(guān)。 同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a a，外導(dǎo)體半徑為，外導(dǎo)體半徑為b b。內(nèi)外。內(nèi)外導(dǎo)體間充滿介電常數(shù)分別為導(dǎo)體間充滿介電常數(shù)分