二元函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)

1、經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第4章多元函數(shù)的微分第一單元二元函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)第一節(jié)二元函數(shù)的概念一、學(xué)習(xí)目標(biāo)通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，理解二元函數(shù)的概念、能在生活具體事物中抽象出二元函數(shù)的概念，會求二元函數(shù)的定義域、了解二元函數(shù)的幾何意義.二、內(nèi)容講解1 .多元函數(shù)的概念多元函數(shù)與一元函數(shù)類似，學(xué)習(xí)時應(yīng)注意比較.一元函數(shù)是含有一個自變量的函數(shù)：y=f（x）多元函數(shù)是含有多個自變量的函數(shù).例如：二元函數(shù)：z=f（x，y），三元函數(shù)：u=f（x，y，z）等等.2 .二元函數(shù)的幾何意義一元函數(shù)y=f（x）在直角坐標(biāo)系。xy中，通常表示一條曲線.而二元函數(shù)z=f（x，y）在直角坐標(biāo)系o-xyz中，通常表示一張曲面._222例如：

2、z=¥aXy表示中心在。，半徑為a的上半球面.22.yz=x2表示橢圓拋物面.z=.x2+y2表示上半圓錐面.問題思考：二元函數(shù)與一元函數(shù)的共同點是什么？區(qū)別是什么？117經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第4章多元函數(shù)的微分答案：二元函數(shù)與一元函數(shù)的共同點：都是描述變量之間的對應(yīng)關(guān)系，值域都是數(shù)軸上的點組成的集合；二元函數(shù)與一元函數(shù)的區(qū)別：一元函數(shù)的定義域是數(shù)軸（直線）上的點組成的集合，二元函數(shù)的定義域是平面直角坐標(biāo)系（平面）上的點組成的集合.三、例題講解12v=一rh例1如果圓錐體底半徑為r,高為h,則其體積3,它是二元函數(shù).其中，r和h是自變量，v是因變量（函數(shù)）.定義域：D=（r,h）|r>

3、°,2°例2黑白電視：在t時刻屏幕上坐標(biāo)為（x，y）處的灰度z為：z=z（x,yR,它是三元函數(shù).例3在一個有火爐白房間里，在t時刻，點（x，y,z）處的溫度u是x,y,z,t的函數(shù)：u="人丫，乙1）稱為溫度分布函數(shù)，它是四元函數(shù).222例4:求函數(shù)z=Va-x-y的定義域.解：a2-x2-y2-0,定義域為D=kx，y）x2+y2z_ln（x+y）例5求4y的定義域.'y>0=解：由所給函數(shù)，對數(shù)真數(shù)為正，又分母根式為正，有j+y>0,即D='（x,y）y0,xy0：四、課堂練習(xí)118經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第4章多元函數(shù)的微分iz=練習(xí)i函數(shù)

4、寸1n(x+y)的定義域為.(分析：求函數(shù)定義域的方法、步驟與一元函數(shù)是一致的.即如果函數(shù)是有意義的，那么根據(jù)實際問題的意義來決定函數(shù)的定義域；否則，根據(jù)函數(shù)的解析表達式，求出使解析表達式有意義的自變量的取值范圍就是函數(shù)的定義域.具體說有以下幾個常用原則：(1)分母#0;(2)偶次根號內(nèi)的代數(shù)式之0;(3)對數(shù)中的真數(shù)>0;(4)如果一個函數(shù)是由幾個函數(shù)經(jīng)過加、減、乘、除或復(fù)合運算后得到的，則該函數(shù)的定義域就是這些部分函數(shù)定義域的公共部分，即交集.(5)分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)定義域的全體組成，即并集.)練習(xí)2若函數(shù)f(x,y)=xy,則f(x+y,x-y)=一(分析：求函數(shù)值與一元函

5、數(shù)類似.如函數(shù)f(x)=2x表示一種倍數(shù)關(guān)系；二元函數(shù)也是一種對應(yīng)關(guān)系，只是情況稍復(fù)雜些，函數(shù)f(x,y)=xy表示了兩個變量相乘的對應(yīng)關(guān)系f(),0)=()">二f(x+y),<x-y>)=(x+y)<x-yax2-y2)五、課后作業(yè)1 .二元函數(shù)z=1n(1_x_y)的定義域為().A)0<x+yc1；B)0Mx+y<1；C)x+yc1；D)x+y<12 .二元函數(shù)z=#-y2的定義域為.3 ,已知z=f(u，v)=uV,求f(x+y，xy).答案1.C;2,x2+y2-1；3.(x+y)xy119經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第4章多元函數(shù)的微分120經(jīng)

6、濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第4章多元函數(shù)的微分第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分一、學(xué)習(xí)目標(biāo)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，弄清偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，能熟練求解二元函數(shù)(表達式中不帶函數(shù)符號)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分.二、內(nèi)容講解1 .偏導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)z=f(x,y)在點(Xo,y°)處關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)mf(xo+x,yo)-f(xo,yo)必取(注意到：y取值不變，包為y0)zz.記作：&"或父(%。0).limf(x°,yoy)-f(x°,yo)類似地，關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)：J山例如：z=x2sin3yCZ、c2-=fy(x,y)=3xcos3y的1=f；(1Q)=3x2cos3y(io)y(i,o),

7、-3求偏導(dǎo)數(shù)，包括兩個偏導(dǎo)數(shù)，一個是對x求偏導(dǎo)，一個是對y求偏導(dǎo).對x求偏導(dǎo)時，應(yīng)把看作常數(shù).這樣z就變?yōu)榱艘辉瘮?shù)，于是就可以用一元函數(shù)的微分法求導(dǎo)數(shù)了.對y求偏導(dǎo)也類似.121經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第4章多元函數(shù)的微分注意：一元函數(shù)y=f（x）在x。處可導(dǎo)，則在Xo處連續(xù).多元函數(shù)z=f（x，y）在（X。一。）可導(dǎo)與在（xo，y。）連續(xù)，二者不能互推.2 .全微分z=f（x，y）稱z：zdz二一xy:x:y:zz.-dxdy漢y為函數(shù)z=f（x，y）在點（x，y）處的全微分.問題思考：二元函數(shù)在一點可微與在該點偏導(dǎo)數(shù)存在的關(guān)系和一元函數(shù)有什么不同?簧也一元函數(shù)在一點可微與在該點導(dǎo)數(shù)存在的關(guān)系是兩者等

8、價；二元函數(shù)在一點可微與在該點偏導(dǎo)數(shù)存在的關(guān)系是：可微則偏導(dǎo)數(shù)存在，偏導(dǎo)數(shù)存在不一定可微.三、例題講解2例1：求z=f（x，y）=xsin3y在點（1，。）處關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù).解：將y看作常數(shù)z：z-z=2xsin3y-=2xsin3y（i，。）=。（i，。）z=x2y例2:求x在點（1，-1）處的全微分.解：X=(2xy-(1T)x:z二一21二T(1T)W/2+1、=(x+一)x(1T)x二2(1T)因止匕dz=-dx2dy122,經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第4章多元函數(shù)的微分五、課后作業(yè).:z練習(xí)1若z=xexy,則（求偏導(dǎo)數(shù)，包括兩個偏導(dǎo)數(shù)，一個是對x求偏導(dǎo)，一個是對y求偏導(dǎo).對x求偏導(dǎo)時,應(yīng)把y看作

9、常數(shù).這樣z就變?yōu)榱艘辉瘮?shù)，于是就可以用一元函數(shù)的微分法求導(dǎo)數(shù)了.對yjz求偏導(dǎo)時，應(yīng)把x看作常數(shù).求Ex,視y為常數(shù)，即對x求導(dǎo)數(shù)，且是乘積求n-exyxexy：(xy)導(dǎo).&ex=xexyx(exy);exyxyexy:z練習(xí)25gz=xy,則由(e,1)求偏導(dǎo)數(shù)，包括兩個偏導(dǎo)數(shù)，一個是對x求偏導(dǎo)，一個是對y求偏導(dǎo).對x求偏導(dǎo)時，應(yīng)把y看作常數(shù).這樣z就變?yōu)榱艘辉瘮?shù)，于是就可以用一元函數(shù)的微分法求導(dǎo)數(shù)了.對y求偏導(dǎo)時，應(yīng)將x看作常數(shù).一元函數(shù)求導(dǎo)公式:fz(ax)'=axlna,即火=xylnx五、課后作業(yè)：z_222222v221 .若z=exT,則可().A)ex-；B)-ex-；一2丫-；D)e”(x')2 .若z=cos