第8章期權(quán)及其二叉樹模型

1、第八章第八章 期權(quán)及其二叉樹模型期權(quán)及其二叉樹模型 金融期權(quán)（金融期權(quán)（financial optionfinancial option）簡稱為期權(quán)是主要的金）簡稱為期權(quán)是主要的金融衍生產(chǎn)品，它是金融工程的主要工具融衍生產(chǎn)品，它是金融工程的主要工具,也是構(gòu)成金融工程也是構(gòu)成金融工程其它金融衍生產(chǎn)品的基礎(chǔ)。其它金融衍生產(chǎn)品的基礎(chǔ)。 期權(quán)合約是買賣雙方簽定的一種協(xié)議，該協(xié)議期權(quán)合約是買賣雙方簽定的一種協(xié)議，該協(xié)議賦予期賦予期權(quán)購買者在未來某一時(shí)刻以事先約定的價(jià)格購買權(quán)購買者在未來某一時(shí)刻以事先約定的價(jià)格購買(或出售）或出售）某一資產(chǎn)的權(quán)利某一資產(chǎn)的權(quán)利。但是，那時(shí)他可以行使他的權(quán)利也可。但是，那時(shí)

2、他可以行使他的權(quán)利也可以不行使這個(gè)權(quán)利。以不行使這個(gè)權(quán)利。 如果到了規(guī)定的時(shí)間，而不行使這種權(quán)利，則這種權(quán)如果到了規(guī)定的時(shí)間，而不行使這種權(quán)利，則這種權(quán)利就失效了。利就失效了。 在協(xié)議中約定購買（或出售）的資產(chǎn)稱為標(biāo)的資產(chǎn)。在協(xié)議中約定購買（或出售）的資產(chǎn)稱為標(biāo)的資產(chǎn)。購買時(shí)間稱為執(zhí)行時(shí)間，購買價(jià)格稱為執(zhí)行價(jià)格。具有購購買時(shí)間稱為執(zhí)行時(shí)間，購買價(jià)格稱為執(zhí)行價(jià)格。具有購買權(quán)利的期權(quán)稱為看漲期權(quán)，具有出售權(quán)利的期權(quán)稱為看買權(quán)利的期權(quán)稱為看漲期權(quán)，具有出售權(quán)利的期權(quán)稱為看跌期權(quán)。跌期權(quán)。 這一章，首先這一章，首先討論討論歐式期權(quán)及其組合的損益歐式期權(quán)及其組合的損益，并，并以簡明的圖象表示出來。以簡明

3、的圖象表示出來。 第二，介紹第二，介紹期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型。 第三，介紹第三，介紹以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)。 第四，討論第四，討論n n期二叉樹模型期二叉樹模型。 最后，討論最后，討論存在交易費(fèi)用條件下的二叉樹模型存在交易費(fèi)用條件下的二叉樹模型。 第一節(jié)第一節(jié) ( (歐式歐式) )期權(quán)及其組合的損益期權(quán)及其組合的損益 一、（歐式）期權(quán)交易到期的損益分析一、（歐式）期權(quán)交易到期的損益分析 設(shè)執(zhí)行價(jià)為設(shè)執(zhí)行價(jià)為X，在期權(quán)到期時(shí)刻，在期權(quán)到期時(shí)刻T, ,股票價(jià)格為股票價(jià)格為ST（一）看漲期權(quán)到期日的損益分析（一）看漲期權(quán)到期日的損益分析2. 2. 看漲期權(quán)空頭

4、（賣），（承擔(dān)義務(wù)）看漲期權(quán)空頭（賣），（承擔(dān)義務(wù)）1. 1. 看跌期權(quán)多頭看跌期權(quán)多頭( (買買), (), (賦予權(quán)力賦予權(quán)力) )2. 2. 看跌期權(quán)空頭看跌期權(quán)空頭( (賣賣), (), (承擔(dān)義務(wù)承擔(dān)義務(wù)) )1. 1. 看漲期權(quán)多頭（買），（看漲期權(quán)多頭（買），（賦予權(quán)力賦予權(quán)力）（二）看跌期權(quán)到期日損益分析（二）看跌期權(quán)到期日損益分析 設(shè)股票初始價(jià)格為設(shè)股票初始價(jià)格為S, 期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為股票初始價(jià)格，期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為股票初始價(jià)格， 二、二、 在在( ( S, W) )平面上歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的平面上歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的 損益表示損益表示TSSS W為期權(quán)的收益為期權(quán)的收

5、益 三、在三、在( ( S, W) )平面上平面上, , 股票和債券的收益股票和債券的收益:(:(為了說為了說明問題方便，這里及下面都考慮無風(fēng)險(xiǎn)收益率因素）明問題方便，這里及下面都考慮無風(fēng)險(xiǎn)收益率因素）令令 (一一) 在在( ( S, W) )平面上看漲期權(quán)多頭和看漲期權(quán)空頭平面上看漲期權(quán)多頭和看漲期權(quán)空頭的收益的收益 (二二) 在在( ( S, W) )平面上看跌期權(quán)多頭和看跌期權(quán)空頭平面上看跌期權(quán)多頭和看跌期權(quán)空頭的收益的收益 ( (二二) ) 債券買賣的收益?zhèn)I賣的收益1. 1. 購入一份股票和一份以此股票為標(biāo)的看跌期權(quán)的收益。購入一份股票和一份以此股票為標(biāo)的看跌期權(quán)的收益。 2. 2

6、. 賣一份以該股票為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)的收益賣一份以該股票為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)的收益4. S+P-C4. S+P-C損益的數(shù)學(xué)表達(dá)式：損益的數(shù)學(xué)表達(dá)式：5. 5. 直接從證券組合的最終收益也可說明該組合是無風(fēng)險(xiǎn)直接從證券組合的最終收益也可說明該組合是無風(fēng)險(xiǎn) 證券組合證券組合( (三三) ) 無風(fēng)險(xiǎn)證券組合的構(gòu)造無風(fēng)險(xiǎn)證券組合的構(gòu)造: :( (一一) ) 股票買賣的收益股票買賣的收益 購入一份股票、一份以此股票為標(biāo)的看跌期權(quán)和賣一購入一份股票、一份以此股票為標(biāo)的看跌期權(quán)和賣一 份看漲期權(quán)份看漲期權(quán)3. 購入一份股票的收益購入一份股票的收益( (四四) ) 其他期權(quán)組合的收益其他期權(quán)組合的收益 1

7、. 1. 牛市價(jià)差買賣牛市價(jià)差買賣( (bullish vertical spread) ) ： 購買一份執(zhí)行價(jià)格為購買一份執(zhí)行價(jià)格為X X1 1的看漲期權(quán)，賣出一份執(zhí)行價(jià)格的看漲期權(quán)，賣出一份執(zhí)行價(jià)格 是是X X2 2的看漲期權(quán)，其中的看漲期權(quán)，其中X X2 2 X X1 12. 2. 熊市價(jià)差買賣熊市價(jià)差買賣（bearish vertical spread）：）： 賣出執(zhí)行價(jià)格為賣出執(zhí)行價(jià)格為X X1 1的看漲期權(quán)，買入一份執(zhí)行價(jià)格是的看漲期權(quán)，買入一份執(zhí)行價(jià)格是 X X2 2 的看漲期權(quán)，其中的看漲期權(quán)，其中X X2 2 X X1 1。3. 3. 蝶式價(jià)差買賣蝶式價(jià)差買賣( (butte

8、rfly spread）：）： 它是牛市價(jià)差買賣與熊市價(jià)差買賣的組合，即購入一它是牛市價(jià)差買賣與熊市價(jià)差買賣的組合，即購入一 份執(zhí)行價(jià)格為份執(zhí)行價(jià)格為 X X1 1和一份執(zhí)行價(jià)格為和一份執(zhí)行價(jià)格為X X2 2的看漲期權(quán)，再賣的看漲期權(quán)，再賣 出兩份執(zhí)行價(jià)格為出兩份執(zhí)行價(jià)格為X X3 3的看漲期權(quán)。其中，的看漲期權(quán)。其中，X X2 2 X X3 3 X X1 1 ， 且且 1232XXX 4. 4. 底部馬鞍式組合底部馬鞍式組合 （ bottom straddle 或買馬鞍式）：或買馬鞍式）： 購入一份看漲期權(quán)和一份看跌期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格均為購入一份看漲期權(quán)和一份看跌期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格均為X 5. 5.

9、 頂部馬鞍組合頂部馬鞍組合（top straddle 或賣馬鞍式或賣馬鞍式) )： 賣出一份看漲期權(quán)和一份看跌期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格均為賣出一份看漲期權(quán)和一份看跌期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格均為X 6. 6. 底部梯形組合底部梯形組合（Bottom vertical combination 或買或買 入梯形組合入梯形組合) )： 買入一份看漲期權(quán)和一份看跌期權(quán)買入一份看漲期權(quán)和一份看跌期權(quán), ,執(zhí)行價(jià)格分別是執(zhí)行價(jià)格分別是 X X1 1和和X X2 2，其中，其中X X2 2 XX1 1。 7. 7. 頂部梯形組合頂部梯形組合（Top vertical combination 或賣出梯或賣出梯 形組合形組合) )：

10、 賣出一份看漲期權(quán)和一份看跌期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格分別為賣出一份看漲期權(quán)和一份看跌期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格分別為 X X1 1和和X X2 2，其中，其中X X2 2 X X1 1 。8. 8. 疊做期權(quán)疊做期權(quán)（Straps）：）： 購進(jìn)兩個(gè)看漲期權(quán)和一個(gè)看跌期權(quán)，它們的執(zhí)行價(jià)與購進(jìn)兩個(gè)看漲期權(quán)和一個(gè)看跌期權(quán)，它們的執(zhí)行價(jià)與 到期日都相同。到期日都相同。 9. 9. 逆疊做期權(quán)逆疊做期權(quán)（Strip）：）： 購買兩份看跌期權(quán)購買兩份看跌期權(quán) 和一份看漲期權(quán)，具有相同的執(zhí)行和一份看漲期權(quán)，具有相同的執(zhí)行 價(jià)和到期日。價(jià)和到期日。 10. 10. 三明治買賣三明治買賣（sandwich ）期權(quán)：買兩份執(zhí)行價(jià)格為）

11、期權(quán)：買兩份執(zhí)行價(jià)格為 中間的中間的Xm看漲期權(quán)看漲期權(quán), ,賣一份執(zhí)行價(jià)為賣一份執(zhí)行價(jià)為X XL L的較低價(jià)格的看的較低價(jià)格的看 漲期權(quán)漲期權(quán), ,賣一份執(zhí)行價(jià)高賣一份執(zhí)行價(jià)高Xu的看漲期權(quán)，即的看漲期權(quán)，即 lmuXXX11. W型型以例子說明該證券組合：以例子說明該證券組合：第二節(jié)第二節(jié) 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型一、期權(quán)定價(jià)的一期模型一、期權(quán)定價(jià)的一期模型 Cox-Ross-Rubinstein二叉樹期權(quán)定價(jià)模型：二叉樹期權(quán)定價(jià)模型：設(shè)設(shè)資本市場(chǎng)是競爭的無摩檫的（不存在交易費(fèi)用資本市場(chǎng)是競爭的無摩檫的（不存在交易費(fèi)用),不存在不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，股票和期權(quán)是無限可分的無

12、風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，股票和期權(quán)是無限可分的。下一期的。下一期的股票價(jià)格只取兩種可能的值。股票價(jià)格只取兩種可能的值。先討論一期模型先討論一期模型 ： 注注: 條件條件 u 1 + r d 必須成立必須成立,否則可能出現(xiàn)套利否則可能出現(xiàn)套利機(jī)會(huì)。機(jī)會(huì)。（一）股票價(jià)格的一期變化規(guī)律（一）股票價(jià)格的一期變化規(guī)律（二）以股票為標(biāo)的期權(quán)價(jià)格（二）以股票為標(biāo)的期權(quán)價(jià)格 設(shè)以該股票為標(biāo)的看漲期權(quán)的價(jià)格為設(shè)以該股票為標(biāo)的看漲期權(quán)的價(jià)格為C,執(zhí)行價(jià)格執(zhí)行價(jià)格為為22,則則 對(duì)此期權(quán)如何定價(jià)是合理的對(duì)此期權(quán)如何定價(jià)是合理的? 為了解決此問題為了解決此問題,構(gòu)造一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)套期保值的證券組合：構(gòu)造一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)套期保值的證券組合

13、：購買一份股票，賣掉購買一份股票，賣掉m份期權(quán)，這個(gè)證券組合的價(jià)值：份期權(quán)，這個(gè)證券組合的價(jià)值：max(0,)7.4uCuSXmax(0,)1.1dCdSS q q1-q1-qC 由于所構(gòu)造的證券組合是無風(fēng)險(xiǎn)證券組合，故在期由于所構(gòu)造的證券組合是無風(fēng)險(xiǎn)證券組合，故在期末時(shí)它在各狀態(tài)的收益是一樣的。末時(shí)它在各狀態(tài)的收益是一樣的。 由無風(fēng)險(xiǎn)的證券組合條件，我們有：由無風(fēng)險(xiǎn)的證券組合條件，我們有：uduSmCdSC由于所構(gòu)造的證券組合是無風(fēng)險(xiǎn)證券組合，故有：由于所構(gòu)造的證券組合是無風(fēng)險(xiǎn)證券組合，故有：（1+r)(S-mC）=uS-mCU1C=1SrumCumr將將m的值代入時(shí)的值代入時(shí),有有 (m稱

14、為套期保值率稱為套期保值率hedge ratio) 令令1(1)1udrdurCCududCr1p=rdud11-p=urud11pCup CdCrp稱為套期保值概率。稱為套期保值概率。 事實(shí)上事實(shí)上,若投資者是風(fēng)險(xiǎn)中性，則有若投資者是風(fēng)險(xiǎn)中性，則有(1)(1)r SquSq dS由此得由此得 1=rdqudp=q所以通常也稱所以通常也稱p為風(fēng)險(xiǎn)中性概率為風(fēng)險(xiǎn)中性概率 例如例如:設(shè)設(shè)S=21，1+r=1.15，u=1.4，d=1.1，X=22 ，求求C。注注1. 由此可知套期保值證券組合所需要的投資由此可知套期保值證券組合所需要的投資 21-1 1.869596=19.13 在期末所得到的無風(fēng)

15、險(xiǎn)收益為在期末所得到的無風(fēng)險(xiǎn)收益為22.S-mC=21-1 1.869565=19.13 uS-mCu=1.4 21-1 7.4=22注注2. 2. 此套期保值的證券組合為此套期保值的證券組合為, ,買一份股票買一份股票, ,賣一份賣一份 看漲期權(quán)看漲期權(quán). .注注3. 3. 投資的回報(bào)率投資的回報(bào)率 22/19.13=1.15=1+r.22/19.13=1.15=1+r.注注4. 4. 由上面推導(dǎo)期權(quán)定價(jià)的過程可知由上面推導(dǎo)期權(quán)定價(jià)的過程可知, ,期權(quán)的價(jià)值依賴期權(quán)的價(jià)值依賴 于存在一個(gè)套期保值的證券組合于存在一個(gè)套期保值的證券組合, ,以及期權(quán)的定價(jià)以及期權(quán)的定價(jià) 是要使此套期保值組合獲得

16、無風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)率是要使此套期保值組合獲得無風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)率, ,即債券即債券 的回報(bào)率的回報(bào)率. . 如果期權(quán)價(jià)格高了如果期權(quán)價(jià)格高了( (或者低了或者低了),),則套期保值證券組合則套期保值證券組合的收益率比無風(fēng)險(xiǎn)收益率高的收益率比無風(fēng)險(xiǎn)收益率高( (或低或低) )的回報(bào)的回報(bào), ,無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)就存在會(huì)就存在. .期權(quán)定價(jià)公式三個(gè)有趣的性質(zhì)：期權(quán)定價(jià)公式三個(gè)有趣的性質(zhì)： 期權(quán)的價(jià)格不依賴于股票價(jià)格上升的概率期權(quán)的價(jià)格不依賴于股票價(jià)格上升的概率。盡管投資。盡管投資 者對(duì)股票上升的概率有不同的判斷者對(duì)股票上升的概率有不同的判斷, ,但他仍然只能接但他仍然只能接受受 與與u， d，X，S，r相

17、關(guān)聯(lián)的期權(quán)價(jià)值，而股票本身是相關(guān)聯(lián)的期權(quán)價(jià)值，而股票本身是 引起投資者對(duì)引起投資者對(duì)q q的不同判斷的根源。的不同判斷的根源。2. 2. 投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度與期權(quán)定價(jià)公式無關(guān)投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度與期權(quán)定價(jià)公式無關(guān), ,所得的結(jié)所得的結(jié) 果只假設(shè)人們偏好更多的財(cái)富。果只假設(shè)人們偏好更多的財(cái)富。3. 3. 股票價(jià)格是期權(quán)價(jià)值唯一依賴的隨機(jī)變量。股票價(jià)格是期權(quán)價(jià)值唯一依賴的隨機(jī)變量。 二、期權(quán)定價(jià)的二期模型二、期權(quán)定價(jià)的二期模型為了得到多期期權(quán)價(jià)格公式為了得到多期期權(quán)價(jià)格公式,首先討論二期模型首先討論二期模型 設(shè)二期無風(fēng)險(xiǎn)利率為設(shè)二期無風(fēng)險(xiǎn)利率為r，每期復(fù)利一次，則一元錢的投，每期復(fù)利一次，則一元錢的

18、投資到二期后有資到二期后有(1+r)2元，設(shè)股票的初始價(jià)格為元，設(shè)股票的初始價(jià)格為S， 與一期模型一樣與一期模型一樣,為了得到期權(quán)的價(jià)格，構(gòu)造無風(fēng)險(xiǎn)套期為了得到期權(quán)的價(jià)格，構(gòu)造無風(fēng)險(xiǎn)套期保值證券組合保值證券組合,從而得到：從而得到：rCdppCuC11由一期模型得到的由一期模型得到的Cu, Cd,代入上式有代入上式有:222111C= 1p Cuupp Cudpp CdupCddr實(shí)際上實(shí)際上,上式是兩次應(yīng)用一期模型定價(jià)公式得到的上式是兩次應(yīng)用一期模型定價(jià)公式得到的,括號(hào)中是括號(hào)中是 2(1)udpCp C的二項(xiàng)展式，只不過的二項(xiàng)展式，只不過,uuudduddC C C CC C C C分別用

19、二期之后期權(quán)分別用二期之后期權(quán)uuudddC C C代替代替,它們分別是：它們分別是： 可能取得的三個(gè)值可能取得的三個(gè)值 222111C= 1p Cuupp Cudpp CdupCddr2max(0,)uuCu SXmax(0,)udCudSX2max(0,)ddCd SX 從另一個(gè)角度看從另一個(gè)角度看, 上式表明上式表明:期權(quán)價(jià)值等于在風(fēng)險(xiǎn)中期權(quán)價(jià)值等于在風(fēng)險(xiǎn)中性概率下二期收益的期望值折現(xiàn)。性概率下二期收益的期望值折現(xiàn)。第三節(jié)第三節(jié) 以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型 1. 就債券支付狀態(tài)的變化規(guī)律而言就債券支付狀態(tài)的變化規(guī)律而言,與股票支付

20、狀態(tài)與股票支付狀態(tài)的變化規(guī)律相反的變化規(guī)律相反.股票支付狀態(tài)隨著時(shí)間的推移逐漸地分股票支付狀態(tài)隨著時(shí)間的推移逐漸地分叉，如叉，如: 圖圖 8-353. 設(shè)利率也是取二值的過程：如設(shè)利率也是取二值的過程：如 :圖圖 8-38一、債券價(jià)格的二叉樹模型一、債券價(jià)格的二叉樹模型概述概述 2. 債券支付債券支付(收益收益)在到期日收斂于它的面值在到期日收斂于它的面值,此外多數(shù)此外多數(shù)債券有票息支付債券有票息支付 , 如如: 圖圖 8-36 及及 圖圖 8-37 4.設(shè)債券面值為設(shè)債券面值為D，半年的票息為，半年的票息為Ci，i=1,2n，若，若把此債券看成面值與票息分離的債券，則債券的現(xiàn)金流把此債券看成

21、面值與票息分離的債券，則債券的現(xiàn)金流相當(dāng)于相當(dāng)于2n份面值為份面值為Ci和一份面值為和一份面值為D的零息債券。的零息債券。 (一一) 風(fēng)險(xiǎn)中性方法風(fēng)險(xiǎn)中性方法債券價(jià)格樹的構(gòu)造債券價(jià)格樹的構(gòu)造1. 一年期債券的價(jià)格樹一年期債券的價(jià)格樹 圖圖 8-392. 一年半期債券的價(jià)格樹一年半期債券的價(jià)格樹 圖圖 3-40 （二）利率期限結(jié)構(gòu)模型方法（二）利率期限結(jié)構(gòu)模型方法 在（一）中介紹了在（一）中介紹了給定利率期限結(jié)構(gòu)以及半年期利率給定利率期限結(jié)構(gòu)以及半年期利率變化規(guī)律尋找風(fēng)險(xiǎn)中性概率序列并且應(yīng)用該序列給債券變化規(guī)律尋找風(fēng)險(xiǎn)中性概率序列并且應(yīng)用該序列給債券定價(jià)的方法定價(jià)的方法。另一種債券定價(jià)的方法，稱

22、為利率期限結(jié)。另一種債券定價(jià)的方法，稱為利率期限結(jié)構(gòu)模型方法：構(gòu)模型方法：先固定半年期利率在下一期以同樣的概率先固定半年期利率在下一期以同樣的概率分別取兩個(gè)值，然后利用利率期限結(jié)構(gòu)模型計(jì)算半年期分別取兩個(gè)值，然后利用利率期限結(jié)構(gòu)模型計(jì)算半年期利率值，從而構(gòu)成一個(gè)利率樹利率值，從而構(gòu)成一個(gè)利率樹。用所得到的利率樹對(duì)債。用所得到的利率樹對(duì)債券未來的價(jià)值折現(xiàn)就可得到債券的價(jià)格券未來的價(jià)值折現(xiàn)就可得到債券的價(jià)格。如如 圖圖 8-45,8-4611112tdtuttpBp BBr票息 例例 8-8 設(shè)初始利率為設(shè)初始利率為r=10%,在第二期以在第二期以q=0.5的概的概率上升到率上升到12%,以以0.

23、5的概率下降到的概率下降到d=8.5%。同時(shí)假設(shè)債。同時(shí)假設(shè)債券的面值券的面值D=100在一年期半內(nèi)每半年支付的紅利在一年期半內(nèi)每半年支付的紅利10, 而而每期初債券的價(jià)值是期末支付的期望值的折現(xiàn)每期初債券的價(jià)值是期末支付的期望值的折現(xiàn),求債券求債券的價(jià)格。如圖的價(jià)格。如圖 8-47t 期債券價(jià)格期債券價(jià)格:二、以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)二、以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià) 設(shè)以例設(shè)以例8-8中的債券中的債券 為標(biāo)的資產(chǎn)、執(zhí)行價(jià)為標(biāo)的資產(chǎn)、執(zhí)行價(jià)X=100的的看漲期權(quán)看漲期權(quán), 在在t時(shí)期市場(chǎng)上價(jià)格為時(shí)期市場(chǎng)上價(jià)格為Ct，它的收益如下：，它的收益如下：圖圖 8-48 ,1,1m ax(ddCB 票

24、息 -X,0) =13.77,1,1max(uuCB票息-X,0) =15.22？ 若是無風(fēng)險(xiǎn)套期保值，此債券組合在到期時(shí)的支付若是無風(fēng)險(xiǎn)套期保值，此債券組合在到期時(shí)的支付（收益）是一樣的。設(shè)看漲期權(quán)在（收益）是一樣的。設(shè)看漲期權(quán)在t期執(zhí)行，則此債券組期執(zhí)行，則此債券組合在合在t+1期時(shí)兩個(gè)狀態(tài)的收益相等期時(shí)兩個(gè)狀態(tài)的收益相等 。 為了達(dá)到期權(quán)定價(jià)的目的。與以股票為標(biāo)的看漲期為了達(dá)到期權(quán)定價(jià)的目的。與以股票為標(biāo)的看漲期權(quán)定價(jià)理論一樣權(quán)定價(jià)理論一樣,構(gòu)造一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)套期保值債券組合；購構(gòu)造一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)套期保值債券組合；購買一份債券，出售買一份債券，出售m份看漲期權(quán)（以該債券為標(biāo)的的看份看漲期權(quán)（以該

25、債券為標(biāo)的的看漲期權(quán)）。漲期權(quán)）。B Bd,t+1d,t+1 + +票息票息- mC- mCd,t+1d,t+1= B = B u,t+1u,t+1 + +票息票息- mC- mCu,t+1u,t+11111 m=dtutdtutBBCC由于是無風(fēng)險(xiǎn)債券組合，故有由于是無風(fēng)險(xiǎn)債券組合，故有（B Bt t- mC- mCt t ）（）（1+r1+rt t/2/2）= B= Bd t+1 d t+1 + +票息票息- mC- mCdt+1dt+1其中其中r rt t為無風(fēng)險(xiǎn)利率，將為無風(fēng)險(xiǎn)利率，將m m的值代入上式，我們有：的值代入上式，我們有： ,1,1,1,1,1,1()(1)()(1)22(

26、)(1)2ttd ttu tu ttd tttd tu trrBBCBBCCrBB票息票息 一、二項(xiàng)式及二項(xiàng)分一、二項(xiàng)式及二項(xiàng)分布布 二項(xiàng)式試驗(yàn)二項(xiàng)式試驗(yàn) (Binomial trials)：稱試驗(yàn)結(jié)果只有兩：稱試驗(yàn)結(jié)果只有兩個(gè)的試驗(yàn)為二項(xiàng)式試驗(yàn)。個(gè)的試驗(yàn)為二項(xiàng)式試驗(yàn)。 如在拋硬幣試驗(yàn)中，可能出如在拋硬幣試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果只有兩個(gè)：正面和反面。硬幣可以是均勻的，現(xiàn)的結(jié)果只有兩個(gè)：正面和反面。硬幣可以是均勻的，也可以不是均勻的。設(shè)拋硬幣時(shí)出現(xiàn)正面的概率為也可以不是均勻的。設(shè)拋硬幣時(shí)出現(xiàn)正面的概率為p， 出現(xiàn)反面的概率為出現(xiàn)反面的概率為1-p. 二項(xiàng)分布告訴我們?cè)诙?xiàng)分布告訴我們?cè)趎次試驗(yàn)中次

27、試驗(yàn)中,出現(xiàn)出現(xiàn)k次正面的概率為次正面的概率為第四節(jié)第四節(jié) n期歐式期權(quán)的定價(jià)模型期歐式期權(quán)的定價(jià)模型(1)kkn knC pp 記為記為Pr(k|n)。例如，試驗(yàn)次數(shù)為。例如，試驗(yàn)次數(shù)為3，則出現(xiàn)兩次正面，則出現(xiàn)兩次正面的概率為的概率為Pr（2|3）。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)不多時(shí)，）。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)不多時(shí)，Pr(k|n ）的系）的系數(shù)可以借助帕斯卡三角形（數(shù)可以借助帕斯卡三角形（Pascals triangle）。每一行）。每一行的數(shù)據(jù)都是由前行相鄰的兩數(shù)之和。的數(shù)據(jù)都是由前行相鄰的兩數(shù)之和。二、二、 n n 期歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式期歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式n試驗(yàn)次數(shù)試驗(yàn)次數(shù) 帕斯卡三角形帕斯卡三角形 0

28、1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 出現(xiàn)正面次數(shù)出現(xiàn)正面次數(shù) n， n-1，. n-nn n 期歐式看漲期權(quán)取值的結(jié)果期歐式看漲期權(quán)取值的結(jié)果: :max(0,),nu SX1max(0,),nudSXmax(0,)n kkud SXmax(0,)nd SX對(duì)應(yīng)概率對(duì)應(yīng)概率 C Cn nn n p pn n C Cn nn-1n-1 p pn-1n-1 (1-p), , (1-p), , C Cn nn-Kn-K p pn-Kn-K （1-p1-p）K K. C. Cn n0 0 p p0 0 (1-p (1-p）n n故故01max 0,C=1nn k

29、kkkn knknC ppu dSXr分析結(jié)果分析結(jié)果. .知看漲期權(quán)的價(jià)值隨著股票的價(jià)格上漲，知看漲期權(quán)的價(jià)值隨著股票的價(jià)格上漲， 而當(dāng)執(zhí)行價(jià)而當(dāng)執(zhí)行價(jià)格升高時(shí)格升高時(shí), ,它的價(jià)值隨之降低。而且，無風(fēng)險(xiǎn)利率、期它的價(jià)值隨之降低。而且，無風(fēng)險(xiǎn)利率、期權(quán)到期期限權(quán)到期期限n n、 二項(xiàng)分布的方差二項(xiàng)分布的方差 2 2= =np(1-(1-p) ) 都影響都影響期權(quán)的價(jià)值期權(quán)的價(jià)值. .(| ,)(| ,)(1)nXCSB ka n pB ka n pr2. 2. 當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)利率上升時(shí)當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)利率上升時(shí), ,它的主要影響是降低執(zhí)行價(jià)格它的主要影響是降低執(zhí)行價(jià)格 的折現(xiàn)值的折現(xiàn)值 盡管隨著盡管隨著r

30、的上升引起的上升引起p和和p 的變化但還是提高了看漲期權(quán)價(jià)值的變化但還是提高了看漲期權(quán)價(jià)值. ./(1)nXr1. 由由3. 3. 增加到期期限同樣提高了看漲期權(quán)的價(jià)格。我們知道增加到期期限同樣提高了看漲期權(quán)的價(jià)格。我們知道 看漲期權(quán)的價(jià)值等于最終收益的折現(xiàn)乘上套期保值的概看漲期權(quán)的價(jià)值等于最終收益的折現(xiàn)乘上套期保值的概 率。而時(shí)間期限的數(shù)值不改變套期保值的概率但他增加率。而時(shí)間期限的數(shù)值不改變套期保值的概率但他增加 的正收益的項(xiàng)數(shù)的正收益的項(xiàng)數(shù), ,且二項(xiàng)分布收益的期望值也隨且二項(xiàng)分布收益的期望值也隨 著著 np np 的增加而增加。的增加而增加。4. 4. 看漲期權(quán)價(jià)值隨著二項(xiàng)分布方差看漲

31、期權(quán)價(jià)值隨著二項(xiàng)分布方差np(1-(1-p) ) 增加而增加而增加增加. .第五節(jié)第五節(jié) 存在交易費(fèi)用條件下期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型存在交易費(fèi)用條件下期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型 期權(quán)定價(jià)的基本思想是構(gòu)造一個(gè)證券組合，使得他在期權(quán)定價(jià)的基本思想是構(gòu)造一個(gè)證券組合，使得他在期權(quán)執(zhí)行時(shí)刻的收益與期權(quán)的收益相同，而這個(gè)證券組期權(quán)執(zhí)行時(shí)刻的收益與期權(quán)的收益相同，而這個(gè)證券組合的初始值就是該期權(quán)的合理價(jià)格。更加嚴(yán)格地說，使合的初始值就是該期權(quán)的合理價(jià)格。更加嚴(yán)格地說，使得在執(zhí)行時(shí)，證券組合價(jià)值等于期權(quán)價(jià)值的所有證券組得在執(zhí)行時(shí)，證券組合價(jià)值等于期權(quán)價(jià)值的所有證券組合中，初始價(jià)值最小的那個(gè)證券組合，就是套期保值證合中

32、，初始價(jià)值最小的那個(gè)證券組合，就是套期保值證券組合，其價(jià)值就是期權(quán)的價(jià)格。下面討論另一類二叉券組合，其價(jià)值就是期權(quán)的價(jià)格。下面討論另一類二叉樹模型樹模型不可重合的二叉樹模型以及存在交易費(fèi)用條不可重合的二叉樹模型以及存在交易費(fèi)用條件下件下, 這一類模型定價(jià)問題。這一類模型定價(jià)問題。一、一、 不存在交易費(fèi)用的期權(quán)二叉樹定價(jià)問題不存在交易費(fèi)用的期權(quán)二叉樹定價(jià)問題 設(shè)股票在設(shè)股票在0 0時(shí)刻的價(jià)格為時(shí)刻的價(jià)格為S(0)=SS(0)=S0 0，在，在t=1 t=1 時(shí)刻價(jià)格為時(shí)刻價(jià)格為S(1)S(1)是隨機(jī)變量，它可能的取值為是隨機(jī)變量，它可能的取值為S S1111或或S S1212 (S (S1212

33、 S S1111 ) )，在在t=2t=2時(shí)刻價(jià)格為時(shí)刻價(jià)格為S(2)S(2)，它可能取值為，它可能取值為S S2121SS2222 S S2323 S S2424 假設(shè)存在無風(fēng)險(xiǎn)投資，即可在銀行存款，每期得到假設(shè)存在無風(fēng)險(xiǎn)投資，即可在銀行存款，每期得到無風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)為無風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)為R R（=1+r=1+r），同時(shí)假設(shè)在銀行里存款和從），同時(shí)假設(shè)在銀行里存款和從銀行貸款，所支付的利率一樣銀行貸款，所支付的利率一樣. . 為了排除套利機(jī)會(huì)，下為了排除套利機(jī)會(huì)，下列條件必須滿足：列條件必須滿足： S S1111 R S R S0 0 S S12 12 S S2323 R S R S1212 S S24

34、24 S S2121 R S R S1111 S S2222 如果對(duì)每一個(gè)如果對(duì)每一個(gè)k，下式成立：，下式成立： RB(k)+ N(k)S(K+1)= B(k+1)+ N(k+1)S(K+1), 交易前交易前 交易后交易后則稱市場(chǎng)為自融資，即從開始投資后，再不增加資金，則稱市場(chǎng)為自融資，即從開始投資后，再不增加資金，也不從中抽取資金。也不從中抽取資金。設(shè)期權(quán)到期價(jià)值為：設(shè)期權(quán)到期價(jià)值為：hi=h(S0，S11，S2i), i=1,2hj=h(S0, S12, S2j), j=3,4 B11 ,N11 (B12 N12) 表示證券組合在表示證券組合在 t=1時(shí)刻的分解時(shí)刻的分解, S(1)= S

35、11 (或或= S12 ). 則對(duì)于完全復(fù)制期權(quán)的證券組合有：則對(duì)于完全復(fù)制期權(quán)的證券組合有：（二期末）（二期末）111121101121111122201122R B + N S = h = h(S , S , S ) R B + N S = h = h(S , S , S ) 121223301223121224401224R B + N S = h = h(S , S , S )R B + N S = h = h(S , S , S )由此得由此得211121N =hh22 12121121 B =S hS hR431222N =hh2432341222 BS hS hR式中式中: 21

36、 =S22 -S21 22=S24 -S23 在在 t=1 時(shí)刻證券組合的價(jià)值時(shí)刻證券組合的價(jià)值 F12=B12+ N12S12 或或F11=B11+ N11S11F12=B12+ N12S12 12432432342222ShhS hS hR 3241241223221hSRShRSSR令令122412221pSRSq12=1- P122312221SRS則則 121231241FP hq hR且有且有 12122312241121E SSSP Sq SRR2412232312242222111SRSSSRSSR2423122211R SSSR即在條件即在條件S(1)= S12下下S (2)

37、的折現(xiàn)的折現(xiàn) S (2)/R 的期望值為的期望值為S12 ，符合鞅的性質(zhì)，故稱，符合鞅的性質(zhì)，故稱p12、q12為鞅測(cè)度。為鞅測(cè)度。同理可得：同理可得：E E（1/1/R R (S (2)| S(1)= S(S (2)| S(1)= S1111)= S)= S1111上面導(dǎo)出了由上面導(dǎo)出了由S(2)S(2)確定確定F F11 11 F F1212的價(jià)值。下面推導(dǎo)出由的價(jià)值。下面推導(dǎo)出由F F1111，F(xiàn) F1212確定確定F F0 0 的價(jià)值，即期權(quán)的初始價(jià)格。由自融資的價(jià)值，即期權(quán)的初始價(jià)格。由自融資的性質(zhì)：的性質(zhì)：RBRB0 0+ N+ N0 0S(1) = BS(1) = B1 1+ N

38、+ N1 1S(1)S(1)其中其中 S(1)= SS(1)= S1111 或或S S1212 ，( B( B1 1 = B = B1111 或或B B1212 ) )。由此可以得：由此可以得： RB RB0 0+ N+ N0 0S S1111 =F =F1111 ， RBRB0 0+ N+ N0 0S S1212 =F =F1212 此處此處F F1111 ，F(xiàn) F12為己知，由上式可確定為己知，由上式可確定111211120111211N = FFFFSS011121211121111BF SF SR SS12111112111F SF SR故故 000012111112011121111

39、11F =B + N S = F SF SSFFR 記記P0= 1 11 (R S0-S12) 00012110111111 q =1- P =1( R S -S )=( S -R S )則則F0= (P0 F11+ q0 F12)且有 011012011 E(S (1)|S= S ) =S PS qRR1101212110111 1SRSSSSRSR1101200111 1=SS RSRS SR同樣得到同樣得到 (p0 ,q0) 為鞅測(cè)度。為鞅測(cè)度。00110121(p F + q F )FR0011001211P E h( S , S , S (2) )+ q E h( S , S , S

40、 (2) RR 二、存在交易費(fèi)用的二叉樹模型二、存在交易費(fèi)用的二叉樹模型,ijijNB 分別表示股票數(shù)和銀行的存款，分別表示股票數(shù)和銀行的存款，Nij 表示不存在表示不存在交易費(fèi)用模型中所對(duì)應(yīng)的量，其中交易費(fèi)用模型中所對(duì)應(yīng)的量，其中 為交易費(fèi)用的為交易費(fèi)用的比例（買入和賣出金融產(chǎn)品的交易費(fèi)用都一樣），比例（買入和賣出金融產(chǎn)品的交易費(fèi)用都一樣），而且在而且在k=2時(shí)結(jié)算，即兌換出證券組合（支付費(fèi)用），時(shí)結(jié)算，即兌換出證券組合（支付費(fèi)用），且支付期權(quán)的價(jià)值且支付期權(quán)的價(jià)值 h(S(2)。當(dāng)。當(dāng)k=2時(shí)，設(shè)時(shí)，設(shè)11112i2i+(1- )S =h( S ) i=1,2 RBN12122j2j+(1

41、- )S =h( S ) , j=3,4 RBN11112121 +(1- )S =h( S ) RBN考慮考慮 001111(,)(,)NBNB111111111111111101111111101111110110=S + ( - N )S=(1- )S + S=S + SSFNBNNBNNBNFN（一）（一） 當(dāng)當(dāng) S (1)= SS (1)= S1111時(shí)證券組合的確定時(shí)證券組合的確定 則則（二）（二） 當(dāng)當(dāng) S(1)= SS(1)= S12 12 時(shí)，證券組合的確定時(shí)，證券組合的確定121212121211111112011121212012111212012120=S + ( - N )S=(1- )S + (2 - N