08-3-1矩陣的初等變換-PPT課件

1、第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組生物醫(yī)學工程學院生物醫(yī)學工程學院第三章第三章矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組生物醫(yī)學工程學院生物醫(yī)學工程學院基本要求基本要求 熟練掌握用初等行變換把矩陣化成行階梯形和行熟練掌握用初等行變換把矩陣化成行階梯形和行最簡形；知道矩陣等價的概念最簡形；知道矩陣等價的概念 了解初等矩陣與初等變換的聯(lián)系，掌握用初等變了解初等矩

2、陣與初等變換的聯(lián)系，掌握用初等變換求可逆矩陣的逆陣的方法換求可逆矩陣的逆陣的方法 理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩的方法，知道矩陣的標準形與秩的關系秩的方法，知道矩陣的標準形與秩的關系 理解線性方程組無解、有惟一解或有無限多個解理解線性方程組無解、有惟一解或有無限多個解的充要條件的充要條件 熟練掌握用矩陣的初等行變換求解線性方程組的熟練掌握用矩陣的初等行變換求解線性方程組的方法方法第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組生物醫(yī)學工程學院生物醫(yī)學工程學

3、院 本章先討論矩陣的本章先討論矩陣的初等變換初等變換，建立矩，建立矩陣的陣的秩秩的概念的概念, ,并提出求秩的有效方并提出求秩的有效方法再利用矩陣的秩反過來研究齊次線性法再利用矩陣的秩反過來研究齊次線性方程組有非零解的充分必要條件和非齊次方程組有非零解的充分必要條件和非齊次線性方程組有解的充分必要條件，并介紹線性方程組有解的充分必要條件，并介紹用初等變換用初等變換解線性方程組解線性方程組的方法內容豐的方法內容豐富，難度較大富，難度較大. . 第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組生物醫(yī)學工程學院生物醫(yī)學工程學院3.1 矩陣的初等變換 矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重

4、要的運算 它在解線性方程組、求逆陣及矩陣理論的探討中都可起重要的作用.第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組生物醫(yī)學工程學院生物醫(yī)學工程學院979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxxv方程組的同解變換與增廣矩陣的關系方程組的同解變換與增廣矩陣的關系 979634226422424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx 在解線性方程組的過程中 我們可以把一個方程變?yōu)榱硪粋€同解的方程 這種變換過程稱為同解變換. 同解變換有 交換兩個

5、方程的位置.顯然 交換B的第1行與第2行即得B1. 97963422644121121112B979634226421112412111B增廣矩陣的比較 例如第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組生物醫(yī)學工程學院生物醫(yī)學工程學院979632113221112412112B2 2 顯然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2. 979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxxv方程組的同解變換與增廣矩陣的關系方程組的同解變換與增廣矩陣的關系 在解線性方程組的過程中

6、 我們可以把一個方程變?yōu)榱硪粋€同解的方程 這種變換過程稱為同解變換. 同解變換有 把某個方程乘以一個非零數(shù). 例如97963422644121121112B9796323242224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx增廣矩陣的比較 第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組生物醫(yī)學工程學院生物醫(yī)學工程學院979634226441211613303B979634226442633432143214321432xxxxxxxxxxxxxxx2 2 顯然 把B的第2行乘以(2)加到第

7、1行即得B3. 979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxxv方程組的同解變換與增廣矩陣的關系方程組的同解變換與增廣矩陣的關系 在解線性方程組的過程中 我們可以把一個方程變?yōu)榱硪粋€同解的方程 這種變換過程稱為同解變換. 同解變換有 某個方程的非零倍加到另一個方程上. 例如97963422644121121112B增廣矩陣的比較 第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組生物醫(yī)學工程學院生物醫(yī)學工程學院 線性方程組與其增廣矩陣相互對應 對方程組的變換完全可以轉

8、換為對方程組的增廣矩陣的變換. 把方程組的上述三種同解變換移植到矩陣上 就得到矩陣的三種初等變換.v方程組的同解變換與增廣矩陣的關系 同解變換有 交換兩個方程的位置 把某個方程乘以一個非零數(shù) 某個方程的非零倍加到另一個方程上. 第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組生物醫(yī)學工程學院生物醫(yī)學工程學院 下面三種變換稱為矩陣的初等行(列)變換 (i)對調兩行(列) (ii)以非零數(shù)k乘某一行(列)中的所有元素 (3)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去. v矩陣的初等變換 這三種變換都是可逆的 且其逆變

9、換是同一類型的初等變換. rirj(cicj)對調i j兩行(列) rik(cik)表示第i行(列)乘非零數(shù)k ri+krj(ci+kcj)表示第j行(列)的k倍加到第i行(列)上. v初等變換的符號表示 第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組生物醫(yī)學工程學院生物醫(yī)學工程學院v矩陣的等價關系 如果矩陣A經有限次初等變換變成矩陣B 就稱矩陣A與B等價 記作 A B. 如果矩陣A經有限次初等行變換變成矩陣B 就稱矩陣A與B行等價 記作 A B.r 如果矩陣A經有限次初等列變換變成矩陣B 就稱矩陣A與B列等

10、價 記作 A B.cv等價關系的性質 (i)反身性 AA (ii)對稱性 若AB 則BA (iii)傳遞性 若AB BC 則AC . 第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組生物醫(yī)學工程學院生物醫(yī)學工程學院 r3r41 1 2 1 40 1 1 1 00 0 0 2 61 1 2 1 40 2 2 2 00 5 5 3 60 3 3 4 31 1 2 1 42 1 1 1 22 3 1 1 23 6 9 7 9r42r3v矩陣初等變換舉例 97963422644121121112r1r2r2r3r32r

11、1r43r11 1 2 1 40 1 1 1 00 0 0 2 60 0 0 1 3r22r35r2r43r2r32r1r2r2r3行階梯形矩陣 行最簡形矩陣 1 0 1 0 40 1 1 0 30 0 0 1 30 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 1 3第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組生物醫(yī)學工程學院生物醫(yī)學工程學院行階梯矩陣特點：行階梯矩陣特點：（1）可劃出一條）可劃出一條階梯線，線的下階梯線，線的下方全為零；方全為零；5 00000310003011040101B （2）每個臺

12、階）每個臺階 只有一行，臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元元第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組生物醫(yī)學工程學院生物醫(yī)學工程學院行階梯形矩陣：行階梯形矩陣：各非零行首非零元素分布在不同列當有零行時，零行在矩陣的最下端 005023 3101152 300620941 1200435076105213第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方

13、程組第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組生物醫(yī)學工程學院生物醫(yī)學工程學院行最簡階梯形矩陣：行最簡階梯形矩陣：各非零行首非零元素皆為1各非零行首非零元素所在列的其他元素全為零 001001 100051 100010941 0000410070105001第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組生物醫(yī)學工程學院生物醫(yī)學工程學院例：把矩陣化成行階梯形和行最簡行階梯矩陣 343122321 343122321:解解 620520321122rr 133rr 第三章第三章 矩陣的初

14、等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組生物醫(yī)學工程學院生物醫(yī)學工程學院 62052032132rr )21(3 r 520310321232rr )1(3 r 100310321323rr )1(3 r313rr 212rr 100010321 100010001行最簡形矩陣 行階梯形矩陣 第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組生物醫(yī)學工程學院生物醫(yī)學工程學院學生練習：把矩陣化成行階梯形和行最簡行階梯矩陣 231221312 34

15、1122121221第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組生物醫(yī)學工程學院生物醫(yī)學工程學院 對行最簡形矩陣再施以初等列變換 可變成一種形狀更簡單的矩陣 稱為標準形. 其特點是 左上角是一個單位矩陣 其余元素全為0. v矩陣的標準形00000310003011040101 c00000010000001000001比如上述行最簡形矩陣經初等列變換得 0000031000011104121100000310003011040101. rr9796342264412112111200000001000001

16、000001. c第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組生物醫(yī)學工程學院生物醫(yī)學工程學院.,A nm和和行行最最簡簡形形變變換換把把他他變變?yōu)闉樾行须A階梯梯形形總總可可經經過過有有限限次次初初等等行行對對于于任任何何矩矩陣陣 標標準準形形總總可可經經過過初初等等變變換換化化為為矩矩陣陣 Anm nmrOOOEF .,的行數(shù)的行數(shù)行階梯形矩陣中非零行行階梯形矩陣中非零行就是就是三個數(shù)唯一確定，其中三個數(shù)唯一確定，其中此標準形由此標準形由rrnm第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組生物醫(yī)學工程學院生物醫(yī)學工程學院 因為有上述等價關系 所以有同解線性方程組 v行最簡形矩陣與線性方程組的解 v矩陣初等變換舉例 979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx與00 3 3 4 43231xxxxx