專題五第2講空間中的平行與垂直

1、第2講空間中的平行與垂直高考真題體驗(yàn)1.a,3是兩個(gè)平面，m,n是兩條直線，有下列四個(gè)命題：如果m±n,m±a,n/&那么a±0如果m±a,n/a,那么m±n.如果a/&m?a,那么milQ如果m/n,all&那么m與a所成的角和n與3所成的角相等.其中正確的命題有.（填寫所有正確命題的編號）答案解析當(dāng)m±n,m±%n/3時(shí)，兩個(gè)平面的位置關(guān)系不確定，故錯(cuò)誤，經(jīng)判斷知均正確，故正確答案為.2如圖，在直三棱柱ABCAiBiCi中，D,E分別為AB,BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且BiD±Ai

2、F,AiCi±AiBi.GADB求證：(i)直線DE/平面AiCiF;(2)平面BiDEL平面AiCiF.證明(i)由已知，DE為ABC的中位線，DE/AC,又由三棱柱的性質(zhì)可得AC/AiCi,DE/AG,且DE?平面AiCiF,AiCi?平面AiCiF, DEII平面AiCiF.(2)在直三棱柱ABCAiBiCi中，AAi,平面AiBiCi,AAJA1cl,又AbJA1c1，且ArinAA=A1， .AiCi,平面ABBiAi,BiD?平面ABBiAi, AiCi±BiD,又AiFBiD,且AiFAAiCi=Ai,lBid，平面AiCiF,又BiD?平面BiDE,，平面B

3、iDEL平面AiCiF.一考情考向分析i.以選擇題、填空題的形式考查，主要利用平面的基本性質(zhì)及線線、線面和面面的判定與性質(zhì)定理對命題的真假進(jìn)行判斷，屬基礎(chǔ)題.2.以解答題的形式考查，主要是對線線、線面與面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，且多以棱柱、棱錐、棱臺或其簡單組合體為載體進(jìn)行考查，難度中等.熱點(diǎn)分類突破熱點(diǎn)一空間線面位置關(guān)系的判定空間線面位置關(guān)系判斷的常用方法(i)根據(jù)空間線面平行、垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷來解決問題；(2)必要時(shí)可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中觀察線面位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理來進(jìn)行判斷.例i(i)若直線li和12是異面直線，li在平面“內(nèi)，12

4、在平面3內(nèi)，l是平面a與平面3的交線，則下列命題正確的是()A. 1與li,12都不相交B. 1與li,l2都相交C. l至多與li,12中的一條相交D. 1至少與li,12中的一條相交(2)關(guān)于空間兩條直線a、b和平面飛下列命題正確的是()A.若a/b,b?%貝Ua/aB.若a/a,b?a,則a/bC.若a/a,b/a,則a/bD.若a,a,b±a,貝Ua"b答案(i)D(2)D解析(i)若1與li,12都不相交,則1/li,1/12,li/12,這與li和12異面矛盾,，1至少與li,12中的一條相交.(2)線面平行的判定定理中的條件要求a?”，故A錯(cuò)；對于線面平行，這

5、條直線與面內(nèi)的直線的位置關(guān)系可以平行，也可以異面，故B錯(cuò)；平行于同一個(gè)平面的兩條直線的位置關(guān)系：平行、相交、異面都有可能，故C錯(cuò)；垂直于同一個(gè)平面的兩條直線是平行的，故D正確，故選D.思維升華解決空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的組合判斷題，主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況，以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷，必要時(shí)可以利用正方體、長方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，同時(shí)要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中.跟蹤演練1設(shè)m,n是兩條不同的直線，a,3是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題:若m/n,m±3,則n±3；若m/a,m/&則a/

6、3;若mHn,m/3,則n/3；若m/a,m±3,則a±&其中真命題的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.4答案B解析因?yàn)椤叭绻麅蓷l平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面所以正確；當(dāng)m平行于兩個(gè)相交平面%3的交線l時(shí)，也有m/a,m/&所以錯(cuò)誤;若m/n,m/3,則n/3或n?3,所以錯(cuò)誤；平面3與直線m的關(guān)系如圖所示,必有3,故正確.熱點(diǎn)二空間平行、垂直關(guān)系的證明空間平行、垂直關(guān)系證明的主要思想是轉(zhuǎn)化，即通過判定、性質(zhì)定理將線線、線面、面面之間的平行、垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化.面面平行的判定面面平行的性質(zhì)而向垂H的判定面而垂直的性質(zhì)例2如圖，三角形P

7、DC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)證明：BC/平面PDA;(2)證明：BCXPD;(3)求點(diǎn)C到平面PDA的距離.證明因?yàn)樗倪呅蜛BCD是長方形，所以BC/AD,因?yàn)锽C?平面PDA,AD?平面PDA,所以BC/平面PDA.(2)證明因?yàn)樗倪呅蜛BCD是長方形，所以BOXCD,因?yàn)槠矫鍼DCL平面ABCD,平面PDCn平面ABCD=CD,BC?平面ABCD,所以BCL平面PDC,因?yàn)镻D?平面PDC,所以BCXPD.解如圖，取CD的中點(diǎn)巳連接AE和PE.因?yàn)镻D=PC,所以PEXCD,在RtPED中，PE=PDC一X3X4所以點(diǎn)C到平面PD

8、A的距離是手.思維升華垂直、平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線垂直和線線平行，常用方法如下:(1)證明線線平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線同時(shí)和第三條直線平行；二是利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換；三是利用三角形的中位線定理證線線平行；四是利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換.(2)證明線線垂直常用的方法：利用等腰三角形底邊中線即高線的性質(zhì)；勾股定理；線面垂直的性質(zhì)：即要證兩線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在的平面即可，l，&a?a-DE2=寸4232二中.因?yàn)槠矫鍼DCL平面ABCD,平面PDCA平面ABCD=CD,PE?平面PDC,所以PEL平面ABCD.由(2)知：BCL平面P

9、DC,由(1)知：BC/AD,所以ADL平面PDC,因?yàn)镻D?平面PDC,所以AD±PD.設(shè)點(diǎn)C到平面PDA的距離為h,因?yàn)閂三棱錐CPDA=V三棱錐PACD,所以qSAPDAh=qSAACDPE,331-X3X6X巾SPDA$ACDPE2v?l±a.跟蹤演練2如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD/BC,且BC=2AD,AD±CD,PBXCD,點(diǎn)E在棱PD上，且PE=2ED.(1)求證：平面PCD，平面PBC;(2)求證：PB/平面AEC.證明(1)因?yàn)锳DCD,AD/BC,所以CDXBC,又PBXCD,PBABC=B,PB?平面PBC,BC?平面PBC,所以CD,

10、平面PBC,又CD?平面PCD,所以平面PCD，平面PBC.(2)連接BD交AC于點(diǎn)O,連接OE.因?yàn)锳D/BC,所以ADOs'CBO,所以DO:OB=AD:BC=1：2,又PE=2ED,所以O(shè)E/PB,又OE?平面AEC,PB?平面AEC,所以PB/平面AEC.熱點(diǎn)三平面圖形的折疊問題平面圖形經(jīng)過翻折成為空間圖形后，原有的性質(zhì)有的發(fā)生變化、有的沒有發(fā)生變化，這些發(fā)生變化和沒有發(fā)生變化的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.一般地，在翻折后還在一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化，解決這類問題就是要根據(jù)這些變與不變，去研究翻折以后的空間圖形中的線面關(guān)系和各類幾何量的度量值，這是化

11、解翻折問題的主要方法.例3如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，/DAB=60°,點(diǎn)E,F分別是邊CD,CB的中點(diǎn)，ACAEF=O,沿EF將CEF翻折到PEF,連接PA,PB,PD,得到如圖的五棱錐PABFED,且PB=回.A(1)求證：BDXPA;(2)求四棱錐P-BFED的體積.證明二點(diǎn)E,F分別是邊CD,CE的中點(diǎn)，BD/EF.菱形ABCD的對角線互相垂直，BDXAC. EFXAC.,.EFXAO,EFXPO, AO?平面POA,PO?平面POA,AOnPO=O, .EF,平面POA,，BD，平面POA,又PA?平面POA,.-.BD±PA.(2)解設(shè)AOABD=H.連接

12、BO,/ZDAB=60°,.ABD為等邊三角形，BD=4,BH=2,HA=20,HO=PO=73,在RtABHO中，BO=MBH2+HO2=中,在PBO中，BO2+PO2=10=PB2,POXBO. POXEF,EFABO=O,EF?平面BFED,BO?平面BFED,.POL平面BFED,1梯形BFED的面積S=,EF+BD)HO=373,四棱錐PBFED的體積V=；SPO=；X3V3xm=3.思維升華（1）折疊問題中不變的數(shù)量和位置關(guān)系是解題的突破口；（2）存在探索性問題可先假設(shè)存在，然后在此前提下進(jìn)行邏輯推理，得出矛盾或肯定結(jié)論.跟蹤演練3如圖1,在RtABC中，/ABC=60&

13、#176;,/BAC=90°,AD是BC上的高，沿AD將ABC折成60°的二面角B-AD-C,如圖2.I也(1)證明：平面ABD，平面BCD;(2)設(shè)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，BD=2,求異面直線AE和BD所成的角的大小.證明(1)因?yàn)檎燮鹎癆D是BC邊上的高，則當(dāng)4ABD折起后，ADXCD,ADXBD,又CDABD=D,則AD±平面BCD.因?yàn)锳D?平面ABD,所以平面ABDL平面BCD.(2)解如圖，取CD的中點(diǎn)F,連接EF,則EF/BD,所以ZAEF為異面直線AE與BD所成的角.連接AF,DE,由BD=2,貝UEF=1,AD=2W，CD=6,DF=3.在RtADF中

14、，AF=AD2+DF2=®.在ABCD中，由題設(shè)/BDC=60°,則BC2=BD2+CD2-2BDCDcos/BDC=28,即BC=247,從而BE=1BC=/7,BD2+BC2CD21cos/CBD=ODn=7=,2BDBC27在BDE中，DE2=BD2+BE2-2BDBEcos/CBD=13,在RtAADE中，AE=/AD2+DE2=5.AE2+EF2AF2在AAEF中,cosZAEF=2AEEF因?yàn)閮蓷l異面直線所成的角為銳角或直角，所以異面直線AE與BD所成的角的大小為60°.高考押題精練1.不重合的兩條直線m,n分別在不重合的兩個(gè)平面a,3內(nèi)，下列為真命題

15、的是()押題依據(jù)空間兩條直線、兩個(gè)平面之間的平行與垂直的判定是立體幾何的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考命題的熱點(diǎn).此類題常與命題的真假性、充分條件和必要條件等知識相交匯，意在考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力.A.m±n?m±3C. a/仗m/3B.m±n?a±3D. m/n?a/3答案C解析構(gòu)造長方體，如圖所示.因?yàn)槠矫鍭iCi±AAi,A1C1?平面AAiCiC,AA1?平面AAiBiB,但AiCi與平面AAiBiB不垂直,AAiCiC與平面AAiBiB不垂直.所以選項(xiàng)A,B都是假命題.CCi/AA1，但平面AAiCiC與平面AAiBiB相交而不平行

16、，所以選項(xiàng)“若兩平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線必平行于另一個(gè)平面D為假命題.”是真命題，故選C.2.如圖i,在正ABC中，E,F分別是AB,AC邊上的點(diǎn)，且BE=AF=2CF.點(diǎn)P為邊BC上的點(diǎn)，將AEF沿EF折起到AiEF的位置，使平面AiEF,平面BEFC,連接AiB,AiP,EP,如圖2所示.(1)求證：AiEXFP;(2)若BP=BE,點(diǎn)K為棱AiF的中點(diǎn)，則在平面AiFP上是否存在過點(diǎn)K的直線與平面AiBE平行，若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由.押題依據(jù)以平面圖形的翻折為背景，探索空間直角與平面位置關(guān)系的考題創(chuàng)新性強(qiáng)，可以考查考生的空間想象能力和邏輯推理能力，預(yù)計(jì)將成為今

17、年高考的命題形式.證明在正ABC中，取BE的中點(diǎn)D,連接DF,如圖1.圖1AE因?yàn)锽E=AF=2CF,所以AF=AD,AE=DE,而/A=60°,所以4ADF為正三角形.又=DE,所以EFXAD.所以在圖2中AiEEF,BEXEF.故/AiEB為二面角AiEFB的一個(gè)平面角.因?yàn)槠矫鍭iEF，平面BEFC,所以/AiEB=90°,即AiEXEB.因?yàn)閑faeb=e,所以AiEL平面befc.因?yàn)镕P?平面BEFC,所以AiEXFP.(2)解在平面AiFP上存在過點(diǎn)K的直線與平面AiBE平行.理由如下：如圖1,在正4ABC中，因?yàn)锽P=BE,BE=AF,所以BP=AF,所以F

18、P/AB,所以FP/BE.如圖2,取AiP的中點(diǎn)M,連接MK,AiWi1C圖2因?yàn)辄c(diǎn)K為棱AiF的中點(diǎn)，所以MK/FP.因?yàn)镕P/BE,所以MK/BE.因?yàn)镸K?平面AiBE,BE?平面AiBE,所以MK/平面AiBE.故在平面AiFP上存在過點(diǎn)K的直線MK與平面AiBE平行.專題突破練A組專題通關(guān)i.i1，|2表示空間中的兩條直線，若p：i2是異面直線，q：k,i2不相交，則()A.p是q的充分條件，但不是q的必要條件B.p是q的必要條件，但不是q的充分條件C. p是q的充分必要條件D. p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件答案A解析由li,I2是異面直線，可得li,I2不相交，所以p?

19、q；由li,I2不相交，可得li,I2是異面直線或li/12,所以q?p.所以p是q的充分條件，但不是q的必要條件.故選A.2 .設(shè)a,b是平面“內(nèi)兩條不同的直線，1是平面a外的一條直線，則“1，a,1，b”是“1，a”的（）B,充分而不必要條件D.既不充分也不必要條件A.充要條件C.必要而不充分條件答案C解析若a,b是平面”內(nèi)兩條不同的直線，1是平面”外的一條直線，1，a,11b,allb,則1可以與平面a斜交，推不出1，“若1，%a,b是平面a內(nèi)兩條不同的直線，1是平面a外的一條直線，則1±a,1±b.-.a1±a,1±b'是"1，

20、a”的必要而不充分條件，故選C.3 .設(shè)m,n是空間兩條直線，a,3是空間兩個(gè)平面，則下列命題中不正確的是（）A.若m?a,n/a,則n/mB.若m?a,m±3,則a±3C.若n_La,n_L3,則a/3D.若m?a,n，a,貝m±n答案A解析A中，若m?a,n/a,則n/m或m,n異面.故不正確；B,C,D均正確.故選A.4 .將正方體的紙盒展開如圖，直線AB、CD在原正方體的位置關(guān)系是（）A.平行C.相交成60°角答案DB.垂直D,異面且成60°角解析如圖，直線AB,CD異面.因?yàn)镃E/AB,所以/ECD即為直線AB,CD所成的角,因?yàn)?C

21、DE為等邊三角形，故ZECD=60°.E5 .如圖，四邊形ABCD中，AD/BC,AD=AB,ZBCD=45°,/BAD=90°,將ADB沿BD折起，使平面ABD，平面BCD,構(gòu)成三棱錐ABCD.則在三棱錐ABCD中，下列命題正確的是（）A,平面ABDL平面ABCC.平面ABC，平面BDC答案DB,平面ADS平面BDCD,平面ADCL平面ABC解析因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中，AD/BC,AD=AB,/BCD=45,ZBAD=90°,所以BDXCD,又平面ABD，平面BCD,且平面ABDn平面BCD=BD,CD?平面BCD,所以CD,平面ABD,貝UCDLAB

22、,又ADLAB,ADACD=D,所以AB,平面ADC,又AB?平面ABC,所以平面ABC，平面ADC,故選D.6 .如圖，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)MCAB,點(diǎn)NCAD,若黑=AN，則直線MN與平面IvlBNDBDC的位置關(guān)系是答案平行解析喘=需彳#MN/BD.而BD?平面BDC,MN?平面BDC,所以MN/平面BDC.7,正方體ABCD-AiBiCiDi中，E為線段BiDi上的一個(gè)動點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是.（填序號）ASBE;BiE/平面ABCD;三棱錐EABC的體積為定值；直線BiE，直線BCi.答案解析因AC,平面BDDiBi,故正確；因BQ*平面ABCD,故正確；記正方體的體積為V,

23、則Veabc=iV,為定值，故正確；BiE與BCi不垂直，故錯(cuò)誤.68 .下列四個(gè)正方體圖形中，點(diǎn)A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)M,N,P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB/平面MNP的圖形的序號是（寫出所有符合要求的圖形序號）.答案解析對于，注意到該正方體的面中過直線AB的側(cè)面與平面MNP平行，因此直線AB平行于平面MNP;對于，注意到直線AB和過點(diǎn)A的一個(gè)與平面MNP平行的平面相交，因此直線AB與平面MNP相交；對于，注意到此時(shí)直線AB與平面MNP內(nèi)的一條直線MP平行，且直線AB位于平面MNP外，因此直線AB與平面MNP平行；對于，易知此時(shí)AB與平面MNP相交.綜上所述，能得出直線AB平行于平

24、面MNP的圖形的序號是.9 .如圖，在正方體ABCDAiBiCiDi中，點(diǎn)M,N,P分別為棱AB,BC,CiDi的中點(diǎn).求證：（i）AP/平面CiMN;（2）平面BiBDDj平面CiMN.證明（i）在正方體ABCDAiBiCiDi中，因?yàn)辄c(diǎn)M,P分別為棱AB,CiDi的中點(diǎn),所以AM=PCi.又AM/CD,PCi/CD,故AM/PCi,所以四邊形AMCiP為平行四邊形.從而APIICiM,又AP?平面CiMN,CiM?平面CiMN,所以AP/平面CiMN.(2)連接AC,在正方形ABCD中，AC±BD.又點(diǎn)M,N分別為棱AB,BC的中點(diǎn)，故MN/AC.所以MNLBD.在正方體ABCD

25、AiBiCiDi中，DD/平面ABCD,又MN?平面ABCD,所以DD1LMN,而DDiADB=D,DDi,DB?平面BiBDDi,所以MN,平面B1BDD1,又MN?平面CiMN,所以平面BiBDDi,平面CiMN.10 .一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.(i)請將字母F,G,H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說明理由);(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系.并證明你的結(jié)論；(3)證明：直線DFL平面BEG.解點(diǎn)F,G,H的位置如圖所示.HGB(2)解平面BEG/平面ACH,證明如下：因?yàn)锳BCDEFGH為正方體，所以BC/FG,BC=FG,又FG/EH,FG=

26、EH,所以BC/EH,BC=EH,于是BCHE為平行四邊形.所以BE/CH,又CH?平面ACH,BE?平面ACH,所以BE/平面ACH.同理BG/平面ACH,又BEnBG=B,所以平面BEG/平面ACH.證明連接FH,BD.因?yàn)锳BCDEFGH為正方體，所以DHL平面EFGH.因?yàn)镋G?平面EFGH,所以DHLEG.又EGXFH,EGAFH=O,所以EG,平面BFHD.又DF?平面BFHD,所以DFEG,同理DFBG.又EGABG=G,所以DF,平面BEG.B組能力提高11 .設(shè)a,b,c是空間中的三條直線，a,3是空間中的兩個(gè)平面，則下列命題的逆命題不成立的是（）A.當(dāng)c,a時(shí)，若C

27、7;3,則"/3B.當(dāng)b?a時(shí)，若b±3,則&3C.當(dāng)b?%且c是a在a內(nèi)的射影時(shí)，若b±c,則a±bD.當(dāng)b?a,且c?a時(shí)，若c/a,則b/c答案B解析B中命題的逆命題為：當(dāng)b?a時(shí)，若a±3,則b±&是假命題.而A、C、D中命題的逆命題均為真命題，故選B.12 .如圖，在三棱柱ABCAiBiCi中，側(cè)棱AA底面ABC,底面是以/ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a,BBi=3a,點(diǎn)D是AiCi的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AAi上，當(dāng)AF=時(shí)，CFL平面BiDF.答案a或2a解析由題意易知，Bid，平面ACCiAi,所以

28、BiDXCF.要使CF，平面BiDF,只需CFXDF即可.令CF±DF,設(shè)AF=x,則AiF=3a-x.易知RtACAFRtAFA1D,/目ACAF目口2ax得=,即=一，AiFAiD'3a-xa整理得x2-3ax+2a2=0,解得x=a或x=2a.13 .如圖，正方形BCDE的邊長為a,已知AB=V3BC,將ABE沿邊BE折起，折起后A點(diǎn)在平面BCDE上的射影為D點(diǎn)，對翻折后的幾何體有如下描述：C''DAB與DE所成角的正切值是也AB/CE;v是6a3；平面ABC，平面ADC.其中正確的是.（填寫你認(rèn)為正確的序號）答案解析作出折疊后的幾何體的直觀圖如圖所示：AAB=>