計算流體力學(xué)ppt課件

1、流體力學(xué)的三種研究方法流體力學(xué)的三種研究方法流體力學(xué)基本控制方程流體力學(xué)基本控制方程連續(xù)性方程連續(xù)性方程質(zhì)量守恒定律質(zhì)量守恒定律動量方程動量方程牛頓第二定律牛頓第二定律能量方程能量方程能量守恒定律能量守恒定律1有限控制體模型有限控制體模型對于有連續(xù)性的流體，有下面兩種模型：對于有連續(xù)性的流體，有下面兩種模型：2無窮小流體微團(tuán)無窮小流體微團(tuán)我們不是同時觀察整個流場，而是將物理學(xué)基本原我們不是同時觀察整個流場，而是將物理學(xué)基本原理用在這些流動模型上，從而得到流體流動方程。理用在這些流動模型上，從而得到流體流動方程。有限控制體模型有限控制體模型空間位置固定的空間位置固定的有限控制體，流有限控制體，流

2、體流過控制體體流過控制體隨流體運(yùn)動的有限控制隨流體運(yùn)動的有限控制體，同一批流體質(zhì)點始體，同一批流體質(zhì)點始終位于同一控制體內(nèi)終位于同一控制體內(nèi)無窮小流體微團(tuán)模型無窮小流體微團(tuán)模型空間位置固定的無窮空間位置固定的無窮小流體微團(tuán)，流體流小流體微團(tuán)，流體流過微團(tuán)過微團(tuán)沿流線運(yùn)動的無窮小沿流線運(yùn)動的無窮小流體微團(tuán)，其速度等流體微團(tuán)，其速度等于流線上每一點的當(dāng)于流線上每一點的當(dāng)?shù)厮俣鹊厮俣攘鲃涌刂品匠探?jīng)常用物質(zhì)導(dǎo)數(shù)來表達(dá)。流動控制方程經(jīng)常用物質(zhì)導(dǎo)數(shù)來表達(dá)。沿流線運(yùn)動的無窮小沿流線運(yùn)動的無窮小流體微團(tuán)，其速度等流體微團(tuán)，其速度等于流線上每一點的當(dāng)于流線上每一點的當(dāng)?shù)厮俣鹊厮俣炔捎昧黧w微團(tuán)模型來理解物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的

3、概念：采用流體微團(tuán)模型來理解物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的概念：流體微團(tuán)在流場中的運(yùn)動物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示意圖流體微團(tuán)在流場中的運(yùn)動物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示意圖流體微團(tuán)在流場中的流體微團(tuán)在流場中的運(yùn)動物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示運(yùn)動物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示意圖意圖考慮非定常流動：考慮非定常流動：流體微團(tuán)在流場中的流體微團(tuán)在流場中的運(yùn)動物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示運(yùn)動物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示意圖意圖考慮非定常流動：考慮非定常流動：流體微團(tuán)在流場中的流體微團(tuán)在流場中的運(yùn)動物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示運(yùn)動物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示意圖意圖在在1點做如下的泰勒級數(shù)展開：點做如下的泰勒級數(shù)展開：流體微團(tuán)在流場中的流體微團(tuán)在流場中的運(yùn)動物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示運(yùn)動物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示意圖意圖流體微團(tuán)在流場中的流體微團(tuán)在流場中的運(yùn)動物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示運(yùn)動物

4、質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示意圖意圖這里這里D/Dt代表流體微團(tuán)通過代表流體微團(tuán)通過1點時，流體微團(tuán)密度變化的點時，流體微團(tuán)密度變化的瞬時時間變化率。我們把瞬時時間變化率。我們把D/Dt定義為密度的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。定義為密度的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。流體微團(tuán)在流場中的流體微團(tuán)在流場中的運(yùn)動物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示運(yùn)動物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示意圖意圖注意注意D/Dt是給定的流體微團(tuán)在空間運(yùn)動時，其密度的時是給定的流體微團(tuán)在空間運(yùn)動時，其密度的時間變化率。我們必須跟蹤運(yùn)動的流體微團(tuán)，注意它通過點間變化率。我們必須跟蹤運(yùn)動的流體微團(tuán)，注意它通過點1時密度的變化。時密度的變化。流體微團(tuán)在流場中的流體微團(tuán)在流場中的運(yùn)動物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示運(yùn)動物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示意圖意圖物質(zhì)導(dǎo)數(shù)物

5、質(zhì)導(dǎo)數(shù)D/Dt與偏導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)/t不同不同 ，/t是在固定是在固定點點1時觀察密度變化的時間變化率，該變化由流場瞬間的起時觀察密度變化的時間變化率，該變化由流場瞬間的起伏所引起。伏所引起。向量算子向量算子D/Dt是物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，它在物理上是跟蹤一個運(yùn)動的流體微團(tuán)的是物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，它在物理上是跟蹤一個運(yùn)動的流體微團(tuán)的時間變化率；時間變化率；流體微團(tuán)在流場中的流體微團(tuán)在流場中的運(yùn)動物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示運(yùn)動物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示意圖意圖 / t叫做當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)，它在物理上是固定點處的時間變化率；叫做當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)，它在物理上是固定點處的時間變化率；流體微團(tuán)在流場中的流體微團(tuán)在流場中的運(yùn)動物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示運(yùn)動物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示意圖意圖 叫做遷移導(dǎo)

6、數(shù)，它在物理上表示由于流體微團(tuán)從流場叫做遷移導(dǎo)數(shù)，它在物理上表示由于流體微團(tuán)從流場中的一點運(yùn)動到另一點，流場的空間不均勻性而引起的時間中的一點運(yùn)動到另一點，流場的空間不均勻性而引起的時間變化率。變化率。流體微團(tuán)在流場中的流體微團(tuán)在流場中的運(yùn)動物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示運(yùn)動物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示意圖意圖物質(zhì)導(dǎo)數(shù)可用于任何流場變量，比如物質(zhì)導(dǎo)數(shù)可用于任何流場變量，比如Dp/Dt、 DT/Dt等等流體微團(tuán)在流場中的流體微團(tuán)在流場中的運(yùn)動物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示運(yùn)動物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示意圖意圖人進(jìn)入山洞，洞內(nèi)溫度比洞外溫度低，正經(jīng)過洞口人進(jìn)入山洞，洞內(nèi)溫度比洞外溫度低，正經(jīng)過洞口向里進(jìn)時，同時被雪球擊中。向里進(jìn)時，同時被雪球擊中。洞內(nèi)溫度比洞外

7、溫度低所引起的溫降洞內(nèi)溫度比洞外溫度低所引起的溫降遷移導(dǎo)數(shù)遷移導(dǎo)數(shù)物質(zhì)導(dǎo)數(shù)物質(zhì)導(dǎo)數(shù)當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)遷移導(dǎo)數(shù)遷移導(dǎo)數(shù)被雪球擊中所引起的溫降被雪球擊中所引起的溫降當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)總的溫降總的溫降物質(zhì)導(dǎo)數(shù)物質(zhì)導(dǎo)數(shù)物質(zhì)導(dǎo)數(shù)物質(zhì)導(dǎo)數(shù)全微分：全微分：對時間的全導(dǎo)數(shù)：對時間的全導(dǎo)數(shù)：物質(zhì)導(dǎo)數(shù)物質(zhì)導(dǎo)數(shù)物質(zhì)導(dǎo)數(shù)在本質(zhì)上與對時間的全導(dǎo)數(shù)相同。物質(zhì)導(dǎo)數(shù)在本質(zhì)上與對時間的全導(dǎo)數(shù)相同。對時間的全導(dǎo)數(shù)：對時間的全導(dǎo)數(shù)：速度散度速度散度 這一表達(dá)式也經(jīng)常出現(xiàn)在流這一表達(dá)式也經(jīng)常出現(xiàn)在流體動力學(xué)方程中。體動力學(xué)方程中。隨流體運(yùn)動的有限控制隨流體運(yùn)動的有限控制體，同一批流體質(zhì)點始體，同一批流體質(zhì)點始終位于同一控制體內(nèi)終位于同一

8、控制體內(nèi)考慮如圖所示隨流體運(yùn)考慮如圖所示隨流體運(yùn)動的控制體。這個控制動的控制體。這個控制體在運(yùn)動中，總是由相體在運(yùn)動中，總是由相同的流體粒子組成，因同的流體粒子組成，因此它的質(zhì)量是固定的，此它的質(zhì)量是固定的，不隨時間變化。不隨時間變化。隨流體運(yùn)動的有限控制隨流體運(yùn)動的有限控制體，同一批流體質(zhì)點始體，同一批流體質(zhì)點始終位于同一控制體內(nèi)終位于同一控制體內(nèi)但是，當(dāng)它運(yùn)動到流體但是，當(dāng)它運(yùn)動到流體不同的區(qū)域，由于密度不同的區(qū)域，由于密度不同，它的體積和控制不同，它的體積和控制面會隨著時間改變。面會隨著時間改變。隨流體運(yùn)動的有限控制隨流體運(yùn)動的有限控制體，同一批流體質(zhì)點始體，同一批流體質(zhì)點始終位于同一控

9、制體內(nèi)終位于同一控制體內(nèi)也就是說，隨著流場特也就是說，隨著流場特性的變化，這個質(zhì)量固性的變化，這個質(zhì)量固定的、運(yùn)動著的控制體，定的、運(yùn)動著的控制體，體積不斷地增大或減小，體積不斷地增大或減小，形狀也在不斷地改變著。形狀也在不斷地改變著。速度散度的物理意義：速度散度的物理意義： 是每單位體積運(yùn)動著是每單位體積運(yùn)動著的流體微團(tuán)，體積相對變化的時間變化率。的流體微團(tuán)，體積相對變化的時間變化率?？臻g位置固定的空間位置固定的有限控制體模型有限控制體模型連續(xù)性方程連續(xù)性方程質(zhì)量守恒定律質(zhì)量守恒定律通過控制面通過控制面S流出控制體的凈質(zhì)量流量流出控制體的凈質(zhì)量流量控制體內(nèi)質(zhì)量減少的時間變化率控制體內(nèi)質(zhì)量減少

10、的時間變化率空間位置固定的空間位置固定的有限控制體模型有限控制體模型通過控制面通過控制面S流出控制體的凈質(zhì)量流量流出控制體的凈質(zhì)量流量控制體內(nèi)質(zhì)量減少的時間變化率控制體內(nèi)質(zhì)量減少的時間變化率SVV dSdVt 0VSdVV dSt或或空間位置固定的空間位置固定的有限控制體模型有限控制體模型連續(xù)性方程：連續(xù)性方程：0VSdVV dSt隨流體運(yùn)動的有限控制隨流體運(yùn)動的有限控制體模型體模型連續(xù)性方程連續(xù)性方程質(zhì)量守恒定律質(zhì)量守恒定律有限控制體的總質(zhì)量為：有限控制體的總質(zhì)量為：VmdV隨流體運(yùn)動的有限控制隨流體運(yùn)動的有限控制體模型體模型連續(xù)性方程：連續(xù)性方程：0VDdVDt空間位置固定的無窮空間位置固

11、定的無窮小微團(tuán)模型小微團(tuán)模型連續(xù)性方程連續(xù)性方程質(zhì)量守恒定律質(zhì)量守恒定律流出微團(tuán)的質(zhì)量流量流出微團(tuán)的質(zhì)量流量微團(tuán)內(nèi)質(zhì)量的減少微團(tuán)內(nèi)質(zhì)量的減少空間位置固定的無窮空間位置固定的無窮小微團(tuán)模型小微團(tuán)模型X方向的凈流出量為：方向的凈流出量為：uuudx dydzu dydzdxdydzxx流出微團(tuán)的質(zhì)量流量流出微團(tuán)的質(zhì)量流量 微團(tuán)內(nèi)質(zhì)量的減少微團(tuán)內(nèi)質(zhì)量的減少空間位置固定的無窮空間位置固定的無窮小微團(tuán)模型小微團(tuán)模型Y方向的凈流出量為：方向的凈流出量為：vvvdy dxdzv dxdzdxdydzyy流出微團(tuán)的質(zhì)量流量流出微團(tuán)的質(zhì)量流量 微團(tuán)內(nèi)質(zhì)量的減少微團(tuán)內(nèi)質(zhì)量的減少空間位置固定的無窮空間位置固定的無窮

12、小微團(tuán)模型小微團(tuán)模型Z方向的凈流出量為：方向的凈流出量為：wwwdz dxdyw dxdydxdydzzz流出微團(tuán)的質(zhì)量流量流出微團(tuán)的質(zhì)量流量 微團(tuán)內(nèi)質(zhì)量的減少微團(tuán)內(nèi)質(zhì)量的減少空間位置固定的無窮空間位置固定的無窮小微團(tuán)模型小微團(tuán)模型微團(tuán)內(nèi)質(zhì)量增加的時間變微團(tuán)內(nèi)質(zhì)量增加的時間變化率為：化率為：dxdydzt流出微團(tuán)的質(zhì)量流量流出微團(tuán)的質(zhì)量流量 微團(tuán)內(nèi)質(zhì)量的減少微團(tuán)內(nèi)質(zhì)量的減少空間位置固定的無窮空間位置固定的無窮小微團(tuán)模型小微團(tuán)模型流出微團(tuán)的質(zhì)量流量流出微團(tuán)的質(zhì)量流量微團(tuán)內(nèi)質(zhì)量的減少微團(tuán)內(nèi)質(zhì)量的減少uvwdxdydzdxdydzdxdydzxyzdxdydzt 或或0uvwtxyz空間位置固定的無

13、窮空間位置固定的無窮小微團(tuán)模型小微團(tuán)模型0uvwtxyz或或0Vt連續(xù)性方程：連續(xù)性方程：隨流體運(yùn)動的無窮小隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)模型微團(tuán)模型流體微團(tuán)的質(zhì)量：流體微團(tuán)的質(zhì)量：連續(xù)性方程連續(xù)性方程質(zhì)量守恒定律質(zhì)量守恒定律隨流體運(yùn)動的無窮小隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)模型微團(tuán)模型連續(xù)性方程連續(xù)性方程質(zhì)量守恒定律質(zhì)量守恒定律隨流體運(yùn)動的無窮小隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)模型微團(tuán)模型連續(xù)性方程連續(xù)性方程質(zhì)量守恒定律質(zhì)量守恒定律隨流體運(yùn)動的無窮小隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)模型微團(tuán)模型連續(xù)性方程：連續(xù)性方程：0VSdVV dSt空間位置固定的有限控制體模型空間位置固定的有限控制體模型隨流體運(yùn)動的有限控制體模型隨流體運(yùn)動的

14、有限控制體模型0VDdVDt空間位置固定的無窮小微團(tuán)模型空間位置固定的無窮小微團(tuán)模型0Vt隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)模型隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)模型0VSdVV dSt空間位置固定的有限控制體模型空間位置固定的有限控制體模型空間位置固定的無窮小微團(tuán)模型空間位置固定的無窮小微團(tuán)模型0Vt空間位置固定的無窮小微團(tuán)模型空間位置固定的無窮小微團(tuán)模型0Vt隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)模型隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)模型0VSdVV dSt空間位置固定的有限控制體模型空間位置固定的有限控制體模型隨流體運(yùn)動的有限控制體模型隨流體運(yùn)動的有限控制體模型0VDdVDt空間位置固定的無窮小微團(tuán)模型空間位置固定的無窮小微團(tuán)模型0Vt隨

15、流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)模型隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)模型積分形式的方程允許出現(xiàn)間斷，微分形式的方程要求積分形式的方程允許出現(xiàn)間斷，微分形式的方程要求流動參數(shù)是連續(xù)的。因此，積分形式的方程比微分形流動參數(shù)是連續(xù)的。因此，積分形式的方程比微分形式的方程更基礎(chǔ)、更重要。在流動包含真實的間斷式的方程更基礎(chǔ)、更重要。在流動包含真實的間斷如激波時，這一點尤其重要。如激波時，這一點尤其重要。動量方程動量方程牛頓第二定律牛頓第二定律xxFmaFma力的兩個來源：力的兩個來源：1體積力：直接作用體積力：直接作用在流體微團(tuán)整個體積微在流體微團(tuán)整個體積微元上的力，而且作用是元上的力，而且作用是超距離的，比如重力，超距離的

16、，比如重力，電場力，磁場力。電場力，磁場力。隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)模型隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)模型力的兩個來源：力的兩個來源：2表面力：直接作表面力：直接作用在流體微團(tuán)的表面。用在流體微團(tuán)的表面。隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)模型隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)模型表面力的兩個表面力的兩個來源：來源：1壓力壓力2粘性力粘性力粘性力的兩個粘性力的兩個來源：來源：1正應(yīng)力正應(yīng)力2切應(yīng)力切應(yīng)力切應(yīng)力：與流體剪切變形的時間變化率有關(guān)，切應(yīng)力：與流體剪切變形的時間變化率有關(guān)，如下圖中的如下圖中的xy正應(yīng)力：與流體微團(tuán)體積的時間變化率有關(guān)，正應(yīng)力：與流體微團(tuán)體積的時間變化率有關(guān)，如下圖中的如下圖中的xx作用在單位質(zhì)量流體微團(tuán)

17、作用在單位質(zhì)量流體微團(tuán)上的體積力記做上的體積力記做 ，其，其X方向的分量為方向的分量為隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)模型隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)模型fxf作用在流體微團(tuán)上的體作用在流體微團(tuán)上的體積力的積力的X方向分量方向分量隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)模型隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)模型xfdxdydz作用在流體微作用在流體微團(tuán)上的團(tuán)上的X方向的方向的壓力壓力作用在流體微作用在流體微團(tuán)上的團(tuán)上的X方向的方向的正應(yīng)力正應(yīng)力作用在流體微作用在流體微團(tuán)上的團(tuán)上的X方向的方向的切應(yīng)力切應(yīng)力作用在流體微作用在流體微團(tuán)上的團(tuán)上的X方向總方向總的表面力的表面力隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)模型隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)模型作用在流體微團(tuán)上的

18、作用在流體微團(tuán)上的X方向總的力：方向總的力：隨流體運(yùn)動的無隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)模型窮小微團(tuán)模型作用在流體微團(tuán)上的作用在流體微團(tuán)上的X方向總的力：方向總的力：運(yùn)動流體微團(tuán)的質(zhì)量：運(yùn)動流體微團(tuán)的質(zhì)量：隨流體運(yùn)動的無隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)模型窮小微團(tuán)模型運(yùn)動流體微團(tuán)的運(yùn)動流體微團(tuán)的X方向的加速度：方向的加速度：隨流體運(yùn)動的無隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)模型窮小微團(tuán)模型由牛頓第二定理得粘性流由牛頓第二定理得粘性流X方向的動量方程：方向的動量方程：隨流體運(yùn)動的無隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)模型窮小微團(tuán)模型類似地，可得類似地，可得Y方向和方向和Z方向的動量方程：方向的動量方程：三個方向的動量方程：三個方向的動量方程

19、：以上為非守恒形式的納維斯托克斯方程以上為非守恒形式的納維斯托克斯方程(Navier-Stokes方程方程)，簡稱非守恒形式的，簡稱非守恒形式的NS方程。方程。非守恒形式的的非守恒形式的的NS方程可以轉(zhuǎn)化為如下守恒方程可以轉(zhuǎn)化為如下守恒形式的形式的NS方程方程牛頓流體：流體的切應(yīng)力與應(yīng)變的時間變化率牛頓流體：流體的切應(yīng)力與應(yīng)變的時間變化率(也就是速度梯度也就是速度梯度)成正比。成正比。在空氣動力學(xué)的所有實際問題中，流體都可以在空氣動力學(xué)的所有實際問題中，流體都可以看成牛頓流體?？闯膳ｎD流體。對牛頓流體，有對牛頓流體，有完整的完整的NS方程守恒形式：方程守恒形式：隨流體運(yùn)動的無窮隨流體運(yùn)動的無窮

20、小微團(tuán)的能量通量小微團(tuán)的能量通量能量方程能量方程能量守恒定律能量守恒定律隨流體運(yùn)動的無窮隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)的能量通量小微團(tuán)的能量通量流體微團(tuán)內(nèi)能流體微團(tuán)內(nèi)能量的變化率量的變化率流入微團(tuán)內(nèi)流入微團(tuán)內(nèi)的凈熱流量的凈熱流量體積力和表面力對體積力和表面力對微團(tuán)做功的功率微團(tuán)做功的功率隨流體運(yùn)動的無窮隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)的能量通量小微團(tuán)的能量通量作用于速度為作用于速度為V的流體微團(tuán)上的體的流體微團(tuán)上的體積力，做功的功率為：積力，做功的功率為：隨流體運(yùn)動的無窮隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)的能量通量小微團(tuán)的能量通量對比下圖作用在面對比下圖作用在面adhe和面和面bcgf上的壓力，則壓力在上的壓力，則壓力在X

21、方向上做功的功率為：方向上做功的功率為：隨流體運(yùn)動的無窮隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)的能量通量小微團(tuán)的能量通量類似地，在面類似地，在面abcd和面和面efgh上，切應(yīng)力在上，切應(yīng)力在X方向上做方向上做功的功率為：功的功率為：隨流體運(yùn)動的無窮隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)的能量通量小微團(tuán)的能量通量所有表面力包括壓力、正應(yīng)力、切應(yīng)力在所有表面力包括壓力、正應(yīng)力、切應(yīng)力在X方向方向上做功的功率為：上做功的功率為：所有力包括體積力、表面力做功的功率總和包所有力包括體積力、表面力做功的功率總和包括括X方向、方向、Y方向、方向、Z方向為：方向為：隨流體運(yùn)動的無窮隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)的能量通量小微團(tuán)的能量通量流體微團(tuán)內(nèi)

22、能流體微團(tuán)內(nèi)能量的變化率量的變化率流入微團(tuán)內(nèi)流入微團(tuán)內(nèi)的凈熱流量的凈熱流量體積力和表面力對體積力和表面力對微團(tuán)做功的功率微團(tuán)做功的功率隨流體運(yùn)動的無窮隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)的能量通量小微團(tuán)的能量通量流入微團(tuán)的凈熱流量來源兩個方面：流入微團(tuán)的凈熱流量來源兩個方面：1體積加熱，如吸收或釋放的熱輻射。體積加熱，如吸收或釋放的熱輻射。隨流體運(yùn)動的無窮隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)的能量通量小微團(tuán)的能量通量流入微團(tuán)的凈熱流量來源兩個方面：流入微團(tuán)的凈熱流量來源兩個方面：2由溫度梯度導(dǎo)致的跨過表面的熱輸運(yùn)，即熱傳導(dǎo)。由溫度梯度導(dǎo)致的跨過表面的熱輸運(yùn)，即熱傳導(dǎo)。隨流體運(yùn)動的無窮隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)的能量通量小微團(tuán)

23、的能量通量定義定義 為單位質(zhì)量的體積加熱率；運(yùn)動流體微團(tuán)的為單位質(zhì)量的體積加熱率；運(yùn)動流體微團(tuán)的質(zhì)量為質(zhì)量為 ，因此，微團(tuán)的體積加熱為，因此，微團(tuán)的體積加熱為隨流體運(yùn)動的無窮隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)的能量通量小微團(tuán)的能量通量考慮面考慮面adhe和面和面bcgf，熱傳導(dǎo)在，熱傳導(dǎo)在X方向?qū)α黧w微團(tuán)的方向?qū)α黧w微團(tuán)的加熱為：加熱為：隨流體運(yùn)動的無窮隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)的能量通量小微團(tuán)的能量通量熱傳導(dǎo)在熱傳導(dǎo)在X、Y、Z三個方向?qū)α黧w微團(tuán)的加熱為：三個方向?qū)α黧w微團(tuán)的加熱為：隨流體運(yùn)動的無窮隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)的能量通量小微團(tuán)的能量通量因此，流入微團(tuán)內(nèi)的凈熱流量為：因此，流入微團(tuán)內(nèi)的凈熱流量為：根

24、據(jù)傅立葉熱傳導(dǎo)定律，熱傳導(dǎo)產(chǎn)生的熱流與當(dāng)?shù)氐母鶕?jù)傅立葉熱傳導(dǎo)定律，熱傳導(dǎo)產(chǎn)生的熱流與當(dāng)?shù)氐臏囟忍荻瘸烧?，設(shè)溫度梯度成正比，設(shè)k為熱導(dǎo)率，那么為熱導(dǎo)率，那么隨流體運(yùn)動的無窮隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)的能量通量小微團(tuán)的能量通量因此，流入微團(tuán)內(nèi)的凈熱流量可寫為：因此，流入微團(tuán)內(nèi)的凈熱流量可寫為：隨流體運(yùn)動的無窮隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)的能量通量小微團(tuán)的能量通量流體微團(tuán)內(nèi)能流體微團(tuán)內(nèi)能量的變化率量的變化率流入微團(tuán)內(nèi)流入微團(tuán)內(nèi)的凈熱流量的凈熱流量體積力和表面力對體積力和表面力對微團(tuán)做功的功率微團(tuán)做功的功率隨流體運(yùn)動的無窮隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)的能量通量小微團(tuán)的能量通量跟隨流體運(yùn)動的微團(tuán)的能量有兩個來源：跟隨

25、流體運(yùn)動的微團(tuán)的能量有兩個來源：1由分子隨機(jī)運(yùn)動而產(chǎn)生的內(nèi)能，定義單位質(zhì)量內(nèi)由分子隨機(jī)運(yùn)動而產(chǎn)生的內(nèi)能，定義單位質(zhì)量內(nèi)能為能為e隨流體運(yùn)動的無窮隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)的能量通量小微團(tuán)的能量通量跟隨流體運(yùn)動的微團(tuán)的能量有兩個來源：跟隨流體運(yùn)動的微團(tuán)的能量有兩個來源：2流體微團(tuán)平動時具有的動能，單位質(zhì)量的動能為流體微團(tuán)平動時具有的動能，單位質(zhì)量的動能為隨流體運(yùn)動的無窮隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)的能量通量小微團(tuán)的能量通量運(yùn)動流體微團(tuán)的質(zhì)量為運(yùn)動流體微團(tuán)的質(zhì)量為 ，因此，流體微團(tuán)，因此，流體微團(tuán)內(nèi)能量的變化率為內(nèi)能量的變化率為隨流體運(yùn)動的無窮隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)的能量通量小微團(tuán)的能量通量流體微團(tuán)內(nèi)能流體

26、微團(tuán)內(nèi)能量的變化率量的變化率流入微團(tuán)內(nèi)流入微團(tuán)內(nèi)的凈熱流量的凈熱流量體積力和表面力對體積力和表面力對微團(tuán)做功的功率微團(tuán)做功的功率根據(jù)能量守恒定律，有根據(jù)能量守恒定律，有流體微團(tuán)內(nèi)能流體微團(tuán)內(nèi)能量的變化率量的變化率流入微團(tuán)內(nèi)流入微團(tuán)內(nèi)的凈熱流量的凈熱流量體積力和表面力對體積力和表面力對微團(tuán)做功的功率微團(tuán)做功的功率于是能量方程非守恒形式為：于是能量方程非守恒形式為：只用內(nèi)能只用內(nèi)能e表示的能量方程非守恒形式為：表示的能量方程非守恒形式為：只用內(nèi)能只用內(nèi)能e表示的能量方程中不包含體積力項。表示的能量方程中不包含體積力項。只用內(nèi)能只用內(nèi)能e表示的能量方程非守恒形式可寫為：表示的能量方程非守恒形式可寫為

27、：根據(jù)根據(jù) ， ，對牛頓流體，有對牛頓流體，有只用內(nèi)能只用內(nèi)能e表示的能量方程非守恒形式可寫為：表示的能量方程非守恒形式可寫為：只用內(nèi)能只用內(nèi)能e表示的能量方程守恒形式為：表示的能量方程守恒形式為：用總能用總能 表示的能量方程守恒形式為：表示的能量方程守恒形式為：非定常三維可壓縮粘性流動的控制方程總結(jié)如下：非定常三維可壓縮粘性流動的控制方程總結(jié)如下：1.連續(xù)性方程連續(xù)性方程非守恒形式：非守恒形式：守恒形式：守恒形式：非定常三維可壓縮粘性流動的控制方程總結(jié)如下：非定常三維可壓縮粘性流動的控制方程總結(jié)如下：2.動量方程動量方程非守恒形式：非守恒形式：X方向：方向：Y方向：方向：Z方向：方向：非定常

28、三維可壓縮粘性流動的控制方程總結(jié)如下：非定常三維可壓縮粘性流動的控制方程總結(jié)如下：2.動量方程動量方程守恒形式：守恒形式：X方向：方向：Y方向：方向：Z方向：方向：非定常三維可壓縮粘性流動的控制方程總結(jié)如下：非定常三維可壓縮粘性流動的控制方程總結(jié)如下：3.能量方程能量方程非守恒形式：非守恒形式：非定常三維可壓縮粘性流動的控制方程總結(jié)如下：非定常三維可壓縮粘性流動的控制方程總結(jié)如下：3.能量方程能量方程守恒形式：守恒形式：非定常三維可壓縮無粘流動的控制方程總結(jié)如下：非定常三維可壓縮無粘流動的控制方程總結(jié)如下：1.連續(xù)性方程連續(xù)性方程非守恒形式：非守恒形式：守恒形式：守恒形式：非定常三維可壓縮無粘

29、流動的控制方程總結(jié)如下：非定常三維可壓縮無粘流動的控制方程總結(jié)如下：2.動量方程動量方程非守恒形式：非守恒形式：X方向：方向：Y方向：方向：Z方向：方向：非定常三維可壓縮無粘流動的控制方程總結(jié)如下：非定常三維可壓縮無粘流動的控制方程總結(jié)如下：2.動量方程動量方程守恒形式：守恒形式：X方向：方向：Y方向：方向：Z方向：方向：非定常三維可壓縮無粘流動的控制方程總結(jié)如下：非定常三維可壓縮無粘流動的控制方程總結(jié)如下：3.能量方程能量方程非守恒形式：非守恒形式：守恒形式：守恒形式：連續(xù)性方程、動量方程、能量方程共有連續(xù)性方程、動量方程、能量方程共有5個，但有六個，但有六個未知的流場變量：個未知的流場變量

30、：在空氣動力學(xué)中，通常假設(shè)氣體是完全氣體分子間在空氣動力學(xué)中，通常假設(shè)氣體是完全氣體分子間作用力可忽略），狀態(tài)方程是：作用力可忽略），狀態(tài)方程是：狀態(tài)方程提供了第狀態(tài)方程提供了第6個方程，但引進(jìn)了第七個未知量：個方程，但引進(jìn)了第七個未知量：溫度溫度T用以封閉整個方程組的第七個方程必須是狀態(tài)參量之用以封閉整個方程組的第七個方程必須是狀態(tài)參量之間的熱力學(xué)關(guān)系。比如：間的熱力學(xué)關(guān)系。比如：對常比熱容完全氣體，這個關(guān)系可以是：對常比熱容完全氣體，這個關(guān)系可以是：其中的其中的 是定容比熱。這個方程有時候也被稱為量是定容比熱。這個方程有時候也被稱為量熱狀態(tài)方程。熱狀態(tài)方程。無論流動是波音無論流動是波音74

31、7飛機(jī)周圍的流動、亞聲速風(fēng)洞內(nèi)飛機(jī)周圍的流動、亞聲速風(fēng)洞內(nèi)的流動，還是流過一個風(fēng)車流動，控制方程都是相同的流動，還是流過一個風(fēng)車流動，控制方程都是相同的。然而，盡管流動的控制方程是相同的，可這些情的。然而，盡管流動的控制方程是相同的，可這些情形中流動卻是完全不同的。為什么會這樣的呢？差異形中流動卻是完全不同的。為什么會這樣的呢？差異是哪里產(chǎn)生的呢？是哪里產(chǎn)生的呢？答案是邊界條件。不同的邊界條件，有時還包括初始答案是邊界條件。不同的邊界條件，有時還包括初始條件，使得同一個控制方程得到不同的特解。條件，使得同一個控制方程得到不同的特解。對于粘性流動，物面上的物理邊界條件有物面速度無對于粘性流動，物

32、面上的物理邊界條件有物面速度無滑移邊界條件和物面溫度邊界條件?；七吔鐥l件和物面溫度邊界條件。物面速度無滑移邊界條件指：緊挨物面的氣流與物面物面速度無滑移邊界條件指：緊挨物面的氣流與物面之間的相對速度為零。即：之間的相對速度為零。即：在物面對于粘性流動）在物面對于粘性流動）大部分粘性流動的物面溫度邊界條件要么給定一個常大部分粘性流動的物面溫度邊界條件要么給定一個常數(shù)作為壁面溫度，即數(shù)作為壁面溫度，即在物面在物面要么假設(shè)壁面為絕熱壁，即要么假設(shè)壁面為絕熱壁，即在物面在物面對于無粘流動，物面上唯一的物理邊界條件是法向速對于無粘流動，物面上唯一的物理邊界條件是法向速度為零邊界條件。度為零邊界條件。也

33、就是說物面上的流動與物面相切。也就是說物面上的流動與物面相切。在物面對于無粘流動）在物面對于無粘流動）無論是粘性流還是無粘流，根據(jù)問題的不同，流場中無論是粘性流還是無粘流，根據(jù)問題的不同，流場中不是物面的地方有多種不同類型的邊界條件。不是物面的地方有多種不同類型的邊界條件。比如對于流過固定形狀管道的流動，應(yīng)該在管道的入比如對于流過固定形狀管道的流動，應(yīng)該在管道的入口和出口有適合的入流和出流邊界條件?？诤统隹谟羞m合的入流和出流邊界條件。比如對于已知來流中的飛行物，則給定自由來流條件比如對于已知來流中的飛行物，則給定自由來流條件作為物體四周無窮遠(yuǎn)處的邊界條件。作為物體四周無窮遠(yuǎn)處的邊界條件。守恒變

34、量：守恒變量：2,2Vuvwe 非守恒變量：非守恒變量：, , , ,u v w p非守恒變量可以由守恒變量求出：非守恒變量可以由守恒變量求出：守恒形式的控制方程：流動控制方程中的因變量是守守恒形式的控制方程：流動控制方程中的因變量是守恒變量。恒變量。非守恒形式的控制方程：流動控制方程中的因變量是非守恒形式的控制方程：流動控制方程中的因變量是非守恒變量。非守恒變量。守恒形式的控制方程相比非守恒形式控制方程的第一守恒形式的控制方程相比非守恒形式控制方程的第一個優(yōu)點：個優(yōu)點：守恒形式的控制方程為算法設(shè)計和編程計算提供了方守恒形式的控制方程為算法設(shè)計和編程計算提供了方便。便。守恒形式的連續(xù)性方程、動

35、量方程和能量方程可以用守恒形式的連續(xù)性方程、動量方程和能量方程可以用同一個通用方程來表達(dá)，這有助于計算程序的簡化和同一個通用方程來表達(dá)，這有助于計算程序的簡化和程序結(jié)構(gòu)的組織。程序結(jié)構(gòu)的組織。守恒形式的控制方程組都可以表達(dá)成如下形式：守恒形式的控制方程組都可以表達(dá)成如下形式：U,F,G,H,J都是列向量。都是列向量。守恒形式的控制方程組都可以表達(dá)成如下形式：守恒形式的控制方程組都可以表達(dá)成如下形式：對于無粘或粘性流動：對于無粘或粘性流動：守恒形式的控制方程組都可以表達(dá)成如下形式：守恒形式的控制方程組都可以表達(dá)成如下形式：對于無粘流動：對于無粘流動：守恒形式的控制方程組都可以表達(dá)成如下形式：守恒

36、形式的控制方程組都可以表達(dá)成如下形式：對于粘性流動：對于粘性流動：守恒形式的控制方程組都可以表達(dá)成如下形式：守恒形式的控制方程組都可以表達(dá)成如下形式：對于粘性流動：對于粘性流動：守恒形式的控制方程組都可以表達(dá)成如下形式：守恒形式的控制方程組都可以表達(dá)成如下形式：對于粘性流動：對于粘性流動：守恒形式的控制方程組都可以表達(dá)成如下形式：守恒形式的控制方程組都可以表達(dá)成如下形式：列向量列向量U被稱為解向量。被稱為解向量。列向量列向量F,G,H被稱為通量向量或通量項）。被稱為通量向量或通量項）。列向量列向量J代表源項當(dāng)體積力和體積熱流可忽略時等代表源項當(dāng)體積力和體積熱流可忽略時等于零）于零）在某些問題中

37、，非定常的瞬時流場是我們最感興趣的。在某些問題中，非定常的瞬時流場是我們最感興趣的。這類問題為非定常問題。這類問題為非定常問題。對其他一些問題，需要得到定常解，這類問題為定常對其他一些問題，需要得到定常解，這類問題為定常問題。問題。求解定常問題，最好的方式是求解非定常方程，用長求解定常問題，最好的方式是求解非定常方程，用長時間的漸進(jìn)解趨于定常狀態(tài)。這種方法稱為求解定常時間的漸進(jìn)解趨于定常狀態(tài)。這種方法稱為求解定常流動的時間相關(guān)算法。流動的時間相關(guān)算法。上面方程的求解采用了時間推進(jìn)的方式，也就是說，上面方程的求解采用了時間推進(jìn)的方式，也就是說，相關(guān)的流動變量是按時間步，一步步推進(jìn)求解的。相關(guān)的流

38、動變量是按時間步，一步步推進(jìn)求解的。時間推進(jìn)的方式時間推進(jìn)的方式解向量解向量U的分量通常就是每一時間步直接被求解的未的分量通常就是每一時間步直接被求解的未知函數(shù)，右邊的空間導(dǎo)數(shù)項被看成是已知的。知函數(shù)，右邊的空間導(dǎo)數(shù)項被看成是已知的。通過某種方式求出右邊的空間導(dǎo)數(shù)項，比如可以用上通過某種方式求出右邊的空間導(dǎo)數(shù)項，比如可以用上一個時間步的結(jié)果計算出方程右邊的這些項。一個時間步的結(jié)果計算出方程右邊的這些項。在包含激波的流場中，流場的原始變量在包含激波的流場中，流場的原始變量p,u,T等在等在跨過激波時，會發(fā)生急劇的不連續(xù)變化?？邕^激波時，會發(fā)生急劇的不連續(xù)變化。采用激波捕捉法計算含激波的流場時，是

39、讓激波作為采用激波捕捉法計算含激波的流場時，是讓激波作為流場計算的直接結(jié)果，自然而然地出現(xiàn)在計算區(qū)域里，流場計算的直接結(jié)果，自然而然地出現(xiàn)在計算區(qū)域里，而不必對激波本身進(jìn)行特殊的處理。而不必對激波本身進(jìn)行特殊的處理。守恒形式的控制方程相比非守恒形式控制方程的第二守恒形式的控制方程相比非守恒形式控制方程的第二個優(yōu)點：個優(yōu)點：采用激波捕捉法計算含激波的流場時，應(yīng)該采用守恒采用激波捕捉法計算含激波的流場時，應(yīng)該采用守恒形式的控制方程，以使計算結(jié)果光滑、穩(wěn)定。形式的控制方程，以使計算結(jié)果光滑、穩(wěn)定。如果采用非守恒形式，流場計算結(jié)果在激波上下游出如果采用非守恒形式，流場計算結(jié)果在激波上下游出現(xiàn)空間振蕩抖

40、動），激波的位置也可能不對，甚至現(xiàn)空間振蕩抖動），激波的位置也可能不對，甚至計算不穩(wěn)定。計算不穩(wěn)定。守恒形式的控制方程使用通量變守恒形式的控制方程使用通量變量作為未知函數(shù)，而通量變量在量作為未知函數(shù)，而通量變量在跨過激波時的變化要么為零，要跨過激波時的變化要么為零，要么很小。么很小。與把原始變量作為未知函數(shù)的非與把原始變量作為未知函數(shù)的非守恒形式相比，使用守恒形式提守恒形式相比，使用守恒形式提高了激波捕捉法數(shù)值解的質(zhì)量。高了激波捕捉法數(shù)值解的質(zhì)量。理論上，根據(jù)理論上，根據(jù)偏微分方程的偏微分方程的解能得到流場解能得到流場中任意點上流中任意點上流場變量的值。場變量的值。離散網(wǎng)格點離散網(wǎng)格點實際上，

41、我們實際上，我們采用代數(shù)差分采用代數(shù)差分的方式將偏微的方式將偏微分方程組轉(zhuǎn)化分方程組轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組。為代數(shù)方程組。離散網(wǎng)格點離散網(wǎng)格點通過求解代數(shù)通過求解代數(shù)方程組獲得流方程組獲得流場中離散網(wǎng)格場中離散網(wǎng)格節(jié)點上的變量節(jié)點上的變量值。值。離散網(wǎng)格點離散網(wǎng)格點從而，使得原從而，使得原來的偏微分方來的偏微分方程組被程組被“離散離散化了?；恕ｋx散網(wǎng)格點離散網(wǎng)格點離散網(wǎng)格點離散網(wǎng)格點泰勒級數(shù)展開：泰勒級數(shù)展開：泰勒級數(shù)展開：泰勒級數(shù)展開：差分表達(dá)式差分表達(dá)式截斷誤差截斷誤差一階向前差分：一階向前差分：上述差分表達(dá)式用到了上述差分表達(dá)式用到了(i,j)點及其右邊點及其右邊(i+1,j)點的點的信息，

42、沒有左邊信息，沒有左邊(i-1,j)點的信息，且精度為一階點的信息，且精度為一階離散網(wǎng)格點離散網(wǎng)格點泰勒級數(shù)展開：泰勒級數(shù)展開：泰勒級數(shù)展開：泰勒級數(shù)展開：一階向后差分：一階向后差分：上述差分表達(dá)式用到了上述差分表達(dá)式用到了(i,j)點及其左邊點及其左邊(i-1,j)點的點的信息，沒有右邊信息，沒有右邊(i+1,j)點的信息，且精度為一階點的信息，且精度為一階兩式相減得：兩式相減得：得：得：二階中心差分：二階中心差分：上述差分表達(dá)式用到了左邊上述差分表達(dá)式用到了左邊(i-1,j)點及右邊點及右邊(i+1,j)點的信息，點的信息， (i,j)點位于它們中間，且精度為二階點位于它們中間，且精度為二

43、階Y方向的差分表達(dá)式：方向的差分表達(dá)式：兩式相加得：兩式相加得：得：得：二階中心差分關(guān)于二階導(dǎo)數(shù)）二階中心差分關(guān)于二階導(dǎo)數(shù)）對對Y方向的二階導(dǎo)數(shù)有：方向的二階導(dǎo)數(shù)有：二階中心差分關(guān)于二階中心差分關(guān)于Y方向二階導(dǎo)數(shù)）方向二階導(dǎo)數(shù)）下面求二階混合偏導(dǎo)數(shù)下面求二階混合偏導(dǎo)數(shù)上式對上式對y求導(dǎo)得：求導(dǎo)得：下面求二階混合偏導(dǎo)數(shù)下面求二階混合偏導(dǎo)數(shù)上式對上式對y求導(dǎo)得：求導(dǎo)得：下面求二階混合偏導(dǎo)數(shù)下面求二階混合偏導(dǎo)數(shù)兩式相減得：兩式相減得：6下面求二階混合偏導(dǎo)數(shù)下面求二階混合偏導(dǎo)數(shù)6二階混合偏導(dǎo)數(shù)的二階精度中心差分二階混合偏導(dǎo)數(shù)的二階精度中心差分二階偏導(dǎo)數(shù)，四階精度中心差分二階偏導(dǎo)數(shù)，四階精度中心差分高階

44、精度的差分需要更多的網(wǎng)格點，所以計算中的每一高階精度的差分需要更多的網(wǎng)格點，所以計算中的每一個時間步或空間步都需要更多的計算機(jī)時間。個時間步或空間步都需要更多的計算機(jī)時間。在邊界上怎樣構(gòu)造差分在邊界上怎樣構(gòu)造差分近似？近似？邊界網(wǎng)格點邊界網(wǎng)格點向前差分，只有一階精度。向前差分，只有一階精度。邊界網(wǎng)格點邊界網(wǎng)格點在邊界上如何得到二階在邊界上如何得到二階精度的有限差分呢？精度的有限差分呢？邊界網(wǎng)格點邊界網(wǎng)格點不同于前面的泰勒級數(shù)不同于前面的泰勒級數(shù)分析，下面采用多項式分析，下面采用多項式來分析。來分析。邊界網(wǎng)格點邊界網(wǎng)格點設(shè)設(shè)邊界網(wǎng)格點邊界網(wǎng)格點在網(wǎng)格點在網(wǎng)格點1，在網(wǎng)格點在網(wǎng)格點2，在網(wǎng)格點在網(wǎng)

45、格點3，邊界網(wǎng)格點邊界網(wǎng)格點得得邊界網(wǎng)格點邊界網(wǎng)格點對對y求導(dǎo)得：求導(dǎo)得：在邊界點在邊界點1，邊界網(wǎng)格點邊界網(wǎng)格點得：得：邊界網(wǎng)格點邊界網(wǎng)格點根據(jù)根據(jù)知知為三階精度為三階精度邊界網(wǎng)格點邊界網(wǎng)格點故故為兩階精度為兩階精度為三階精度為三階精度邊界網(wǎng)格點邊界網(wǎng)格點為單側(cè)差分為單側(cè)差分對一個給定的偏微分方程，如果將其中所有的偏對一個給定的偏微分方程，如果將其中所有的偏導(dǎo)數(shù)都用有限差分來代替，所得到的代數(shù)方程叫導(dǎo)數(shù)都用有限差分來代替，所得到的代數(shù)方程叫做差分方程，它是偏微分方程的代數(shù)表示。做差分方程，它是偏微分方程的代數(shù)表示。考慮非定常一維考慮非定常一維熱傳導(dǎo)方程：熱傳導(dǎo)方程：偏微分方程：偏微分方程：差

46、分方程：差分方程：截斷誤差：截斷誤差：差分方程是一個代數(shù)差分方程是一個代數(shù)方程，如果在右圖所方程，如果在右圖所示區(qū)域內(nèi)所有網(wǎng)格點示區(qū)域內(nèi)所有網(wǎng)格點上都列出差分方程，上都列出差分方程，就得到一個聯(lián)立的代就得到一個聯(lián)立的代數(shù)方程組。數(shù)方程組。當(dāng)網(wǎng)格點的數(shù)量趨于當(dāng)網(wǎng)格點的數(shù)量趨于無窮多，也就是無窮多，也就是時，差分方程能否還時，差分方程能否還原為原來的微分方程原為原來的微分方程呢？呢？截斷誤差：截斷誤差：截斷誤差趨于零，從而差分方程確實趨近于原微截斷誤差趨于零，從而差分方程確實趨近于原微分方程。分方程。從而差分方程確實趨近于原微分方程，從而差分方程確實趨近于原微分方程，假設(shè)，假設(shè)，截斷誤差趨于零，截

47、斷誤差趨于零，此時我們說偏微分方程的這個有限差分表示是相此時我們說偏微分方程的這個有限差分表示是相容的。容的。原微分方程與相應(yīng)的差分方程之間的區(qū)別原微分方程與相應(yīng)的差分方程之間的區(qū)別截斷誤差：截斷誤差：原微分方程的解析解與差分方程的解之間的區(qū)別原微分方程的解析解與差分方程的解之間的區(qū)別離散誤差：離散誤差：上述方程是拋物型方程，可以推進(jìn)求解，推進(jìn)變量是時間上述方程是拋物型方程，可以推進(jìn)求解，推進(jìn)變量是時間t邊界條件已知邊界條件已知邊界條件已知邊界條件已知顯式方法中每一個差分方程只包含一個未知顯式方法中每一個差分方程只包含一個未知數(shù)，從而這個未知數(shù)可以用直接計算的方法數(shù)，從而這個未知數(shù)可以用直接計

48、算的方法顯式地求解。顯式方法是最簡單的方法。顯式地求解。顯式方法是最簡單的方法。克蘭克尼科爾森格式克蘭克尼科爾森格式對于排列在同一時間層對于排列在同一時間層所有網(wǎng)格點上的未知量，所有網(wǎng)格點上的未知量，必須將它們聯(lián)立起來同必須將它們聯(lián)立起來同時求解，才能求出這些時求解，才能求出這些未知量，這種方法就定未知量，這種方法就定義為隱式方法。義為隱式方法。由于需要求解聯(lián)立的代由于需要求解聯(lián)立的代數(shù)方程組，隱式方法通數(shù)方程組，隱式方法通常涉及大型矩陣的運(yùn)算。常涉及大型矩陣的運(yùn)算。隱式方法比顯式方法需隱式方法比顯式方法需要更多、更復(fù)雜的計算。要更多、更復(fù)雜的計算。A，B，Ki 均為已知量均為已知量A，B，K

49、i 均為已知量均為已知量在網(wǎng)格點在網(wǎng)格點2：A，B，Ki 均為已知量均為已知量T1 為邊界條件，已知量為邊界條件，已知量在網(wǎng)格點在網(wǎng)格點3：A，B，Ki 均為已知量均為已知量在網(wǎng)格點在網(wǎng)格點4：在網(wǎng)格點在網(wǎng)格點5：A，B，Ki 均為已知量均為已知量在網(wǎng)格點在網(wǎng)格點6：T7 為邊界條件，已知量為邊界條件，已知量于是有關(guān)于于是有關(guān)于T2，T3，T4，T5，T6這五個未知數(shù)的五個方程這五個未知數(shù)的五個方程A，B，Ki 均為已知量均為已知量寫成矩陣形式：寫成矩陣形式：系數(shù)矩陣是一個三對角矩陣，僅在三條對角線上有非系數(shù)矩陣是一個三對角矩陣，僅在三條對角線上有非零元素。零元素。求解線性代數(shù)方程組的標(biāo)準(zhǔn)方法

50、是高斯消去法。應(yīng)用求解線性代數(shù)方程組的標(biāo)準(zhǔn)方法是高斯消去法。應(yīng)用于三對角方程組，通常采用托馬斯算法國內(nèi)稱為追于三對角方程組，通常采用托馬斯算法國內(nèi)稱為追趕法求解。趕法求解。對于顯式方法，一旦對于顯式方法，一旦x取定，那么取定，那么t的取值必須受到的取值必須受到穩(wěn)定性條件的限制，其取值必須小于等于某個值。否穩(wěn)定性條件的限制，其取值必須小于等于某個值。否則，計算不穩(wěn)定。因此，則，計算不穩(wěn)定。因此，t必須取得很小，才能保持必須取得很小，才能保持計算穩(wěn)定，要算到某個給定的時間值，程序要運(yùn)行很計算穩(wěn)定，要算到某個給定的時間值，程序要運(yùn)行很長時間。長時間。隱式方法沒有穩(wěn)定性限制，可以取比顯式方法大得多隱式

51、方法沒有穩(wěn)定性限制，可以取比顯式方法大得多的的 t，仍能保持計算穩(wěn)定。要計算某個給定的時間值，仍能保持計算穩(wěn)定。要計算某個給定的時間值，隱式方法所用的時間步數(shù)比顯式方法少很多。隱式方法所用的時間步數(shù)比顯式方法少很多。對某些應(yīng)用來說，雖然隱式方法一個時間步的計算會對某些應(yīng)用來說，雖然隱式方法一個時間步的計算會比顯式方法花的時間長，但由于時間步數(shù)少，總的運(yùn)比顯式方法花的時間長，但由于時間步數(shù)少，總的運(yùn)行時間可能比顯式方法少。行時間可能比顯式方法少。另外，當(dāng)另外，當(dāng) t取得較大時，截斷誤差就大，隱式方法在取得較大時，截斷誤差就大，隱式方法在跟蹤嚴(yán)格的瞬態(tài)變化未知函數(shù)隨時間的變化時，跟蹤嚴(yán)格的瞬態(tài)變化

52、未知函數(shù)隨時間的變化時，可能不如顯式方法精確。可能不如顯式方法精確。不過，對于以定常態(tài)為最終目標(biāo)的時間相關(guān)算法，時不過，對于以定常態(tài)為最終目標(biāo)的時間相關(guān)算法，時間上夠不夠精確并不重要。間上夠不夠精確并不重要。當(dāng)流場中某些局部區(qū)域的網(wǎng)格點分布很密，采用顯式當(dāng)流場中某些局部區(qū)域的網(wǎng)格點分布很密，采用顯式方法，小的時間步長會導(dǎo)致計算時間特別長。方法，小的時間步長會導(dǎo)致計算時間特別長。例如，高雷諾數(shù)粘性流，物面附近的流場會產(chǎn)生急劇例如，高雷諾數(shù)粘性流，物面附近的流場會產(chǎn)生急劇的變化，因此，物面附近需要更密的空間網(wǎng)格。的變化，因此，物面附近需要更密的空間網(wǎng)格。在這種情況下，若采用隱式方法，即使對于很密的

53、空在這種情況下，若采用隱式方法，即使對于很密的空間網(wǎng)格，也能采用較大的時間步長，就會減少程序運(yùn)間網(wǎng)格，也能采用較大的時間步長，就會減少程序運(yùn)行時間。行時間。在從一個推進(jìn)步進(jìn)行到下一步時，如果某個特定的數(shù)在從一個推進(jìn)步進(jìn)行到下一步時，如果某個特定的數(shù)值誤差被放大了，那么計算就變成不穩(wěn)定。如果誤差值誤差被放大了，那么計算就變成不穩(wěn)定。如果誤差不增長，甚至在從一個推進(jìn)步進(jìn)行到下一步時，誤差不增長，甚至在從一個推進(jìn)步進(jìn)行到下一步時，誤差還在衰減，那么計算通常就是穩(wěn)定的。還在衰減，那么計算通常就是穩(wěn)定的。A=偏微分方程的精確解解析解）偏微分方程的精確解解析解）D=差分方程的精確解差分方程的精確解離散誤差

54、離散誤差=A-DD=差分方程的精確解差分方程的精確解舍入誤差舍入誤差= =N-DN=在某個有限精度的計算機(jī)上實際計算出來的解在某個有限精度的計算機(jī)上實際計算出來的解 （數(shù)值解）（數(shù)值解）N=D+ 數(shù)值解數(shù)值解N=精確解精確解D+誤差誤差 數(shù)值解數(shù)值解N滿足差分方程，于是有滿足差分方程，于是有數(shù)值解數(shù)值解N=精確解精確解D+誤差誤差 精確解精確解D也必然滿足差分方程，于是有也必然滿足差分方程，于是有數(shù)值解數(shù)值解N=精確解精確解D+誤差誤差 兩式相減得，誤差兩式相減得，誤差 也滿足差分方程：也滿足差分方程：當(dāng)求解過程從第當(dāng)求解過程從第n步推進(jìn)到第步推進(jìn)到第n+1步時，假設(shè)步時，假設(shè) i衰減，衰減，

55、至少是不增大，那么求解就是穩(wěn)定的；反之，假設(shè)至少是不增大，那么求解就是穩(wěn)定的；反之，假設(shè) i增增大，求解就是不穩(wěn)定的。也就是說，求解要是穩(wěn)定的，大，求解就是不穩(wěn)定的。也就是說，求解要是穩(wěn)定的，應(yīng)該有：應(yīng)該有：根據(jù)根據(jù)von Neumann馮馮 諾伊曼穩(wěn)定性分析方法，設(shè)諾伊曼穩(wěn)定性分析方法，設(shè)誤差隨空間和時間符合如下誤差隨空間和時間符合如下Fourier級數(shù)分布：級數(shù)分布：那么那么穩(wěn)定性要求穩(wěn)定性要求故放大因子故放大因子1a tGe下面采用下面采用von Neumann馮馮 諾伊曼穩(wěn)定性分析方法諾伊曼穩(wěn)定性分析方法分析如下差分方程的穩(wěn)定性：分析如下差分方程的穩(wěn)定性：由于誤差由于誤差 也滿足差分方

56、程，故有也滿足差分方程，故有由于誤差由于誤差 也滿足差分方程，故有也滿足差分方程，故有而而那么那么解得解得放大因子放大因子要使要使放大因子放大因子1G 必須滿足必須滿足上式就是差分方程上式就是差分方程的穩(wěn)定性條件。的穩(wěn)定性條件。對于給定的對于給定的 x， t的值必須足夠小，才能滿足上述穩(wěn)的值必須足夠小，才能滿足上述穩(wěn)定性條件，以保證計算過程中誤差不會放大。定性條件，以保證計算過程中誤差不會放大。穩(wěn)定性條件的具體形式取決于差分方程的形式。穩(wěn)定性條件的具體形式取決于差分方程的形式。的差分方程的差分方程是無條件不穩(wěn)定的。是無條件不穩(wěn)定的。比如，一階波動方程：比如，一階波動方程：但如果用但如果用那么那

57、么1112nnniiiuuu（Lax方法）方法）令誤差令誤差則放大因子則放大因子式中式中則放大因子則放大因子穩(wěn)定性要求穩(wěn)定性要求那么那么穩(wěn)定性要求穩(wěn)定性要求式中的式中的C稱為柯朗稱為柯朗(Courant)數(shù)。數(shù)。穩(wěn)定性要求穩(wěn)定性要求上式稱為柯朗弗里德里奇列維上式稱為柯朗弗里德里奇列維(Courant-Friedrichs-Lewy)條件，一般寫成條件，一般寫成CFL條件。條件。下面來看下面來看CFL條件的物理意義。條件的物理意義。CFL條件：條件：也是二階波動方程：也是二階波動方程：的穩(wěn)定性條件。的穩(wěn)定性條件。下面來看下面來看CFL條件的物理意義。條件的物理意義。二階波動方程：二階波動方程：的

58、特征線為的特征線為CFL條件的物理意義：要保證穩(wěn)定性，數(shù)值解的依賴條件的物理意義：要保證穩(wěn)定性，數(shù)值解的依賴區(qū)域必須全部包含解析解的依賴區(qū)域。區(qū)域必須全部包含解析解的依賴區(qū)域。CFL條件的物理意義：要保證穩(wěn)定性，數(shù)值解的依賴條件的物理意義：要保證穩(wěn)定性，數(shù)值解的依賴區(qū)域必須全部包含解析解的依賴區(qū)域。區(qū)域必須全部包含解析解的依賴區(qū)域。在在CFD里，確定適當(dāng)?shù)木W(wǎng)格是一件非常重要的事情。里，確定適當(dāng)?shù)木W(wǎng)格是一件非常重要的事情。網(wǎng)格會影響數(shù)值計算的成功與失敗。網(wǎng)格會影響數(shù)值計算的成功與失敗。標(biāo)準(zhǔn)的有限差分方法需標(biāo)準(zhǔn)的有限差分方法需要均勻網(wǎng)格。要均勻網(wǎng)格。如果在流場內(nèi)生成了如果在流場內(nèi)生成了非均勻網(wǎng)格，

59、也需要非均勻網(wǎng)格，也需要將它變換成均勻分布將它變換成均勻分布的矩形網(wǎng)格。的矩形網(wǎng)格。采用均勻網(wǎng)格計算翼采用均勻網(wǎng)格計算翼型繞流有如下問題：型繞流有如下問題：1有些網(wǎng)格點落入翼型內(nèi)部，而不是在流場里，有些網(wǎng)格點落入翼型內(nèi)部，而不是在流場里，如何給定這些點上的流動參量？如何給定這些點上的流動參量？采用均勻網(wǎng)格計算翼采用均勻網(wǎng)格計算翼型繞流有如下問題：型繞流有如下問題：2只有少量的網(wǎng)格點落在翼型表面上，這也不好。因為只有少量的網(wǎng)格點落在翼型表面上，這也不好。因為翼型表面是極其重要的邊界，翼型表面上的邊界條件確定翼型表面是極其重要的邊界，翼型表面上的邊界條件確定了整個流動。了整個流動。1翼型內(nèi)部沒有網(wǎng)

60、格點翼型內(nèi)部沒有網(wǎng)格點2網(wǎng)格點落在翼型表面上網(wǎng)格點落在翼型表面上網(wǎng)格既不是矩形的，也不網(wǎng)格既不是矩形的，也不是均勻分布的。通常的差是均勻分布的。通常的差分很難應(yīng)用，必須轉(zhuǎn)換。分很難應(yīng)用，必須轉(zhuǎn)換?？刂品匠虖奈锢砥矫婵刂品匠虖奈锢砥矫?x,y)轉(zhuǎn)換到計算平面轉(zhuǎn)換到計算平面(,)物理平面物理平面計算平面計算平面貼體網(wǎng)格貼體網(wǎng)格考慮二維非定常流場，考慮二維非定常流場，從物理平面從物理平面(x,y,t)計算平面計算平面(,)物理平面物理平面計算平面計算平面從物理平面從物理平面(x,y,t)計算平面計算平面(,)下標(biāo)表示求偏導(dǎo)數(shù)過程中保持不變的量下標(biāo)表示求偏導(dǎo)數(shù)過程中保持不變的量從物理平面從物理平面(x