Levy過(guò)程與隨機(jī)計(jì)算讀書(shū)報(bào)告

1、湖南師范大學(xué)研究生課程論文論文題目Levy過(guò)程與隨機(jī)計(jì)算讀書(shū)報(bào)告課程名稱Levy過(guò)程與隨機(jī)計(jì)算*級(jí)2*級(jí)期年月業(yè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)年院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院日（以下內(nèi)容由任課老師填寫）研究生課程論文簡(jiǎn)要評(píng)語(yǔ)評(píng)閱教師簽名：年月日得分：Le過(guò)程與隨機(jī)計(jì)算讀書(shū)報(bào)告姓名：*學(xué)號(hào)：*這學(xué)期我們?cè)卩嚴(yán)蠋煹膸ьI(lǐng)下學(xué)習(xí)了Levy過(guò)程與隨機(jī)計(jì)算這門課程，通過(guò)這門課程的學(xué)習(xí)，我對(duì)Levy過(guò)程有了初步的了解，并掌握了一些隨機(jī)分析和隨機(jī)計(jì)算的知識(shí)。下面就針對(duì)Levy過(guò)程的一些知識(shí)點(diǎn)做一些總結(jié)，其中包括Levy過(guò)程的定義，性質(zhì)，定理，和一些例子(如Brownian運(yùn)動(dòng)，Gaussian過(guò)程，Poisson過(guò)程，復(fù)合Pois

2、son過(guò)程等)以及它們的Levy特征，還簡(jiǎn)單介紹了LevyIt。分解定理。首先，先回顧一下幾個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)：無(wú)窮可分：X稱為無(wú)窮可分的，若對(duì)于VnwN,存在n個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量Y(n),Y2,Yn使得X與Y+丫2+Yn同分布。Lev-yKhich道理：N是Rd上的一個(gè)Borel概率測(cè)度，N是無(wú)窮可分的u存在向量ZRd,正定對(duì)稱dd矩陣A,Rd-0±的一個(gè)Levy測(cè)度V,使得對(duì)于Vu=Rd,均有(u)=expi(b,u)-=(u,Au)dei(u,y)-1-i(u,y)自(y)(dy)2R40)其中g(shù)=B(0).Levy特征:X(t)的特征函數(shù)x(u)=E(ei(u,X(t)=e

3、"u)(發(fā)uwRd),我們稱映射“：RdtC為L(zhǎng)evy特征一、Levy過(guò)程的定義：設(shè)概率空間為(QF,P)為概率空間，X=X(t),t之0為定義在該空間上的一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，我們稱X是一個(gè)Levy過(guò)程，若X滿足以下幾條：L(1):X(0)=0(a.s);L(2):X有獨(dú)立平穩(wěn)增量,即對(duì)于VnN,0<ti<t2<tn<«,(X(tj書(shū))X(tj),1<j<n)相互獨(dú)立；且X(tj2X(tj)與X(tj書(shū)-tj)-X(0)同分布；L(3):X是隨機(jī)連續(xù)的,即對(duì)于Va>0,Vs>0,lilimsP(X(t)-X(s)a)=0.注：在L(

4、1),L(2)滿足的條件下，L等價(jià)于a0,與P(X(t)>a)=0.Levy過(guò)程的幾條性質(zhì)，定理;1、若X是一個(gè)Levy過(guò)程，則對(duì)于Vt之0,X(t)是無(wú)窮可分的(即對(duì)于VnwN,X可以表示成n個(gè)相互獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的和)。2、若X=(X(t),t20)是隨機(jī)連續(xù)的，則對(duì)于VuwRd,映射tTGx(u)是連續(xù)的。3、若X是一個(gè)LevyM程，則對(duì)于VuWRd,t之0,6x(t)(u)=8”其中6x(t)(u)為X(t)的特征函數(shù)，即6x(t)(u)=E(ei(u,X(t),“為X(1)的Levy特征。4、若X=(X(t),t至0)是一個(gè)Levy過(guò)程,特征為(b,A,v)；則(1)-X=(

5、-X(t),ti0)也是一個(gè)Levy過(guò)程，并且其特征為(b,A,<),其中對(duì)于-AB(Rd),(A)=、(-A);(2)VcR,過(guò)程(X(t)+ct,t之0)是一個(gè)Levy過(guò)程,其特征為(b+c,Av)5、若隨機(jī)過(guò)程X和Y是隨機(jī)連續(xù)的，則X+Y=(X(t)+Y(t),t之0)也是隨機(jī)連續(xù)的。6、若e過(guò)程X和Y相互獨(dú)立，則X+Y=(X(t)+Y(t),t20)也是Levy過(guò)程。7、若X=(X(t),t豈0)是隨機(jī)連續(xù)的，存在一列Levy過(guò)程(Xn,nwN),其中Xn=(Xn(t),t至0)并且對(duì)于vt20,Xn(t)依概率斂到X(t),對(duì)于Va0,limsupt_0P(Xn(t)-X(t)

6、|>a)=0；則X是一個(gè)Levy過(guò)程。三、Levy過(guò)程的一些例子：1、Brownian運(yùn)動(dòng)和Gaussian過(guò)程：Rd上的(標(biāo)準(zhǔn)的)Brownian運(yùn)動(dòng)是一個(gè)Levy過(guò)程，B=(B(t),t之0)滿足(B1)：對(duì)于Vt之0,B(t)N(0,tI),(B2)：B有連續(xù)的樣本軌道。由(B1),我們可知若B是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的Brownian運(yùn)動(dòng)，則它的特征函數(shù)為b(u)=E(ei(u,B(t)=exp(-tu2),(對(duì)于fu三Rd,t20)。注解：(1)Brownian運(yùn)動(dòng)的樣本軌道幾乎處處不可微(2)對(duì)于任意R*上的時(shí)間序列(3”N),tn笛，有l(wèi)imsupB(tn)=0°a.s.;li

7、minfB(tn)=asn>:：n>:令A(yù)是一個(gè)正定對(duì)稱dMd矩陣，仃為A的平方根，即。是dxm矩陣滿足gT=A，令bWRd,B=(B(t),t*0)是Rm上的Brownian運(yùn)動(dòng)，構(gòu)造Rd上的過(guò)程C=(C(t),t20),C(t)=bt+B(t)；則C(t)N(tb,tA)且C是一個(gè)Levy過(guò)程,也是一個(gè)Gaussian過(guò)程(即C的所有的有限維分布都是Gauss的)。C的Levy特征為1%(u)=i(b,u)-一(u,Au),即其特征為(b,A,0)。2若b=0,Vt>0,C(t)=B(t),我們常寫作C(t)=BA(t),A為Brownian的協(xié)方差。2、Poisson過(guò)

8、程：取值于N-0的參數(shù)為人的Poisson過(guò)程N(yùn)=(N(t),t20)(t)1是一個(gè)Levy過(guò)程，其中N(t)n)，所以P(N=n)=e,n=0,1,2=定義一列非負(fù)的隨機(jī)變量(Tn，NU0)(稱為等待時(shí)間)：T0=0,寸n£N,Tn=inft00;N(t)=n,貝UTn服從gamma分布，且對(duì)于VnN,間隔時(shí)間-Tn服從均值為工的指數(shù)分布，且是相互獨(dú)立同分布的。九N=(N(t),t之0)的樣本軌道在有限區(qū)間內(nèi)是分段連續(xù)的，在每一個(gè)Tn處都會(huì)有一個(gè)跳躍度為1的跳。N(t)息是一個(gè)鞅，定義過(guò)程N(yùn)=(t),t之0),其中(t)=N(t)八t,貝U*N=(N(t),t之0)是一個(gè)復(fù)合Poi

9、s過(guò)程，且對(duì)于日20,E(N(t):E(N(t)-t)=0,E(N(t)2);t3、復(fù)合Poisson過(guò)程：令(Z(n),nWN)是一列取值于Rd的相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，它們的分布測(cè)度均為4,令N=(N(t),t之0)是一個(gè)參數(shù)為九的Poisson過(guò)程，且與(Z(n),nWN)獨(dú)立，定義復(fù)合Poisson過(guò)程為：Vt>0,Y(t)-Z(1)Z(2)：Z(N(t)所以Y(t)n(盤卅z)。顯然，一個(gè)復(fù)合Poisson過(guò)程是一個(gè)Poisson過(guò)程=d=1且每一個(gè)Z(n)=1(a.s.)。復(fù)合Poisson過(guò)程Y=(Y(t),t20)是一個(gè)Levy過(guò)程，Y的Levy特征為“Y(u)=(ei

10、(u,y)-1)+z(dy)。Rd若Ni=(N1(t),t至0)和N2=(N2(t),t20)是兩個(gè)定義在同一個(gè)概率空間上的相互獨(dú)立的Poisson過(guò)程，到達(dá)時(shí)間分別為(Tn,MN),j=1,2;則對(duì)于一些m,nWN,PmDuTn2)：。.即兩個(gè)相互獨(dú)立的Poisson過(guò)程必須在不同的時(shí)間上才會(huì)有跳四、Poisson隨機(jī)測(cè)度跳過(guò)程AX=(AX(t),t>0),其中AX=X(t)X(t),t>0,X(t_)是X(t)在t點(diǎn)的左極限。若N是一個(gè)a.s.單調(diào)增的Levy過(guò)程，AN=UN(t),t20)取值于0,1,則N是一個(gè)Poisson過(guò)程。令N是一i個(gè)Pois過(guò)程且選擇0Mti<

11、;t2<°°.則P(AN(t2)AN(t1)=0AN(t1)=1)#P(AN(t2)AN(t1)=0),所以&N不可能有獨(dú)立增量。若X是一個(gè)Levy過(guò)程，對(duì)于固定的t>0,AX=0(a.s.).若X是一個(gè)復(fù)合Poisson過(guò)程，則XAX(s)<七(a.s.).0:：s_t對(duì)于V0Mt<叱AWB(Rd0),定義N(t,A)=#0，s£T;：X(s)A="a(X(s),0汐空所以，對(duì)于WoWQt至0,函數(shù)AtN(t,A)是一個(gè)B(Rd-0)上的計(jì)數(shù)測(cè)度，因此E(N(t,A)=JN(t,A)(m)dP(6)在B(Rd-0)上是可

12、測(cè)的，記N()=E(N(1,)為X的強(qiáng)度參數(shù)，若0j,我們則稱AWB(Rd-0)是從下有界的。結(jié)論：(1)若AWB(Rd-0)是從下有界的，貝Nt之0,N(t,A)“(as).若AWB(Rd-0)是從下有界的，則(N(t,A),t之0)是一個(gè)強(qiáng)度為N(A)的Poisson過(guò)程。(3)若A,A2,，B(Rd-0)是互不相交的，則隨機(jī)變量N(t,A),，N(t,Am)是相互獨(dú)立的。令(S,A)是一個(gè)可測(cè)空間，(C,F,P)是一個(gè)概率空間。(S,A)上的隨機(jī)測(cè)度M是隨機(jī)變量(M(B),BwA)使得：(1)M(S)=0;(2)可數(shù)可加性：對(duì)于任意一個(gè)序列(A,nwN),其中(A,nwN)是A中的互不相

13、交的集合,M(UAn)=SM(An),a.s.；n-Nn.-N(3)分散化獨(dú)立性：對(duì)于A中互不相交的集合族(Bi，B2,，Bn),隨機(jī)變量M(Bi),M(B2),，M(Bn)是獨(dú)立的。若當(dāng)M(B)<g,M(B)服從Poisson分布，我們則稱M是Poisson隨機(jī)測(cè)度。對(duì)于VBeA,%(B)=E(M(B)，我們則可以得到(S,A)上的仃有限測(cè)度1.給定測(cè)度空間(S,A)上的仃-有限測(cè)度九，存在概率空間(C,F,P)上的Poisson隨機(jī)測(cè)度M使得VBeA,九(B)=E(M(B).例子：U=Rd-0,C是一個(gè)Borel仃一代數(shù)，令X是一個(gè)Levy過(guò)程，則是AX一個(gè)Poisson點(diǎn)過(guò)程，N是

14、其Poisson隨機(jī)測(cè)度。對(duì)于8之0,A是從下有界的，我們定義補(bǔ)償Poisson隨機(jī)測(cè)度：N(t,A)=N(t,A)-t(A),(N(t,A),t0)是一個(gè)鞅。顯然，我們有以下結(jié)論：(1) Ht>0,SWQ,N(t,)(S)是Rd0上的一個(gè)計(jì)數(shù)測(cè)度;(2)對(duì)于VA從下有界，(N(t,A),t20)是一個(gè)強(qiáng)度為(A)=E(N(1,A)的Poisson過(guò)程；(3)(t,A),t至0)是一個(gè)鞅值測(cè)度，其中(t,A)=N(t,A)-出(A),A是從下有界的。F面看一下Poisson積分，令f為Rd到Rd的Borel可測(cè)函數(shù)，A是從下有界的，則對(duì)于,>0,0g,我們可以定義f的Poisson

15、積分為隨機(jī)變量有限和ff(x)N(t,dx)4)=£f(x)N(t,x)(0).注意每一個(gè)Ax.AAf(x)N(t,dx)fbRd值隨機(jī)變量。因?yàn)镹(t,x)#0uAX(u)=x,V0<u<t,我們有工f(x)N(t,dx)=£f(AX(u)/A(AX(u).令(TnA,nwN)是Poisson過(guò)程o”三(N(t,A),t之0)的到達(dá)時(shí)。Poisson積分的另一i種表達(dá)形式是”(x)N(t,dx)=£f(AX(TnAAt)on:-N定理：令A(yù)是從下有界的，則有下面幾條成立：(1)對(duì)于1之0,Jf(x)N(t,dx)是一個(gè)復(fù)合Poisson分布，使得對(duì)于

16、A寸uRd,E(expi(u,Jf(x)N(t,dx)=exptf(ei(u,x)-1)2f(dx)，其中2f=N。fAA'(2)若fL1(A*A),我們有E(ff(x)N(t,dx)=tff(x)(dx)AA(3)若fwL2(A,%),我們有Var(Lf(x)N(t,dx)=tf(x)2N(dx).AA若f:RdTRd是Borel可測(cè)函數(shù)，則工f(AX(u)14(AX(u)<a.s.0<u<t(ff(x)N(t,dx),t之0)是一個(gè)復(fù)合Poisson過(guò)程。'A對(duì)于任意的fwL1(A,匕),定義補(bǔ)償Poisson積分:_一，If(x)N(t,dx)=Af(x

17、)N(t,dx)-tfAf(x)N(dx)；AAA顯然，(j；f(x)l(t,dx),t20)是一個(gè)鞅；由上述定理可知：對(duì)于VuWRd,有A(IIV)E(expi(u,1f(x)N(t,dx)=expt(e-1-i(u,x)h(dx);且對(duì)于AA2 2.fWL2(A,E),E(f(x)N(t,dx)=tf(x)N(dx).AA若A,B是從下有界的，fwL2(A,Na)gwL2(B,，)，我們有f(x)N(t,dx)g(x)N(t,dx)=tf(x)g(x)(dx).ABAB若A是從下有界的，定義：Ma""(x)l(t,dx),f乏L2(A1a)L則Ma為A鞅空間m的閉子空間

18、若f為Rd到Rd的Borel可測(cè)函數(shù)，A是從下有界的，N是一個(gè)Poisson隨機(jī)測(cè)度且為L(zhǎng)evy過(guò)程X的調(diào)的計(jì)數(shù)測(cè)度，強(qiáng)度參數(shù)為定義Y=(Y(t)40),其中Y(t)=Jf(x)N(t,dx)(s)，則丫=(丫代口")在【°刀上A有界變差。又設(shè)疑為其Levy特征，對(duì)于VuwRd,Mu=(Mu(t),t之0)是一個(gè)鞅，其中Mu(t)=ei(uY(t)"u),則Mu是有界變差的。每一個(gè)從屬過(guò)程都是有界變差的。五、Levy-It。分解預(yù)備知識(shí):命題2.4.1：設(shè)Mj,j=1,2是兩個(gè)右連左極的中心鞅，對(duì)于j,Mj是L2的,且對(duì)于黃>0,E(V(Mk(t)2)<

19、;s,krj,則E(Mkt)M2(t)-E(xMi(s).M2(s)0<sl注：當(dāng)Mj,j=1,2均為布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)，上述命題是不成立的。例：N=(N(t),t之0)是一個(gè)Poisson過(guò)程,到達(dá)時(shí)間為3，nwN)令M是右連左極的中心鞅，則譏之0,E(M(t)N(t)=E(£AM(Tn)MTn0)n三N例：設(shè)A是下方有界的，M是右連左極的平方可積鞅，M在N=(N(t),t>0)的到達(dá)時(shí)間是連續(xù)的，則M與Ma中的每一個(gè)過(guò)程均是正交的。定理：若Ap,p=1,2是不交的且是從下有界的，則(fxN(tdx)t至0)與Ai(fxn(tdx)t至0)是相互獨(dú)立的隨機(jī)過(guò)程。'a2若

20、BC>0,使得supIiX(t)|<C我們就稱Levy過(guò)程X是有有界跳的。01_定理：若Levy過(guò)程X有有界跳，則對(duì)Vm=N,E(X(t)m)<".對(duì)于寸a>0,考慮復(fù)合Poisson過(guò)程(/xN(tdx)t之0)定義一個(gè)新的隨機(jī)3 a，過(guò)程Ya=(Ya(t)，t"),其中Ya(t)=X(t).fxN(t,dx)，X為L(zhǎng)evy過(guò)程。xa令(Tn，nwN)為Poisson過(guò)程(N(t，Ba(0)c)，t至0)的到達(dá)時(shí)間,則X(t);0Mt<TiYa(t)=，X(TC;t=T1且Ya(t)是一個(gè)Levy過(guò)程。X(t)-X(T1);T1<t：T

21、2Ya(T2)t=T2定理：一個(gè)Levy過(guò)程Y有有界的跳u對(duì)于一些a0,Y可以表示成Ya的形式。對(duì)于任意的a>0,定義一個(gè)Lev試程R=(Ya(t),t之0),噌(t)=Ya(t)-E(Ya(t),則*是一個(gè)RCLL中心L2鞅，對(duì)于-t-0,EYa(t)=tEYa(1).下面的討論令a=1,吊(t)、Y(t)簡(jiǎn)寫為Y(t)、Y(t)定理：對(duì)于VtA0,Y(t)=Yc(t)+Yd(t),其中Yc與K(t)是相互獨(dú)立的Levy過(guò)程，Yc(t)有連續(xù)的樣本軌道，Yd(t)=xN(t,dx)-X：1設(shè)口為Poisson隨機(jī)測(cè)度N的強(qiáng)度參數(shù)，則(1)N是一個(gè)Levy測(cè)度；(2)對(duì)于Vt>0,uwRd,E(expi(u，Yd(t)=exptxJei(u，x)1i(u，x)N(dx)；(3)對(duì)于胃之0,1勺江，田，丫二)6=叫,*他).(4)K(t)是一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng).Levy-Ito分解定理：若X是一個(gè)Levy過(guò)程，則存在bwRd,存在一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)Ba(Ba的協(xié)方差矩陣為A)