FFT分析的注意事項(xiàng)

1、對(duì)信號(hào)進(jìn)行傅立葉分析，可以將信號(hào)描述成一系列余弦（實(shí)部）和正弦（虛部）信號(hào)之和或者描述成帶相位的余弦信號(hào)（幅值和相位形式）。作為演示實(shí)例，我們對(duì)兩個(gè)正弦波組成的信號(hào)進(jìn)行傅立葉分析，兩個(gè)正弦波分別如圖1,2所示。這兩個(gè)信號(hào)組成的復(fù)合波形如圖3所示。2寸常占S0.00.20.4Timesec圖1正弦帔64Hz,單位幅值，。相位IAIN6b魯MTime(sec1AU6LPU，甯=5Timesecj圖3復(fù)合波形如果我們對(duì)這個(gè)復(fù)合信號(hào)進(jìn)行快速傅立葉分析（FFD,這個(gè)復(fù)合波形的FFT結(jié)果如圖4所示UIJ2UUFrcqjucfiiievjHfej圖464Hz和192Hz信號(hào)的FFT結(jié)果從圖4中可以直觀地看到

2、，在幅頻曲線中有兩個(gè)明顯的峰值，相位曲線中相位有兩處改變明顯，這兩個(gè)位置對(duì)應(yīng)的頻率分別為64Hz和192Hz。FFT分析得到的信號(hào)幅值剛好為原始正弦波幅值的一半。64Hz的正弦波的幅值為1，但FFT顯示為0.5,192Hz的正弦波的幅值為0.5,而FFT顯示為0.125,這是什么？這是因?yàn)楫?dāng)我們對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析時(shí)，一些能量用正頻率表示，一半能量用負(fù)頻率表示。對(duì)于一個(gè)實(shí)數(shù)的時(shí)域信號(hào)而言，與之相對(duì)的是復(fù)數(shù)的時(shí)域信號(hào)，那么能量會(huì)被劃分為等量的兩份，我們剛好得到了其中的一半。為了克服這一點(diǎn)，一些軟件會(huì)將信號(hào)的幅值加倍。這也就是所謂的半譜分布，其兼顧全范圍的幅值?，F(xiàn)在讓我們來考慮相位部分。原始的64H

3、z正弦信號(hào)的相位為0,192Hz正弦波的相位為30度。從64Hz的相頻曲線中可以看出相位從0突變到-90度，這是為什么？這是因?yàn)楦盗⑷~變換分析使用余弦和正弦函數(shù)。實(shí)際是用余弦，不是正弦。因此，正弦波形相位移動(dòng)-90度為余弦，這也就是我們?cè)谙囝l曲線中所看到的。在192Hz處，相位不是30度，而是-60度。這是完全正確的，因?yàn)槲覀冇校?90+30）=-60度。上述的例子中的信號(hào)采樣率為1024,用512個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)表示，因而，我們有0.5s的數(shù)據(jù)。因此，當(dāng)我們用FFT進(jìn)行傅立葉分析時(shí)，頻譜圖中的頻率間隔為2Hz。這是一個(gè)基本關(guān)系：如果FFT分析的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為T秒，那么頻率間隔為1/THz。選擇FFT的數(shù)

4、據(jù)塊大小為N,這將決定用于分析的信號(hào)有效長(zhǎng)度。如果選擇FFT分析的數(shù)據(jù)點(diǎn)為256,采樣率為1024,那么，我們用于分析的信號(hào)有效長(zhǎng)度將為1/4秒，頻率間隔將是4Hz。因?yàn)槲覀兲幚淼墓こ谭治鲂盘?hào)是測(cè)量物理事件的信號(hào)，顯然，設(shè)置頻率間隔更明智，而不是任意選擇FFT分析數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)，而這個(gè)參數(shù)與我們測(cè)量的物理問題關(guān)系不大。因此，通常設(shè)置的是頻率間隔。“不精確的”頻率成分在上面這個(gè)例子中，正弦波的頻率剛好是頻率間隔的整數(shù)倍。這是特定選擇的結(jié)果。因?yàn)槲覀冎?.5s的數(shù)據(jù)給定的頻率間隔為2Hz。現(xiàn)在，假設(shè)我們有一個(gè)正弦信號(hào)像最初的64Hz,但頻率是63Hz。此時(shí)，信號(hào)的頻率成分不再是頻率間隔的整數(shù)倍，會(huì)發(fā)生

5、什么情況？從時(shí)域上看，很難看出有任何的差異，但實(shí)際上這個(gè)明顯的差異來自于傅立葉分析的結(jié)果。63Hz,0相位，單位幅值的正弦波的FFT結(jié)果如下圖所示。in21u.R.EgOJf藺D.D200WD042O.().£寸98之一5406080Frequency(Hz圖563Hz的FFT結(jié)果注意到這個(gè)結(jié)果不再像圖4那樣的尖釘，而是一個(gè)頂部被削掉的“尖釘”。在62Hz和64Hz處，幅值幾乎相同，但不是0.5,而是約為0.32o進(jìn)一步，相位在62Hz是0,在64Hz是180度。傅立葉分析告訴我們我們有一個(gè)復(fù)合的信號(hào)，兩個(gè)主要的正弦波是62和64Hz,其幅值為0.32,相位分別為0和180度。而實(shí)際

6、上，我們知道信號(hào)是一個(gè)63Hz的單頻正弦波。如果我們將64Hz和63Hz的正弦波的FFT結(jié)果進(jìn)行疊加，如下圖所示，可以看出二者有明顯的不同。50100Frequency(Hz)圖6疊加63Hz和64Hz信號(hào)的FFT結(jié)果重疊這一點(diǎn)表明，當(dāng)你解釋說明正弦波的FFT結(jié)果時(shí)，你必須小心，因?yàn)轱@示的結(jié)果將依賴于信號(hào)的實(shí)際頻率與“測(cè)量的”頻率之間的關(guān)系。在這兩個(gè)例子中，雖然幅值變化顯著，但是如果你比較整個(gè)頻率范圍內(nèi)頻譜的RMS值，那么64Hz給出的RMS為0.707107,63Hz給出的RMS值為0.704936.以上的結(jié)果是用FFT算法獲得的。對(duì)于FFT而言，頻率間隔是信號(hào)長(zhǎng)度的函數(shù)?？紤]到現(xiàn)代PC機(jī)的

7、計(jì)算速度，我們也可以使用原始的直接傅立葉變換方法(DirectFourierTransform,DFT)oDFT允許我們?nèi)ミx擇起始頻率、結(jié)束頻率和頻率間隔。當(dāng)然，DFT比FFT要慢得多?，F(xiàn)在選擇從40Hz至I80Hz的區(qū)間，步長(zhǎng)為0.1Hz的結(jié)果如下圖所示的連續(xù)曲線。帶*的標(biāo)識(shí)為相應(yīng)的FFT分析結(jié)果。IM格匚一S0.40,20.00-200<IIII!IIII>>IIIIIIIIIIII3III|rIII11I*1IIIIIIIII串IIIII，IIIIII*I4IIFIIII.6070B。FrequencyHz圖763Hz正弦波的DFT分析結(jié)果這顯示了響應(yīng)的主瓣，在63Hz

8、處的幅值為0.5,相位為-90度。從62Hz至I64Hz,相位從0變化到-180度。注意到這樣數(shù)量的相位變化通常是從“精確的”頻率到鄰近頻率。上面這圖顯示了所有的“旁瓣”，這也說明了數(shù)字信號(hào)處理的另一方面，也就是眾所周知的頻譜泄漏。這個(gè)的主要原理是在一個(gè)頻率處的能量“泄漏”到其他所有的頻率處了。通過選擇一個(gè)合適的數(shù)據(jù)窗函數(shù)可以減少泄漏。圖7曲線的形狀實(shí)際上是所謂的“頻譜窗”。經(jīng)常把這個(gè)認(rèn)為是有效分析過濾器的形狀可能更合適。在這個(gè)例子中使用的窗函數(shù)是矩形窗。有關(guān)不同窗函數(shù)和它們相應(yīng)的頻譜在這不作詳細(xì)討論。在這注意到，我們要小心地使用“頻率間隔”而不是“頻率分辨率”。顯然，對(duì)于DFT和其他一些分析

9、技術(shù)，我們可以改變頻率間隔。對(duì)于FFT方法，頻率間隔與“數(shù)據(jù)塊大小”相關(guān)。但什么是頻率分辨率？這是一個(gè)很大的主題，但在這我們只給出這個(gè)主題的本質(zhì)。這個(gè)問題的線索就是圖7中的頻譜窗的形狀。頻率分辨率的工作定義是指分辨兩個(gè)密集頻率的能力。另一個(gè)更普遍的定義是頻譜窗的半功率點(diǎn)（-3dB）。現(xiàn)實(shí)中最有用的定義是頻率帶寬，稱為等效噪聲帶寬（ENBW,這個(gè)跟半功率點(diǎn)的定義非常相似。ENBW由窗函數(shù)的形狀和FFT分析數(shù)據(jù)塊的長(zhǎng)度決定。信號(hào)持續(xù)時(shí)間的影響如果我們?nèi)「L(zhǎng)一段時(shí)域數(shù)據(jù)進(jìn)行FFT分析，那么，頻率間隔將更小。大多數(shù)情況下，這將有利于我們解決問題，但是如果所取的數(shù)據(jù)沒有精確匹配信號(hào)的持續(xù)時(shí)間，那么會(huì)出現(xiàn)

10、相同的現(xiàn)象。傅立葉分析告訴我們一組正弦信號(hào)的幅值和相位，這組信號(hào)同原始的信號(hào)具有相同的持續(xù)時(shí)間。假設(shè)現(xiàn)在我們考慮的信號(hào)仍是由64Hz的單位幅值和192Hz,幅值為0.25的兩個(gè)正弦波組成。但是64Hz的信號(hào)只作用在前半段，192Hz的信號(hào)只作用在后半段，我們整個(gè)信號(hào)的時(shí)間為1秒，如圖8所示。06050Lo.ol-O.nsS-+ES£擊0.40.6Time(seco.e圖8兩個(gè)正弦信號(hào)連接這兩個(gè)連接的信號(hào)的FFT結(jié)果如下圖所示。20D40DFrequency圖9兩個(gè)連接的正弦信號(hào)的FFT結(jié)果信號(hào)的頻率成分，如預(yù)期一樣，出現(xiàn)在64Hz和192Hz。但是，半幅值（半譜的幅值）現(xiàn)在是0.25

11、（之前是0.5）和0.0625（之前是0.125）。從圖上獲得的解釋在64Hz頻率處有個(gè)正弦波，其半幅值是0.25,信號(hào)出現(xiàn)的時(shí)間長(zhǎng)度為整個(gè)1秒鐘；另一個(gè)正弦信號(hào)是192Hz,半幅值是0.0625,持續(xù)時(shí)間也是整個(gè)1秒鐘。但是我們知道，原始的信號(hào)的半幅值是0.5,持續(xù)時(shí)間只是前半秒，另一個(gè)信號(hào)的半幅值是0.125,持續(xù)時(shí)間是后半秒。發(fā)生了什么，使得結(jié)果與原始信號(hào)不同？仔細(xì)考慮64Hz附近的頻譜，如圖10所示，這揭示了在64Hz附近，有大量的頻率成分。這時(shí)的頻率間隔是1s,因?yàn)槲覀冇?s的時(shí)域數(shù)據(jù)。它們的相對(duì)幅值和相位組合使得信號(hào)在前半部分的幅值在64Hz處加倍，在后半部分沒有信號(hào)存在。相同的情

12、況也發(fā)生在192Hz附近。40607080Frequency圖10連接的信號(hào)的FFT結(jié)果（局部）還有一種情況是用0值拓展信號(hào)，這時(shí)，幅值也會(huì)減少。在這種情況下，幅值減少量與0值拓展百分比成正比。那么，從這個(gè)例子中可以看出，當(dāng)信號(hào)持續(xù)整個(gè)FFT分析的時(shí)域數(shù)據(jù)段全程時(shí)，信號(hào)的幅值才不會(huì)失真，當(dāng)信號(hào)的持續(xù)時(shí)間少于整個(gè)時(shí)域全程時(shí)，其FFT分析得到的幅值是失真的。這是傅立葉分析非常重要的注意事項(xiàng)，也就是假設(shè)正弦和余弦信號(hào)持續(xù)整個(gè)FFT分析的時(shí)間全程。正弦掃頻信號(hào)10Hz掃至U100Hz,如下對(duì)于正弦掃頻信號(hào)而言，理論上每個(gè)頻率成分只持續(xù)一瞬時(shí)。一個(gè)正弦掃頻信號(hào)從圖所示。0+10.20.30.4Timesec圖11單位幅值的正弦掃頻信號(hào)從10HzglllOOHz100150Fre(iuency(H?)2UI0圖中這個(gè)掃頻信號(hào)有512個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，采樣率為1024Hzo因此，掃頻速率是180Hz/s。信號(hào)的FFT結(jié)果顯示幅值約為0.075。整個(gè)掃頻時(shí)間段，相位從0附近變化到-2000度，然后在100Hz以上穩(wěn)定在-180度。如果掃頻速率更低，約為10Hz/s,那么信號(hào)的幅值將變成0.019左右。頻譜的幅值大小和原始掃頻信號(hào)的掃頻速率之間的關(guān)系不直觀。顯然，要解釋簡(jiǎn)單的傅立葉分析，不管是做FFT還是DFT,都要注意這些事項(xiàng)。傅立葉分析表明連續(xù)正弦波的幅值和相位是存在整個(gè)FFT分析的全程的。