高等數(shù)學(xué)：D9_習(xí)題課

1、習(xí)題課習(xí)題課一、一、 重積分計(jì)算的基本方法重積分計(jì)算的基本方法 二、重積分計(jì)算的基本技巧二、重積分計(jì)算的基本技巧 三、重積分的應(yīng)用三、重積分的應(yīng)用 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第九章 重積分的 計(jì)算 及應(yīng)用 一、重積分計(jì)算的基本方法一、重積分計(jì)算的基本方法1. 選擇合適的坐標(biāo)系使積分域多為坐標(biāo)面(線)圍成;被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡潔或變量分離.2. 選擇易計(jì)算的積分序積分域分塊要少, 累次積分易算為妙 .圖示法列不等式法(從內(nèi)到外: 面、線、點(diǎn))3. 掌握確定積分限的方法 累次積分法機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 計(jì)算二重積分,d222DyxR其中D 為圓周xRyx22所圍成的

2、閉區(qū)域.提示提示: 利用極坐標(biāo)cosRr 原式cos022dRrrRr33RyDR xo:Dcos0Rr 2222d機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 把積分zyxzyxfddd),(化為三次積分,其中由曲面222,xyyxz0,1zy提示提示: 積分域?yàn)?原式220d),(yxzzyxf及平面220yxz12 yx11x12dxy11dx所圍成的閉區(qū)域 .xyz機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、重積分計(jì)算的基本技巧二、重積分計(jì)算的基本技巧分塊積分法利用對稱性1. 交換積分順序的方法2. 利用對稱性或重心公式簡化計(jì)算3. 消去被積函數(shù)絕對值符號4. 利用重積分換元公式機(jī)動 目錄 上

3、頁 下頁 返回 結(jié)束 三、重積分的應(yīng)用三、重積分的應(yīng)用1. 幾何方面面積 ( 平面域或曲面域 ) , 體積 , 形心質(zhì)量, 轉(zhuǎn)動慣量, 質(zhì)心, 引力 證明某些結(jié)論等 2. 物理方面3. 其它方面機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 計(jì)算的例計(jì)算的例1.計(jì)算積分Ddyx,)(其中D 由,22xy 12,4yxyx所圍成 .提示提示: :如圖所示xy224246oyx,12DDD 內(nèi)有定義且在2),(DyxyxfDyxd)(2d)(Dyx1d)(Dyx連續(xù),所以yyxyx1222d)(46dyyyxyx422d)(24dy15115431D2DD機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 axamyxama

4、xxfexaxxfey0)(0)(0d)()(d)(d證明:提示提示: 左端積分區(qū)域如圖,Doyxxy a交換積分順序即可證得.2.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 計(jì)算二重積分,dd)(222yxeyxxIyxD其中:(1) D為圓域; 122 yx(2) D由直線1,1,xyxy解解: (1) 利用對稱性.yox1DyxxIDdd20dd)(2122yxyxD10320dd21rr4yxeyxDyxdd22圍成 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yxeyxDyxdd122(2) 積分域如圖:o1yx11D2Dxyxy , xy將D 分為,21DDyxxIDdd2yxeyxDyx

5、dd22200dd1112xyxx32添加輔助線利用對稱性 , 得機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 111 xyo例例4. 計(jì)算二重積分,dd)sgn() 1 (2yxxyID,dd)22()2(22yxxyyxID122 yx在第一象限部分. 解解: (1)2xy 21, DD兩部分, 則1ddDyxI1112ddxyx322D2ddDyx2011ddxyx1011:yxD，其中D 為圓域把與D 分成1D作輔助線機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xy1o1xy (2) 計(jì)算計(jì)算: 21, DD兩部分 1D yxxyyxyxDDdd)(dd)(12yxyxDdd)2(xy 作輔助線2D將D

6、 分成Dyxdd2yxxyyxIDdd)22(222) 12(32機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5.計(jì)算三重積分,d)(22vzy其中是由 xoy平面上曲線xy225x所圍成的閉區(qū)域 .提示提示: 利用柱坐標(biāo)sincosrzryxx原式522drx繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面rr d100320d3250zxyo5機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5)(212222)(zyDdxdydzzyyz例例6.,)0(, 0)0(,)(存在設(shè)ffCuf，求)(1lim40tFtt)(tF解解: 在球坐標(biāo)系下trrrftF02020d)(dsind)(trrrf02d)(440)(limttF

7、t利用洛必達(dá)法則與導(dǎo)數(shù)定義,得3204)(4limtttftttft)(lim0)0(f0)0(Fzyxzyxftzyxddd)(2222222其中 0)0(f 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7.，上連續(xù)在設(shè),)(baxf證明babaxxfabxxfd)()(d)(22證證: :左端yyfxxfbabad)(d)(yxyfxfDdd)()(222baab利用yxyfxfDdd)()(222121xxfybabad)(d2yyfxbabad)(d22abxdxfba)(2xdxfabba)()(2byabxaD:= 右端ydyfba)(2機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ozyt)(

8、tx)(tD例例8.設(shè)函數(shù) f (x) 連續(xù)且恒大于零, )(22)(222d)(d)()(tDtyxfvzyxftFtttDxxfyxftGd)(d)()(2)(22其中,),()(2222tzyxzyxt.),()(222tyxyxtD(1) 討論 F( t ) 在區(qū)間 ( 0, +) 內(nèi)的單調(diào)性; (2) 證明 t 0 時, . )(2)(tGtF機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解: (1) 因?yàn)?ttrrrfrrrftF0220022020d)(ddsin)(dd)(ttrrrfrrrf02022d)(d)(2兩邊對 t 求導(dǎo), 得202022d)(d)()()(2)(ttrrr

9、frrtrrftfttF, 0)(), 0(tF上在.), 0()(單調(diào)增加上在故tF機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) 問題轉(zhuǎn)化為證 0)(2)(,0tGtFt時ttrrfrrrftG020220d)(2d)(d)(ttrrfrrrf0202d)(d)(即證 0d)(d)(d)(20202022tttrrrfrrfrrrf)(tg0d)()()(0222trrtrftftg,), 0()(單調(diào)增在故tg,0)(連續(xù)在又因ttg故有)0()0()(tgtg0因此 t 0 時, .0)(2)(tGtF因機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 R*9. 在均勻的半徑為R的圓形薄片的直徑上 ,

10、要接上一個一邊與直徑等長的同樣材料的均勻矩形薄片,使整個的另一邊長度應(yīng)為多少?22xRyboRyx提示提示: 建立坐標(biāo)系如圖.,0y由對稱性知Dyxydd022ddxRbRRyyx2332bRR 由此解得Rb32問接上去的均勻矩形薄片即有D薄片的重心恰好落在圓心上 ,?b機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *例例2. 計(jì)算二重積分,dd)35(Dyxyx其中D 是由曲044222yxyx所圍成的平面域 .解解:2223)2() 1(yx其形心坐標(biāo)為:面積為:9ADyxxIdd5923) 1(5ADyxydd3積分區(qū)域線形心坐標(biāo)2,1yxDyxxAxdd1DyxyAydd1AyAx35機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 利用“先二后一”計(jì)算.zyxVdddzDcyxzddd20abc34czczab022d)1 (2222221:czbyaxDz機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *例例8. 試計(jì)算橢