線(xiàn)性代數(shù) 第三章矩陣初等變換與線(xiàn)性方程組ppt課件

1、線(xiàn)性方程組的解線(xiàn)性方程組的解 設(shè)一般線(xiàn)性方程組為設(shè)一般線(xiàn)性方程組為11112211211222221122(1) nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb 線(xiàn)性方程組有解，我們稱(chēng)它們是相容的；如果無(wú)解，則線(xiàn)性方程組有解，我們稱(chēng)它們是相容的；如果無(wú)解，則稱(chēng)它們是不相容的。稱(chēng)它們是不相容的。AX=B (2)方程方程1對(duì)應(yīng)的矩陣方程為對(duì)應(yīng)的矩陣方程為其中：其中：12nxxX=x 12mbbB=b 111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa 11121121222212(, )nnmmmnmaaabaaabBA baaaa 稱(chēng)為方程組稱(chēng)為方程組(1)的增

2、廣矩陣。的增廣矩陣。其中其中111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa 為方程組為方程組(1)的系數(shù)矩陣。的系數(shù)矩陣。稱(chēng)為方程組稱(chēng)為方程組1的導(dǎo)出組，的導(dǎo)出組，或稱(chēng)為或稱(chēng)為1對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組。對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組。當(dāng)當(dāng)0 (1,2,)ibim 時(shí)時(shí),齊次線(xiàn)性方程組齊次線(xiàn)性方程組11112212112222112200 (2)0nnnnmmmnna xaxaxaxaxaxaxaxax 11112211211222221122(1) nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb 齊次與非齊次線(xiàn)性方程組齊次與非齊次線(xiàn)性方程組非齊次線(xiàn)性方程組非齊次線(xiàn)性方

3、程組 定義：線(xiàn)性方程組的初等變換定義：線(xiàn)性方程組的初等變換（1） 用一非零的數(shù)乘某一方程用一非零的數(shù)乘某一方程（2） 把一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程把一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程（3） 互換兩個(gè)方程的位置互換兩個(gè)方程的位置 可以證明一個(gè)線(xiàn)性方程組經(jīng)過(guò)若干次初等變換，所得可以證明一個(gè)線(xiàn)性方程組經(jīng)過(guò)若干次初等變換，所得到的新的線(xiàn)性方程組與原方程組同解。到的新的線(xiàn)性方程組與原方程組同解。 對(duì)一個(gè)方程組進(jìn)行初等變換，實(shí)際上就是對(duì)它的增廣矩對(duì)一個(gè)方程組進(jìn)行初等變換，實(shí)際上就是對(duì)它的增廣矩陣；做初等行變換陣；做初等行變換( , )BA b 初等行變換初等行變換111211,1112212,122,1100

4、0000 0 0000 0 00000 0 00rrnrrnrrr rrnrrssssstsssstssstt 化為行階化為行階梯形矩陣梯形矩陣則以矩陣則以矩陣3為增廣矩陣的方程組與方程組為增廣矩陣的方程組與方程組1同解。同解。1,1112,122,11100010001 (3)000 0 0000 0 00000 0 00rnrnr rrnrrccdccdccdd 化為行最化為行最簡(jiǎn)形矩陣簡(jiǎn)形矩陣由矩陣由矩陣3可討論方程組可討論方程組1的解的情況的解的情況 有唯一解。有唯一解。有無(wú)窮多解。有無(wú)窮多解。特別地，方程組特別地，方程組(1)的導(dǎo)出組，即對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組的導(dǎo)出組，即對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性

5、方程組 一定有解。一定有解。當(dāng)當(dāng)rnrn 有唯一的零解。有唯一的零解。有無(wú)窮多解，即有非零解。有無(wú)窮多解，即有非零解。1) 假設(shè)假設(shè) ，即，即 則方程組無(wú)解。則方程組無(wú)解。10rd ()(,)R AR A B 2) 假設(shè)假設(shè)10,rd 則方程組有解，則方程組有解，( )( ,)R AR A B rn 當(dāng)當(dāng)( )( ,)R AR A B 時(shí)，時(shí)，rn 舉例說(shuō)明消元法具體步驟：舉例說(shuō)明消元法具體步驟：例：解線(xiàn)性方程組例：解線(xiàn)性方程組1231231232314254240 xxxxxxxxx 解：解： 100021001312213100120011 最后一行有最后一行有301,x 可知方程組無(wú)解。

6、可知方程組無(wú)解。2131( , )42542140A b 例：解線(xiàn)性方程組例：解線(xiàn)性方程組123423412423423410331730 xxxxxxxxxxxxx 解：解： ),(bA12341011100024000480 0000002100011101432112341011101303107310 12021010100012000000 10001010100012000000 對(duì)應(yīng)的方程組為對(duì)應(yīng)的方程組為124341020 xxxxx 1243412xxxxx 即即所以一般解為所以一般解為123412xxkxkxk （k為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）齊次線(xiàn)性方程組齊次線(xiàn)性方程組110

7、 (2)m nnmAx 1. 齊次線(xiàn)性方程組齊次線(xiàn)性方程組2有解的條件有解的條件定理定理1:齊次線(xiàn)性方程組齊次線(xiàn)性方程組 有非零解有非零解110m nnmAx r An定理定理2:齊次線(xiàn)性方程組齊次線(xiàn)性方程組 只有零解只有零解110m nnmAx r An 推論推論:齊次線(xiàn)性方程組齊次線(xiàn)性方程組 只有零解只有零解110n nnnAx r An 即即0,A 即系數(shù)矩陣即系數(shù)矩陣A可逆?？赡?。例例: 求齊次方程組的通解。求齊次方程組的通解。12341234123240(1) 24803620 xxxxxxxxxxx 解：解：124124813620A 11205124130010300110000

8、00000 初等行變換初等行變換行最簡(jiǎn)形矩陣對(duì)應(yīng)的方程組為行最簡(jiǎn)形矩陣對(duì)應(yīng)的方程組為求通解求通解1243412053010 xxxxx 即即12434125310 xxxxx 24,xx是自由是自由未知量。未知量。令令2142,xcxc 那么那么112213242125 3 10 xccxcxcxc 即即12123412510031001xxccxx 12,c c為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。12312312312323036100(2)2570240 xxxxxxxxxxxx 解：解：1233610257124A 123011001000 初等行變換初等行變換 3,r An所以只有零解。所以只有零

9、解。 000100010021 000100010001三三. 非齊次性線(xiàn)性方程組非齊次性線(xiàn)性方程組11 (1)m nnmAxb 有解的條件有解的條件 定理定理3：非齊次線(xiàn)性方程組：非齊次線(xiàn)性方程組11m nnmAxb 有解有解 ,R AR A b 并且，當(dāng)并且，當(dāng) ,R AR A bn時(shí)，有唯一解；時(shí)，有唯一解；當(dāng)當(dāng) ,R AR A bn時(shí)，有無(wú)窮多解。時(shí)，有無(wú)窮多解。求解非齊次方程組求解非齊次方程組1234123412341234512333819377xxxxxxxxxxxxxxxx 解：解：1511112133(,)3811119377A b 15111072440000000000

10、3131310777244017770000000000 13423413313777424777xxxxxx 令令3142,xcxc 那么那么112212314213313777424777 xccxccxcxc 12(,c c為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）例例k取何值時(shí)有唯一解取何值時(shí)有唯一解,無(wú)窮多解或無(wú)解，無(wú)窮多解或無(wú)解，有無(wú)窮多解時(shí)求出通解有無(wú)窮多解時(shí)求出通解.1231232353218522kxxxxxkxkxx 115,321850122kA bkk321851150122kkk 解：解：法法1： 23218542001251852 133330122kkkkkkk 22321 850

11、1224151 400133333kkkkkk 時(shí)時(shí)，有有唯唯一一解解且且即即時(shí)時(shí)3, ,31,013134 12 nbArArkkkk .,3 )3(, 32,1 2無(wú)無(wú)解解時(shí)時(shí)有有無(wú)無(wú)窮窮多多解解時(shí)時(shí)bArArkbArArk 法法2：利用：利用Cramer法則法則1132(1)(3)012kDkkk 2210131235111),(bA 000022103101有無(wú)窮多解，有無(wú)窮多解， 3231223xxxx 121023321cxxx即即當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，1k 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，即時(shí)，即 且且 時(shí)，方程組有唯一解。時(shí)，方程組有唯一解。0D 1k 3k 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)3 k 221033235113),

12、(bA 400022105113所以方程組無(wú)解。所以方程組無(wú)解。),()(bArAr 線(xiàn)性方程組討論例題線(xiàn)性方程組討論例題12312321231xxxxxxxxx 取何值時(shí)，取何值時(shí)，（1 1有唯一解；（有唯一解；（2 2無(wú)解；無(wú)解；（3 3有無(wú)窮多組解有無(wú)窮多組解21 11111 1 解：解：12rr 32rr 2220 11111011 當(dāng)當(dāng) 時(shí)；時(shí)； 1 11r 31r 0 11 111011 220 0 211 0 10 11 23rr 13(1)rr 線(xiàn)性方程組討論例題線(xiàn)性方程組討論例題(2) 220 02110 10 11 12r 2210 01210 10 11 232210 0

13、 1211 0 0 ()210 1 02 211 0 0210 1 0210 0 12 當(dāng)當(dāng) 時(shí)；時(shí)； 2 31rr 21(1)rr 線(xiàn)性方程組討論例題線(xiàn)性方程組討論例題(3) 2110021010210012 當(dāng)當(dāng) 時(shí)；時(shí)；原方程組有唯一解原方程組有唯一解 1 2 102 102 2102 ,3R AR A B 當(dāng)當(dāng) 時(shí)；時(shí)；1 2220 11111011 0 0 0 01 1 1 10 0 0 0 顯然此時(shí)方程顯然此時(shí)方程有無(wú)限多組解有無(wú)限多組解顯然此時(shí)方程顯然此時(shí)方程有無(wú)限多組解有無(wú)限多組解線(xiàn)性方程組討論例題線(xiàn)性方程組討論例題(4)當(dāng)當(dāng) 時(shí)；時(shí)；2 220 02110 10 11 0 0

14、01101 20 11 2 原方程組無(wú)解原方程組無(wú)解 ,R AR A B 當(dāng)當(dāng) 時(shí)；時(shí)；原方程組有唯一解原方程組有唯一解 1 2 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),2 原方程組無(wú)解原方程組無(wú)解 當(dāng)當(dāng) 時(shí)；時(shí)；1 方程有無(wú)限多組解方程有無(wú)限多組解線(xiàn)性方程組討論例題線(xiàn)性方程組討論例題12312321232222xxxxxxxxx 取何值時(shí)有解，并求出它的解取何值時(shí)有解，并求出它的解22112121112 解：解：122rr 32rr 203322121033 13rr 220002121033 時(shí)，無(wú)解時(shí)，無(wú)解 1 2 線(xiàn)性方程組討論例題線(xiàn)性方程組討論例題220002121033 時(shí)：時(shí)： 1 00001211033

15、0 33r232rr 0 0001 01 10 11 0 線(xiàn)性方程的解為：線(xiàn)性方程的解為：1 01 10 11 00 000 132310 xxxx 3xc 得：得：1231xcxcxc 123xxxx 111010c 線(xiàn)性方程組討論例題線(xiàn)性方程組討論例題220002121033 時(shí)：時(shí)： 2 000012120336 33r232rr 0 0001 01 20 11 2 線(xiàn)性方程的解為：線(xiàn)性方程的解為：1 01 20 11 20 000 132322xxxx 3xc 得：得：12322xcxcxc 123xxxx 121210c 線(xiàn)性方程組討論例題線(xiàn)性方程組討論例題123123123(2)2

16、212(5)4224(5)1xxxxxxxxx 222125422451 解：解：12rr 32rr 時(shí)時(shí)1 為何值時(shí)，有唯一解、無(wú)為何值時(shí)，有唯一解、無(wú)解或有無(wú)限多解？并在有無(wú)限解或有無(wú)限多解？并在有無(wú)限多解解求通解。多解解求通解。 32125420111 31r 212rr 2670221225420111 線(xiàn)性方程組討論例題線(xiàn)性方程組討論例題26 702 21225420111 121r 212rr 0 64 12 54 20111 13(6)rr 212rr 001052 5420111 10 時(shí)，無(wú)解時(shí)，無(wú)解10 、1時(shí)，唯一解時(shí)，唯一解1 時(shí)，無(wú)窮多解時(shí)，無(wú)窮多解線(xiàn)性方程組討論例題

17、線(xiàn)性方程組討論例題時(shí)時(shí)1 32125420111 122124420000 122100000000 212rr 1r 123221xxx 1122132221xccxcxc 123xxxx 12221100010cc 01112022200111111001 設(shè)矩陣A =求矩陣A的秩(42 )AB XC X設(shè)有矩陣方程211111612 其中A=122112611 100132 ，B=， C=，求矩陣4 2 2 14 1 2 24 1 2 24 1 2 ( 1)4 1 2 14 1 2 24 6 2 64 ( 1) 2 ( 1) 4 2 2 1 (42 )AB 600620122 6 (42

18、)ABC6001062001122 632 600100201102 652 21rr 312rr 101 0 060 2 0110 0 661 1061 0 0110 1 0220 0 1116 32rr 116r 212r 316r 1061122116X 123412341231242202200220 xxxxxxxxxxxxxx 1212212111102102A 0324022311100122 13rr 24rr 432rr 00410002710120122 是否有非零解143rr 34rr 242rr 122rr 0004002710120122 4R A 方程組只有零解111naaaaaaDaaa 解線(xiàn)性方程組1234123412342823223232xxxxxxxxxxxx 211181232213232 Ab 057541232205550 122rr 32rr 13rr 315r 002041232201110 13rr 315r 232rr 112r 001021010201110 21rr 31rr 001021000401012 12