華師一附中自主招生考試數學試卷有解析

1、1題圖2題圖x華師一附中2015年高中招生考試數學測試題詳解考試時間£0分鐘 卷而滿分:150分一.選擇題（6分x6=36分）L如果實數在數軸上的位置如圖所示，那么代數式JL-k + M + J?二芯工廠可以化簡A a - b + cBxi h cC.一a-b-c D.a + b-c【解析】由圖知故ya =同=-«,|« + /2| = -(« + /?),/c2 -2cic + cr = a-c7 , + 耳 +Jc2 2加 +2 =4+(+方)+(4 (7) = 4+/?,選 D.2.反比例函數y = 3的圖象與直線,，=依+交于A（1,?）,3（幾

2、1）X兩點，則。擔的面積為at ba 吟【解析】（補形）:沖=-4.4（-1,7）代入-m=-1,7 = 4;代入 =-4.故有H (-1,4) JB (-44).作軸于E£DA.x軸于D可知:,4OET3。.且S、“彼=SMm = xlx4 = 2 ./ D2題解圖延長EAJ）B交于C,則四邊形CDOE是邊長為4的正方形，且S）CDO£=42=16,41BC是腰長為3的等腰直角三角形，且S. =-x32=-.229 15于是。州的面積為5應.=16-2x2- = 2 23 .設玉,占是一元二次方程W + x 3 = 0的兩根，則才一4芯+15等于A.-4B.8C.6D.0

3、【解析】（降次）由韋達定理：內+&=-1=內=-1一4二'工；+內=3芯+%2=3x： 4.V7 + 15 =再（3 一再）一4（1 一西）+15 = 3再一所一4（1 + 2x（ + 芍） + 15=-5（x； + % -3）-4 = T,故選 A.4 .已知a,c分別是AABC的三邊長,且滿足2a4+2b4+c4-2a2c2 + 2bH，則M3C是A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形注:原題條件不完整（是代數式而不是條件等式），故無法解出.為試卷完整起見，將原題條件調整 為：已知a也份別是AABC的三邊長,且滿足2/ +2Z/1 +c 4

4、-2,入2 -2/汽2 =0,則八4夙7是.【解析】由條件得:4/ +4、+ 2c4-4。2c2-462c2 =0,即（2/ -/J +（2/-c2）2 =0,. c2 =2a2 =2/,或=）且42 +b2 =c2.故是等腰直角三角形，選B.5 .在一節(jié)3數學實踐活動課上，老師拿出三個邊長都為4Qnmi的正方形硬紙板, 他向同學們提出了這樣一個問題:若將三個正方形紙板不重趣地放在桌面上，用一個圓形硬紙板將其蓋住,這樣的圓形硬紙板的 最小直徑為(單位：7WW)C 25gD.100A.80&3.40加【解析】當3個正方形按如圖排列時，其外接圓直徑 最小.顯然，這個圓是等腰梯形,438的外

5、接圓O這里乂38且8=40,48=80.設此等腰梯形的對稱軸交.43于M,交CD于N,則MN=SQ.UACDJQ以ON.設。藤=40-x,OA40+x,圓半徑為廠,4OM 中，/=402+(40-x)2(1)6題圖DON 中=202+(40 + x(2)(1) - (2)： 1200 160工=0,.X=二，代入(2) 2，9025 10625 625x1725 r廠=400 +=,：.r = V17.4442故所求最小圓的直徑為2r = 25",故選C.6.如圖,J5C內接于圓。方。=36./4=60。,點。為BC上一動點,班_1_直線OD于瓦當點。由3點沿BC運動到點C時點E經過

6、的路線長為A.12 后B.8 辰C.27y/3D.54【解析】(軌跡法)如解圖，連結08分別在BC上取民。|,。2，。3，0，其中則相應的動點D.儂次為B,E1,E2,E3，N.v /BE0 = ZBE2O = /BE3O = /BNO = 90。.故點E的軌跡是OB為直徑的優(yōu)弧BE?N .己知8C=36,，=18.A3OE）是含30。角的直角三角形,.O8 = 12JJ.設M為。3的中點（優(yōu)弧圓心），連MV.則圓河的半徑MB=6G.注意到N8OG120。,，/8。八三60。,/孫小三120。、優(yōu)弧BE2N之長為圓M周長的, =2x2%6 /=8 辰.，故選 A3%' 3二.填空題（7

7、x7=49分）7 .方程V +16 = 4x（x +1）的所有根的和為【解析1】V - 4/ - 4x +16 = 0 .根據廣義韋達定理，此方程3根之和為4.即（x +x2+x3 =-2,這里4 = 1力=-4 j（解析 2由原方程得：（X-4）（X + 2）（/-2） = 0,.% = 4,W = 2,x3 = 2.X| + 占 + 七=4 .8 .在5瓶飲料中，有2瓶已過了保質期，隨機地從這5瓶飲料中取2瓶，取到至少有1瓶過保質期飲料的概率為【解析】（正繁則反）由于從這5瓶飲料中任取2瓶，沒有過期飲料的概率為33 2故取2瓶，取到至少有1瓶過保質期飲料的概率為1-二=：9 .關于X的方程

8、。-1無解，則a的值是 x-1【解析】由原方程得：27=（。_1）（犬-1）（1）關于X的方程（1）只有唯一解x = l,代入（1）得4=0,此時原方程無解；又在方程(1)中令。=1,得 =0.矛盾.此時方程(1)無解，從而原方程無解.故若原方程無解，則必。=0或1.10 .一輛快車從甲地開往乙地，一輛慢車從乙地開往甲地，兩車同時出發(fā)，分別以各自的速度在甲乙 兩地間勻速行駛,1小時后，快車司機發(fā)現有重要文件遺忘在出發(fā)地，便立即返回拿上文件(取文件時間 不計)后再從甲地開往乙地，結果快車先到達乙地.慢車繼續(xù)行駛到甲地.設慢車行駛速度為A- (/), 兩車之間的距離為y (E?) J，與x的函數圖

9、象如圖所示，則 =Q（km）1。題圖【解析】慢車12.5小時走完全程,12.5x = 1000 => x = 80 (to)設快車速度為r (A)VI小時后兩車相距800h兒即1小時兩車共行200后?。?t=120hn (/;)7小時后兩車相遇，此時慢車走80成和快車走120 (。-1) h，故有:80 + 120（4 1） = 1000 =>200 = 1120,.4 = 5.6（"）11.己知424,當14工43時,函數)，=2/-34式+ 4的最小值為一23,則。=【解析】原式配方得：)，= 2'一+(4 拋物線開口向上且對稱軸為x.當'I 4 J

10、I 8 J43a > 4時23,故當1 4/43時)，隨x增大而減小.故當x=3時有：2 x 32 3。, 3 + 4 = -23 = 9a = 451: a = 5.12 .如圖，在單位為1的正方形的網格紙上，A|A,A3，AA.A4A,AA5A6Ax.，都是斜邊在X軸上，且斜邊長分別為246,的等腰直角三角形.若4A1A2A3的頂點分別為A1(2,0)62 (1,-1),A3 (0,0),則依圖中的規(guī)律,A刈§的坐標為【解析】注意到點4,4，4，全在x軸上，設其橫坐標依次為司,再，丸，So”繼續(xù)分析.點Agz都在原點右邊，其橫坐標取正值，點A-都在原點左邊(其中&為

11、原點)，其橫 坐標取0或負值(其中僅&橫坐標為0).,2015=4x504 - 1,故&<)I5必在原點左邊，其橫坐標必為負值.易求再=Xjxi-i =。,匹=“9x2-1 = 0+(-2) x 1,孫=X4X3-1 = 0+(-2) x 2 = -4,當匕=4<5041 =0+( 2)x503 = -1006,故所求點.4 的坐標為：4(心(一 1儀，0)13 .有一張矩形風景畫，長為90c、寬為60c%現對該風景畫進行裝裱，得到一個新的矩形，要求其長, 寬之比與原風景畫的長，寬之比相同，且面積比原風景畫的面積大44%.若裝裱后的上，下邊襯的寬都為 a c也左，右

12、邊襯都為8 那么ab =【解析】依題意有:90 + 2。_ 90 _ 32。_360+2廠而- 5 =五"5(據等比定理)枚 2a = 3b (1)又:(90 + 2a)(60 + 2)= 90x60x144100=>120rz + 180/?+4rt/? = 54x44(2)(1)代入：60-3/? + 180/7 + 6Z?2 =54x44 =>Z?2+60/7-396 = 0.解得：b = 6或/? = -66(舍)，從而 a = 9,. ah = 54.12題三.解答題14 . （14分）已知膽,是方程V+3x+l=0的兩根,求 7 + 5 - 165 72m-1

13、0 2一一的值;3 m m15題圖【解析】（1） :加2+3加+ 1 = 0,故（u 16 ） 2/n-10 2 （7 + 5）（6一5） + 16 2（"?-5） 2m + 5-:V 5 - m） 3 ？ m ，一5一（/-3） m2（7=9）2 標20 /+3川 + 1 八m - 3mmm,m + n = -3（2）是方程V+3x+l = 0的兩根,2ylmIfinn = 1,/.x2 = （/ + n1） 2nrn2 + 2 = （？ + n） -2? =（9 2） =49x = 7,即15 . （15分）如圖,ZU3C中公。=BCZ為A4C的內心。為8c上一點，過RI兩點的圓

14、。交3C于。點,tanNCB/ =.AB = 6, 3（1）求線段8。的長；（2）求線段8。的長【解析】（1）如解圖/為內心，故取平分ZABC.t ZABI= Z CBI=a.連 C7,并延長交.15 于 EC：l=CS、，CEL15,且.4E=BE=3.于是 IE=BE - tan a = 3x' = l,B/ =打+儼=如.連DI：BD為圓。的直徑,，NBQ90。.于是川3小=手吁亞耳卷(2)連 0上 OI=OB= 一，ND0I=2a,故 OI/AB、35COIs ACBE、=0 3 =_ z=>BE CB 3 八435_ 3CO5-3。+ 5.8 =髀吟+ |316. （1

15、8分）如圖,四邊形.158中乂O8C,N3CD=90、3 6/C=3DEL43 于EAC 交 DE 于 F,求AE AB的值;Af（2）若。=4、求上的值；FC（3）若CQ=6、過M點作MFAM/CD,交CE的延長線于M求士的值.EC【解析】（1）如解圖1,作.4G夕C,交CB延長線于G,則四邊形HGC。為矩形.16題解圖1由AFDs.CFT,知 FC_AD _ 6 _9一百一演一可f/. GOUZ)=6,但 BC=3,： GB=3.已知 DELAB 于 E,： ZL4G5sAdel于是衛(wèi) = = A34E = AO8G = 18.AD AE(2)延長一瓦DC交于H<33G且AD=2BC

16、,：.BC為AAHD的中位線，故C=OC=4.由勾股定理知 AH=WB=BH=5.沿。EC8 交于 T,有/AEDs/BTE.人 ,門 AC 36 18R1/ADH 1 1 .DEL1H. AE =AH 1051 q 7BE = AB AE = 5一一= 一.于是 5 5BTBEBT%77716=j ； = , - BT = , CT = 3 h=ADAE618/18333(3)如解圖 3 有 AB = 3=3",鉆=斗=*,，即=6而、=爺 6V5 V5V5 V5： 44EMs4HEC,：.ME AE 正麗17. （18分）二次函數y = 4x? -2a+的圖象與x軸交于4（%,0

17、）,3（,。）兩點（不 ）， 與y釉交于c點.（1）若鋁=2,且拋物線的頂點在直線產一X一2上，試確定也”的值;(2)在(1)中,若點尸為直線8C下方拋物線上一點，當尸3c的面積最大時，求尸點坐標;(3)是否存在整數犯，使得1 V玉v 2,1 < & v 2,同時成立?請證明你的結論.【解析】（1） AB=2 =>x2 一玉=2 =（工 +玉） -=4.由韋達定理:mXl+X2=y，故有:nnr 彳一 = 44/ /2 拋物線的頂點為 竺，士竺，代入產一工一2：144 )4n-m2in- nrin-/c、/八=一一一2 = = - - -2（2）代入（1）：4444'

18、; '2竺=0,二.機=8,從而 = 12.4(2)在(1)的條件下，有：y = 4x2-16x + 12此拋物線的頂點為(2,-4),交工軸于4 (1,0) JB (3.0)，交y軸于C(0,12)易求直線BC的解析式為y = -4x + 12.為使PBC面積最大，只需點尸與直線BC距離最遠.設過P且平行于BC的直線解析式為y = -4x + R代入拋物線解析式;4x2 -16x + 12 = -4k + Z? = 4x2 -i2x + 2-b = O.33令 = 14416（12與=0=>9 = 12/?,./? = 3.此時有工=：,），=汽乂： + 3 = 3.即所求點的

19、坐標為P,-312(3)(反證法)假如存在這樣的整數切兒使得方程4/一2a+ = 0之2根滿足1<2，占<2.那么:2<X +x2 = v4,4<m < 8,6為整數一二w=5,6,7;（1）2<xx2 = 1<4,.4<<16,為整數,.=5,6,74,15;（2）2A = 4m2 - 16n > 0, /. n <（3）、e , 皿 2m ± j4ni2 -16/7 m ± y/m2 -4/2 方程之2根為:戶 一一 = 5.m - yJm2 -4/z ,. L）c，/- 彳 /八由> 1 = m-

20、4> yjnr -4 = nr -8/?i + 16> nr -4 = n > 2m-4（4）巾 + jm2 4 < 2 =，尸 -4 <8-m = nr-4n <64-16m + nr = n > 4/n-16（5）當加=5 時,2加-4=6>4m 16=4,根據(3) , (4)，取 2膽一4V<絲，即46<v6l,無整數解,舍去; 4當?=6 時，2機-4=8=4機一 16、根據(3) , (4)，取 2m-4V。土，即48v/?v9,無整數解,舍去;當加=7 時，2"l4=10<47- 16=12.根據（5）

21、, （4）,取4l 16 < < 絲-,即 12 V < 121 無整 44數解,舍去.據上分析，不存在整數次人使得1 v 2 v 2/< v 2,同時成立.二.填空題(本大眄共7小地,每小Jffi7分，拄49分.)7.方程/+I6 = 4x(x + i)的所有根的和為_8在5瓶飲料中，行2瓶已過了保質期，隨機地從這5瓶飲料中取2瓶.收到羊少有I肱四保 旗期的飲料的概率為 9.關于”的方程£ = q-i無解，則。的值是一 一一輛快車從甲地開往乙地，一輛慢車從乙地開往 甲地兩車同時出發(fā)，分別以各自的速度在甲乙 兩地間勻速行駛行睢I小時后，快車司機發(fā)現 有重要文件遺忘在出發(fā)地，便立即返回出發(fā)地， 拿上文件后(取文件時間不計)立即再從甲地開 往乙地結果快軍先到達乙地，慢車繼續(xù)行駛到 甲地*設慢車行駛時間為x(h)p兩率之畫的柜高為:Kkm)，與X的函數圖象如圖所示，則。=一II.己知。之4,當1<*£3時,函數> = 2-3ox+4的*小值為- 23 則。=12.如圖