LB23_介電對(duì)稱

1、1各向異性介電常數(shù)與對(duì)稱性的關(guān)系2描寫電介質(zhì)的性質(zhì)以及遵循的電學(xué)規(guī)律常用描寫電介質(zhì)的性質(zhì)以及遵循的電學(xué)規(guī)律常用三個(gè)矢量和兩個(gè)系數(shù)，即極化強(qiáng)度三個(gè)矢量和兩個(gè)系數(shù)，即極化強(qiáng)度P P，電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度強(qiáng)度E E，電位移，電位移D D和極化率和極化率，介電常數(shù)，介電常數(shù)。 EDEPPEDr000 ，3極化強(qiáng)度極化強(qiáng)度P P 在外電場(chǎng)的作用下，電介質(zhì)要產(chǎn)生極化。極化強(qiáng)度就是反映電介質(zhì)的極化強(qiáng)度的物理量，通常用符號(hào)P P 表示。極化強(qiáng)度與電偶極矩的關(guān)系：在電介質(zhì)內(nèi)選取某體積元V，沒有外電場(chǎng)作用時(shí)，電介質(zhì)不產(chǎn)生極化，這時(shí)體積元V內(nèi)所有原子（或分子）的電偶極矩的p p分量等于零；在電場(chǎng)作用下，由于電介質(zhì)要產(chǎn)生極

2、化，這時(shí)體積元V內(nèi)的電偶極矩的矢量和p p不等于零。4極化強(qiáng)度P P的定義為：即極化強(qiáng)度為單位體積內(nèi)的電偶極矩的矢量和。 VpP5極化強(qiáng)度與極化電荷的關(guān)系 電介質(zhì)極化后在它的表面上要出現(xiàn)極化電荷（即束縛電荷）。極化電荷的數(shù)量與極化程度有關(guān)，就是說與極化強(qiáng)度有關(guān)。設(shè)極化電荷面密度為，則有：Pn 為極化強(qiáng)度在表面元的法線方向的分量。上)式說明電介質(zhì)的極化電荷面電荷密度在數(shù)值上等于極化強(qiáng)度在該面上的法線方向的分量。nP)cos(P6各向同性介質(zhì)中各向同性介質(zhì)中P P、D D和和E E之間的關(guān)系之間的關(guān)系 對(duì)于各向同性的電介質(zhì)，實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)當(dāng)介質(zhì)中電場(chǎng)不是很大時(shí)，極化強(qiáng)度P P與電場(chǎng)E E成正比，并且方

3、向相同，即：式中比例系數(shù)稱為介質(zhì)的極化率。 EP7電位移D D與電場(chǎng)E E、極化強(qiáng)度P P之間的關(guān)系為： 或 式中，0=1/（36109）8.8510-12（法/米），稱為真空介電常數(shù)或真空極化率；稱為介電常數(shù)，它們之間的關(guān)系為： PED0ED00或 8各向異性介質(zhì)中各向異性介質(zhì)中P P、D D和和E E之間的關(guān)系之間的關(guān)系 一般晶體都是各向異性的電介質(zhì)。對(duì)于各向異性的電介質(zhì)實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)，P P、D D、E E之間的方向彼此不同，如圖所示，但關(guān)系D D=0E E+P P式仍然成立；和與P P、D D、E E的分量方向有關(guān)，不是標(biāo)量而是張量了。 9圖圖2-8 2-8 充滿各向異性介質(zhì)的平行板電容器

4、充滿各向異性介質(zhì)的平行板電容器 10P P與與E E的關(guān)系的關(guān)系 為了得到各向異性介質(zhì)中極化強(qiáng)度分量（Px、Py、Pz）與電場(chǎng)強(qiáng)度分量（Ex、Ey、Ez）之間的關(guān)系式，進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn)。當(dāng)介質(zhì)在x方向受到電場(chǎng)Ex的作用時(shí)，不僅在x方向出現(xiàn)極化強(qiáng)度Px(1)，而且在y方向和z方向也出現(xiàn)極化強(qiáng)度分量Py(1)和Pz(1)，它們與Ex的關(guān)系為： x31)1(zx21)1(yx11)1(xEPEPEP ，11同理，在介質(zhì)的y、z方向，分別受到電場(chǎng)Ey或Ez的作用時(shí)，產(chǎn)生的極化強(qiáng)度分量為 ： y32)2(zy22)2(yy12)2(xEPEPEP ，z33)3(zz23)3(yz13)3(xEPEPEP ，

5、12當(dāng)介質(zhì)受到任意電場(chǎng)E E（Ex、Ey、Ez）的作用時(shí)，介質(zhì)中產(chǎn)生的極化強(qiáng)度P P（Px、Py、Pz）與E E之間的關(guān)系為： )3(z)2(z) 1 (zz)3(y)2(y) 1 (yy)3(x)2(x) 1 (xxPPPPPPPPPPPPz33y32x31zz23y22x21yz13y12x11xEEEPEEEPEEEP13上式表示各向異性介質(zhì)中的極化強(qiáng)度分量與電場(chǎng)強(qiáng)度分量之間的關(guān)系。實(shí)驗(yàn)上還發(fā)現(xiàn)，對(duì)于所有的介質(zhì)都存在12=21，13=31和23=32，即獨(dú)立的極化率系數(shù)只有六個(gè)。于是上式可改寫為：z33y23x13zz23y22x12yz13y12x11xEEEPEEEPEEEP14極化

6、率的物理意義式中極化率11=（Px/Ex）Ey,Ez，為當(dāng)y、z方向電場(chǎng)分量Ey、Ez保持不變時(shí)，由于沿x方向電場(chǎng)分量Ex的變化所引起的x方向極化強(qiáng)度Px的變化與Ex變化之比?；蛘哒f，當(dāng)Ey、Ez保持不變時(shí)，Ex改變一個(gè)單位時(shí)（即Ex =1時(shí)）所引起Px的變化就等于11。極化率12=（Px/Ey）Ez,Ex，為當(dāng)z、x方向電場(chǎng)分量Ez、Ex保持不變時(shí)，Ey改變一個(gè)單位時(shí)（即Ex =1時(shí)）所引起Px的變化。其它極化率的意義與11、12類似，極化率的大小由材料的介電性質(zhì)所決定。 15It is a tensor, not a vector由此可見，對(duì)于各向異性介質(zhì)沿x 方向的極化強(qiáng)度分量Px不僅與

7、x方向的電場(chǎng)Ex有關(guān)，而且與y、z方向電場(chǎng)分量Ey、Ez有關(guān)，或者說Px與Ex、Ey、Ez之間存在線性關(guān)系。同理，Py、Pz也分別與Ex、Ey、Ez之間存在線性關(guān)系。描寫電介質(zhì)材料介電性質(zhì)的極化率，有六個(gè)獨(dú)立分量（ 1111、 1212、 1313、 2323、 2222、 3333）。就是說電介質(zhì)材料的極化率，即不是標(biāo)量，也不是矢量，而是二級(jí)對(duì)稱張量，它與E E 、P P的方向有關(guān)。 16為了方便，我們規(guī)定x、y、z方向?yàn)?、2、3方向，于是（Px、Py、Pz）就可寫成（P1、P2、P3），（Ex、Ey、Ez）就可寫成（E1、E2、E3）。上式可簡化為 :3 , 2 , 1n,mEP31nn

8、mnm ，3 , 2 , 1n,mEPnmnm ，或：17矩陣形式矩陣形式 321332313232212131211321EEEPPP18D與E的關(guān)系 同理，電介質(zhì)材料中的電位移分量（Dx、Dy、Dz）與電場(chǎng)強(qiáng)度分量（Ex、Ey、Ez）之間的關(guān)系可以寫為： ，z33y23x13zz23y22x12yz13y12x11xEEEDEEEDEEED 或簡寫成：3 , 2 , 1n,mED31nnmnm ，19式中介電常數(shù)11=（Dx/Ex）Ey、Ez，為當(dāng)Ey、Ez保持不變時(shí)，Ex改變一個(gè)單位時(shí)所引起Dx的變化。介電常數(shù)12=（Dx/Ey）Ez、Ex，為當(dāng)Ez、Ex保持不變時(shí)，Ey改變一個(gè)單位時(shí)所

9、引起Dx的變化。其它介電常數(shù)的意義與11、12的類似，介電常數(shù)的大小由材料的介電性決定 20D D與與P P、E E之間的關(guān)系之間的關(guān)系 各向異性電介質(zhì)材料沿x方向的電位移分量Dx不僅與x方向的電場(chǎng)Ex有關(guān)，而且與y、z方向電場(chǎng)分量Ey、Ez有關(guān)。或者說Dx與Ex、Ey、Ez之間存在線性關(guān)系。同理，Dy、Dz也分別與Ex、Ey、Ez之間存在線性關(guān)系。描寫各向異性電介質(zhì)材料的介電性質(zhì)需要六個(gè)獨(dú)立的介電常數(shù)，因此各向異性電介質(zhì)材料的介電常數(shù)也是二級(jí)對(duì)稱張量。21介電常數(shù)mn與極化率mn之間的關(guān)系在x 方向上的分量：xx0 xPEDz13y12x110 xEEE)(D1313121211011 ，2

10、2同理可得：寫成矩陣形式為：33033232322022 ，zyx332313232212131211zyxEEEDDD23對(duì)于各向同性的電介質(zhì)，P P、E E之間的關(guān)系與D D、E E之間的關(guān)系也可以寫成矩陣形式：zyxzyxEEE000000DDDzyxzyxEEE000000PPP24小結(jié) （1）不論是各向同性的電介質(zhì)，還是各向異性電介質(zhì)，關(guān)系式D D=0E E+P P都是成立的。（2）對(duì)于各向同性的線性電介質(zhì)材料，D D、E E、P P的方向相同，并有D D=E E，P P=E E；與是標(biāo)量，與，D D、E E、P P的分量方向無關(guān)。與之間的關(guān)系為：=0+。（3）對(duì)于各向異性電介質(zhì)材料

11、，D D、E E、P P的方向彼此不同，并有25各向異性電介質(zhì)的介電常數(shù)與對(duì)稱性各向異性電介質(zhì)的介電常數(shù)與對(duì)稱性 描寫完全各向同性介質(zhì)，只要一個(gè)介電常數(shù)，描寫完全各向異性介質(zhì)，需要六個(gè)獨(dú)立的介電常數(shù)。獨(dú)立的介電常數(shù)的個(gè)數(shù)與材料的對(duì)稱性有關(guān)，而且一般情況下獨(dú)立的介電常數(shù)的個(gè)數(shù)是界于一個(gè)和六個(gè)之間。 26下面主要介紹如何根據(jù)不同晶類的對(duì)稱性，來確定它的獨(dú)立介電常數(shù)。在32種點(diǎn)群中，有21個(gè)沒有對(duì)稱中心，這21種點(diǎn)群中有20種點(diǎn)群具有壓電效應(yīng)。這20種具有壓電效應(yīng)的晶體，它們的介電常數(shù)、彈性常數(shù)和壓電常數(shù)的數(shù)目在下表中。27具有壓電效應(yīng)的晶類的各種獨(dú)立常數(shù)的數(shù)目具有壓電效應(yīng)的晶類的各種獨(dú)立常數(shù)的數(shù)目

12、 644 4晶系晶系點(diǎn)群點(diǎn)群獨(dú)立常數(shù)的數(shù)目獨(dú)立常數(shù)的數(shù)目 晶系晶系點(diǎn)群點(diǎn)群獨(dú)立常數(shù)的數(shù)目獨(dú)立常數(shù)的數(shù)目介電介電彈性彈性壓電壓電介電介電彈性彈性壓電壓電三斜三斜1 16 621211818三角三角3 32 27 76 6單斜單斜m m4 4131310103m3m2 26 64 42 24 413138 832322 26 62 2正交正交mm2mm23 39 95 5六角六角6 62 25 54 42222223 39 93 32 25 52 2四方四方4 42 27 74 46mm6mm2 25 53 32 27 74 46m26m22 25 51 14mm4mm2 26 63 362262

13、22 25 51 1m2m22 26 62 2立方立方23231 13 31 14224222 26 61 13m3m1 13 31 1壓電陶瓷壓電陶瓷2 25 53 3 28從表中可以看出，屬于三斜晶系的晶體結(jié)構(gòu)對(duì)稱性最低，是完全各向異性晶體，它的獨(dú)立的介電常數(shù)、彈性常數(shù)、壓電常數(shù)的數(shù)目最多；其次是屬于單斜晶系的晶體，對(duì)稱性也較低；屬于立方晶系的晶體，對(duì)稱性最高，接近于各向同性晶體，它的獨(dú)立介電常數(shù)、彈性常數(shù)、壓電常數(shù)的數(shù)目最少，其次是六角晶系，對(duì)稱性也較高。 29晶體的獨(dú)立介電常數(shù)的數(shù)目晶體的獨(dú)立介電常數(shù)的數(shù)目 現(xiàn)在介紹如何根據(jù)不同晶類的對(duì)稱性，來確定它的獨(dú)立的介電常數(shù)。因?yàn)椴煌木ь惖膶?duì)

14、稱性不一樣，或者說各向異性的程度不一樣，其獨(dú)立的介電常數(shù)數(shù)目就會(huì)不一樣。完全各向異性體的獨(dú)立介電常數(shù)有六個(gè)，完全各向同性體的獨(dú)立介電常數(shù)只有一個(gè)，而且有壓電效應(yīng)的晶體的對(duì)稱性是介于完全各向異性體和完全各向同性體之間，可以預(yù)料它們的獨(dú)立介電常數(shù)的數(shù)目是在一到六之間。 30例如，氯酸鈉NaClO3和溴酸鈉NaBrO3晶體，是立方晶系23點(diǎn)群的壓電晶體；碲化鎘CdTe和硒化鋅ZnSe晶體是屬于立方晶系3m點(diǎn)群的壓電晶體。這些晶體的獨(dú)立介電常數(shù)只有一個(gè)。又如，屬于四方晶系4mm點(diǎn)群的鈦酸鋇BaTiO3晶體，屬于三方晶系32點(diǎn)群的-石英晶體和3m點(diǎn)群的LiNbO3晶體等都是介于完全各向異性體和完全各向同

15、性體之間的晶體，這些晶體的獨(dú)立介電常數(shù)只有二個(gè)。 31現(xiàn)在以具有z軸是四次軸的晶體為例，說明晶體對(duì)稱性與介電常數(shù)之間的關(guān)系。所謂z軸是四次軸，即表示當(dāng)晶體繞z軸轉(zhuǎn)90、180、270后，晶體的性質(zhì)保持不變，各個(gè)介電常數(shù)也mn保持不變。當(dāng)晶體繞z軸轉(zhuǎn)90后，晶體的x軸與y軸重合，若晶體繞z軸轉(zhuǎn)270后，則晶體的y軸與x軸重合，這表明，當(dāng)x軸與y軸互換后，晶體的介電常數(shù)應(yīng)保持不變，即要求11 =22。但是x軸、y軸 與z軸不能互換，即11 33。至于其它介電常數(shù)，可通過下述方法確定。 324-fold rotation4-fold rotationxx(y),yy( x) 1323,xzyzDED

16、E1323,xzyzDEDE1323,yzxzDEDE13232313, 13132323,33設(shè)晶體受到沿z方向的電場(chǎng)Ez的作用時(shí)，在x、y 軸方向的電位移分量為：1323,xzyzDEDE當(dāng)晶體繞z軸轉(zhuǎn)90后，在新坐標(biāo)系中電位移分量為：1323,xzyzDEDE34因?yàn)閦軸轉(zhuǎn)90后，xy，y -x，zz，固有Dx=Dy，Dy=-Dx：1323,yzxzDEDE比較可得：13232313, 因?yàn)閦軸為四次軸，晶體繞z軸轉(zhuǎn)90后，晶體的介電常數(shù)應(yīng)保持不變，這就要求： 13132323,35一方面要求： 231313另一方面又要求：132323可見下式只有才能同時(shí)滿足 02313用類似方法還可以

17、證明 ：36最后得到具有z軸是四次旋轉(zhuǎn)軸的晶體的介電常數(shù)的矩陣形式為： 331111000000獨(dú)立的介電常數(shù)只有11和33兩個(gè)。鈦酸鋇、鈦酸鉛等壓電晶體的z軸都是四次旋轉(zhuǎn)軸，它們的介電常數(shù)與上式相同。 37利用矢量和張量的坐標(biāo)變換可以嚴(yán)格證明上面的過程。注意點(diǎn)群的對(duì)稱操作與坐標(biāo)軸的關(guān)系。原坐標(biāo)系：新坐標(biāo)系：DE DE 具有對(duì)稱性的意義： 38坐標(biāo)系的變換：111213212223313233xaaaxyaaayzaaaz 或：XA X 電場(chǎng)的變換：電位移的變換：EA E DA D DE A DA E AE A E 1AA 39仍以4點(diǎn)群為例說明。變換矩陣為：具有對(duì)稱性的意義：1AA 010A

18、100001 1010A100001 40111213122223132333121113221223221223121113231333231333010010100100001001010100001 41111213221223122223121113132333231333 111133000000 對(duì)稱性要求4點(diǎn)群介電常數(shù)的形式42還可以采用“足標(biāo)代換法”來確定晶體的獨(dú)立介電常數(shù)。設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)前，晶體的坐標(biāo)為o-xyz，繞z軸轉(zhuǎn)90后，晶體的坐標(biāo)為o-xyz，見圖2-10。新舊坐標(biāo)軸之間的關(guān)系為： xy，y-x，zz用（1、2、3）來代表（x、y、z）有： 12，2-1，33 于是有：11

19、22，2211，3333，12-21，1323，23-13 43與介電常數(shù)聯(lián)系即得：11=22，22=11，33=33，12=-21，13=23，23=-13因?yàn)閦軸是四次旋轉(zhuǎn)軸，晶體繞z軸轉(zhuǎn)90后，介電常數(shù)應(yīng)保持不變，即：1 1=1 1，22=22，33=33，12=12，13=13，23=23比較上述兩式結(jié)果，可見只有11=22，12=12以及12=13=13=23=0時(shí)，兩者才完全一致。 44得具有z軸是四次旋轉(zhuǎn)軸的晶體的介電常數(shù)矩陣形式為 331111000000這個(gè)結(jié)果與坐標(biāo)變換所得結(jié)果完全相同。 45點(diǎn)群分析：例如點(diǎn)群4：只有一個(gè)4度旋轉(zhuǎn)軸，而且沿c軸，即z軸方向。足標(biāo)變化：繞z軸

20、旋轉(zhuǎn)90后 ，xy,y -x,z z,用（1 2 3） 代表 （x y z）1 2, 2 -1,3 461 2, 2 -1,3 3 331311231222331311232122332322131211rotation900旋轉(zhuǎn)后性質(zhì)保持不變（對(duì)稱性的要求） 330110011再進(jìn)行其它的旋轉(zhuǎn)操作不改變介電常數(shù)矩陣的形式47mm2mm2點(diǎn)群點(diǎn)群鈮酸鋇鈉（Ba2NaNb5O15）晶體，鎵酸鋰（LiGaO3）晶體都是屬于正交晶系mm2點(diǎn)群的晶體。它們的z軸是二次軸，x面、y面是對(duì)稱面。現(xiàn)在根據(jù)它們的對(duì)稱性質(zhì)用足標(biāo)代換法來確定獨(dú)立的介電常數(shù)。 48圖 210 mm2中的第一個(gè)m 49因?yàn)榫w的x面是對(duì)稱面，固有x-x、y y、z z，即：1-1、22、33， 50圖 211 mm2中的2 51因?yàn)榫w的z軸是二次軸，當(dāng)晶體繞z軸轉(zhuǎn)180后，有x” -x、y” -y、z” z，即：1-1、2-2、33， 33022001133232200113323220011fold2axisz另一個(gè)鏡面操作不再改變矩陣的形式52于是得到mm2點(diǎn)群晶體的介電常數(shù)的矩陣形式為： 332211000000獨(dú)立介電常數(shù)為11、22、33三個(gè)。 53只適用于三個(gè)晶軸互相垂直的晶系：正交